Matemáticas indias

matemáticas indias surgieron en el subcontinente indio desde el año 1200 a. C. hasta finales del siglo XVIII. En el período clásico de las matemáticas indias (400 d. C. a 1200 d. C.), eruditos como Aryabhata, Brahmagupta, Bhaskara II y Varāhamihira hicieron importantes contribuciones. El sistema numérico decimal que se utiliza hoy en día se registró por primera vez en las matemáticas indias. Los matemáticos indios hicieron contribuciones tempranas al estudio del concepto de cero como número, los números negativos, la aritmética y el álgebra. Además, la trigonometría se avanzó aún más en la India y, en particular, allí se desarrollaron las definiciones modernas de seno y coseno. Estos conceptos matemáticos se transmitieron a Oriente Medio, China y Europa y condujeron a nuevos desarrollos que hoy forman la base de muchas áreas de las matemáticas.

Las obras matemáticas indias antiguas y medievales, todas compuestas en sánscrito, normalmente consistían en una sección de sutras en los que se enunciaban con gran economía en verso un conjunto de reglas o problemas para ayudar a la memorización. un estudiante. A esto le siguió una segunda sección que consistía en un comentario en prosa (a veces múltiples comentarios de diferentes académicos) que explicaba el problema con más detalle y justificaba la solución. En la sección de prosa, la forma (y por tanto su memorización) no se consideraba tan importante como las ideas involucradas. Todos los trabajos matemáticos se transmitieron oralmente hasta aproximadamente el año 500 a. C.; posteriormente, se transmitieron tanto de forma oral como manuscrita. El documento matemático existente más antiguo producido en el subcontinente indio es el manuscrito Bakhshali de corteza de abedul, descubierto en 1881 en el pueblo de Bakhshali, cerca de Peshawar (hoy Pakistán) y probablemente data del siglo VII d.C.

Un hito posterior en las matemáticas indias fue el desarrollo de las expansiones en serie para funciones trigonométricas (seno, coseno y arco tangente) por matemáticos de la escuela de Kerala en el siglo XV d.C. Su trabajo, completado dos siglos antes de la invención del cálculo en Europa, proporcionó lo que ahora se considera el primer ejemplo de una serie de potencias (aparte de las series geométricas). Sin embargo, no formularon una teoría sistemática de diferenciación e integración, ni hay ninguna evidencia directa de que sus resultados se hayan transmitido fuera de Kerala.

Prehistoria

Las excavaciones en Harappa, Mohenjo-daro y otros sitios de la civilización del valle del Indo han descubierto evidencia del uso de las "matemáticas prácticas". Los habitantes de la civilización del valle del Indo fabricaban ladrillos cuyas dimensiones estaban en la proporción 4:2:1, considerada favorable para la estabilidad de una estructura de ladrillo. Utilizaron un sistema estandarizado de pesos basado en las proporciones: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 y 500, con la unidad peso equivalente a aproximadamente 28 gramos (y aproximadamente igual a la onza inglesa o uncia griega). Produjeron en masa pesas en formas geométricas regulares, que incluían hexaedros, barriles, conos y cilindros, demostrando así conocimientos de geometría básica.

Los habitantes de la civilización del Indo también intentaron estandarizar la medición de la longitud con un alto grado de precisión. Diseñaron una regla, la regla Mohenjo-daro, cuya unidad de longitud (aproximadamente 1,32 pulgadas o 3,4 centímetros) se dividía en diez partes iguales. Los ladrillos fabricados en la antigua Mohenjo-daro a menudo tenían dimensiones que eran múltiplos integrales de esta unidad de longitud.

Se ha demostrado que los objetos cilíndricos huecos hechos de concha y encontrados en Lothal (2200 a. C.) y Dholavira tienen la capacidad de medir ángulos en un plano, así como de determinar la posición de las estrellas para la navegación.

Período védico

Samhitas y Brahmanas

Los textos religiosos del período védico proporcionan evidencia del uso de grandes números. En la época del Yajurvedasaṃhitā- (1200–900 a. C.), se incluían números tan altos como 10¹² en los textos. Por ejemplo, el mantra (recitación sagrada) al final del annahoma ("rito de oblación de alimentos") realizado durante el aśvamedha, y pronunciado justo antes, durante y justo después del amanecer, invoca potencias de diez desde cien hasta un billón:

Ave a śata ("hundred," 10²), granizo a sahasra ("miles" 10³), granizo a ayuta "10 mil" 10⁴), granizo a Niyuta "Ciento mil" 10⁵), granizo a Rezar ("millones" 10⁶), granizo a arbuda "10 millones" 10⁷), granizo a nyarbuda "Cientos millones" 10⁸), granizo a samudra ("millones" 10⁹, literalmente "oceano"), granizo a loco ("ten miles de millones," 10¹⁰, literalmente "medio"), granizo a anta "Ciento mil millones" 10¹¹, iluminado, "final"), granizo a parārdha ("un trillón," 10¹² iluminado., "más allá de las partes"), granizo a u Averigüen al granizo vyuijk (twilight), granizo a ude (el que va a subir), saluda udyat (el que está subiendo), granizo udita (a la que acaba de levantarse) svarga (el cielo), saluda martya (el mundo), saluda a todos.

La solución a la fracción parcial era conocida por el Pueblo Rigvédico como estados en el purush Sukta (RV 10.90.4):

Con tres cuartos Puruísa subió: una cuarta parte de él estaba aquí.

El Satapatha Brahmana (c. siglo VII a. C.) contiene reglas para construcciones geométricas rituales que son similares a los Sulba Sutras.

Śulba Sūtras

Los Śulba Sūtras (literalmente, "Aforismos de las cuerdas" en sánscrito védico) (c. 700-400 a. C.) enumeran reglas para la construcción de altares de fuego de sacrificio. La mayoría de los problemas matemáticos considerados en los Śulba Sūtras surgen de "un único requisito teológico". el de construir altares de fuego que tienen diferentes formas pero ocupan la misma superficie. Los altares debían construirse con cinco capas de ladrillos cocidos, con la condición adicional de que cada capa constara de 200 ladrillos y que no hubiera dos capas adyacentes con disposiciones congruentes de ladrillos.

Según Hayashi, los Śulba Sūtras contienen "la expresión verbal más antigua existente del teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya era conocida por los antiguos babilonios".

La cuerda diagonalaknusayā-rajju) de un oblong (rectángulo) produce ambos que el flanco (pārśvamāni) y la horizontal (Tiryamānī) se produce por separado.

Dado que la declaración es un sūtra, está necesariamente comprimida y no se detalla lo que las cuerdas producen, pero el contexto implica claramente las áreas cuadradas construidas en sus longitudes. , y así se lo habría explicado el profesor al alumno.

Contienen listas de ternas pitagóricas, que son casos particulares de ecuaciones diofánticas. También contienen afirmaciones (que en retrospectiva sabemos que son aproximadas) sobre la cuadratura del círculo y "darle vueltas al cuadrado".

Baudhayana (c. siglo VIII a. C.) compuso el Baudhayana Sulba Sutra, el Sulba Sutra más conocido, que contiene ejemplos de ternas pitagóricas simples, como: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) y (12, 35, 37), así como un enunciado del teorema de Pitágoras para los lados de un cuadrado: "La cuerda que se estira a lo largo de la diagonal de un cuadrado produce un área que duplica el tamaño del cuadrado original". También contiene el enunciado general del teorema de Pitágoras (para los lados de un rectángulo): "La cuerda estirada a lo largo de la diagonal de un rectángulo forma un área que los lados verticales y horizontales forman juntos". ; Baudhayana da una expresión para la raíz cuadrada de dos:

2. . 1+13+13⋅ ⋅ 4− − 13⋅ ⋅ 4⋅ ⋅ 34=1.4142156... ... {displaystyle {sqrt {2}approx 1+{frac {1}{3}+{frac} {1}{3cdot 4}-{frac {1}{3cdot 4cdot 34}=1.4142156ldots}

La expresión tiene una precisión de hasta cinco decimales, siendo el valor verdadero 1,41421356... Esta expresión es similar en estructura a la expresión encontrada en una tablilla mesopotámica del período de la antigua Babilonia (1900-1600 a. C.):

2. . 1+2460+51602+10603=1.41421297... ... {displaystyle {sqrt {2}approx 1+{frac {24}{60}+{frac {51}{60^{2}}}}+{frac} {frac}}}}}}}+{frac}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {10}{60^{3}=1.41421297ldots

que expresa √2 en el sistema sexagesimal, y que También tiene una precisión de hasta 5 decimales.

Según el matemático S. G. Dani, la tablilla cuneiforme babilónica Plimpton 322 escrita c. 1850 a. C. "contiene quince ternas pitagóricas con entradas bastante grandes, incluida (13500, 12709, 18541), que es una terna primitiva, lo que indica, en particular, que había una comprensión sofisticada sobre el tema" en Mesopotamia en 1850 a.C. "Dado que estas tablillas son anteriores al período Sulbasutras en varios siglos, teniendo en cuenta la apariencia contextual de algunos de los triples, es razonable esperar que una comprensión similar hubiera existido en la India". Dani continúa diciendo:

Como objetivo principal del Sulvasutras era describir las construcciones de altares y los principios geométricos implicados en ellos, el tema de los triples pitagóricos, incluso si había sido bien entendido, puede que todavía no haya aparecido en el Sulvasutras. La ocurrencia de los triples en el Sulvasutras es comparable a las matemáticas que uno puede encontrar en un libro introductorio sobre arquitectura u otro área similar aplicada, y no correspondería directamente al conocimiento general sobre el tema en ese momento. Dado que, lamentablemente, no se ha encontrado ninguna otra fuente contemporánea, tal vez nunca sea posible resolver satisfactoriamente esta cuestión.

En total, se compusieron tres Sulba Sutras. Los dos restantes, el Manava Sulba Sutra compuesto por Manava (fl. 750-650 a. C.) y el Apastamba Sulba Sutra, compuesto por Apastamba (c. 600 a. C.), contenían resultados similares al Baudhayana Sulba Sutra.

Vyakarana

Un hito importante del período védico fue el trabajo del gramático sánscrito, Pāṇini (c (520–460 a. C.). Su gramática incluye el uso temprano de la lógica booleana, del operador nulo y de gramáticas libres de contexto, e incluye un precursor de la forma Backus-Naur (utilizada en los lenguajes de programación de descripción).

Pingala (300 a. C. – 200 a. C.)

Entre los eruditos del período posvédico que contribuyeron a las matemáticas, el más notable es Pingala (piṅgalá) (fl. 300–200 a. C.), teórico musical autor del Chhandas Shastra (chandaḥ-śāstra, también Chhandas Sutra chhandaḥ -sūtra), un tratado sánscrito sobre prosodia. Hay evidencia de que en su trabajo sobre la enumeración de combinaciones silábicas, Pingala tropezó tanto con el triángulo de Pascal como con los coeficientes binomiales, aunque no tenía conocimiento del teorema del binomio en sí. El trabajo de Pingala también contiene las ideas básicas de los números de Fibonacci (llamados maatraameru). Aunque el Chandah sutra no ha sobrevivido en su totalidad, sí lo ha hecho un comentario del siglo X realizado por Halāyudha. Halāyudha, que se refiere al triángulo de Pascal como Meru-prastāra (literalmente "la escalera al monte Meru"), dice lo siguiente:

Dibuja un cuadrado. Comenzando a la mitad de la plaza, dibujar otros dos cuadrados similares debajo de ella; debajo de estos dos, tres otros cuadrados, etc. El marcado debe comenzar por poner 1 en la primera plaza. Put 1 en cada uno de los dos cuadrados de la segunda línea. En la tercera línea 1 en los dos cuadrados en los extremos y, en la plaza media, la suma de los dígitos en los dos cuadrados que están sobre él. En la cuarta línea 1 en los dos cuadrados en los extremos. En el medio ponen la suma de los dígitos en los dos cuadrados por encima de cada uno. Procede de esta manera. De estas líneas, la segunda da las combinaciones con una sílaba, la tercera las combinaciones con dos sílabas,...

El texto también indica que Pingala era consciente de la identidad combinatoria:

()n0)+()n1)+()n2)+⋯ ⋯ +()nn− − 1)+()nn)=2n{displaystyle {n choose 0}+{n choose 1}+{n choose 2}+cdots +{n choose n-1}+{n ################################################################################################################################################################################################################################################################

Kātyāyana

Kātyāyana (c. siglo III a. C.) se destaca por ser el último de los matemáticos védicos. Escribió el Katyayana Sulba Sutra, que presentaba mucha geometría, incluido el teorema general de Pitágoras y un cálculo de la raíz cuadrada de 2 con cinco decimales.

Matemáticas jainistas (400 a. C. – 200 d. C.)

Aunque el jainismo como religión y filosofía es anterior a su exponente más famoso, el gran Mahaviraswami (siglo VI a. C.), la mayoría de los textos jainistas sobre temas matemáticos se compusieron después del siglo VI a. C. Los matemáticos jainistas son importantes históricamente como vínculos cruciales entre las matemáticas del período védico y las del "período clásico".

Una importante contribución histórica de los matemáticos jainistas radica en su liberación de las matemáticas indias de sus limitaciones religiosas y rituales. En particular, su fascinación por la enumeración de números muy grandes e infinitos los llevó a clasificar los números en tres clases: enumerables, innumerables e infinitos. No contentos con una simple noción de infinito, sus textos definen cinco tipos diferentes de infinito: el infinito en una dirección, el infinito en dos direcciones, el infinito en el área, el infinito en todas partes y el infinito perpetuamente. Además, los matemáticos jainistas idearon notaciones para potencias simples (y exponentes) de números como cuadrados y cubos, lo que les permitió definir ecuaciones algebraicas simples (beejganita samikaran). Al parecer, los matemáticos jainistas también fueron los primeros en utilizar la palabra shunya (literalmente vacío en sánscrito) para referirse al cero. Más de un milenio después, su denominación se convirtió en la palabra inglesa "zero" después de un tortuoso viaje de traducciones y transliteraciones desde la India a Europa. (Ver Cero: Etimología.)

Además de Surya Prajnapti, importantes obras jainistas sobre matemáticas incluyeron el Sthananga Sutra (c. 300 a. C. – 200 d. C.); el Anuyogadwara Sutra (c. 200 a. C. – 100 d. C.), que incluye la descripción más antigua conocida de factoriales en matemáticas indias; y el Satkhandagama (c. siglo II d.C.). Entre los matemáticos jainistas importantes se encuentran Bhadrabahu (muerto en 298 a. C.), autor de dos obras astronómicas, el Bhadrabahavi-Samhita y un comentario sobre el Surya Prajinapti; Yativrisham Acharya (c. 176 a. C.), autor de un texto matemático llamado Tiloyapannati; y Umasvati (c. 150 a. C.), quien, aunque más conocido por sus influyentes escritos sobre filosofía y metafísica jainistas, compuso una obra matemática llamada Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya.

Tradición oral

Los matemáticos de la India antigua y medieval temprana eran casi todos pandits sánscritos (paṇḍita "hombre culto"), que fueron formados en lengua y literatura sánscritas, y poseían "un acervo común de conocimientos en gramática (vyākaraṇa), exégesis (mīmāṃsā) y lógica (nyāya) ." Memorización de "lo que se escucha" (śruti en sánscrito) a través de la recitación jugó un papel importante en la transmisión de textos sagrados en la antigua India. La memorización y la recitación también se utilizaron para transmitir obras filosóficas y literarias, así como tratados sobre rituales y gramática. Los estudiosos modernos de la antigua India han observado los "logros verdaderamente notables de los pandits indios que han preservado oralmente textos enormemente voluminosos durante milenios".

Estilos de memorización

La antigua cultura india dedicó una energía prodigiosa a garantizar que estos textos se transmitieran de generación en generación con una fidelidad desmesurada. Por ejemplo, la memorización de los Vedas sagrados incluía hasta once formas de recitación de un mismo texto. Posteriormente, los textos fueron "revisados" comparando las diferentes versiones recitadas. Las formas de recitación incluían el jaṭā-pāṭha (literalmente &#34 ;recitación en malla") en la que cada dos palabras adyacentes en el texto se recitaban primero en su orden original, luego se repetían en orden inverso y finalmente se repetían en el orden original. La recitación procedió así como:

En otra forma de recitación, dhvaja-pāṭha ( literalmente "recitación de banderas") se recitó (y memorizó) una secuencia de N palabras emparejando las dos primeras y las dos últimas palabras y luego procediendo de la siguiente manera:

La forma más compleja de recitación, ghana-pāṭha (literalmente "recitación densa"), según Filliozat, tomaba la forma:

Que estos métodos han sido efectivos lo atestigua la preservación del texto religioso indio más antiguo, el Ṛgveda (c. 1500 a. C.), como un solo texto, sin lecturas variantes. Se utilizaron métodos similares para memorizar textos matemáticos, cuya transmisión fue exclusivamente oral hasta el final del período védico (c. 500 a. C.).

El género Sutra

La actividad matemática en la antigua India comenzó como parte de una "reflexión metodológica" sobre los sagrados Vedas, que tomaron la forma de obras llamadas Vedāṇgas o "Auxiliares de los Veda" (Siglo VII-IV a.C.). La necesidad de conservar el sonido del texto sagrado mediante el uso de śikṣā (fonética) y chhandas (métrica); conservar su significado mediante el uso de vyākaraṇa (gramática) y nirukta (etimología); y realizar correctamente los ritos en el momento correcto mediante el uso de kalpa (ritual) y jyotiṣa (astrología), dio lugar a las seis disciplinas del >Vedāṇgas. Las matemáticas surgieron como parte de las dos últimas disciplinas, el ritual y la astronomía (que también incluía la astrología). Dado que el Vedāṇgas precedió inmediatamente al uso de la escritura en la antigua India, formaron los últimos de la literatura exclusivamente oral. Se expresaron en una forma mnemotécnica muy comprimida, el sūtra (literalmente, "hilo"):

Los conocedores de los sūtra sepan que tiene pocos fonemas, siendo desprovisto de ambigüedad, conteniendo la esencia, frente a todo, sin pausa y sin obstáculos.

Se logró una brevedad extrema a través de múltiples medios, que incluyeron el uso de puntos suspensivos "más allá de la tolerancia del lenguaje natural" usar nombres técnicos en lugar de nombres descriptivos más largos, abreviar listas mencionando solo la primera y la última entrada, y usar marcadores y variables. Los sūtras crean la impresión de que la comunicación a través del texto era "sólo una parte de toda la instrucción". El resto de la instrucción debe haber sido transmitida por el llamado Guru-shishya parampara, 'sucesión ininterrumpida del maestro (guru) al alumno (śisya) ,' y no estaba abierto al público en general" y tal vez incluso se mantenga en secreto. La brevedad lograda en un sūtra se demuestra en el siguiente ejemplo del Śulba Sūtra Baudhāyana (700 a. C.).

El altar del fuego doméstico en el período védico requería por ritual que tuviera una base cuadrada y estuviera constituido por cinco capas de ladrillos con 21 ladrillos en cada capa. Un método para construir el altar era dividir un lado del cuadrado en tres partes iguales usando una cuerda o cuerda, para luego dividir el lado transversal (o perpendicular) en siete partes iguales y así subdividir el cuadrado en 21 rectángulos congruentes. . Luego se diseñaron los ladrillos para que tuvieran la forma del rectángulo constituyente y se creó la capa. Para formar la siguiente capa se utilizó la misma fórmula, pero los ladrillos se dispusieron de forma transversal. Luego, el proceso se repitió tres veces más (con direcciones alternas) para completar la construcción. En el Baudhāyana Śulba Sūtra, este procedimiento se describe con las siguientes palabras:

II.64. Después de dividir el cuadri-lateral en siete, uno divide el transversal [cord] en tres.
II.65. En otra capa uno coloca el punto norte.

Según Filliozat, el oficiante que construye el altar tiene sólo unas pocas herramientas y materiales a su disposición: una cuerda (sánscrito, rajju, f.), dos clavijas (sánscrito, śanku , m.), y arcilla para hacer los ladrillos (sánscrito, iṣṭakā, f.). La concisión se logra en el sūtra, al no mencionar explícitamente lo que significa el adjetivo "transversal" califica; sin embargo, de la forma femenina del adjetivo (sánscrito) utilizado, se infiere fácilmente que califica como "cordón". De manera similar, en la segunda estrofa, "ladrillos" no se mencionan explícitamente, sino que se infieren nuevamente por la forma femenina plural de "North-pointing". Finalmente, la primera estrofa nunca dice explícitamente que la primera capa de ladrillos esté orientada en dirección este-oeste, pero eso también está implícito en la mención explícita de "apuntar al norte". en la segunda estrofa; porque, si la orientación fuera la misma en las dos capas, no se mencionaría en absoluto o sólo se mencionaría en la primera estrofa. Todas estas inferencias las hace el oficiante mientras recuerda la fórmula de su memoria.

La tradición escrita: comentario en prosa

Con la creciente complejidad de las matemáticas y otras ciencias exactas, se requería tanto la escritura como la computación. En consecuencia, muchos trabajos matemáticos comenzaron a plasmarse en manuscritos que luego fueron copiados y recopiados de generación en generación.

Se calcula que la India tiene alrededor de treinta millones de manuscritos, el mayor cuerpo de material de lectura manuscritos escrito a mano en cualquier parte del mundo. La cultura literaria de la ciencia india se remonta al menos al quinto siglo B.C.... como lo demuestran los elementos de la literatura y la astronomía mesopotamiana que entraron en la India en ese momento y (fueron) definitivamente no... conservada oralmente.

El primer comentario matemático en prosa fue el de la obra Āryabhaṭīya (escrito en el año 499 d.C.), una obra sobre astronomía y matemáticas. La porción matemática del Āryabhaṭīya estaba compuesta por 33 sūtras (en forma de verso) que consisten en declaraciones o reglas matemáticas, pero sin ninguna prueba. Sin embargo, según Hayashi, “esto no significa necesariamente que sus autores no los hayan demostrado”. Probablemente fue una cuestión de estilo de exposición." Desde la época de Bhaskara I (600 d.C. en adelante), los comentarios en prosa comenzaron a incluir cada vez más algunas derivaciones (upapatti). El comentario de Bhaskara I sobre el Āryabhaṭīya, tenía la siguiente estructura:

• Artículo ('sūtra') en verso por .
• Comentario por Bhāskara I, consistente en:
  • Elucidation de la regla (las divergencias todavía eran raras entonces, pero se hizo más común después)
  • Ejemplo ()uddeśaka) generalmente en verso.
  • Ajuste ()nyāsa/sthāpanā) de los datos numéricos.
  • Trabajo ()karana) de la solución.
  • Verificación ()pratyayakaraa, literalmente "para hacer convicción") de la respuesta. Estos se hicieron raros para el siglo XIII, derivaciones o pruebas siendo favorecidas para entonces.

Normalmente, para cualquier tema matemático, los estudiantes de la antigua India primero memorizaban los sūtras, que, como se explicó anteriormente, eran "deliberadamente inadecuados" en detalles explicativos (para transmitir concisamente las reglas matemáticas básicas). Luego, los estudiantes trabajaron en los temas del comentario en prosa escribiendo (y dibujando diagramas) en pizarrones con tiza y polvo (es decir, pizarrones cubiertos de polvo). Esta última actividad, un elemento básico del trabajo matemático, impulsó más tarde al matemático y astrónomo Brahmagupta (fl. siglo VII d. C.) a caracterizar los cálculos astronómicos como "trabajo en polvo"; (Sánscrito: dhulikarman).

Los números y el sistema numérico decimal

Es bien sabido que el sistema de valor posicional decimal que se utiliza hoy en día se registró por primera vez en la India, luego se transmitió al mundo islámico y, finalmente, a Europa. El obispo sirio Severus Sebokht escribió a mediados del siglo VII d.C. sobre los "nueve signos" de la humanidad. de los indios para expresar números. Sin embargo, no está tan claro cómo, cuándo y dónde se inventó el sistema de valor posicional del primer decimal.

La escritura más antigua utilizada en la India fue la escritura Kharoṣṭhī utilizada en la cultura Gandhara del noroeste. Se cree que es de origen arameo y estuvo en uso desde el siglo IV a. C. hasta el siglo IV d. C. Casi al mismo tiempo, otra escritura, la escritura Brāhmī, apareció en gran parte del subcontinente y más tarde se convertiría en la base de muchas escrituras del sur y sudeste de Asia. Ambas escrituras tenían símbolos numéricos y sistemas numéricos, que inicialmente no estaban basados en un sistema de valor posicional.

La evidencia más antigua que se conserva de números con valor posicional decimal en la India y el sudeste asiático data de mediados del primer milenio d.C. Una placa de cobre de Gujarat, India, menciona la fecha 595 d.C., escrita en notación de valor decimal, aunque existen algunas dudas sobre la autenticidad de la placa. También se han encontrado números decimales que registran los años 683 d.C. en inscripciones en piedra en Indonesia y Camboya, donde la influencia cultural india fue sustancial.

Existen fuentes textuales más antiguas, aunque las copias manuscritas existentes de estos textos son de fechas mucho posteriores. Probablemente la fuente más antigua de este tipo sea la obra del filósofo budista Vasumitra, que data probablemente del siglo I d.C. Al hablar de los pozos de conteo de los comerciantes, Vasumitra comenta: "Cuando [la misma] pieza de arcilla para contar está en lugar de unidades, se denota como uno, cuando está en centenas, cien". Aunque tales referencias parecen implicar que sus lectores tenían conocimiento de una representación del valor decimal, la "brevedad de sus alusiones y la ambigüedad de sus fechas, sin embargo, no establecen sólidamente la cronología del desarrollo de este concepto". #34;

Se empleó una tercera representación decimal en una técnica de composición en verso, posteriormente denominada Bhuta-sankhya (literalmente, "números de objeto") utilizada por los primeros autores sánscritos de libros técnicos. Dado que muchas de las primeras obras técnicas se compusieron en verso, los números a menudo estaban representados por objetos del mundo natural o religioso que les correspondían; esto permitió una correspondencia de muchos a uno para cada número y facilitó la composición de versos. Según Plofker, el número 4, por ejemplo, podría representarse con la palabra "Veda" (dado que había cuatro de estos textos religiosos), el número 32 junto a la palabra "dientes" (ya que un conjunto completo consta de 32), y el número 1 por "luna" (ya que solo hay una luna). Entonces, Veda/dientes/luna correspondería al número decimal 1324, ya que la convención para los números era enumerar sus dígitos de derecha a izquierda. La referencia más antigua que emplea números de objeto es una c. 269 d.C. Texto sánscrito, Yavanajātaka (literalmente "horoscopia griega") de Sphujidhvaja, una versificación de una adaptación en prosa india anterior (c. 150 d.C.) de una obra perdida de astrología helenística. Tal uso parece demostrar que a mediados del siglo III d.C., el sistema de valor decimal era familiar, al menos para los lectores de textos astronómicos y astrológicos en la India.

Se ha planteado la hipótesis de que el sistema de valor posicional decimal indio se basaba en los símbolos utilizados en los tableros de conteo chinos desde mediados del primer milenio antes de Cristo. Según Plofker,

Estas tablas contables, como los fosos indios, tenían una estructura de valor de lugar decimal... Los indios pueden haber aprendido bien de este valor decimal de lugar "números erosionados" de peregrinos budistas chinos u otros viajeros, o pueden haber desarrollado el concepto independientemente de su anterior sistema de valor no-lugar; ninguna evidencia documental sobrevive para confirmar cualquier conclusión".

Manuscrito Bakhshali

El manuscrito matemático más antiguo que se conserva en la India es el Manuscrito Bakhshali, un manuscrito de corteza de abedul escrito en "sánscrito híbrido budista" en la escritura Śāradā, que se utilizó en la región noroeste del subcontinente indio entre los siglos VIII y XII d.C. El manuscrito fue descubierto en 1881 por un granjero mientras excavaba en un recinto de piedra en el pueblo de Bakhshali, cerca de Peshawar (entonces en la India británica y ahora en Pakistán). De autoría desconocida y ahora conservado en la Biblioteca Bodleian de la Universidad de Oxford, el manuscrito ha sido fechado recientemente como 224 d.C.-383 d.C.

El manuscrito superviviente tiene setenta hojas, algunas de las cuales están fragmentadas. Su contenido matemático consta de reglas y ejemplos, escritos en verso, junto con comentarios en prosa, que incluyen soluciones a los ejemplos. Los temas tratados incluyen aritmética (fracciones, raíces cuadradas, pérdidas y ganancias, interés simple, regla de tres y regula falsi) y álgebra (ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas simultáneas) y progresiones aritméticas. Además, hay un puñado de problemas geométricos (incluidos problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito de Bakhshali también "emplea un sistema de valor posicional decimal con un punto para el cero". Muchos de sus problemas pertenecen a una categoría conocida como 'problemas de ecualización' que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. Un ejemplo del Fragmento III-5-3v es el siguiente:

Un comerciante tiene siete Asava caballos, un segundo tiene nueve haya caballos, y un tercero tiene diez camellos. Ellos están igualmente bien en el valor de sus animales si cada uno da dos animales, uno a cada uno de los otros. Encuentra el precio de cada animal y el valor total para los animales poseídos por cada comerciante.

El comentario en prosa que acompaña al ejemplo resuelve el problema convirtiéndolo en tres ecuaciones (infradeterminadas) con cuatro incógnitas y asumiendo que todos los precios son números enteros.

En 2017, se demostró mediante datación por radiocarbono que tres muestras del manuscrito provenían de tres siglos diferentes: del 224 al 383 d.C., del 680 al 779 d.C. y del 885 al 993 d.C. No se sabe cómo llegaron a empaquetarse fragmentos de diferentes siglos.

Período clásico (400-1600)

Este período se conoce a menudo como la edad de oro de las matemáticas indias. En este período, matemáticos como Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhaskara I, Mahavira, Bhaskara II, Madhava de Sangamagrama y Nilakantha Somayaji dieron una forma más amplia y clara a muchas ramas de las matemáticas. Sus contribuciones se extenderían a Asia, Oriente Medio y, finalmente, a Europa. A diferencia de las matemáticas védicas, sus trabajos incluyeron contribuciones tanto astronómicas como matemáticas. De hecho, las matemáticas de ese período estaban incluidas en la 'ciencia astral' (jyotiḥśāstra) y constaba de tres subdisciplinas: ciencias matemáticas (gaṇita o tantra), astrología del horóscopo (horā o jātaka) y adivinación (saṃhitā). Esta división tripartita se ve en la compilación de Varāhamihira del siglo VI: Pancasiddhantika (literalmente panca, "cinco" siddhānta, "conclusión de la deliberación", fechada en 575 d.C.)—de cinco obras anteriores, Surya Siddhanta, Romaka Siddhanta, Paulisa Siddhanta, Vasishtha Siddhanta y Paitamaha Siddhanta, que fueron adaptaciones de obras aún más tempranas de la literatura mesopotámica y griega. , Astronomía egipcia, romana e india. Como se explicó anteriormente, los textos principales fueron compuestos en verso sánscrito y fueron seguidos de comentarios en prosa.

Siglos IV al VI

Surya Siddhanta

Aunque se desconoce su autoría, el Surya Siddhanta (c. 400) contiene las raíces de la trigonometría moderna. Debido a que contiene muchas palabras de origen extranjero, algunos autores consideran que fue escrito bajo la influencia de Mesopotamia y Grecia.

Este texto antiguo utiliza las siguientes funciones trigonométricas por primera vez:

• SineJya).
• CosinoKojya).
• Inverso sine (Otkram jya).

Matemáticos indios como Aryabhata hicieron referencias a este texto, mientras que las traducciones árabes y latinas posteriores fueron muy influyentes en Europa y Oriente Medio.

Calendario Chhedi

Este calendario Chhedi (594) contiene un uso temprano del moderno sistema de numeración hindú-árabe de valor posicional que ahora se usa universalmente.

Aryabhata I

Aryabhata (476–550) escribió el Aryabhatiya. Describió los importantes principios fundamentales de las matemáticas en 332 shlokas. El tratado contenía:

• Ecuaciones cuadráticas
• Trigonometría
• El valor de π, correcto a 4 lugares decimales.

Aryabhata también escribió el Arya Siddhanta, que ahora está perdido. Las contribuciones de Aryabhata incluyen:

Trigonometría:

(Ver también: tabla de senos de Aryabhata)

• Introdujo las funciones trigonométricas.
• Definido el pecado (jya) como la relación moderna entre medio ángulo y medio acorde.
• Definido el cosino (kojya).
• Definido el versino (utkrama-jya).
• Definido el pecado inverso (otkram jya).
• Gave métodos para calcular sus valores numéricos aproximados.
• Contiene las primeras tablas de valores sine, cosine y versina, en intervalos de 3,75° de 0 a 90°, a 4 puntos de precisión decimales.
• Contiene la fórmula trigonométrica pecado(n + 1)x pecado nx = pecado nx − pecado(n −1)x − (1/225) nx.
• Trinometría esférica.

Aritmética:

• fracciones continuas.

Álgebra:

• Soluciones de ecuaciones cuadráticas simultáneas.
• Total de soluciones de ecuaciones lineales por un método equivalente al método moderno.
• Solución general de la ecuación lineal indeterminada.

Astronomía matemática:

• Cálculos precisos para las constantes astronómicas, tales como:
  • eclipse solar.
  • eclipse lunar.
  • La fórmula para la suma de los cubos, que fue un paso importante en el desarrollo del cálculo integral.

Varahamihira

Varahamihira (505–587) produjo el Pancha Siddhanta (Los cinco cánones astronómicos). Hizo importantes contribuciones a la trigonometría, incluidas tablas de senos y cosenos con precisión de 4 decimales y las siguientes fórmulas que relacionan funciones seno y coseno:

• pecado2⁡ ⁡ ()x)+#2⁡ ⁡ ()x)=1{displaystyle sin ^{2}(x)+cos ^{2}(x)=1}
• pecado⁡ ⁡ ()x)=#⁡ ⁡ ()π π 2− − x){displaystyle sin(x)=cos left({frac {pi }{2}-xright)}
• 1− − #⁡ ⁡ ()2x)2=pecado2⁡ ⁡ ()x){displaystyle {frac {1-cos(2x)}{2}=sin ^{2}(x)}

Siglos VII y VIII

En el siglo VII, comenzaron a surgir en las matemáticas indias dos campos separados, la aritmética (que incluía la medición) y el álgebra. Los dos campos se llamarían más tarde pāṭī-gaṇita (literalmente & #34;matemáticas de algoritmos") y bīja-gaṇita (lit. "matemáticas de semillas", donde "semillas", como las semillas de las plantas, representan incógnitas con el potencial de generar, en este caso, soluciones de ecuaciones). Brahmagupta, en su obra astronómica Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 EC), incluyó dos capítulos (12 y 18) dedicados a estos campos. El capítulo 12, que contiene 66 versos en sánscrito, se dividió en dos secciones: "operaciones básicas" (incluidas raíces cúbicas, fracciones, razones y proporciones y trueque) y "matemáticas prácticas" (incluyendo mezclas, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y amontonamiento de grano). En la última sección, expuso su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico:

Teorema de Brahmagupta: Si un cuadrilátero cíclico tiene diagonales que son perpendiculares entre sí, entonces la línea perpendicular trazada desde el punto de intersección de las diagonales hasta cualquier lado del cuadrilátero siempre biseca el lado opuesto.

El capítulo 12 también incluye una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Heron), así como una descripción completa de los triángulos racionales (es decir, triángulos con lados racionales y áreas racionales).

Fórmula de Brahmagupta: El área, A, de un cuadrilátero cíclico con lados de longitudes a, b , c, d, respectivamente, viene dado por

A=()s− − a)()s− − b)()s− − c)()s− − d){displaystyle A={sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)},}

Donde s, el semiperímetro, dado por s=a+b+c+d2.{displaystyle s={frac {a+b+d}{2}}

Teorema de Brahmagupta en triángulos racionales: Un triángulo con los lados racionales a,b,c{displaystyle a,b,c} y el área racional es de la forma:

a=u2v+v, b=u2w+w, c=u2v+u2w− − ()v+w){displaystyle a={frac {c}{v}+v, b={frac ¿Qué? ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif}

para algunos números racionales u,v,{displaystyle u,v,} y w{displaystyle w}.

El capítulo 18 contenía 103 versículos sánscritos que comenzaron con reglas para operaciones aritméticas que implican números cero y negativos y se considera el primer tratamiento sistemático del tema. Las reglas (que incluían a+0= a{displaystyle a+0= a} y a× × 0=0{displaystyle atimes 0=0}) eran todos correctos, con una excepción: 00=0{displaystyle {frac}=0}. Más adelante en el capítulo, dio la primera solución explícita (aunque no completamente general) de la ecuación cuadrática:

ax2+bx=c{displaystyle ax^{2}+bx=c}

Al número absoluto multiplicado por cuatro veces el [coeficiente del] cuadrado, añadir el cuadrado del [coeficiente del] término medio; la raíz cuadrada del mismo, menos el [coeficiente del] término medio, siendo dividido por dos veces el [coeficiente del] cuadrado es el valor.

Esto es equivalente a:

x=4ac+b2− − b2a{displaystyle x={frac {sqrt {4ac+b^{2}}-b}{2a}}

También en el capítulo 18, Brahmagupta pudo avanzar en la búsqueda de soluciones (integrales) de la ecuación de Pell,

x2− − NSí.2=1,{displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1,}

Donde N{displaystyle N} es un entero no cuadrado. Lo hizo al descubrir la siguiente identidad:

Identidad de Brahmagupta: ()x2− − NSí.2)()x.2− − NSí..2)=()xx.+NSí.Sí..)2− − N()xSí..+x.Sí.)2{displaystyle (x^{2}-Ny^{2})(x'^{2}-Ny'^{2})=(xx'+Ny')^{2}-N(xy'+x'y)^{2}}que era una generalización de una identidad anterior de Diophantus: Brahmagupta utilizó su identidad para probar la siguiente lema:

Lemma (Brahmagupta): Si x=x1, Sí.=Sí.1 {displaystyle x=x_{1},\fnMicrosoft Sans Serif} es una solución x2− − NSí.2=k1,{displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k_{1} y, x=x2, Sí.=Sí.2 {displaystyle x=x_{2},\cH00} es una solución x2− − NSí.2=k2,{displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k_{2}Entonces:

x=x1x2+NSí.1Sí.2, Sí.=x1Sí.2+x2Sí.1 {displaystyle x=x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},\ Y=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1} es una solución x2− − NSí.2=k1k2{displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k_{1}k_{2}

Luego usó este lema para generar infinitas soluciones (integrales) de la ecuación de Pell, dada una solución, y establecer el siguiente teorema:

Theorem (Brahmagupta): Si la ecuación x2− − NSí.2=k{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ tiene una solución entero para cualquiera k=± ± 4,± ± 2,− − 1{displaystyle k=pm 4,pm 2,-1} entonces la ecuación de Pell:

x2− − NSí.2=1{displaystyle #

también tiene una solución entera.

Brahmagupta en realidad no demostró el teorema, sino que elaboró ejemplos utilizando su método. El primer ejemplo que presentó fue:

Ejemplo (Brahmagupta): Encontrar números enteros x, Sí. {displaystyle x,y} tal que:

x2− − 92Sí.2=1{displaystyle x^{2}-92y^{2}=1}

En su comentario, Brahmagupta añadió: "Una persona que resuelve este problema en un año es un matemático". La solución que proporcionó fue:

x=1151, Sí.=120{displaystyle x=1151, y=120}

Bhaskara I

Bhaskara I (c. 600-680) amplió el trabajo de Aryabhata en sus libros titulados Mahabhaskariya, Aryabhatiya-bhashya y Laghu-bhaskariya. Produjo:

• Soluciones de ecuaciones indeterminadas.
• Una aproximación racional de la función sine.
• Una fórmula para calcular el seno de un ángulo agudo sin el uso de una tabla, correcta a dos lugares decimales.

Siglos IX al XII

Virasena

Virasena (siglo VIII) fue un matemático jainista en la corte del rey Rashtrakuta Amoghavarsha de Manyakheta, Karnataka. Escribió el Dhavala, un comentario sobre las matemáticas jainistas, que:

• Trata del concepto de ardhaccheda, el número de veces un número podría ser reducido, y enumera varias reglas que implican esta operación. Esto coincide con el logaritmo binario cuando se aplica a los poderes de dos, pero difiere en otros números, más parecido al orden 2-adic.

Virasena también dio:

• La derivación del volumen de un frustum por una especie de procedimiento infinito.

Se cree que gran parte del material matemático en el Dhavala se puede atribuir a escritores anteriores, especialmente Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra y Bappadeva, y fechan a quienes escribieron entre 200 y 600 EC.

Mahavira

Mahavira Acharya (c. 800–870) de Karnataka, el último de los matemáticos jainistas notables, vivió en el siglo IX y fue patrocinado por el rey Rashtrakuta Amoghavarsha. Escribió un libro titulado Ganit Saar Sangraha sobre matemáticas numéricas y también escribió tratados sobre una amplia gama de temas matemáticos. Estos incluyen las matemáticas de:

• Cero
• Plazas
• Cubos
• raíces cuadradas, raíces cubo, y la serie que se extiende más allá de estas
• Geometría de los planos
• Geometría sólida
• Problemas relacionados con el casting de sombras
• Fórmula derivada para calcular el área de un elipse y cuadrilátero dentro de un círculo.

Mahavira también:

• Afirmó que la raíz cuadrada de un número negativo no existía
• Obtuvo la suma de una serie cuyos términos son cuadrados de una progresión aritmética, y dio reglas empíricas para el área y el perímetro de una elipse.
• Ecuaciones cúbicas resueltas.
• Ecuaciones cuadraticas resolviendo.
• Resolvió algunas ecuaciones quinéticas y polinomios de mayor orden.
• Gave las soluciones generales de las ecuaciones polinómicas de orden superior:
  • axn=q{displaystyle ax^{n}=q}
  • axn− − 1x− − 1=p{displaystyle a{frac {x}=p}
• Ecuaciones cuadráticas resueltas.
• Ecuaciones cúbicas resueltas.
• Resolviendo ecuaciones de orden superior indeterminadas.

Shridhara

Shridhara (c. 870–930), que vivió en Bengala, escribió los libros titulados Nav Shatika, Tri Shatika y Pati Ganita. . El dio:

• Una buena regla para encontrar el volumen de una esfera.
• La fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.

El Pati Ganita es una obra sobre aritmética y medida. Se ocupa de diversas operaciones, entre ellas:

• Operaciones elementales
• Extracción de raíces cuadradas y cubo.
• Fracciones.
• Ocho reglas para operaciones con cero.
• Métodos de resumen de diferentes series aritméticas y geométricas, que se convertirían en referencias estándar en obras posteriores.

Manjula

Las ecuaciones de Aryabhata fueron elaboradas en el siglo X por Manjula (también Munjala), quien se dio cuenta de que la expresión

pecado⁡ ⁡ w.− − pecado⁡ ⁡ w{displaystyle \sin w'-sin w}

podría expresarse aproximadamente como

()w.− − w)#⁡ ⁡ w{displaystyle (w'-w)cos w}

Esto fue elaborado por su posterior predecesor Bhaskara ii, encontrando así la derivada del seno.

Aryabhata II

Aryabhata II (c. 920-1000) escribió un comentario sobre Shridhara y un tratado astronómico Maha-Siddhanta. El Maha-Siddhanta tiene 18 capítulos y analiza:

• Matemáticas numéricas ()Ank Ganit).
• Álgebra.
• Soluciones de ecuaciones indeterminadas (kuttaka).

Shripati

Shripati Mishra (1019-1066) escribió los libros Siddhanta Shekhara, un trabajo importante sobre astronomía en 19 capítulos, y Ganit Tilaka, un tratado aritmético incompleto en 125 versos basado en una obra de Shridhara. Trabajó principalmente en:

• Permutaciones y combinaciones.
• Solución general de la ecuación lineal indeterminada simultánea.

También fue autor de Dhikotida Karana, una obra de veinte versos sobre:

• eclipse solar.
• eclipse lunar.

El Dhruvamanasa es una obra de 105 versos sobre:

• Calculando longitudes planetarias
• eclipses.
• tránsitos planetarios.

Nemichandra Siddhanta Chakravati

Nemichandra Siddhanta Chakravati (c. 1100) fue autor de un tratado matemático titulado Gome-mat Saar.

Bhaskara II

Bhāskara II (1114-1185) fue un matemático y astrónomo que escribió varios tratados importantes, a saber, el Siddhanta Shiromani, Lilavati, Bijaganita, Gola Addhaya, Griha Ganitam y Karan Kautoohal. Varias de sus contribuciones se transmitieron posteriormente a Oriente Medio y Europa. Sus contribuciones incluyen:

Aritmética:

• Computación de intereses
• Progresiones rítmicas y geométricas
• Geometría de los planos
• Geometría sólida
• La sombra del gnomo
• Soluciones de combinaciones
• Obtuvo una prueba de división por cero siendo infinito.

Álgebra:

• El reconocimiento de un número positivo que tiene dos raíces cuadradas.
• Surds.
• Operaciones con productos de varios desconocidos.
• Las soluciones de:
  • Ecuaciones cuadráticas.
  • Ecuaciones cúbicas.
  • Ecuaciones cuárticas.
  • Ecuaciones con más de una desconocida.
  • Ecuaciones cuadráticas con más de una desconocida.
  • La forma general de la ecuación de Pell usando el método chakravala.
  • La ecuación cuadrática indeterminada general utilizando chakravala método.
  • Ecuaciones cúbicas indeterminadas.
  • Ecuaciones cuartic indeterminadas.
  • Ecuaciones polinómicas de orden superior indeterminadas.

Geometría:

• Obtuvo una prueba del teorema pitagórico.

Cálculo:

• Concepto preliminar de diferenciación
• Descubrió el coeficiente diferencial.
• Forma temprana del teorema de Rolle, un caso especial del teorema de valor medio (uno de los teoremas más importantes del cálculo y el análisis).
• Derivado el diferencial de la función sine aunque no engaño la noción de derivación.
• Computado π, correcto a cinco lugares decimales.
• Cálculo la longitud de la revolución de la Tierra alrededor del Sol a 9 lugares decimales.

Trigonometría:

• Evolución de la trigonometría esférica
• Las fórmulas trigonométricas:
  • pecado⁡ ⁡ ()a+b)=pecado⁡ ⁡ ()a)#⁡ ⁡ ()b)+pecado⁡ ⁡ ()b)#⁡ ⁡ ()a){displaystyle \sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)}
  • pecado⁡ ⁡ ()a− − b)=pecado⁡ ⁡ ()a)#⁡ ⁡ ()b)− − pecado⁡ ⁡ ()b)#⁡ ⁡ ()a){displaystyle \sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)}

Matemáticas de Kerala (1300-1600)

La escuela de astronomía y matemáticas de Kerala fue fundada por Madhava de Sangamagrama en Kerala, sur de la India, e incluía entre sus miembros a: Parameshvara, Neelakanta Somayaji, Jyeshtadeva, Achyuta Pisharati, Melpathur Narayana Bhattathiri y Achyuta Panikkar. Floreció entre los siglos XIV y XVI y los descubrimientos originales de la escuela parecen haber terminado con Narayana Bhattathiri (1559-1632). Al intentar resolver problemas astronómicos, los astrónomos de la escuela de Kerala crearon de forma independiente una serie de conceptos matemáticos importantes. Los resultados más importantes, la expansión de series para funciones trigonométricas, se dieron en verso sánscrito en un libro de Neelakanta llamado Tantrasangraha y un comentario sobre este trabajo llamado Tantrasangraha-vakhya de autoría desconocida. . Los teoremas se enunciaron sin demostración, pero un siglo después se proporcionaron pruebas de las series de seno, coseno y tangente inversa en la obra Yuktibhāṣā (c.1500-c.1610), escrito en malayalam, por Jyesthadeva.

Su descubrimiento de estas tres importantes expansiones en serie del cálculo (varios siglos antes de que Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaran el cálculo en Europa) fue un logro. Sin embargo, la Escuela de Kerala no inventó el cálculo porque, si bien pudieron desarrollar expansiones en serie de Taylor para las funciones trigonométricas importantes, no desarrollaron ni una teoría de diferenciación o integración, ni el teorema fundamental del cálculo. . Los resultados obtenidos por la escuela de Kerala incluyen:

• La serie geométrica (infinita): <math alttext="{displaystyle {frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+cdots {text{ for }}|x|11− − x=1+x+x2+x3+x4+⋯ ⋯ para SilencioxSilencioc)1{fnMicroc} {1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+cdots {fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="{displaystyle {frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+cdots {text{ for }}|x|
• Una prueba semi-rigora (ver "inducción" comentario abajo) del resultado: 1p+2p+⋯ ⋯ +np. . np+1p+1{displaystyle 1^{p}+2^{p}+cdots - ¿Qué? para grandes n.
• Uso intuitivo de la inducción matemática, sin embargo, el hipotesis inductiva no fue formulado ni empleado en pruebas.
• Aplicaciones de ideas de (lo que iba a convertirse) cálculo diferencial e integral para obtener (Taylor-Maclaurin) serie infinita para el pecado x, cos x, y arctan x. El Tantrasangraha-vakhya da la serie en versículo, que cuando se traduce a notación matemática, se puede escribir como:

rarctan⁡ ⁡ ()Sí.x)=11⋅ ⋅ rSí.x− − 13⋅ ⋅ rSí.3x3+15⋅ ⋅ rSí.5x5− − ⋯ ⋯ , Donde Sí./x≤ ≤ 1.{displaystyle rarctan left({frac {y}{x}right)={frac {1}{1}}cdot {frac} {}{x}-{frac} {1}{3}cdot {frac} {fnK} {fnK}} {fnMicroc}} {fnK}}}} {fnK}}}}} {fn}}}}}} {f}}}}} {fnMicroc}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\f}\\f}f}\f}f}\\fn\\fnf}fnMicroc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\f}}}}}}}}} {1}{5}cdot {frac {5}{x^{5}}cdots{text{} {cdots} Donde 1.}

rpecado⁡ ⁡ x=x− − xx2()22+2)r2+xx2()22+2)r2⋅ ⋅ x2()42+4)r2− − ⋯ ⋯ {2}}}cdot {2} {c}} {c}} {c}} {c} {c}}}c}}}c} {2} {c}}} {c}c}}}cdot {c} {c}} {c}}}} {c}}}} {c}c}}}}}} {c}}}}}}}c}}}}}}c}}}c}} {c} {c}}}} {c}}}}} {c}}}}}}c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c} {c} {c} {c} {c}}c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}c}c} {c} {c}}

r− − #⁡ ⁡ x=rx2()22− − 2)r2− − rx2()22− − 2)r2x2()42− − 4)r2+⋯ ⋯ ,{fnMicroc {x^{2}{2}{2} {2}}}{2}}} {f}}}-r{frac {x^{2}}{2}{2}}} {c}}}{2}}}} {c}}{2}}}}}} {cdo}}{2}}}} {cdo}}}}} {cdo}}}}}} {cdo}} {cdo}}}}} {cdo}} {c}}}} {c

Donde, para r = 1, la serie se reduce a la serie de potencia estándar para estas funciones trigonométricas, por ejemplo:

pecado⁡ ⁡ x=x− − x33!+x55!− − x77!+⋯ ⋯ {displaystyle sin x=x-{frac {x^{3}{3}}}+{frac {x^{5}{5}} {frac {x^{7} {7}}}+cdots }

y

#⁡ ⁡ x=1− − x22!+x44!− − x66!+⋯ ⋯ {displaystyle cos x=1-{frac {x^{2}{2}}}+{frac {x^{4} {4}} {frac {x^{6} {6}}}+cdots }

• Uso de la rectificación (computación de longitud) del arco de un círculo para dar una prueba de estos resultados. (El método posterior de Leibniz, usando la cuadrícula, i.e. computación de zona baja el arco del círculo, era no utilizado.)
• Uso de la expansión de la serie arctan⁡ ⁡ x{displaystyle arctan x} para obtener la fórmula Leibniz para π:

π π 4=1− − 13+15− − 17+⋯ ⋯ {displaystyle {frac {fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fn\\\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin }=1-{frac {1}{3}+{frac} {1}{5}-{frac} {1}{7}+cdots }

• Una aproximación racional error para la suma finita de su serie de intereses. Por ejemplo, el error, fi()n+1){displaystyle f_{i}(n+1)}(para n extraño, y i = 1, 2, 3) para la serie:

π π 4. . 1− − 13+15− − ⋯ ⋯ +()− − 1)()n− − 1)/21n+()− − 1)()n+1)/2fi()n+1){displaystyle {frac {fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fn\\\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin }{4}approx 1-{frac {1}{3}+{frac} {1}{5}-cdots +(-1)^{(n-1)/2}{frac {1}{n}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}

Donde f1()n)=12n, f2()n)=n/2n2+1, f3()n)=()n/2)2+1()n2+5)n/2.{displaystyle {text{where }f_{1}(n)={frac {1}{2n} f_{2}(n)={frac {n/2}{2}+1}}, f_{3}(n)={frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}}

• Manipulación del término de error para derivar una serie de convergencia más rápida para π π {displaystyle pi}:

π π 4=34+133− − 3− − 153− − 5+173− − 7− − ⋯ ⋯ {displaystyle {frac {fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fn\\\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin } {4}={frac {3}{4}+{frac} {1}{3^{3}-3}-{frac {1}{5}-5}+{frac {1}{7^{3}-7}}-cdots

• Utilizando la serie mejorada para obtener una expresión racional, 104348/33215 para π correcto hasta 9 lugares decimales, i.e. 3.141592653.
• Uso de una noción intuitiva de límite para calcular estos resultados.
• Un método semi-rigoroso (ver comentario sobre límites arriba) de diferenciación de algunas funciones trigonométricas. Sin embargo, no formularon la noción de un función, o tener conocimiento de las funciones exponenciales o logarítmicas.

Las obras de la escuela de Kerala fueron escritas por primera vez para el mundo occidental por el inglés C.M. Whish en 1835. Según Whish, los matemáticos de Kerala habían "sentado las bases para un sistema completo de fluxiones" y estas obras abundaban "con formas y series fluxionales que no se encuentran en ninguna obra de países extranjeros."

Sin embargo, los resultados de Whish fueron casi completamente ignorados, hasta más de un siglo después, cuando C. Rajagopal y sus asociados investigaron nuevamente los descubrimientos de la escuela de Kerala. Su trabajo incluye comentarios sobre las pruebas de la serie arctan en Yuktibhāṣā dadas en dos artículos, un comentario sobre la prueba de Yuktibhāṣā de las series seno y coseno y dos artículos que proporcionan los versos sánscritos del Tantrasangrahavakhya para la serie de arctan, sin y coseno (con traducción y comentarios al inglés).

Narayana Pandit es un matemático del siglo XIV que compuso dos importantes obras matemáticas, un tratado de aritmética, Ganita Kaumudi, y un tratado algebraico, Bijganita Vatamsa. También se cree que Narayana es el autor de un elaborado comentario de Lilavati de Bhaskara II, titulado Karmapradipika (o Karma-Paddhati). Madhava de Sangamagrama (c. 1340-1425) fue el fundador de la Escuela de Kerala. Aunque es posible que escribiera Karana Paddhati, una obra escrita en algún momento entre 1375 y 1475, todo lo que realmente sabemos de su obra proviene de trabajos de eruditos posteriores.

Parameshvara (c. 1370-1460) escribió comentarios sobre las obras de Bhaskara I, Aryabhata y Bhaskara II. Su Lilavati Bhasya, un comentario sobre Lilavati de Bhaskara II, contiene uno de sus descubrimientos importantes: una versión del teorema del valor medio. Nilakantha Somayaji (1444-1544) compuso el Tantra Samgraha (que 'generó' un comentario anónimo posterior Tantrasangraha-vyakhya y un comentario adicional con el nombre Yuktidipaika, escrito en 1501). Elaboró y amplió las contribuciones de Madhava.

Citrabhanu (c. 1530) fue un matemático de Kerala del siglo XVI que dio soluciones enteras a 21 tipos de sistemas de dos ecuaciones algebraicas simultáneas con dos incógnitas. Estos tipos son todos los pares posibles de ecuaciones de las siguientes siete formas:

x+Sí.=a, x− − Sí.=b, xSí.=c,x2+Sí.2=d,x2− − Sí.2=e, x3+Sí.3=f, x3− − Sí.3=g{displaystyle {begin{aligned} limitx+y=a, x-y=b, xy=c,x^{2}+y^{2}=d,[8pt] limitx^{2}-y^{2}=e, x^{3}+y^{3}=f, ¿Qué?

Para cada caso, Citrabhanu dio una explicación y justificación de su gobierno, así como un ejemplo. Algunas de sus explicaciones son algebraicas, mientras que otras son geométricas. Jyesthadeva (c. 1500-1575) fue otro miembro de la Escuela de Kerala. Su obra clave fue el Yukti-bhāṣā (escrito en malayalam, una lengua regional de Kerala). Jyesthadeva presentó pruebas de la mayoría de los teoremas matemáticos y series infinitas descubiertas anteriormente por Madhava y otros matemáticos de la escuela de Kerala.

Acusaciones de eurocentrismo

Se ha sugerido que las contribuciones indias a las matemáticas no han recibido el debido reconocimiento en la historia moderna y que muchos descubrimientos e invenciones de los matemáticos indios se atribuyen actualmente culturalmente a sus homólogos occidentales, como resultado del eurocentrismo. Según la visión de G. G. Joseph sobre “Etnomatemáticas”:

[Su trabajo] toma a bordo algunas de las objeciones planteadas sobre la trayectoria clásica eurocéntrica. La conciencia [de las matemáticas indias y árabes] es muy probable que esté temperada con rechazos desmisivos de su importancia en comparación con las matemáticas griegas. Las contribuciones de otras civilizaciones – sobre todo China e India, se perciben como prestatarios de fuentes griegas o que sólo han hecho contribuciones menores para incorporar el desarrollo matemático. Una apertura a los hallazgos de investigación más recientes, especialmente en el caso de las matemáticas indias y chinas, está tristemente desaparecida"

El historiador de las matemáticas, Florian Cajori, sugirió que él y otros "sospechan que Diofanto vislumbró por primera vez el conocimiento algebraico en la India". Sin embargo, también escribió que "es seguro que partes de las matemáticas hindúes son de origen griego".

Más recientemente, como se discutió en la sección anterior, la serie infinita de cálculo para funciones trigonométricas (redescubierta por Gregory, Taylor y Maclaurin a finales del siglo XVII) fueron descritas en la India, por matemáticos de la escuela Kerala, notablemente unos dos siglos antes. Algunos estudiosos han sugerido recientemente que el conocimiento de estos resultados podría haber sido transmitido a Europa a través de la ruta comercial de Kerala por los comerciantes y misioneros jesuitas. Kerala estaba en contacto continuo con China y Arabia, y, desde alrededor de 1500, con Europa. La existencia de rutas de comunicación y una cronología adecuada ciertamente hacen que tal transmisión sea una posibilidad. Sin embargo, no hay evidencia directa por medio de los manuscritos pertinentes que tal transmisión realmente tuvo lugar. Según David Bressoud, "no hay evidencia de que el trabajo indio de la serie fuera de la India, o incluso fuera de Kerala, hasta el siglo XIX".

Tanto los eruditos árabes como los indios hicieron descubrimientos antes del siglo XVII que ahora se consideran parte del cálculo. Sin embargo, como lo hicieron Newton y Leibniz, no combinaron muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral, no mostraron la conexión entre los dos y convirtieron el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que utilizamos. tener hoy." Las carreras intelectuales tanto de Newton como de Leibniz están bien documentadas y no hay indicios de que su trabajo no sea el suyo; sin embargo, no se sabe con certeza si los predecesores inmediatos de Newton y Leibniz, "incluidos, en particular, Fermat y Roberval, conocieron algunas de las ideas de los matemáticos islámicos e indios a través de fuentes que ahora desconocemos." Se trata de un área activa de investigación actual, especialmente en las colecciones de manuscritos de España y Magreb. Esta investigación se lleva a cabo, entre otros lugares, en el CNRS.