Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático

Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático es un libro matemático chino, compuesto por varias generaciones de eruditos entre los siglos X y II a. siglo II d.C. Este libro es uno de los primeros textos matemáticos sobrevivientes de China, siendo el primero Suan shu shu (202 a. C. - 186 a. C.) y Zhoubi Suanjing (compilado a lo largo de Han hasta finales del siglo II d.C.). Presenta un enfoque de las matemáticas que se centra en encontrar los métodos más generales para resolver problemas, que puede contrastarse con el enfoque común de los antiguos matemáticos griegos, que tendían a deducir proposiciones a partir de un conjunto inicial de axiomas.

Las entradas en el libro generalmente toman la forma de una declaración de un problema, seguida por la declaración de la solución y una explicación del procedimiento que condujo a la solución. Estos fueron comentados por Liu Hui en el siglo III.

Historia

Libro original

El título completo de Los nueve capítulos sobre el arte matemático aparece en dos medidas estándar de bronce que datan de 179 d. C., pero se especula que el mismo libro existió anteriormente con títulos diferentes.

La mayoría de los eruditos creen que las matemáticas chinas y las matemáticas del antiguo mundo mediterráneo se habían desarrollado de forma más o menos independiente hasta el momento en que Los Nueve Capítulos alcanzaron su forma final. El método del capítulo 7 no se encontró en Europa hasta el siglo XIII, y el método del capítulo 8 utiliza la eliminación gaussiana antes de Carl Friedrich Gauss (1777–1855). También está la prueba matemática dada en el tratado del teorema de Pitágoras. La influencia de Los Nueve Capítulos ayudó en gran medida al desarrollo de las matemáticas antiguas en las regiones de Corea y Japón. Su influencia en el pensamiento matemático en China persistió hasta la era de la dinastía Qing.

Liu Hui escribió un comentario muy detallado sobre este libro en 263. Él analiza los procedimientos de Los Nueve Capítulos paso a paso, de una manera claramente diseñada para dar al lector la confianza de que son confiables, aunque no le preocupa proporcionar pruebas formales a la manera euclidiana. El comentario de Liu es de gran interés matemático por derecho propio. Liu le da crédito a los primeros matemáticos Zhang Cang (fl. 165 a. C. - m. 142 a. C.) y Geng Shouchang (fl. 75 a. C. - 49 a. C.) (ver esfera armilar) con el arreglo inicial y comentario sobre el libro, sin embargo, los registros de la dinastía Han no lo hacen. no indica los nombres de ningún autor de comentario, ya que no se mencionan hasta el siglo III.

Los Nueve Capítulos es una obra anónima, y sus orígenes no están claros. Hasta años recientes, no había evidencia sustancial de escritura matemática relacionada que pudiera haberlo precedido, con la excepción del trabajo matemático de Jing Fang (78-37 a. C.), Liu Xin (m. 23) y Zhang Heng (78–139) y las cláusulas de geometría del Mozi del siglo IV a. Este ya no es el caso. El Suàn shù shū (算數書) o Escritos sobre cálculos es un antiguo texto chino sobre matemáticas de aproximadamente siete mil caracteres de longitud, escrito en 190 tiras de bambú. Fue descubierto junto con otros escritos en 1983 cuando los arqueólogos abrieron una tumba en la provincia de Hubei. Es uno de los corpus de textos conocidos como los textos de bambú de Zhangjiashan Han. A partir de pruebas documentales, se sabe que esta tumba se cerró en 186 a. C., a principios de la dinastía Han Occidental. Si bien su relación con Los Nueve Capítulos aún está siendo discutida por los académicos, algunos de sus contenidos tienen un claro paralelo allí. Sin embargo, el texto del Suàn shù shū es mucho menos sistemático que Los Nueve Capítulos; y parece consistir en una serie de secciones cortas de texto más o menos independientes extraídas de varias fuentes. El Zhoubi Suanjing, un texto de matemáticas y astronomía, también se compiló durante la dinastía Han, e incluso Cai Yong lo mencionó como una escuela de matemáticas alrededor del año 180 EC.

Traducciones occidentales

El título del libro ha sido traducido en una amplia variedad de formas.

En 1852, Alexander Wylie se refirió a ella como Reglas aritméticas de las nueve secciones.

Con solo una ligera variación, el historiador japonés de las matemáticas Yoshio Mikami acortó el título a Aritmética en nueve secciones.

David Eugene Smith, en su Historia de las Matemáticas (Smith 1923), siguió la convención utilizada por Yoshio Mikami.

Varios años después, George Sarton tomó nota del libro, pero solo con atención limitada y solo mencionando el uso de barras rojas y negras para números positivos y negativos.

En 1959, Joseph Needham y Wang Ling (historiador) tradujeron Jiu Zhang Suan shu como Los nueve capítulos sobre el arte matemático por primera vez.

Más tarde, en 1994, Lam Lay Yong usó este título en su descripción general del libro, al igual que otros matemáticos, incluidos John N. Crossley y Anthony W.-C Lun, en su traducción de Matemáticas chinas: una historia concisa (Li y Du 1987).

Después, el nombre Los nueve capítulos sobre el arte matemático se mantuvo y se convirtió en el título estándar en inglés del libro.

Índice

El contenido de Los nueve capítulos es el siguiente:

1. Alternativa Fangtian – Campos llenos. Áreas de campos de diversas formas, como rectángulos, triángulos, trapezoides y círculos; manipulación de fracciones vulgares. El comentario de Liu Hui incluye un método para el cálculo de π y el valor aproximado de 3.14159.
2. 粟 Sumi - Millet y arroz. Intercambio de productos básicos a diferentes tipos; fijación de precios unitarios; Regla de los Tres para resolver proporciones, utilizando fracciones.
3. 衰minutos Cuifen – Distribución proporcional. Distribución de los productos básicos y el dinero a precios proporcionales; obtención de sumas aritméticas y geométricas.
4. 少 Shaoguang – Reducción de dimensiones. Encontrar el diámetro o el lado de una forma dada su volumen o área. División por números mixtos; extracción de raíces cuadradas y cubos; diámetro de esfera, perímetro y diámetro del círculo.
5. ■ Shanggong – Configuración para la construcción. Volumen de sólidos de diversas formas.
6. ♫ Junshu – Tributación equitativa. Problemas de palabras más avanzados en proporción, con trabajo, distancias y tarifas.
7. 盈 Yingbuzu - Exceso y déficit. Problemas lineales (en dos desconocidos) resueltos utilizando el principio conocido más adelante en Occidente como el regla de la falsa posición.
8. Alternativa Fangcheng – La referencia de dos caras (es decir, Ecuaciones). Problemas de rendimientos agrícolas y la venta de animales que conducen a sistemas de ecuaciones lineales, resueltos por un principio indistinguible de la forma moderna de eliminación gausiana.
9. 勾股 Gougu – Base y altitud. Problemas relacionados con el principio conocido en Occidente como el teorema pitagórico.

Contribuciones importantes

Sistema de números reales

Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático no discuten los números naturales, es decir, los números enteros positivos y sus operaciones, pero son ampliamente utilizados y escritos sobre la base de los números naturales. Aunque no es un libro sobre fracciones, el significado, la naturaleza y las cuatro operaciones de las fracciones se analizan en detalle. Por ejemplo: división combinada (suma), resta (resta), multiplicación (multiplicación), división warp (división), división (tamaño de comparación), reducción (fracción simplificada) y bisectriz (promedio).

El concepto de números negativos también aparece en "Nueve capítulos de la aritmética". Para cooperar con el algoritmo de ecuaciones, se dan las reglas de suma y resta de números positivos y negativos. La resta es "dividir por el mismo nombre, beneficiarse por diferentes nombres. La adición es "dividir por diferentes nombres, beneficiarse unos de otros por el mismo nombre. Entre ellos, "división" es resta, "beneficio" es suma, y "sin entrada" significa que no hay contrapartida, pero no se registran la multiplicación y la división.

Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático ofrece cierta discusión sobre los números naturales, las fracciones, los números positivos y negativos, y alguna irracionalidad especial. Básicamente tiene el prototipo del sistema de números reales.

Teorema de Gou Gu (Pitagórico)

Las figuras geométricas incluidas en Los Nueve Capítulos del Arte Matemático son en su mayoría figuras rectas y circulares debido a su enfoque en las aplicaciones en los campos agrícolas. Además, debido a las necesidades de la arquitectura civil, Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático también analiza algoritmos volumétricos de sólidos tridimensionales lineales y circulares. La disposición de estos algoritmos volumétricos varía de simple a compleja, formando un sistema matemático único.

Con respecto a la aplicación directa del Teorema de Gou Gu, que es precisamente la versión china del Teorema de Pitágoras, el libro lo divide en cuatro categorías principales: Gou Gu búsqueda mutua, Gou Gu entero, Gou Gu capacidad dual, Gou Gu similar.

La búsqueda mutua de Gou Gu analiza el algoritmo de encontrar la longitud de un lado del triángulo rectángulo mientras se conocen los otros dos. El entero Gou Gu es precisamente el hallazgo de algunos números pitagóricos enteros significativos, incluido el famoso triple 3,4,5. La capacidad dual de Gou Gu analiza algoritmos para calcular las áreas de los rectángulos inscritos y otros polígonos en el círculo, que también sirve como algoritmo para calcular el valor de pi. Por último, los similares de Gou Gu proporcionan algoritmos para calcular alturas y longitudes de edificios sobre la base matemática de triángulos rectángulos similares.

Completación de cuadrados y soluciones de sistemas de ecuaciones

Los métodos para completar cuadrados y cubos, así como para resolver ecuaciones lineales simultáneas que se enumeran en Los nueve capítulos sobre el arte matemático pueden considerarse uno de los principales contenidos de las matemáticas chinas antiguas. La discusión de estos algoritmos en Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático es muy detallada. A través de estas discusiones, uno puede comprender los logros del desarrollo de las matemáticas chinas antiguas.

Completar el cuadrado y los cubos no solo puede resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, sino también ecuaciones generales cuadráticas y cúbicas. Es la base para resolver ecuaciones de orden superior en la antigua China y también juega un papel importante en el desarrollo de las matemáticas.

Las "ecuaciones" discutidas en el capítulo de Fang Cheng son equivalentes a las ecuaciones lineales simultáneas de hoy. El método de solución llamado "Fang Cheng Shi" es mejor conocido hoy como eliminación de Gauss. Entre los dieciocho problemas enumerados en el capítulo de Fang Cheng, algunos son equivalentes a ecuaciones lineales simultáneas con dos incógnitas, algunos son equivalentes a ecuaciones lineales simultáneas con 3 incógnitas y el ejemplo más complejo analiza la solución de un sistema de ecuaciones lineales con hasta 5 incógnitas.

Importancia

La palabra jiu, o "9", significa más que solo un dígito en chino antiguo. De hecho, dado que es el dígito más grande, a menudo se refiere a algo de gran escala o una autoridad suprema. Además, la palabra zhang, o "capítulo", también tiene más connotaciones que simplemente ser el "capítulo". Puede referirse a una sección, varias partes de un artículo o un tratado completo.

En este sentido, muchos estudiosos de la historia de las matemáticas chinas comparan la importancia de Los nueve capítulos sobre el arte matemático en el desarrollo de las tradiciones matemáticas orientales con la de Euclides Elementos sobre las tradiciones matemáticas occidentales. Sin embargo, la influencia de Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático se detiene en el avance de las matemáticas modernas debido a su enfoque en problemas prácticos y métodos de prueba inductivos en oposición a la tradición deductiva y axiomática que Euclid's Elementos establece.

Sin embargo, es desdeñoso decir que Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático no tiene ningún impacto en las matemáticas modernas. El estilo y la estructura de Los nueve capítulos sobre el arte matemático pueden concluirse mejor como "problema, fórmula y cálculo". Este proceso de resolución de problemas matemáticos aplicados es ahora prácticamente el enfoque estándar en el campo de las matemáticas aplicadas.

Traducciones notables

• Traducción en inglés: Yoshio Mikami: "Arithmetic in Nine Sections", in El desarrollo de las matemáticas en China y Japón, 1913.
• Traducción al inglés: Florian Cajori: "Arithmetic in Nine Sections", in Una historia de matemáticas, Second Edition, 1919 (possibly copied or paraphrased from Mikami).
• Traducción en inglés: Lam Lay Yong: Jiu Zhang Suanshu: Una visión general, Archivo de Historia de las Ciencias Exactas, Springer Verlag, 1994.
• En Kangshen Shen está disponible una traducción completa y un estudio de los Nueve Capítulos y el comentario de Liu Hui, Los nueve capítulos sobre el arte matemático, Oxford University Press, 1999. ISBN 0-19-853936-3
• Una traducción francesa con adiciones académicas detalladas y una edición crítica del texto chino del libro y su comentario de Karine Chemla y Shuchun Guo es Les neuf chapitres: le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires. París: Dunod, 2004. ISBN 978-2-10-049589-4.
• Traducción al alemán: Kurt Vogel, Neun Bücher Arithmetischer Technik, Friedrich Vieweg und Sohn Braunsweig, 1968
• traducción al ruso: E. I Beriozkina, Математика в девяти книгах (Mathematika V Devyati Knigah)Nauka, 1980.