Continuidad uniforme
En matemáticas, una función real f{displaystyle f} de números reales se dice que uniformemente continuo si hay un número real positivo δ δ {displaystyle... (leer más)
Un elipsoide es una superficie que se puede obtener de una esfera deformándola mediante escalas direccionales, o más generalmente, de una transformación afín.
Un elipsoide es una superficie cuádrica; es decir, una superficie que se puede definir como el conjunto cero de un polinomio de grado dos en tres variables. Entre las superficies cuádricas, un elipsoide se caracteriza por cualquiera de las dos propiedades siguientes. Cada sección transversal plana es una elipse, o está vacía, o se reduce a un solo punto (esto explica el nombre, que significa "similar a una elipse"). Está acotado, lo que significa que puede estar encerrado en una esfera suficientemente grande.
Un elipsoide tiene tres ejes de simetría perpendiculares por pares que se intersecan en un centro de simetría, llamado centro del elipsoide. Los segmentos de recta que están delimitados en los ejes de simetría por el elipsoide se denominan ejes principales, o simplemente ejes del elipsoide. Si los tres ejes tienen diferentes longitudes, la figura es un elipsoide triaxial (raramente elipsoide escaleno), y los ejes están definidos de manera única.
Si dos de los ejes tienen la misma longitud, entonces el elipsoide es un elipsoide de revolución, también llamado esferoide. En este caso, el elipsoide es invariante bajo una rotación alrededor del tercer eje y, por lo tanto, hay infinitas formas de elegir los dos ejes perpendiculares de la misma longitud. Si el tercer eje es más corto, el elipsoide es un esferoide achatado; si es más largo, es un esferoide alargado. Si los tres ejes tienen la misma longitud, el elipsoide es una esfera.
El elipsoide general, también conocido como elipsoide triaxial, es una superficie cuadrática que se define en coordenadas cartesianas como:
Donde a{displaystyle a}, b{displaystyle b} y c{displaystyle c} son la longitud de los semi-axes.
Los puntos ()a,0,0){displaystyle (a,0,0)}, ()0,b,0){displaystyle (0,b,0)} y ()0,0,c){displaystyle (0,0,c)} miente sobre la superficie. Los segmentos de línea del origen a estos puntos se denominan los semi-axies principales del ellipsoide, porque a, b, c son la mitad de la longitud de los ejes principales. Corresponden al eje semi-major y al eje semi-minor de un elipse.
En el sistema de coordinación esférica para el cual ()x,Sí.,z)=()rpecado Silencio Silencio # φ φ ,rpecado Silencio Silencio pecado φ φ ,r# Silencio Silencio ){displaystyle (x,y,z)=(rsin theta cos varphirsin theta varphircos theta)}, el elipsoide general se define como:
Donde Silencio Silencio {displaystyle theta } es el ángulo polar y φ φ {displaystyle varphi } es el ángulo azimutal.
Cuando a=b=c{displaystyle a=b=c}El elipsoide es una esfera.
Cuando a=bل ل c{displaystyle a=bneq c}, el elipsoide es un espheroid o ellipsoide de la revolución. En particular, si c}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a=b■c{displaystyle a=b confidencial}c}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff4e2c770be564fcc272802932f2139280fb5720" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.431ex; height:2.176ex;"/>, es un esferoide oblato; si <math alttext="{displaystyle a=ba=b.c{displaystyle a=b<img alt="{displaystyle a=b, es un esferoide prolato.
El elipsoide se puede parametrizar de varias maneras, que son más sencillas de expresar cuando los ejes del elipsoide coinciden con los ejes de coordenadas. Una elección común es
dónde
Estos parámetros pueden interpretarse como coordenadas esféricas, donde θ es el ángulo polar y φ es el ángulo acimutal del punto (x, y, z) del elipsoide.
Midiendo desde el ecuador en lugar de un polo,
dónde
θ es la latitud reducida, la latitud paramétrica o la anomalía excéntrica y λ es acimut o longitud.
Midiendo ángulos directamente a la superficie del elipsoide, no a la esfera circunscrita,
dónde
γ sería la latitud geocéntrica de la Tierra, y λ es la longitud. Estas son coordenadas esféricas verdaderas con origen en el centro del elipsoide.
En geodesia, la latitud geodésica se usa más comúnmente, como el ángulo entre la vertical y el plano ecuatorial, definido para un elipsoide biaxial. Para un elipsoide triaxial más general, consulte latitud elipsoidal.
El volumen acotado por el elipsoide es
En términos de los diámetros principales A, B, C (donde A = 2a, B = 2b, C = 2c), el volumen es
Esta ecuación se reduce al volumen de una esfera cuando los tres radios elípticos son iguales, y al de un esferoide achatado o alargado cuando dos de ellos son iguales.
El volumen de un elipsoide es 2/3 el volumen de un cilindro elíptico circunscrito, y π/6 el volumen de la caja circunscrita. Los volúmenes de las cajas inscritas y circunscritas son respectivamente:
El área de superficie de un elipsoide general (triaxial) es
dónde
y donde F(φ, k) y E(φ, k) son integrales elípticas incompletas de primer y segundo tipo respectivamente. El área de superficie de este elipsoide general también se puede expresar usando RF y RD Formas simétricas de Carlson de las integrales elípticas simplemente sustituyendo la fórmula anterior por la respectiva definiciones:
A diferencia de la expresión con F(φ, k) y E(φ, k), la variante basada en las integrales simétricas de Carlson produce resultados válidos para una esfera y solo el eje c debe ser el más pequeño, el orden entre los dos ejes más grandes, a y b pueden ser arbitrarios.
El área de superficie de un elipsoide de revolución (o esferoide) se puede expresar en términos de funciones elementales:
o
o
y
que, como sigue de las identidades trigonométricas básicas, son expresiones equivalentes (es decir, la fórmula para Soblate puede ser utilizado para calcular el área de superficie de un elipsoide alargado y viceversa). En ambos casos, e puede identificarse nuevamente como la excentricidad de la elipse formada por la sección transversal a través del eje de simetría. (Ver elipse). Las derivaciones de estos resultados se pueden encontrar en fuentes estándar, por ejemplo, Mathworld.
Aquí p ≈ 1,6075 arroja un error relativo de 1,061 % como máximo; un valor de p = 8/5 = 1,6 es óptimo para elipsoides casi esféricos, con un error relativo de 1,178 como máximo %
En el "piso" límite de c mucho menor que a y b, el área es aproximadamente 2πab , equivalente a p = log23 ≈ 1,5849625007.
La intersección de un plano y una esfera es un círculo (o se reduce a un solo punto, o está vacío). Cualquier elipsoide es la imagen de la esfera unitaria bajo alguna transformación afín, y cualquier plano es la imagen de algún otro plano bajo la misma transformación. Entonces, debido a que las transformaciones afines asignan círculos a elipses, la intersección de un plano con un elipsoide es una elipse o un solo punto, o está vacía. Obviamente, los esferoides contienen círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, para elipsoides triaxiales (ver Sección circular).
Dado: Elipsoide x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 y el plano con ecuación nxx + nyy + nzz = d, que tienen una elipse en común.
Se busca: Tres vectores f0 (centro) y f1, f2 (vectores conjugados), tales que la elipse puede ser representada por la ecuación paramétrica
(ver puntos suspensivos).
Solución: La escala u = x/a , v = y/b, w = z/c transforma el elipsoide en la esfera unitaria u 2 + v2 + w2 = 1 y el plano dado sobre el plano con ecuacion
Sea muu + mvv + mww = δ sea la forma normal de Hesse del nuevo plano y
su vector unitario normal. Por eso
es el centro del círculo de intersección y
su radio (ver diagrama).
Donde mw = ±1 (es decir, el plano es horizontal), sea
Donde mw ≠ ±1, sea
En cualquier caso, los vectores e1, e2 son ortogonales, paralelas al plano de intersección y tienen una longitud ρ (radio del círculo). Por lo tanto, el círculo de intersección se puede describir mediante la ecuación paramétrica
La escala inversa (ver arriba) transforma la esfera unitaria de nuevo en el elipsoide y los vectores e0, e 1, e2 se asignan a los vectores f0, f1, f2, que se buscaban para la representación paramétrica de la elipse de intersección.
Cómo encontrar los vértices y los semiejes de la elipse se describe en elipse.
Ejemplo: Los diagramas muestran un elipsoide con los semiejes a = 4, b = 5, c = 3 que es cortado por el plano x + y + z = 5.
La construcción de alfileres y cuerdas de un elipsoide es una transferencia de la idea de construir una elipse usando dos alfileres y una cuerda (ver diagrama).
Una construcción de pasadores y cuerdas de un elipsoide de revolución viene dada por la construcción de pasadores y cuerdas de la elipse rotada.
La construcción de puntos de un elipsoide triaxial es más complicada. Las primeras ideas se deben al físico escocés J. C. Maxwell (1868). Las investigaciones principales y la extensión a las cuádricas fueron realizadas por el matemático alemán O. Staude en 1882, 1886 y 1898. La descripción de la construcción de alfileres y cuerdas de elipsoides e hiperboloides se encuentra en el libro Geometría y la imaginación escrito por D. Hilbert & S. Vossen también.
Las ecuaciones para los semiejes del elipsoide generado se pueden derivar mediante elecciones especiales para el punto P:
La parte inferior del diagrama muestra que F1 y F2 son los focos de la elipse en el xy -avión, también. Por lo tanto, es confocal a la elipse dada y la longitud de la cadena es l = 2rx + (a − c). Resolviendo para rx se obtiene r x = 1/2(l − a + c); además r2
y = r2
x − c2.
En el diagrama superior vemos que S1 y S2 son los focos de la sección de elipse del elipsoide en el xz-plane y que r2
z = r2
x − a2.
Si, por el contrario, un elipsoide triaxial viene dado por su ecuación, entonces a partir de las ecuaciones del paso 3 se pueden derivar los parámetros a, b, l para una construcción de alfileres y cuerdas.
Si E es una elipsoide confocal a E con los cuadrados de sus semiejes
luego de las ecuaciones de E
se encuentra que las cónicas focales correspondientes utilizadas para la construcción de pasadores y cuerdas tienen los mismos semiejes a, b, c como elipsoide E. Por lo tanto (análogamente a los focos de una elipse) uno considera las cónicas focales de un elipsoide triaxial como los (muchos infinitos) focos y los llama las curvas focales del elipsoide.
La declaración inversa también es cierta: si uno elige una segunda cadena de longitud l y define
entonces las ecuaciones
son válidos, lo que significa que los dos elipsoides son confocales.
En el caso de a = c (un esferoide) se obtiene S1 = F1 y S2 = F2, lo que significa que la elipse focal degenera a un segmento de línea y la hipérbola focal colapsa a dos segmentos de línea infinitos en el eje x. El elipsoide es rotacionalmente simétrico alrededor del eje x y
La elipse focal junto con su parte interior se puede considerar como la superficie límite (un elipsoide infinitamente delgado) del lápiz de elipsoides confocales determinada por a, b para rz → 0. Para el caso límite se obtiene
Si v es un punto y A es una matriz definida positiva, simétrica y real, entonces el conjunto de puntos x que satisfacen la ecuación
es un elipsoide centrado en v. Los vectores propios de A son los ejes principales del elipsoide y los valores propios de A son los recíprocos de los cuadrados de los semiejes: a−2, b−2 y c−2.
Una transformación lineal invertible aplicada a una esfera produce un elipsoide, que se puede llevar a la forma estándar anterior mediante una rotación adecuada, una consecuencia de la descomposición polar (también, consulte el teorema espectral). Si la transformación lineal está representada por una matriz simétrica de 3 × 3, entonces los vectores propios de la matriz son ortogonales (debido al teorema espectral) y representan las direcciones de los ejes del elipsoide; las longitudes de los semiejes se calculan a partir de los valores propios. La descomposición en valores singulares y la descomposición polar son descomposiciones de matrices estrechamente relacionadas con estas observaciones geométricas.
La clave para una representación paramétrica de un elipsoide en posición general es la definición alternativa:
Una transformación afín se puede representar mediante una traslación con un vector f0 y una matriz regular de 3 × 3 A:
donde f1, f2, f 3 son los vectores columna de la matriz A.
Se puede obtener una representación paramétrica de un elipsoide en posición general mediante la representación paramétrica de una esfera unitaria (ver arriba) y una transformación afín:
Si los vectores f1, f2, f3 forman un sistema ortogonal, los seis puntos con vectores f0 ± f1,2,3 son los vértices del elipsoide y |f1|, |f2|, |f3| son los ejes semiprincipales.
Un vector normal de superficie en el punto x(θ, φ) es
Para cualquier elipsoide existe una representación implícita F(x, y, z ) = 0. Si por simplicidad el centro del elipsoide es el origen, f0 = 0, la siguiente ecuación describe el elipsoide de arriba:
La forma elipsoidal encuentra muchas aplicaciones prácticas:
La masa de un elipsoide de densidad uniforme ρ es
Los momentos de inercia de un elipsoide de densidad uniforme son
Para a = b = c estos momentos de inercia se reducen a los de una esfera de densidad uniforme.
Los elipsoides y los cuboides giran de manera estable a lo largo de sus ejes mayor o menor, pero no a lo largo de su eje mediano. Esto se puede ver experimentalmente lanzando un borrador con algo de giro. Además, las consideraciones del momento de inercia significan que la rotación a lo largo del eje mayor se perturba más fácilmente que la rotación a lo largo del eje menor.
Un efecto práctico de esto es que los cuerpos astronómicos escalenos como Haumea generalmente giran a lo largo de sus ejes menores (al igual que la Tierra, que es meramente achatada); además, debido al bloqueo de las mareas, las lunas en órbita sincrónica como Mimas orbitan con su eje principal alineado radialmente con su planeta.
Un cuerpo giratorio de fluido autogravitatorio homogéneo asumirá la forma de un esferoide de Maclaurin (esferoide achatado) o un elipsoide de Jacobi (elipsoide escaleno) cuando esté en equilibrio hidrostático y para velocidades de rotación moderadas. A rotaciones más rápidas, se pueden esperar formas piriformes u oviformes no elipsoidales, pero no son estables.
El elipsoide es la forma más general para la que ha sido posible calcular el flujo progresivo de fluido alrededor de la forma sólida. Los cálculos incluyen la fuerza requerida para trasladarse a través de un fluido y girar dentro de él. Las aplicaciones incluyen la determinación del tamaño y la forma de moléculas grandes, la tasa de hundimiento de partículas pequeñas y la capacidad de natación de los microorganismos.
Las distribuciones elípticas, que generalizan la distribución normal multivariante y se utilizan en finanzas, se pueden definir en términos de sus funciones de densidad. Cuando existen, las funciones de densidad f tienen la estructura:
donde k es un factor de escala, x es un vector de fila aleatorio n-dimensional con vector mediano μ (que también es el vector medio si este último existe), Σ es una matriz definida positiva que es proporcional a la matriz de covarianza si esta última existe, y g es una función que mapea de los reales no negativos a los reales no negativos dando una área finita bajo la curva. La distribución normal multivariada es el caso especial en el que g(z) = exp(−z/2) para la forma cuadrática z.
Por lo tanto, la función de densidad es una transformación escalar a escalar de una expresión cuádrica. Además, la ecuación para cualquier superficie de isodensidad establece que la expresión cuádrica es igual a alguna constante específica para ese valor de la densidad, y la superficie de isodensidad es un elipsoide.
A hiperellipsoid, o elipsoide de la dimensión n− − 1{displaystyle n-1} en un espacio euclidiano de dimensión n{displaystyle n}, es una hipersuperficie cuádrica definida por un polinomio del grado dos que tiene una parte homogénea del grado dos que es una forma cuadrática definida positiva.
También se puede definir un hiperelipsoide como la imagen de una esfera bajo una transformación afín invertible. El teorema espectral se puede usar nuevamente para obtener una ecuación estándar de la forma
El volumen de un hiperelipsoide n-dimensional se puede obtener reemplazando Rn por el producto de los semiejes a1a2...an en la fórmula para el volumen de una hiperesfera:
(donde Γ es la función gamma).
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