Los problemas de Hilbert

David Hilbert

Los problemas de Hilbert son 23 problemas matemáticos publicados por el matemático alemán David Hilbert en 1900. Todos estaban sin resolver en ese momento, y varios demostraron ser muy influyentes para las matemáticas del siglo XX.. Hilbert presentó diez de los problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 y 22) en la conferencia de París del Congreso Internacional de Matemáticos, hablando el 8 de agosto en la Sorbona. La lista completa de 23 problemas se publicó más tarde, traducida al inglés en 1902 por Mary Frances Winston Newson en el Bulletin of the American Mathematical Society.

Naturaleza e influencia de los problemas

Los problemas de Hilbert variaron mucho en cuanto a tema y precisión. Algunos de ellos, como el problema 3, que fue el primero en resolverse, o el problema 8 (la hipótesis de Riemann), que aún permanece sin resolver, fueron presentados con suficiente precisión para permitir una clara respuesta afirmativa o negativa. Para otros problemas, como el 5º, los expertos tradicionalmente han acordado una única interpretación y se ha dado una solución a la interpretación aceptada, pero existen problemas no resueltos estrechamente relacionados. Algunas de las declaraciones de Hilbert no fueron lo suficientemente precisas para especificar un problema en particular, pero fueron lo suficientemente sugerentes como para que ciertos problemas de naturaleza contemporánea parecieran aplicarse; por ejemplo, la mayoría de los teóricos de números modernos probablemente considerarían que el noveno problema se refiere a la correspondencia conjetural de Langlands sobre las representaciones del grupo absoluto de Galois de un campo numérico. Otros problemas más, como el 11 y el 16, se refieren a subdisciplinas matemáticas que ahora están floreciendo, como las teorías de las formas cuadráticas y las curvas algebraicas reales.

Hay dos problemas que no solo no están resueltos sino que, de hecho, pueden ser irresolubles según los estándares modernos. El sexto problema se refiere a la axiomatización de la física, un objetivo que los desarrollos del siglo XX parecen volver más remoto y menos importante que en la época de Hilbert. Además, el cuarto problema se refiere a los fundamentos de la geometría, de una manera que ahora generalmente se considera demasiado vaga para permitir una respuesta definitiva.

Los otros 21 problemas han recibido una atención significativa y, a fines del siglo XX, el trabajo sobre estos problemas aún se consideraba de suma importancia. Paul Cohen recibió la Medalla Fields en 1966 por su trabajo en el primer problema, y la solución negativa del décimo problema en 1970 por Yuri Matiyasevich (completando el trabajo de Julia Robinson, Hilary Putnam y Martin Davis) generó una aclamación similar. Aspectos de estos problemas siguen siendo de gran interés hoy en día.

Ignorante

Siguiendo a Gottlob Frege y Bertrand Russell, Hilbert buscó definir las matemáticas de forma lógica utilizando el método de los sistemas formales, es decir, pruebas finitas a partir de un conjunto de axiomas acordados. Uno de los principales objetivos del programa de Hilbert era una prueba finitista de la consistencia de los axiomas de la aritmética: ese es su segundo problema.

Sin embargo, el segundo teorema de incompletitud de Gödel da un sentido preciso en el que tal prueba finitista de la consistencia de la aritmética es probablemente imposible. Hilbert vivió 12 años después de que Kurt Gödel publicara su teorema, pero no parece haber escrito ninguna respuesta formal al trabajo de Gödel.

El décimo problema de Hilbert no pregunta si existe un algoritmo para decidir la solución de las ecuaciones diofánticas, sino que pregunta por la construcción de tal algoritmo: "para diseñar un proceso según el cual se puede determinar en un número finito de operaciones si la ecuación es resoluble en números enteros racionales". Que este problema se resolviera mostrando que no puede haber tal algoritmo contradecía la filosofía de las matemáticas de Hilbert.

Al discutir su opinión de que todo problema matemático debe tener una solución, Hilbert admite la posibilidad de que la solución sea una prueba de que el problema original es imposible. Afirmó que de lo que se trata es de saber de una forma u otra cuál es la solución, y creía que siempre podemos saber eso, que en matemáticas no hay ningún "ignorabimus" (afirmación cuya verdad nunca se puede saber). No parece claro si habría considerado la solución del décimo problema como un caso de ignorabimus: lo que se demuestra que no existe no es la solución entera, sino (en cierto sentido) la capacidad de discernir de una manera específica si una solución existe

Por otro lado, el estado del primer y segundo problema es aún más complicado: no existe un consenso matemático claro sobre si los resultados de Gödel (en el caso del segundo problema), o Gödel y Cohen (en el el caso del primer problema) dan o no soluciones negativas definitivas, ya que estas soluciones se aplican a una cierta formalización de los problemas, que no es necesariamente la única posible.

El problema 24

Hilbert originalmente incluyó 24 problemas en su lista, pero decidió no incluir uno de ellos en la lista publicada. El "problema 24" (en la teoría de la prueba, sobre un criterio de simplicidad y métodos generales) fue redescubierta en las notas manuscritas originales de Hilbert por el historiador alemán Rüdiger Thiele en 2000.

Secuelas

Desde 1900, los matemáticos y las organizaciones matemáticas han anunciado listas de problemas, pero, con pocas excepciones, no han tenido tanta influencia ni han generado tanto trabajo como los problemas de Hilbert.

Una excepción consiste en tres conjeturas hechas por André Weil a fines de la década de 1940 (las conjeturas de Weil). En los campos de la geometría algebraica, la teoría de números y los vínculos entre los dos, las conjeturas de Weil fueron muy importantes. El primero de ellos fue probado por Bernard Dwork; Alexander Grothendieck dio una prueba completamente diferente de los dos primeros, a través de la cohomología ℓ-ádica. La última y más profunda de las conjeturas de Weil (un análogo de la hipótesis de Riemann) fue probada por Pierre Deligne. Tanto Grothendieck como Deligne recibieron la medalla Fields. Sin embargo, las conjeturas de Weil eran, en su alcance, más como un solo problema de Hilbert, y Weil nunca las pensó como un programa para todas las matemáticas. Esto es un tanto irónico, ya que podría decirse que Weil fue el matemático de las décadas de 1940 y 1950 que mejor interpretó el papel de Hilbert, al estar familiarizado con casi todas las áreas de las matemáticas (teóricas) y haber figurado de manera importante en el desarrollo de muchas de ellas.

Paul Erdős planteó cientos, si no miles, de problemas matemáticos, muchos de ellos profundos. Erdős a menudo ofrecía recompensas monetarias; el tamaño de la recompensa dependía de la dificultad percibida del problema.

El final del milenio, que también fue el centenario del anuncio de los problemas de Hilbert, proporcionó una ocasión natural para proponer "un nuevo conjunto de problemas de Hilbert". Varios matemáticos aceptaron el desafío, en particular el medallista de Fields Steve Smale, quien respondió a una solicitud de Vladimir Arnold para proponer una lista de 18 problemas.

Al menos en los principales medios de comunicación, el análogo de facto del siglo XXI de los problemas de Hilbert es la lista de siete Problemas del Premio del Milenio elegidos durante el año 2000 por el Clay Mathematics Institute. A diferencia de los problemas de Hilbert, donde el premio principal fue la admiración de Hilbert en particular y de los matemáticos en general, cada problema de premio incluye una recompensa de un millón de dólares. Al igual que con los problemas de Hilbert, uno de los problemas más importantes (la conjetura de Poincaré) se resolvió relativamente poco tiempo después de que se anunciaran los problemas.

La hipótesis de Riemann es notable por su aparición en la lista de problemas de Hilbert, la lista de Smale, la lista de Problemas del Premio del Milenio e incluso las conjeturas de Weil, en su forma geométrica. Aunque ha sido atacado por los principales matemáticos de nuestros días, muchos expertos creen que seguirá formando parte de las listas de problemas sin resolver durante muchos siglos. El mismo Hilbert declaró: 'Si despertara después de haber dormido durante mil años, mi primera pregunta sería: ¿Se ha probado la hipótesis de Riemann?'

En 2008, DARPA anunció su propia lista de 23 problemas que esperaba podrían conducir a avances matemáticos importantes, "fortaleciendo así las capacidades científicas y tecnológicas del Departamento de Defensa".

Resumen

De los problemas de Hilbert claramente formulados, los problemas 3, 7, 10, 14, 17, 18, 19 y 20 tienen resoluciones que son aceptadas por consenso de la comunidad matemática. Por otro lado, los problemas 1, 2, 5, 6, 9, 11, 12, 15, 21 y 22 tienen soluciones que tienen aceptación parcial, pero existe cierta controversia sobre si resuelven los problemas.

Eso deja 8 (la hipótesis de Riemann), 13 y 16 sin resolver, y 4 y 23 demasiado vagos para ser descritos como resueltos. Los 24 retirados también estarían en esta clase. El número 6 se considera un problema de física más que de matemáticas.

Tabla de problemas

Los 23 problemas de Hilbert son (para obtener detalles sobre las soluciones y las referencias, consulte los artículos detallados a los que se vinculan en la primera columna):