Matriz hermítica

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Matriz igual a su conjugado-transpose

En matemáticas, una matriz hermitiana (o matriz autoadjunta) es una matriz cuadrada compleja que es igual a su propia transpuesta conjugada, es decir, el elemento en la $i$ -ésima fila y $j$ -ésima columna es igual al conjugado complejo del elemento en $j$ -ésima fila y $i$ -ésima columna, para todos los índices $i$ y $j$ :

${displaystyle A{text{ Hermitian}}quad iff quad a_{ij}={overline {{a}_{ji}}}}$

o en forma matricial:

{displaystyle A{text{ Hermitian}}quad iff quad A={overline {A^{mathsf {T}}}}.}

Las matrices hermitianas pueden entenderse como la extensión compleja de las matrices simétricas reales.

Si la transposición conyugal de una matriz $A$ es denotado por ${displaystyle A^{mathsf {H}},}$ entonces la propiedad de Hermitian se puede escribir concisamente

${displaystyle A{text{ Hermitian}}quad iff quad A=A^{mathsf {H}}}$

Las matrices hermitianas son nombradas por Charles Hermite, quien demostró en 1855 que las matrices de esta forma comparten una propiedad con matrices simétricas reales de tener siempre eigenvalues reales. Otras notaciones equivalentes en uso común son ${displaystyle A^{mathsf {H}}=A^{dagger }=A^{ast },}$ aunque en mecánica cuántica, $A^{ast }$ típicamente significa el complejo conjugado solamente, y no la transposición conyugal.

Caracterizaciones alternativas

Las matrices hermitianas se pueden caracterizar de varias maneras equivalentes, algunas de las cuales se enumeran a continuación:

Igualdad con la adjunto

(feminine)

Una matriz cuadrada $A$ es Hermitian si y sólo si es igual a su unión, es decir, satisfice

{displaystyle langle mathbf {w}Amathbf {v} rangle =langle Amathbf {w}mathbf {v} rangle}

{displaystyle mathbf {v}mathbf {w}}

{displaystyle langle cdotcdot rangle }

Esta es también la forma en que se define el concepto más general de operador autoadjunto.

Realidad de las formas cuadráticas

An $ntimes {}n$ matriz $A$ es Hermitian si y sólo si

{displaystyle langle mathbf {v}Amathbf {v} rangle in mathbb {R}quad mathbf {v} in mathbb {C} ^{n}.}

Propiedades espectrales

Una matriz cuadrada $A$ es Hermitian si y sólo si es unitariamente diagonalizable con verdaderos eigenvalues.

Aplicaciones

Las matrices hermitianas son fundamentales para la mecánica cuántica porque describen operadores con valores necesariamente reales. Un eigenvalue $a$ de un operador ${hat {A}}$ en algún estado cuántico $|psi rangle$ es uno de los posibles resultados de medición del operador, que requiere la necesidad de los operadores con valores reales.

Ejemplos y soluciones

En esta sección, la transposición conjugada de la matriz $A$ es denotado como ${displaystyle A^{mathsf {H}},}$ la transpose de matriz $A$ es denotado como ${displaystyle A^{mathsf {T}}}$ y conjugado de matriz $A$ es denotado como ${displaystyle {overline {A}}.}$

Vea el siguiente ejemplo:

{displaystyle {begin{bmatrix}0&a-ib&c-id\a+ib&1&m-in\c+id&m+in&2end{bmatrix}}}

Los elementos diagonales deben ser reales, ya que deben ser su propio complejo conjugado.

Las familias conocidas de matrices hermitianas incluyen las matrices de Pauli, las matrices de Gell-Mann y sus generalizaciones. En física teórica, tales matrices hermitianas a menudo se multiplican por coeficientes imaginarios, lo que da como resultado matrices hermitianas sesgadas.

Aquí, ofrecemos otra matriz Hermitian útil usando un ejemplo abstracto. Si una matriz cuadrada $A$ iguala el producto de una matriz con su transpose conjugado, es decir, ${displaystyle A=BB^{mathsf {H}},}$ entonces $A$ es una matriz semidefinida positiva de Hermitian. Además, si $B$ es la fila de la raya completa, entonces $A$ es positivo.

Propiedades

Los valores de la diagonal principal son reales

Las entradas en la diagonal principal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha) de cualquier matriz hermítica son reales.

Prueba

Por definición de la matriz hermitiana

{displaystyle H_{ij}={overline {H}}_{ji}}

para

i = j

lo anterior sigue.

Solo las entradas de la diagonal principal son necesariamente reales; Las matrices hermitianas pueden tener entradas arbitrarias de valor complejo en sus elementos fuera de la diagonal, siempre que las entradas diagonalmente opuestas sean conjugadas complejas.

Simétrico

Una matriz que solo tiene entradas reales es simétrica si y solo si es una matriz hermítica. Una matriz real y simétrica es simplemente un caso especial de una matriz hermítica.

Prueba

${displaystyle H_{ij}={overline {H}}_{ji}}$ por definición. Así ${displaystyle H_{ij}=H_{ji}}$ (Simetría de la matriz) si y sólo si ${displaystyle H_{ij}={overline {H}}_{ij}}$ () $H_{{ij}}$ es real).

Así que, si una matriz antisimétrica real se multiplica por un múltiplo real de la unidad imaginaria $i,$ entonces se convierte en Hermitian.

Normal

Cada matriz hermitiana es una matriz normal. Es decir, ${displaystyle AA^{mathsf {H}}=A^{mathsf {H}}A.}$

Prueba

${displaystyle A=A^{mathsf {H}},}$ Así que... ${displaystyle AA^{mathsf {H}}=AA=A^{mathsf {H}}A.}$

Diagonalizable

El teorema espectral de dimensión finita dice que cualquier matriz hermítica puede ser diagonalizada por una matriz unitaria, y que la matriz diagonal resultante solo tiene entradas reales. Esto implica que todos los valores propios de una matriz hermítica $A$ con dimensión $n$ son reales, y que $A$ tiene $n$ vectores propios linealmente independientes. Además, una matriz hermitiana tiene vectores propios ortogonales para valores propios distintos. Incluso si hay valores propios degenerados, siempre es posible encontrar una base ortogonal de $C n$ que consta de $n$ vectores propios de $A$ .

Suma de matrices hermitianas

La suma de dos matrices hermitianas cualesquiera es hermitiana.

Prueba

{displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}={overline {A}}_{ji}+{overline {B}}_{ji}={overline {(A+B)}}_{ji},}

como se afirma.

El inverso es hermitiano

La inversa de una matriz hermítica invertible también es hermítica.

Prueba

Si ${displaystyle A^{-1}A=I,}$ entonces ${displaystyle I=I^{mathsf {H}}=left(A^{-1}Aright)^{mathsf {H}}=A^{mathsf {H}}left(A^{-1}right)^{mathsf {H}}=Aleft(A^{-1}right)^{mathsf {H}},}$ Así que... ${displaystyle A^{-1}=left(A^{-1}right)^{mathsf {H}}}$ como se afirma.

Producto asociativo de matrices hermitianas

El producto de dos matrices hermitianas $A$ y $B$ es hermitiano si y solo si $AB = BA$ .

Prueba

{displaystyle (AB)^{mathsf {H}}={overline {(AB)^{mathsf {T}}}}={overline {B^{mathsf {T}}A^{mathsf {T}}}}={overline {B^{mathsf {T}}}} {overline {A^{mathsf {T}}}}=B^{mathsf {H}}A^{mathsf {H}}=BA.}

Así

{displaystyle (AB)^{mathsf {H}}=AB}

{displaystyle AB=BA.}

Así $A n$ Hermitian si $A$ Hermitian y $n$ es un entero.

ABA Hermitiano

Si A y B son hermitianos, entonces ABA también es hermitiano.

Prueba

{displaystyle (ABA)^{mathsf {H}}=(A(BA))^{mathsf {H}}=(BA)^{mathsf {H}}A^{mathsf {H}}=A^{mathsf {H}}B^{mathsf {H}}A^{mathsf {H}}=ABA}

VHAv es real para v complejo

Para un vector de valor complejo arbitrario $v$ el producto ${displaystyle mathbf {v} ^{mathsf {H}}Amathbf {v} }$ es real debido a ${displaystyle mathbf {v} ^{mathsf {H}}Amathbf {v} =left(mathbf {v} ^{mathsf {H}}Amathbf {v} right)^{mathsf {H}}.}$ Esto es especialmente importante en la física cuántica donde las matrices hermitianas son operadores que miden las propiedades de un sistema, por ejemplo el giro total, que tiene que ser real.

Formas hermitianas complejas espacio vectorial sobre R

El complejo hermitiano $n$ -by- $n$ no forman un espacio vectorial sobre los números complejos, $C$ , ya que la matriz identidad $I n$ es hermitiano, pero $i I n$ no lo es. Sin embargo, las complejas matrices hermitianas do forman un espacio vectorial sobre los números reales $R$ . En el espacio vectorial $2 n 2$ -dimensional del complejo $n \times n$ matrices sobre $R$ , las complejas matrices hermitianas forman un subespacio de dimensión $n 2$ . Si $E jk$ denota $n$ -by- $n$ matriz con una $1$ en la posición $j, k$ y ceros en cualquier otro lugar, una base (ortonormal con respecto a Frobenius producto interno) se puede describir de la siguiente manera:

{displaystyle E_{jj}{text{ for }}1leq jleq nquad (n{text{ matrices}})}

junto con el conjunto de matrices de la forma

<math alttext="{displaystyle {frac {1}{sqrt {2}}}left(E_{jk}+E_{kj}right){text{ for }}1leq j12()Ejk+Ekj)para1≤ ≤ j.k≤ ≤ n()n2− − n2matrices){displaystyle {frac {1}{sqrt {2}}left(E_{jk}+E_{kj}right){text{ for }}1leq j madekleq nquad left({frac {n^{2}-n}{text{ matrices}}right}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}f} {f} {f}f}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}f}f}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}f}f}f}}}}}f}f}}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}<img alt="{displaystyle {frac {1}{sqrt {2}}}left(E_{jk}+E_{kj}right){text{ for }}1leq j

y las matrices

<math alttext="{displaystyle {frac {i}{sqrt {2}}}left(E_{jk}-E_{kj}right){text{ for }}1leq ji2()Ejk− − Ekj)para1≤ ≤ j.k≤ ≤ n()n2− − n2matrices){displaystyle {frac {i}{sqrt {2}}left(E_{jk}-E_{kj}right){text{ for }}1leq j madekleq nquad left({frac {n^{2}-n}{text{ matrices}}right}}}} {f}}}}}}}}}} {f}f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}f}}}}}}f}f}}f}f} {f}}}}}}}}}}}}f}f}f}}f}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}<img alt="{displaystyle {frac {i}{sqrt {2}}}left(E_{jk}-E_{kj}right){text{ for }}1leq j

Donde $i$ denota la unidad imaginaria, ${displaystyle i={sqrt {-1}}~.}$

Un ejemplo es que las cuatro matrices de Pauli forman una base completa para el espacio vectorial de todas las matrices hermitianas complejas de 2 por 2 sobre $R$ .

Descomposición propia

Si $n$ eigenvectores ortonormales ${displaystyle mathbf {u} _{1},dotsmathbf {u} _{n}}$ de una matriz hermitiana son elegidos y escritos como las columnas de la matriz $U$ , entonces una eigendecomposición de $A$ es ${displaystyle A=ULambda U^{mathsf {H}}}$ Donde ${displaystyle UU^{mathsf {H}}=I=U^{mathsf {H}}U}$ por lo tanto

{displaystyle A=sum _{j}lambda _{j}mathbf {u} _{j}mathbf {u} _{j}^{mathsf {H}},}

lambda _{j}

Lambda.

Valores singulares

Los valores singulares $A$ son los valores absolutos de sus eigenvalues:

Desde $A$ tiene una eigendecomposición ${displaystyle A=ULambda U^{H}}$ , donde $U$ es una matriz unitaria (sus columnas son vectores ortonormales; ver arriba), una descomposición de valor singular $A$ es ${displaystyle A=U|Lambda |{text{sgn}}(Lambda)U^{H}}$ , donde ${displaystyle |Lambda |}$ y ${displaystyle {text{sgn}}(Lambda)}$ son matrices diagonales que contienen los valores absolutos $|lambda |$ y señales ${displaystyle {text{sgn}}(lambda)}$ de $A$ 's eigenvalues, respectivamente. ${displaystyle operatorname {sgn}(Lambda)U^{H}}$ es unitario, ya que las columnas de $U^{H}$ sólo se multiplican por $pm 1$ . ${displaystyle |Lambda |}$ contiene los valores singulares $A$ , es decir, los valores absolutos de sus eigenvalues.

Determinante real

El determinante de una matriz hermítica es real:

Prueba

${displaystyle det(A)=det left(A^{mathsf {T}}right)quad Rightarrow quad det left(A^{mathsf {H}}right)={overline {det(A)}}}$ Por lo tanto si ${displaystyle A=A^{mathsf {H}}quad Rightarrow quad det(A)={overline {det(A)}}.}$

(Alternativamente, el determinante es el producto de los valores propios de la matriz y, como se mencionó antes, los valores propios de una matriz hermitiana son reales).

Descomposición en matrices hermitianas y sesgadas-hermitianas

Hechos adicionales relacionados con las matrices hermitianas incluyen:

La suma de una matriz cuadrada y su transpose conjugado ${displaystyle left(A+A^{mathsf {H}}right)}$ es Hermitian.
La diferencia de una matriz cuadrada y su transpose conjugado ${displaystyle left(A-A^{mathsf {H}}right)}$ es skew-Hermitian (también llamado antihermitiano). Esto implica que el conmutador de dos matrices hermitianas es skew-Hermitian.
Una matriz cuadrada arbitraria $C$ puede ser escrito como la suma de una matriz hermitiana $A$ y una matriz hermitiana $B$ . Esto se conoce como la descomposición de Toeplitz $C$ . ${displaystyle C=A+Bquad {text{with}}quad A={frac {1}{2}}left(C+C^{mathsf {H}}right)quad {text{and}}quad B={frac {1}{2}}left(C-C^{mathsf {H}}right)}$

Cociente de Rayleigh

En matemáticas, para un complejo determinado matriz Hermitian $M$ and nonzero vector $x$ , el cociente Rayleigh ${displaystyle R(M,mathbf {x}),}$ se define como:

{displaystyle R(M,mathbf {x}):={frac {mathbf {x} ^{mathsf {H}}Mmathbf {x} }{mathbf {x} ^{mathsf {H}}mathbf {x} }}.}

Para las matrices y vectores reales, la condición de ser Hermitian reduce a la de ser simétrico, y la transposición conjugada ${displaystyle mathbf {x} ^{mathsf {H}}}$ a la transposición habitual ${displaystyle mathbf {x} ^{mathsf {T}}.}$ ${displaystyle R(M,cmathbf {x})=R(M,mathbf {x})}$ para cualquier escalar real no cero $c.$ Además, recuerde que una matriz hermitiana (o simétrica real) tiene valores reales.

Se puede demostrar que, para una matriz dada, el cociente Rayleigh alcanza su valor mínimo $lambda_min$ (el valor más pequeño de M) cuando $mathbf {x}$ es ${displaystyle mathbf {v} _{min }}$ (el eigenvector correspondiente). Análogamente, ${displaystyle R(M,mathbf {x})leq lambda _{max }}$ y ${displaystyle R(M,mathbf {v} _{max })=lambda _{max }.}$

El cociente de Rayleigh se usa en el teorema min-max para obtener valores exactos de todos los valores propios. También se utiliza en algoritmos de valor propio para obtener una aproximación de valor propio a partir de una aproximación de vector propio. Específicamente, esta es la base para la iteración del cociente de Rayleigh.

El rango del cociente Rayleigh (para matriz que no es necesariamente Hermitian) se llama un rango numérico (o espectro en análisis funcional). Cuando la matriz es Hermitian, el rango numérico es igual a la norma espectral. Todavía en el análisis funcional, $lambda_max$ es conocido como el radio espectral. En el contexto de C*-álgebras o mecánica cuántica algebraica, la función que a $M$ asocia el cociente Rayleigh $R () M, x)$ para un fijo $x$ y $M$ variar a través del álgebra se denominaría "estado vencedor" del álgebra.

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