Material condicional

El material condicional (también conocido como material implicación) es una operación comúnmente utilizada en la lógica. Cuando el símbolo condicional ${displaystyle rightarrow }$ se interpreta como implicación material, una fórmula ${displaystyle Prightarrow Q}$ es verdad a menos que ${displaystyle P}$ es verdad y ${displaystyle Q}$ es falso. La implicación material también puede caracterizarse inferencialmente por modus ponens, modus tollens, prueba condicional, y reductio clásico ad absurdum.

La implicación material se utiliza en todos los sistemas básicos de la lógica clásica, así como en algunas lógicas no clásicas. Se asume como modelo de razonamiento condicional correcto en matemáticas y sirve como base para comandos en muchos lenguajes de programación. Sin embargo, muchas lógicas reemplazan la implicación material con otros operadores como el condicional estricto y el condicional variablemente estricto. Debido a las paradojas de la implicación material y los problemas relacionados, la implicación material generalmente no se considera un análisis viable de oraciones condicionales en lenguaje natural.

Notación

En lógica y campos relacionados, el material condicional es notado a medida con un operador de infijo ${displaystyle to }$. El material condicional también se notifica utilizando los infijos ${displaystyle supset }$ y ${displaystyle "Rightarrow"$. En la notación polaca prefijada, los condicionales son notados como ${displaystyle Cpq.$. En una fórmula condicional ${displaystyle pto q}$, la subformula ${displaystyle p}$ se conoce como el antecedentes y ${displaystyle q}$ se denomina el consiguiente del condicional. Las declaraciones condicionales pueden ser anidadas de tal manera que el antecedente o el consiguiente pueden ser afirmaciones condicionales, como en la fórmula ${displaystyle (pto q)to (rto s)}$.

Historia

In Arithmetices Principia: Nova Methodo Exposita (1889), Peano expresó la propuesta "Si ${displaystyle A}$ entonces ${displaystyle B}$"como ${displaystyle A}$ Ɔ ${displaystyle B}$ con el símbolo Ɔ, que es el opuesto de C. También expresó la propuesta ${displaystyle Asupset B}$ como ${displaystyle A}$ Ɔ ${displaystyle B}$. Hilbert expresó la propuesta "Si A entonces B" como ${displaystyle Ato B}$ en 1918. Russell siguió a Peano en su Principia Mathematica (1910-1913), en la que expresó la propuesta "Si A entonces B" como ${displaystyle Asupset B}$. Siguiendo a Russell, Gentzen expresó la propuesta "Si A entonces B" como ${displaystyle Asupset B}$. Heyting expresó la propuesta "Si A entonces B" como ${displaystyle Asupset B}$ al principio, pero después vino a expresarlo como ${displaystyle Ato B}$ con una flecha de punta derecha. Bourbaki expresó la propuesta "Si A entonces B" como ${displaystyle ARightarrow B}$ en 1954.

Definiciones

Semántica

Desde una perspectiva semántica, la implicación material es el operador funcional de verdad binaria que devuelve valores "verdaderos" a menos que su primer argumento sea verdadero y su segundo argumento sea falso. Esta semántica se puede mostrar gráficamente en una tabla de verdad como la siguiente.

Tabla de la verdad

La tabla de verdad de p → q:

${displaystyle p}$	${displaystyle q}$	${displaystyle p}$ → ${displaystyle q}$
Cierto.	Cierto.	Cierto.
Cierto.	Falso	Falso
Falso	Cierto.	Cierto.
Falso	Falso	Cierto.

El tercer y cuarto caso lógico de esta tabla de verdad, donde el antecedente p es falso y < i>p → q es verdadera, se llaman "verdades vacías".

Definición deductiva

La implicación material también se puede caracterizar deductivamente en términos de las siguientes reglas de inferencia.

• Modus ponens
• Prueba condicional
• Contraposición clásica
• Reductio clásico ad absurdum

A diferencia de la definición semántica, este enfoque de los conectivos lógicos permite el examen de formas proposicionales estructuralmente idénticas en varios sistemas lógicos, donde se pueden demostrar propiedades algo diferentes. Por ejemplo, en la lógica intuicionista, que rechaza las pruebas por contraposición como reglas de inferencia válidas, (p → q) ⇒ ¬ p ∨ q no es un teorema proposicional, pero el condicional material se utiliza para definir la negación.

Propiedades formales

Cuando la disyunción, la conjunción y la negación son clásicas, la implicación material valida las siguientes equivalencias:

• Contraposición: ${displaystyle Pto Qequiv neg Qto neg P}$
• Import-export: ${displaystyle Pto (Qto R)equiv (Pland Q)to R}$
• condicionales negativas: ${displaystyle neg (Pto Q)equiv Pland neg Q}$
• O-y-si: ${displaystyle Pto Qequiv neg Plor Q}$
• Computatividad de los antecedentes: ${bignMicrosoft Sans Serif}equiv {big (}Qto (Pto R){big)}}}$
• Distribución: ${bignMicrosoft Sans Serif}equiv {big}(Rto P)to (Rto Q){big)}}}}}$

De manera similar, en las interpretaciones clásicas de los otros conectivos, la implicación material valida las siguientes implicaciones:

• Fortalecimiento de los antecedentes: ${displaystyle Pto Qmodels (Pland R)to Q}$
• Vacuo condicional: ${displaystyle neg Pmodels Pto Q}$
• Transitividad: ${displaystyle (Pto Q)land (Qto R)models Pto R}$
• Simplificación de antecedentes disyuntivos: ${displaystyle (Plor Q)to Rmodels (Pto R)land (Qto R)}$

Las tautologías que implican implicaciones materiales incluyen:

• Reflexividad: ${displaystyle models Pto P}$
• Totalidad: ${displaystyle models (Pto Q)lor (Qto P)}$
• Medio excluido condicional: ${displaystyle models (Pto Q)lor (Pto neg Q)}$

Discrepancias con el lenguaje natural

La implicación material no coincide estrechamente con el uso de oraciones condicionales en el lenguaje natural. Por ejemplo, aunque los condicionales materiales con antecedentes falsos son vacuamente verdaderos, la afirmación en lenguaje natural "Si 8 es impar, entonces 3 es primo" no es válida. normalmente se considera falso. De manera similar, cualquier condicional material con un consecuente verdadero es en sí mismo verdadero, pero los hablantes suelen rechazar oraciones como "Si tengo un centavo en el bolsillo, entonces París está en Francia". Estos problemas clásicos han sido denominados paradojas de la implicación material. Además de las paradojas, se han dado una variedad de otros argumentos en contra de un análisis de implicaciones materiales. Por ejemplo, todos los condicionales contrafácticos serían vacuamente verdaderos según tal explicación.

A mediados del siglo XX, varios investigadores, entre ellos H. P. Grice y Frank Jackson, propusieron que los principios pragmáticos podrían explicar las discrepancias entre los condicionales del lenguaje natural y el condicional material. En su opinión, los condicionales denotan implicaciones materiales, pero terminan transmitiendo información adicional cuando interactúan con normas conversacionales como las máximas de Grice. Los trabajos recientes en semántica formal y filosofía del lenguaje generalmente han evitado la implicación material como análisis de los condicionales del lenguaje natural. En particular, dicho trabajo a menudo ha rechazado la suposición de que los condicionales del lenguaje natural son funcionales de verdad en el sentido de que el valor de verdad de "Si P, entonces Q& #34; está determinado únicamente por los valores de verdad de P y Q. Por tanto, los análisis semánticos de condicionales suelen proponer interpretaciones alternativas basadas en fundamentos como la lógica modal, la lógica de relevancia, la teoría de la probabilidad y los modelos causales.

Los psicólogos que estudian el razonamiento condicional han observado discrepancias similares, por ejemplo, en el famoso estudio de tareas de selección de Wason, donde menos del 10% de los participantes razonaron de acuerdo con el condicional material. Algunos investigadores han interpretado este resultado como una falla de los participantes en confirmar las leyes normativas del razonamiento, mientras que otros interpretan que los participantes razonan normativamente de acuerdo con leyes no clásicas.