Matemáticas del plegado de papel.
La disciplina del origami o plegado de papel ha recibido una cantidad considerable de estudio matemático. Los campos de interés incluyen la capacidad de plegado plano de un modelo de papel dado (si el modelo se puede aplanar sin dañarlo) y el uso de pliegues de papel para resolver ecuaciones matemáticas cúbicas.
El origami computacional es una rama reciente de la informática que se ocupa del estudio de algoritmos que resuelven problemas de plegado de papel. El campo del origami computacional también ha crecido significativamente desde su inicio en la década de 1990 con el algoritmo TreeMaker de Robert Lang para ayudar en el plegado preciso de las bases. Los resultados del origami computacional abordan el diseño del origami o la capacidad de plegado del origami. En los problemas de diseño de origami, el objetivo es diseñar un objeto que se pueda plegar en papel dada una configuración de destino específica. En los problemas de plegado de origami, el objetivo es doblar algo utilizando los pliegues de una configuración inicial. Los resultados en los problemas de diseño de origami han sido más accesibles que en los problemas de plegado de origami.
Historia
En 1893, el funcionario indio T. Sundara Row publicó Ejercicios geométricos en el plegado de papel, que utilizó el plegado de papel para demostrar pruebas de construcciones geométricas. Este trabajo se inspiró en el uso del origami en el sistema de jardín de infantes. Row demostró una trisección aproximada de ángulos y la construcción implícita de una raíz cúbica era imposible.
En 1922, Harry Houdini publicó "Houdini's Paper Magic," que describía técnicas de origami que se basaban informalmente en enfoques matemáticos que luego se formalizaron.
En 1936, Margharita P. Beloch demostró que el uso del 'pliegue de Beloch', más tarde utilizado en el sexto de los axiomas de Huzita-Hatori, permitía resolver la ecuación cúbica general usando origami.
En 1949, RC Yeates' libro "Métodos geométricos" describió tres construcciones permitidas correspondientes al primero, segundo y quinto de los axiomas de Huzita-Hatori.
El sistema de instrucción por diagrama Yoshizawa-Randlett se introdujo en 1961.
En 1980 se informó de una construcción que permitía trisecar un ángulo. Las trisecciones son imposibles bajo las reglas euclidianas.
También en 1980, Kōryō Miura y Masamori Sakamaki demostraron una nueva técnica de plegado de mapas en la que los pliegues se hacen en un patrón de paralelogramo prescrito, lo que permite que el mapa se expanda sin ningún pliegue en ángulo recto de la manera convencional. Su patrón permite que las líneas de plegado sean interdependientes y, por lo tanto, el mapa se puede descomprimir en un solo movimiento tirando de sus extremos opuestos y, de la misma manera, plegarse empujando los dos extremos para unirlos. No se requieren series de movimientos indebidamente complicadas, y el Miura-ori plegado se puede empaquetar en una forma muy compacta. En 1985, Miura informó sobre un método de empaquetado y despliegue de grandes membranas en el espacio exterior, y ya en 2012 esta técnica se había aplicado a paneles solares en naves espaciales.
En 1986, Messer informó de una construcción mediante la cual se podía duplicar el cubo, lo que es imposible con las construcciones euclidianas.
La primera declaración completa de los siete axiomas del origami del plegador y matemático francés Jacques Justin fue escrita en 1986, pero se pasó por alto hasta que los primeros seis fueron redescubiertos por Humiaki Huzita en 1989. El primer Encuentro Internacional de Ciencia y Tecnología del Origami (ahora conocida como la Conferencia Internacional sobre Origami en Ciencias, Matemáticas y Educación) se llevó a cabo en 1989 en Ferrara, Italia. En esta reunión, Scimemi dio una construcción para el heptágono regular.
Alrededor de 1990, Robert J. Lang y otros intentaron por primera vez escribir código de computadora que resolviera problemas de origami.
En 1996, Marshall Bern y Barry Hayes demostraron que el problema de asignar un patrón de pliegues de montaña y valle para producir una estructura de origami plana a partir de una hoja de papel plana es NP-completo.
En 1999, un teorema de Haga proporcionó construcciones para dividir el lado de un cuadrado en fracciones racionales.
A finales de 2001 y principios de 2002, Britney Gallivan probó la longitud mínima de papel necesaria para doblarlo por la mitad un cierto número de veces y dobló un trozo de papel higiénico de 4000 pies de largo (1200 m) doce veces.
En 2002, belcastro y Hull trajeron al origami teórico el lenguaje de las transformaciones afinadas, con una extensión de R{displaystyle R.2 a R{displaystyle R.3 sólo en el caso de la construcción de un solo vértigo.
En 2002, Alperin resolvió el problema de la óptica esférica de Alhazen. En el mismo artículo, Alperin mostró una construcción para un heptágono regular. En 2004 se comprobó algorítmicamente el patrón de plegado de un heptágono regular. Alperin utilizó bisecciones y trisecciones en 2005 para la misma construcción.
En 2003, Jeremy Gibbons, investigador de la Universidad de Oxford, describió un estilo de programación funcional en términos de origami. Él acuñó este paradigma como "programación de origami". Caracteriza los pliegues y despliegues como patrones naturales de computación sobre tipos de datos recursivos que pueden enmarcarse en el contexto del origami.
En 2005, se aplicaron los principios y conceptos del origami matemático y computacional para resolver Countdown, un juego popularizado en la televisión británica en el que los competidores usaban una lista de números fuente para construir una expresión aritmética lo más cercana a el número objetivo como sea posible.
En 2009, Alperin y Lang extendieron el origami teórico a ecuaciones racionales de grado arbitrario, con el concepto de múltiples pliegues. Este trabajo fue una extensión formal de la demostración inédita de Lang de 2004 de la quintisección de ángulos.
Papiroflexia pura
Plegado plano
La construcción de modelos de origami a veces se muestra como patrones de pliegues. La pregunta principal sobre tales patrones de pliegues es si un patrón de pliegues dado se puede plegar en un modelo plano y, de ser así, cómo plegarlos; este es un problema NP-completo. Los problemas relacionados cuando los pliegues son ortogonales se denominan problemas de plegado de mapas. Hay tres reglas matemáticas para producir patrones de pliegues de origami plegables planos:
- Teorema de Maekawa: en cualquier vértice el número de valles y pliegues de montaña siempre difieren por dos.
- De esto se desprende que cada vértice tiene un número uniforme de pliegues, y por lo tanto también las regiones entre las pliegues se pueden colorear con dos colores.
- El teorema de Kawasaki o el teorema de Kawasaki-Justin: en cualquier vértice, la suma de todos los ángulos impares suma hasta 180 grados, como lo hace el incluso.
- Una hoja nunca puede penetrar un pliegue.
El papel muestra una curvatura gaussiana cero en todos los puntos de su superficie y solo se pliega naturalmente a lo largo de las líneas de curvatura cero. Las superficies curvas que no se pueden aplanar se pueden producir usando un pliegue no doblado en el papel, como se hace fácilmente con papel mojado o con una uña.
Marshall Bern y Barry Hayes han demostrado que la asignación de un patrón de pliegues de pliegues de montaña y de valle para producir un modelo plano es NP-completo. Más referencias y resultados técnicos se analizan en la Parte II de Algoritmos de plegado geométrico.
Axiomas de Huzita-Justin
Se ha demostrado que algunos problemas de construcción clásicos de la geometría, como la trisección de un ángulo arbitrario o la duplicación del cubo, no se pueden resolver con el compás y la regla, pero solo se pueden resolver con unos pocos pliegues de papel. Se pueden construir tiras de papel para resolver ecuaciones hasta el grado 4. Los axiomas de Huzita-Justin o los axiomas de Huzita-Hatori son una contribución importante a este campo de estudio. Estos describen lo que se puede construir utilizando una secuencia de pliegues con alineaciones de dos puntos o líneas como máximo a la vez. Los métodos completos para resolver todas las ecuaciones hasta el grado 4 mediante la aplicación de métodos que satisfagan estos axiomas se analizan en detalle en Origami geométrico.
Construcciones
Como resultado del estudio del origami a través de la aplicación de principios geométricos, métodos como el teorema de Haga han permitido a los paperfolders doblar con precisión el lado de un cuadrado en tercios, quintos, séptimos y novenos. Otros teoremas y métodos han permitido a los paperfolders obtener otras formas de un cuadrado, como triángulos equiláteros, pentágonos, hexágonos y rectángulos especiales como el rectángulo dorado y el rectángulo plateado. Se han desarrollado métodos para plegar la mayoría de los polígonos regulares hasta e incluyendo el 19-gon regular. Se puede construir un n-ágono regular doblando papel si y solo si n es un producto de distintos números primos de Pierpont, potencias de dos y potencias de tres.
Teoremas de Haga
El lado de un cuadrado se puede dividir en una fracción racional arbitraria de varias maneras. Los teoremas de Haga dicen que se puede usar un conjunto particular de construcciones para tales divisiones. Sorprendentemente, se necesitan pocos pliegues para generar grandes fracciones impares. Por ejemplo, 1⁄5 se puede generar con tres pliegues; primero reduce a la mitad un lado, luego usa el teorema de Haga dos veces para producir el primer 2⁄3 y luego 1⁄5.
El diagrama adjunto muestra el primer teorema de Haga:
- BQ=2AP1+AP.{displaystyle BQ={frac {2AP}{1+AP}
La función que cambia la longitud AP a QC es autoinversa. Sea x AP entonces un número de otras longitudes también son funciones racionales de x. Por ejemplo:
| AP | BQ | QC | AR | PQ |
|---|---|---|---|---|
| x{displaystyle x} | 2x1+x{displaystyle {frac {2x}{1+x}} | 1− − x1+x{displaystyle {frac {1-x}{1+x}} | 1− − x22{fnMicroc} {1-x^{2} {2}}} {2}} | 1+x21+x{displaystyle {frac {1+x^{2}{1+x}} |
| 1.2 | 2.3 | 1.3 | 3.8 | 5.6 |
| 1.3 | 1.2 | 1.2 | 4.9 | 5.6 |
| 2.3 | 4.5 | 1.5 | 5.18 | 13.15 |
| 1.5 | 1.3 | 2.3 | 12.25 | 13.15 |
Una generalización de los teoremas de Haga
Los teoremas de Haga se generalizan de la siguiente manera:
- BQCQ=2APBP.{displaystyle {frac {fnK}={frac {2AP}{BP}}}
Por lo tanto, BQ:CQ=k:1 implica AP:BP=k:2 para un número real positivo k.
Duplicar el cubo
El problema clásico de doblar el cubo se puede resolver usando origami. Esta construcción se debe a Peter Messer: primero se pliega un cuadrado de papel en tres tiras iguales, como se muestra en el diagrama. Luego, el borde inferior se coloca de modo que el punto de la esquina P quede en el borde superior y la marca de pliegue en el borde se encuentra con la otra marca de pliegue Q. La longitud PB será entonces la raíz cúbica de 2 veces la longitud de AP.
El borde con la marca de pliegue se considera una regla marcada, algo que no está permitido en las construcciones con compás y regla. El uso de una regla marcada de esta manera se denomina construcción neusis en geometría.
Trisección de un ángulo
La trisección de ángulos es otro de los problemas clásicos que no se puede resolver con un compás y una regla sin marcar, pero se puede resolver con origami. Esta construcción, de la que se informó en 1980, se debe a Hisashi Abe. El ángulo CAB se triseca haciendo pliegues PP' y QQ' paralelo a la base con QQ' a mitad de camino en el medio. Luego se pliega el punto P para que quede sobre la línea AC y, al mismo tiempo, se hace que el punto A quede sobre la línea QQ' en A'. El ángulo A'AB es un tercio del ángulo original CAB. Esto se debe a que PAQ, A'AQ y A'AR son tres triángulos congruentes. Alinear los dos puntos en las dos líneas es otra construcción neusis como en la solución para duplicar el cubo.
Problemas relacionados
El problema del origami rígido, que trata los pliegues como bisagras que unen dos superficies planas y rígidas, como una lámina de metal, tiene una gran importancia práctica. Por ejemplo, el pliegue del mapa de Miura es un pliegue rígido que se ha utilizado para desplegar grandes conjuntos de paneles solares para satélites espaciales.
El problema del plegado de la servilleta es el problema de si se puede doblar un cuadrado o un rectángulo de papel para que el perímetro de la figura plana sea mayor que el del cuadrado original.
La ubicación de un punto en un pliegue curvo en el patrón puede requerir la solución de integrales elípticas. El origami curvo permite que el papel forme superficies desarrollables que no son planas. El origami de plegado en húmedo es una técnica desarrollada por Yoshizawa que permite que los pliegues curvos creen una gama aún mayor de formas de mayor complejidad.
Se ha derivado el número máximo de veces que un material incompresible se puede plegar. Con cada pliegue una cierta cantidad de papel se pierde al plegado potencial. Se dio la función de pérdida para el papel plegable en la mitad en una sola dirección L=π π t6()2n+4)()2n− − 1){displaystyle L={tfrac {i t} {6}(2^{n}+4)(2^{n}-1)}, donde L es la longitud mínima del papel (o de otro material), t es el espesor del material, y n es el número de pliegues posibles. Las distancias L y t debe expresarse en las mismas unidades, como pulgadas. Este resultado fue derivado por Britney Gallivan, un estudiante de secundaria de California, en diciembre de 2001. En enero de 2002, dobló un pedazo de papel higiénico de 4.000 pies de largo (1.200 m) doce veces en la misma dirección, desplegando un mito de larga data que el papel no puede ser plegado en más de ocho veces.
El problema de doblar y cortar pregunta qué formas se pueden obtener al doblar una hoja de papel y hacer un solo corte recto completo. La solución, conocida como el teorema de doblar y cortar, establece que se puede obtener cualquier forma con lados rectos.
Un problema práctico es cómo plegar un mapa para que pueda manipularse con el mínimo esfuerzo o movimientos. El pliegue de Miura es una solución al problema y se han propuesto varios otros.
Papiroflexia computacional
El origami computacional es una rama de la informática que se ocupa del estudio de algoritmos para resolver problemas de plegado de papel. A principios de la década de 1990, los origamistas participaron en una serie de concursos de origami llamados Bug Wars en los que los artistas intentaron superar a sus compañeros agregando complejidad a sus errores de origami. La mayoría de los competidores en el concurso pertenecían a Origami Detectives, un grupo de aclamados artistas japoneses. Robert Lang, investigador científico de la Universidad de Stanford y el Instituto de Tecnología de California, también participó en el concurso. El concurso ayudó a inicializar un interés colectivo en el desarrollo de modelos y herramientas universales para ayudar en el diseño y la capacidad de plegado del origami.
Investigación
Los problemas de plegado de papel se clasifican como problemas de diseño de origami o de plegado de origami. Hay predominantemente tres categorías actuales de investigación de origami computacional: resultados de universalidad, algoritmos de decisión eficientes y resultados de intratabilidad computacional. Un resultado de universalidad define los límites de posibilidad dado un modelo particular de plegado. Por ejemplo, una hoja de papel lo suficientemente grande se puede doblar en cualquier base de origami en forma de árbol, silueta poligonal y superficie poliédrica. Cuando los resultados de universalidad no son alcanzables, se pueden usar algoritmos de decisión eficientes para probar si un objeto es plegable en tiempo polinomial. Ciertos problemas de plegado de papel no tienen algoritmos eficientes. Los resultados de la intratabilidad computacional muestran que no existen tales algoritmos de tiempo polinomial que existen actualmente para resolver ciertos problemas de plegado. Por ejemplo, es NP-difícil evaluar si un patrón de pliegue dado se pliega en cualquier origami plano.
En 2017, Erik Demaine del Instituto Tecnológico de Massachusetts y Tomohiro Tachi de la Universidad de Tokio publicaron un nuevo algoritmo universal que genera patrones prácticos de plegado de papel para producir cualquier estructura tridimensional. El nuevo algoritmo se basó en el trabajo que presentaron en su artículo en 1999 que introdujo por primera vez un algoritmo universal para doblar formas de origami que garantiza un número mínimo de costuras. El algoritmo se incluirá en Origamizer, un software gratuito para generar patrones de pliegues de origami que Tachi lanzó por primera vez en 2008.
Software y software herramientas
Hay varias herramientas de diseño de software que se utilizan para el diseño de origami. Los usuarios especifican la forma o funcionalidad deseada y la herramienta de software construye el patrón de plegado y/o el modelo 2D o 3D del resultado. Investigadores del Instituto Tecnológico de Massachusetts, Georgia Tech, la Universidad de California Irvine, la Universidad de Tsukuba y la Universidad de Tokio han desarrollado y publicado herramientas disponibles públicamente en origami computacional. TreeMaker, ReferenceFinder, OrigamiDraw y Origamizer se encuentran entre las herramientas que se han utilizado en el diseño de origami.
Existen otras soluciones de software asociadas con la creación de modelos de origami computacional utilizando materiales distintos del papel, como Cadnano en el origami de ADN.
Aplicaciones
El origami computacional ha contribuido a aplicaciones en robótica, biotecnología & medicina, diseño industrial. También se han desarrollado aplicaciones para el origami en el estudio de lenguajes de programación y paradigmas de programación, en particular en el marco de la programación funcional.
Robert Lang participó en un proyecto con investigadores de EASi Engineering en Alemania para desarrollar diseños plegables de bolsas de aire para automóviles. A mediados de la década de 2000, Lang trabajó con investigadores del Laboratorio Nacional Lawrence Livermore para desarrollar una solución para que el telescopio espacial James Webb, en particular sus grandes espejos, encajara en un cohete utilizando principios y algoritmos de origami computacional.
En 2014, investigadores del Instituto Tecnológico de Massachusetts, la Universidad de Harvard y el Instituto Wyss de Ingeniería Biológicamente Inspirada publicaron un método para construir máquinas autoplegables y atribuyeron el éxito del proyecto a los avances en el origami computacional. Se informó que su robot inspirado en origami se plegó en 4 minutos y se alejó sin intervención humana, lo que demostró el potencial del ensamblaje autocontrolado autónomo en robótica.
Otras aplicaciones incluyen origami de ADN y origami de ARN, plegado de instrumentos de fabricación y cirugía por pequeños robots de origami.
Varias compañías de producción y comerciales han presentado aplicaciones del origami computacional. Lang trabajó con Toyota Avalon para presentar una secuencia animada de origami, Mitsubishi Endeavor para crear un mundo completamente a partir de figuras de origami y McDonald's para formar numerosas figuras de origami a partir de envoltorios de hamburguesas con queso.
Notas y referencias
- ^ a b Hull, Thomas C. (2011). "Robando cúbicos con pliegues: el trabajo de Beloch y Lill" (PDF). American Mathematical Mensual. 118 (4): 307–315. doi:10.4169/amer.math.monthly.118.04.307. MR 2800341. S2CID 2540978.
- ^ "origami - Historia de origami Silencio Britannica". Enciclopedia Britannica. Retrieved 2022-05-08.
- ^ a b "Característica: Resultados recientes en Origami computacional". Origami USA: Somos la sociedad nacional estadounidense dedicada a origami, el arte del papeleo. Consultado 2022-05-08.
- ^ T. Sundara Row (1917). Beman, Wooster; Smith, David (eds.). Ejercicios geométricos en plegamiento de papel. The Open Court Publishing Company.
- ^ Houdini, Harry. La magia del papel de Houdini.
- ^ George Edward Martin (1997). Construcciones geométricas. Springer. p. 145. ISBN 978-0-387-98276-2.
- ^ Robert Carl Yeates (1949). Herramientas geométricas. Universidad Estatal de Louisiana.
- ^ Nick Robinson (2004). La Biblia de los Origami. Chrysalis Books. p. 18. ISBN 978-1-84340-105-6.
- ^ a b c Hull, Tom (1997). "una comparación entre las construcciones de borde recto y brújula y origami". origametry.net.
- ^ Bain, Ian (1980), "El mapa de Miura-Ori", New Scientist. Reproducido en British Origami, 1981, y en línea en el sitio web de la Sociedad Origami Británica.
- ^ Miura, K. (1985), Método de embalaje y despliegue de grandes membranas en el espacio, Tech. Report 618, The Institute of Space and Astronautical Science
- ^ "2D Array". Japan Aerospace Exploration Agency. Archivado desde el original el 25 de noviembre de 2005.
- ^ Nishiyama, Yutaka (2012), "Miura plegable: Applying origami to space exploration" (PDF), International Journal of Pure and Applied Mathematics, 79 (2): 269–279
- ^ a b Peter Messer (1986). "Problema 1054" (PDF). Crux Mathematicorum. 12 (10): 284–285 – a través de la Sociedad Matemática Canadiense.
- ^ Justin, Jacques, "Resolución par le pliage de l'equation du troisieme degre et applications geometriques", reimpreso en Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology, H. Huzita ed. (1989), págs. 251 a 261.
- ^ Benedetto Scimemi, Regular Heptagon by Folding, Proceedings of Origami, Science and Technology, ed. H. Huzita., Ferrara, Italia, 1990
- ^ Newton, Liz (1 de diciembre de 2009). "El poder de origami". Universidad de Cambridge. + más revista.
- ^ a b Bern, Marshall; Hayes, Barry (1996). "La complejidad del origami plano". Proceedings of the Seventh Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (Atlanta, GA, 1996). ACM, Nueva York. pp. 175–183. MR 1381938.
- ^ a b Hatori, Koshiro. "Cómo dividir el lado del papel cuadrado". Japan Origami Academic Society.
- ^ a b K. Haga, Origamics, Parte 1, Nippon Hyoron Sha, 1999 (en japonés)
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Folding". MathWorld.
- ^ a b D'Agostino, Susan (2020). Cómo liberar a su matemático interno. Oxford University Press. p. 22. ISBN 9780198843597.
- ^ Belcastro, Sarah-Marie; Hull, Thomas C. (2002). "Modelling the pleging of paper into three dimensions using affine transformations". Álgebra lineal y sus aplicaciones. 348 (1–3): 273–282. doi:10.1016/S0024-3795(01)00608-5.
- ^ a b Alperin, Roger C. (2002). "Ch.12". En Hull, Thomas (ed.). Origami matemático: otra vista del problema óptico de Alhazen. pp. 83–93. doi:10.1201/b15735. ISBN 9780429064906.
- ^ Robu, Judit; Ida, Tetsuo; Ţepeneu, Dorin; Takahashi, Hidekazu; Buchberger, Bruno (2006). "Construccion Origami Computacional de un Heptagon regular con Prueba Automatizada de su Corrección". Deducción automatizada en geometría. Notas de conferencia en Ciencias de la Computación. Vol. 3763. pp. 19–33. doi:10.1007/11615798_2. ISBN 978-3-540-31332-8.
- ^ Alperin, Roger C. (2005). "Trisecciones y Origami Totalmente Real". American Mathematical Monthly. 112 (3): 200–211. arXiv:matemáticas/0408159. doi:10.2307/30037438. JSTOR 30037438.
- ^ Gibbons, Jeremy (2003). "Origami Programming" (PDF).
- ^ Bird, Richard; Mu, Shin-Cheng (septiembre 2005). "Countdown: Un estudio de caso en la programación origami". Journal of Functional Programming. 15 (5): 679–702. doi:10.1017/S0956796805005642. ISSN 1469-7653. S2CID 46359986.
- ^ Lang, Robert J.; Alperin, Roger C. (2009). "Axiomas origami uno, dos y múltiples" (PDF). Origami4: Cuarta Reunión Internacional de Ciencias Origami, Matemáticas y Educación: 383–406. doi:10.1201/b10653-38. ISBN 9780429106613.
- ^ a b Bertschinger, Thomas H.; Slote, Joseph; Spencer, Olivia Claire; Vinitsky, Samuel. Las Matemáticas de Origami (PDF). Carleton College.
- ^ Lang, Robert J. (2004). "Angle Quintisection" (PDF). langorigami.com. Retrieved 16 de enero 2021.
- ^ Thomas C. Hull (2002). "La Combinatoria de las Folds planas: una encuesta". Proceedings of the Third International Meeting of Origami Science, Mathematics, and Education. AK Peters. ar Xiv:1307.1065. ISBN 978-1-56881-181-9.
- ^ "Robert Lang se dobla de nuevo origami".
- ^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph (2007). algoritmos plegables geométricos. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511735172. ISBN 978-0-521-85757-4. MR 2354878.
- ^ Tom Hull. "Origami y construcciones geométricas".
- ^ a b Geretschläger, Robert (2008). Origami geométrica. Reino Unido: Arbelos. ISBN 978-0-9555477-1-3.
- ^ Hiroshi Okumura (2014). "Una nota sobre los teoremas de Haga en el plegado de papel" (PDF). Forum Geometricorum. 14: 241–242.
- ^ a b Lang, Robert J (2008). "De Aves Flapping a Telescopios Espaciales: La Ciencia Moderna de Origami" (PDF). Conferencia de Usenix, Boston, MA.
- ^ Archivado en Ghostarchive y la máquina Wayback: Dancso, Zsuzsanna (12 de diciembre de 2014). "Numberphile: How to Trisect an Angle with Origami". YouTube. Retrieved Octubre 2, 2021.
{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link) - ^ Michael J Winckler; Kathrin D Wold; Hans Georg Bock (2011). "Hands-on Geometry with Origami". Origami 5. CRC Press. p. 225. ISBN 978-1-56881-714-9.
- ^ "Siggraph: "Curved Origami" Archivado desde el original en 2017-05-08. Retrieved 2008-10-08.
- ^ Korpal, Gaurish (25 de noviembre de 2015). "Folding Paper in Half". At Right Angles. Profesores de la India. 4 (3): 20–23.
- ^ Hull, Thomas (2002). "En busca de un pliegue de mapa práctico". Matemáticas Horizontes. 9 (3): 22–24. doi:10.1080/10724117.2002.11975147. JSTOR 25678354. S2CID 126397750.
- ^ a b "El laboratorio de Origami". El New Yorker. 2007-02-12. Retrieved 2022-05-09.
- ^ a b Demaine, Erik (2001). "Recent Results in Computational Origami" (PDF).
- ^ Lang, Robert. "Un algoritmo computacional para el diseño origami" (PDF).
- ^ Schneider, Jonathan (10 de diciembre de 2004). "Flat-Foldability of Origami Crease Patterns" (PDF).
- ^ "Origami cualquier cosa". MIT Actualidad Massachusetts Institute of Technology. Retrieved 2022-05-08.
- ^ "Julia y Algebra geométrica proyectiva". Julia code animando kabuto es en el ejemplo 3.4.
{{cite web}}: CS1 maint: location (link) - ^ "Origami Computacional". Retrieved 2022-05-08.
- ^ "Cadnano". cadnano. Retrieved 2022-05-08.
- ^ Magazine, Smithsonian; Morrison, Jim. "How Origami is Revolutionizing Industrial Design". Smithsonian Magazine. Retrieved 2022-05-08.
- ^ Gibbons, Jeremy (2003). "Origami Programming" (PDF).
- ^ "Airbag Folding". Retrieved 2022-05-08.
- ^ "Webb y Origami - Webb Telescope/NASA". webb.nasa.gov. Retrieved 2022-05-08.
- ^ Felton, S.; Tolley, M.; Demaine, E.; Rus, D.; Wood, R. (2014-08-08). "Un método para construir máquinas de autocarreo". Ciencia. 345 (6197): 644–646. Bibcode:2014Sci...345..644F. doi:10.1126/science.1252610. ISSN 0036-8075. S2CID 18415193.
- ^ Brewin, Bob (2004-05-10). "Origami computacional". Computerworld. Retrieved 2022-05-08.
- ^ "La Resolución Origami". Maldito interés. Retrieved 2022-05-08.
Contenido relacionado
Número de beth
Prueba de primalidad de lucas
Notación de flecha encadenada de Conway