Masa reducida

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Masa inercial eficaz

En física, la reducida masa es la masa inercial "eficaz" que aparece en el problema de dos cuerpos de la mecánica newtoniana. Es una cantidad que permite que el problema de dos cuerpos sea resuelto como si fuera un problema de un cuerpo. Nota, sin embargo, que la masa que determina la fuerza gravitacional es no reducido. En el cálculo, una masa puede ser reemplazado por la masa reducida, si esto es compensado por reemplazar la otra masa por la suma de ambas masas. La masa reducida es a menudo denotada por $mu$ (mu), aunque el parámetro gravitacional estándar también es denotado por $mu$ (como son varias otras cantidades físicas). Tiene las dimensiones de masa, y unidad SI kg.

Ecuación

Dados dos cuerpos, uno de masa m₁ y el otro de masa m₂, el equivalente problema de un solo cuerpo, con la posición de un cuerpo con respecto al otro como la incógnita, es el de un solo cuerpo de masa

mu ={cfrac {1}{{cfrac {1}{m_{1}}}+{cfrac {1}{m_{2}}}}}={cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},!,

donde la fuerza sobre esta masa viene dada por la fuerza entre los dos cuerpos.

Propiedades

La masa reducida siempre es menor o igual a la masa de cada cuerpo:

mu leq m_{1},quad mu leq m_{2}!,

y tiene la propiedad aditiva recíproca:

{frac {1}{mu }}={frac {1}{m_{1}}}+{frac {1}{m_{2}}},!

que por reordenamiento equivale a la mitad de la media armónica.

En el caso especial $m_{1}=m_{2}$ :

{mu }={frac {m_{1}}{2}}={frac {m_{2}}{2}},!

Si ${displaystyle m_{1}gg m_{2}}$ , entonces ${displaystyle mu approx m_{2}}$ .

Derivación

La ecuación se puede derivar de la siguiente manera.

Mecánica newtoniana

Usando la segunda ley de Newton, la fuerza que ejerce un cuerpo (partícula 2) sobre otro cuerpo (partícula 1) es:

{displaystyle mathbf {F} _{12}=m_{1}mathbf {a} _{1}}

La fuerza ejercida por la partícula 1 sobre la partícula 2 es:

{displaystyle mathbf {F} _{21}=m_{2}mathbf {a} _{2}}

Según la tercera ley de Newton, la fuerza que ejerce la partícula 2 sobre la partícula 1 es igual y opuesta a la fuerza que ejerce la partícula 1 sobre la partícula 2:

{displaystyle mathbf {F} _{12}=-mathbf {F} _{21}}

Por lo tanto:

{displaystyle m_{1}mathbf {a} _{1}=-m_{2}mathbf {a} _{2};;Rightarrow ;;mathbf {a} _{2}=-{m_{1} over m_{2}}mathbf {a} _{1}}

La aceleración relativa a_rel entre los dos cuerpos viene dada por:

{displaystyle mathbf {a} _{rm {rel}}:=mathbf {a} _{1}-mathbf {a} _{2}=left(1+{frac {m_{1}}{m_{2}}}right)mathbf {a} _{1}={frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}mathbf {a} _{1}={frac {mathbf {F} _{12}}{mu }}}

Note que (ya que el derivado es un operador lineal) la aceleración relativa ${displaystyle mathbf {a} _{rm {rel}}}$ es igual a la aceleración de la separación ${displaystyle mathbf {x} _{rm {rel}}}$ entre las dos partículas.

{displaystyle mathbf {a} _{rm {rel}}=mathbf {a} _{1}-mathbf {a} _{2}={frac {d^{2}mathbf {x} _{1}}{dt^{2}}}-{frac {d^{2}mathbf {x} _{2}}{dt^{2}}}={frac {d^{2}}{dt^{2}}}(mathbf {x} _{1}-mathbf {x} _{2})={frac {d^{2}mathbf {x} _{rm {rel}}}{dt^{2}}}}

Esto simplifica la descripción del sistema a una fuerza (desde ${displaystyle mathbf {F} _{12}=-mathbf {F} _{21}}$ ), una coordenadas ${displaystyle mathbf {x} _{rm {rel}}}$ , y una masa $mu$ . Así hemos reducido nuestro problema a un solo grado de libertad, y podemos concluir que la partícula 1 se mueve con respecto a la posición de la partícula 2 como una sola partícula de masa igual a la masa reducida, $mu$ .

Mecánica lagrangiana

Alternativamente, una descripción lagrangiana del problema de dos cuerpos da un lagrangiano de

{displaystyle {mathcal {L}}={1 over 2}m_{1}mathbf {dot {r}} _{1}^{2}+{1 over 2}m_{2}mathbf {dot {r}} _{2}^{2}-V(|mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}|)!,}

Donde ${mathbf {r} }_{i}$ es el vector de posición de masa $m_{i}$ (de partículas) $i$ ). La energía potencial V es una función ya que sólo depende de la distancia absoluta entre las partículas. Si definimos

mathbf {r} =mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}

y dejemos que el centro de masa coincida con nuestro origen en este marco de referencia, es decir

m_{1}mathbf {r} _{1}+m_{2}mathbf {r} _{2}=0

entonces

{displaystyle mathbf {r} _{1}={frac {m_{2}mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},;mathbf {r} _{2}=-{frac {m_{1}mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}

Luego, sustituir arriba da un nuevo Lagrangiano

{displaystyle {mathcal {L}}={1 over 2}mu mathbf {dot {r}} ^{2}-V(r),}

dónde

mu ={frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

es la masa reducida. Así hemos reducido el problema de los dos cuerpos al de un solo cuerpo.

Aplicaciones

La masa reducida se puede utilizar en una multitud de problemas de dos cuerpos, donde se aplica la mecánica clásica.

Momento de inercia de dos masas puntuales en una línea

Dos masas de puntos girando alrededor del centro de masa.

En un sistema con dos masas de puntos $m_{1}$ y $m_{2}$ tal que son co-linear, las dos distancias $r_{1}$ y $r_{2}$ al eje de rotación se puede encontrar con

{displaystyle r_{1}=R{frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}

{displaystyle r_{2}=R{frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}

Donde $R$ es la suma de ambas distancias ${displaystyle R=r_{1}+r_{2}}$ .

Esto es válido para una rotación alrededor del centro de masa. El momento de inercia alrededor de este eje se puede simplificar a

{displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}=R^{2}{frac {m_{1}m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}+R^{2}{frac {m_{1}^{2}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}=mu R^{2}.}

Colisiones de partículas

En una colisión con un coeficiente de restitución e, el cambio en la energía cinética se puede escribir como

Delta K={frac {1}{2}}mu v_{rm {rel}}^{2}(e^{2}-1)

donde v_rel es la velocidad relativa de los cuerpos antes de la colisión.

Para aplicaciones típicas en física nuclear, donde la masa de una partícula es mucho mayor que la otra, la masa reducida se puede aproximar como la masa más pequeña del sistema. El límite de la fórmula de masa reducida cuando una masa tiende al infinito es la masa más pequeña, por lo que esta aproximación se usa para facilitar los cálculos, especialmente cuando no se conoce la masa exacta de la partícula más grande.

Movimiento de dos cuerpos masivos bajo su atracción gravitacional

En el caso de la energía potencial gravitatoria

V(|mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}|)=-{frac {Gm_{1}m_{2}}{|mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}|}},,

encontramos que la posición del primer cuerpo con respecto al segundo está gobernada por la misma ecuación diferencial que la posición de un cuerpo con la masa reducida girando alrededor de un cuerpo con una masa igual a la suma de las dos masas, porque

m_{1}m_{2}=(m_{1}+m_{2})mu !,

Mecánica cuántica no relativista

Considere el electrón (masa m_e) y el protón (masa m_p) en el átomo de hidrógeno. Se orbitan entre sí alrededor de un centro de masa común, un problema de dos cuerpos. Para analizar el movimiento del electrón, un problema de un solo cuerpo, la masa reducida reemplaza la masa del electrón

m_{e}rightarrow {frac {m_{e}m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}

y la masa del protón se convierte en la suma de las dos masas

m_{p}rightarrow m_{e}+m_{p}

Esta idea se usa para establecer la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno.

Otros usos

"Masa reducida" también puede referirse más generalmente a un término algebraico de la forma

x^{*}={1 over {1 over x_{1}}+{1 over x_{2}}}={x_{1}x_{2} over x_{1}+x_{2}}!,

que simplifica una ecuación de la forma

{1 over x^{*}}=sum _{i=1}^{n}{1 over x_{i}}={1 over x_{1}}+{1 over x_{2}}+cdots +{1 over x_{n}}.!,

La masa reducida generalmente se usa como una relación entre dos elementos del sistema en paralelo, como resistencias; ya sea en los dominios eléctrico, térmico, hidráulico o mecánico. Una expresión similar aparece en las vibraciones transversales de las vigas para los módulos elásticos. Esta relación está determinada por las propiedades físicas de los elementos, así como por la ecuación de continuidad que los une.

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