Lógica cuántica

En el estudio matemático de la lógica y el análisis físico de los fundamentos cuánticos, la lógica cuántica es un conjunto de reglas para la manipulación de proposiciones inspiradas en la estructura de la teoría cuántica. El sistema formal toma como punto de partida una observación de Garrett Birkhoff y John von Neumann, de que la estructura de las pruebas experimentales en mecánica clásica forma un álgebra booleana, pero la estructura de las pruebas experimentales en mecánica cuántica forma una estructura mucho más complicada.

También se han propuesto otras lógicas para analizar los fenómenos de la mecánica cuántica, lamentablemente también bajo el nombre de "lógica(s) cuántica(s)". No son el tema de este artículo. Para un análisis de las similitudes y diferencias entre la lógica cuántica y algunos de estos competidores, consulte § Relación con otras lógicas.

La lógica cuántica ha sido propuesta como la lógica correcta para la inferencia proposicional en general, sobre todo por el filósofo Hilary Putnam, al menos en un momento de su carrera. Esta tesis fue un ingrediente importante en el artículo de Putnam de 1968 "¿Es la lógica empírica?" en el que analizó el estatus epistemológico de las reglas de la lógica proposicional. Los filósofos modernos rechazan la lógica cuántica como base para el razonamiento porque carece de un condicional material; una alternativa común es el sistema de lógica lineal, del cual la lógica cuántica es un fragmento.

Matemáticamente, la lógica cuántica se formula debilitando la ley distributiva de un álgebra booleana, lo que da como resultado una red ortocomplementada. Los observables y estados de la mecánica cuántica se pueden definir en términos de funciones sobre o hacia la red, lo que proporciona un formalismo alternativo para los cálculos cuánticos.

Introducción

La diferencia más notable entre la lógica cuántica y la lógica clásica es el fallo de la ley distributiva proposicional:

p y (q o r) =p y q) o (p y r),

donde los símbolos p, q y r son variables proposicionales.

Para ilustrar por qué falla la ley distributiva, considere una partícula que se mueve sobre una línea y (usando algún sistema de unidades donde la constante de Planck reducida es 1) sea

p = "la partícula tiene impulso en el intervalo [0, +1.6]"

q = "la partícula está en el intervalo [1, a 1]"

r = "la partícula está en el intervalo [1, 3]"

Podemos observar que:

p y (q o r) verdadero

en otras palabras, que el estado de la partícula es una superposición ponderada de momenta entre 0 y +1/6 y posiciones entre −1 y +3.

Por otro lado, las proposiciones "p y q"y"p y r" cada asevera restricciones más estrictas sobre los valores simultáneos de posición e impulso que el principio de incertidumbre (cada uno tiene incertidumbre 1/3, que es menos que el mínimo permitido de 1/2). Así que no hay estados que puedan apoyar la proposición, y

()p y q) o (p y r) falso

Historia y crítica moderna

En su tratado clásico de 1932 Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica, John von Neumann señaló que las proyecciones en un espacio de Hilbert pueden verse como proposiciones sobre observables físicos; es decir, como posibles preguntas de sí o no que un observador podría formular sobre el estado de un sistema físico, preguntas que podrían resolverse mediante alguna medición. Los principios para manipular estas proposiciones cuánticas fueron denominados entonces lógica cuántica por von Neumann y Birkhoff en un artículo de 1936.

George Mackey, en su libro de 1963 (también llamado Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica), intentó axiomatizar la lógica cuántica como la estructura de una red ortocomplementada y reconoció que un observable físico podría ser definido en términos de proposiciones cuánticas. Aunque la presentación de Mackey todavía asumía que la red ortocomplementada es la red de subespacios lineales cerrados de un espacio de Hilbert separable, Constantin Piron, Günther Ludwig y otros desarrollaron posteriormente axiomatizaciones que no asumen un espacio de Hilbert subyacente.

Inspirado por la reciente defensa de la relatividad general de Hans Reichenbach, la filósofa Hilary Putnam popularizó el trabajo de Mackey en dos artículos de 1968 y 1975, en los que atribuía la idea de que las anomalías asociadas a las mediciones cuánticas se originan con un fracaso de la propia lógica para su coautor, el físico David Finkelstein. Putnam esperaba desarrollar una posible alternativa a las variables ocultas o al colapso de la función de onda en el problema de la medición cuántica, pero el teorema de Gleason presenta graves dificultades para lograr este objetivo. Más tarde, Putnam se retractó de sus opiniones, aunque con mucha menos fanfarria, pero el daño ya estaba hecho. Si bien el trabajo original de Birkhoff y von Neumann sólo intentaba organizar los cálculos asociados con la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica, ahora había surgido una escuela de investigadores, ya sea con la esperanza de que la lógica cuántica proporcionaría una teoría viable de variables ocultas, o bien con la esperanza de que la lógica cuántica proporcionara una teoría viable de variables ocultas. obviar la necesidad de uno. Su trabajo resultó infructuoso y ahora tiene mala reputación.

La mayoría de los filósofos consideran que la lógica cuántica es un competidor poco atractivo para la lógica clásica. Está lejos de ser evidente (aunque cierto) que la lógica cuántica sea una lógica, en el sentido de describir un proceso de razonamiento, en contraposición a un lenguaje particularmente conveniente para resumir las mediciones realizadas por aparatos cuánticos. En particular, los filósofos de la ciencia modernos sostienen que la lógica cuántica intenta sustituir problemas no resueltos en física por dificultades metafísicas, en lugar de resolver adecuadamente los problemas físicos. Tim Maudlin escribe que la "lógica 'resuelve' el problema [de medición] al hacer que el problema sea imposible de enunciar."

El caballo de la lógica cuántica ha sido tan destrozado, azotado y pummeled, y es tan minuciosamente fallecido que... la pregunta no es si el caballo se levantará de nuevo, es: ¿cómo en el mundo este caballo llegó aquí en primer lugar? El relato de la lógica cuántica no es el relato de una idea prometedora mal, es más bien el relato de la búsqueda incesante de una mala idea.... Muchos, muchos filósofos y físicos se han convencido de que un cambio de lógica (y más dramáticamente, el rechazo de la lógica clásica) ayudará de alguna manera a comprender la teoría cuántica, o es de alguna manera sugerido o forzado sobre nosotros por la teoría cuántica. Pero la lógica cuántica, incluso a través de sus muchas encarnaciones y variaciones, tanto en forma técnica como en interpretación, nunca ha cesado las mercancías.
- Maudlin, Hilary Putnam, págs. 184 a 185

La lógica cuántica permanece en uso limitado entre los lógicas como contraejemplo muy patológico (Dalla Chiara y Giuntini: "¿Por qué lógicas cuánticas? Simplemente porque 'las lógicas cuánticas están allí!'). Aunque la visión central de la lógica cuántica sigue siendo el folclore matemático como una bomba de intuición para la categorización, las discusiones rara vez mencionan la lógica cuántica.

La mejor oportunidad de resurgimiento de la lógica cuántica es a través del reciente desarrollo de la computación cuántica, que ha engendrado una proliferación de nuevas lógicas para el análisis formal de protocolos y algoritmos cuánticos (ver también § Relación con otras lógicas). La lógica también puede encontrar aplicación en la lingüística (computacional).

Estructura algebraica

La lógica cuántica se puede axiomatizar como la teoría de las proposiciones módulo con las siguientes identidades:

• a =a
• ∨ es comunicativo y asociativo.
• Hay un elemento maximal ⊤, y ⊤ = b∨b para cualquier b.
• a∨aAlternativab) a.

("¬" es la notación tradicional para "not", "∨" la notación para "o", y & #34;∧" la notación para "y".)

Algunos autores se limitan a redes ortomodulares, que además satisfacen la ley ortomodular:

• Si ⊤ = ¬a∨b)aAlternativabentonces a = b.

("⊤" es la notación tradicional para la verdad y ""⊥" la notación tradicional para la falsedad.)

Las formulaciones alternativas incluyen proposiciones derivables mediante una deducción natural, cálculo secuencial o sistema de cuadros. A pesar de la teoría de prueba relativamente desarrollada, no se sabe que la lógica cuántica sea decidible.

La lógica cuántica como lógica de los observables

El resto de este artículo supone que el lector está familiarizado con la teoría espectral de operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert. Sin embargo, las ideas principales pueden entenderse en el caso de dimensión finita.

Lógica de la mecánica clásica

Las formulaciones hamiltonianas de la mecánica clásica tienen tres ingredientes: estados, observables y dinámica. En el caso más simple de una sola partícula que se mueve en R³, el espacio de estados es el espacio de posición-momento R⁶. Un observable es alguna función de valor real f en el espacio de estados. Ejemplos de observables son la posición, el momento o la energía de una partícula. Para sistemas clásicos, el valor f(x), es decir, el valor de f para algún estado particular del sistema x >, se obtiene mediante un proceso de medición de f.

Las proposiciones relativas a un sistema clásico se generan a partir de enunciados básicos de la forma

"Medición de f produce un valor en el intervalo [a, bPara algunos números reales a, b."

a través de las operaciones aritméticas convencionales y límites puntuales. De esta caracterización de proposiciones en sistemas clásicos se deduce fácilmente que la lógica correspondiente es idéntica al álgebra booleana de los subconjuntos de Borel del espacio de estados. Por tanto, obedecen a las leyes de la lógica proposicional clásica (como las leyes de Morgan) con las operaciones de conjunto de unión e intersección correspondientes a las conjuntivas booleanas y la inclusión de subconjuntos correspondientes a la implicación material.

De hecho, una afirmación más fuerte es cierta: deben obedecer la lógica infinita L_ω1,ω.

Resumimos estas observaciones de la siguiente manera: El sistema de proposiciones de un sistema clásico es una red con una operación de ortocomplementación distinguida: Las operaciones de red de meet y join se establecen respectivamente en intersección y unión. La operación de ortocomplementación se establece como complemento. Además, esta red es secuencialmente completa, en el sentido de que cualquier secuencia {E_i}_i∈N de elementos de la red tiene un límite superior mínimo, específicamente la unión teórica de conjuntos:

LUB⁡ ⁡ (){}Ei})=⋃ ⋃ i=1JUEGO JUEGO Ei.{displaystyle operatorname {LUB}=bigcup - ¿Qué? - ¿Qué?

Traje proposiciónl de un sistema mecánico cuántico

En la formulación espacial de Hilbert de la mecánica cuántica presentada por von Neumann, un observable físico está representado por algún operador autoadjunto densamente definido (posiblemente ilimitado) A en un espacio de Hilbert H . A tiene una descomposición espectral, que es una medida E valorada en proyección definida en los subconjuntos de Borel de R. En particular, para cualquier función Borel acotada f en R, se puede realizar la siguiente extensión de f a operadores:

f()A)=∫ ∫ Rf()λ λ )dE⁡ ⁡ ()λ λ ).{displaystyle f(A)=int _{mathbb {R}f(lambda),doperatorname {E} (lambda). }

En caso de que f sea la función indicadora de un intervalo [a, b], el operador f (A) es una proyección autoadjunta sobre el subespacio de vectores propios generalizados de A con valor propio en [a >,b]. Ese subespacio puede interpretarse como el análogo cuántico de la proposición clásica.

• Medición de A produce un valor en el intervalo [a, b].

Esto sugiere el siguiente reemplazo en mecánica cuántica para la red ortocomplementada de proposiciones en la mecánica clásica, esencialmente el Axioma VII de Mackey:

• Las proposiciones de un sistema mecánico cuántico corresponden a la celosía de subespacios cerrados de H; la negación de una propuesta V es el complemento ortogonal V^⊥.

El espacio Q de las proposiciones cuánticas también es secuencialmente completo: cualquier secuencia disjunta por pares {V_i }_i de elementos de Q tiene un límite superior mínimo. Aquí la desunión de W₁ y W₂ significa W₂ es un subespacio de W₁^⊥. El límite superior mínimo de {V_i}_i es la directa interna cerrada suma.

Semántica estándar

La semántica estándar de la lógica cuántica es que la lógica cuántica es la lógica de los operadores de proyección en un espacio separable de Hilbert o pre-Hilbert, donde una p observable está asociada con el conjunto de estados cuánticos para los cuales p (cuando se mide) tiene valor propio 1. A partir de ahí,

• ¬ es el complemento ortogonal de p (porque para esos estados, la probabilidad de observar p, P(p) = 0),
• p∧q es la intersección de p y q, y
• pAlternativaq #pDejarq) se refiere a estados que superpose p y q.

Esta semántica tiene la buena propiedad de que el espacio anterior a Hilbert es completo (es decir, Hilbert) si y sólo si las proposiciones satisfacen la ley ortomodular, un resultado conocido como teorema de Solèr. Aunque gran parte del desarrollo de la lógica cuántica ha sido motivado por la semántica estándar, no se caracteriza por esta última; Hay propiedades adicionales satisfechas por esa red que no tienen por qué ser válidas en la lógica cuántica.

Diferencias con la lógica clásica

La estructura de Q apunta inmediatamente a una diferencia con la estructura de orden parcial de un sistema de proposiciones clásico. En el caso clásico, dada una proposición p, las ecuaciones

⊤ = pAlternativaq y

⊥ = p∧q

tiene exactamente una solución, a saber, el complemento de la teoría de conjuntos de p. En el caso de la red de proyecciones hay infinitas soluciones a las ecuaciones anteriores (cualquier complemento algebraico cerrado de p lo resuelve; no necesita ser el ortocomplemento).

En términos más generales, la valoración proposicional tiene propiedades inusuales en la lógica cuántica. Una red ortocomplementada que admite un homomorfismo de red total en {⊥,⊤} debe ser booleana. Una solución estándar es estudiar homomorfismos parciales máximos q con una propiedad de filtrado:

si a≤b y q()a⊤, entonces q()b) = ⊤.

Fallo de la distributividad

Las expresiones en lógica cuántica describen observables usando una sintaxis que se asemeja a la lógica clásica. Sin embargo, a diferencia de la lógica clásica, la ley distributiva a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) falla cuando se trata de observables que no conmutan, como la posición y el impulso. Esto ocurre porque la medición afecta al sistema y la medición de si una disyunción se cumple no mide cuál de las disyunciones es verdadera.

Por ejemplo, considere una partícula unidimensional simple con la posición denotada por x y el impulso por p, y defina los observables:

• a — SilenciopØ 1 (en algunas unidades)
• b - x ≤ 0
• c x ≥ 0

Ahora, la posición y el impulso son transformadas de Fourier entre sí, y la transformada de Fourier de una función integrable al cuadrado distinta de cero con un soporte compacto es completa y, por lo tanto, no tiene ceros no aislados. Por lo tanto, no existe una función de onda que sea normalizable en el espacio de momento y que desaparezca precisamente en x ≥ 0. Por lo tanto, a ∧ b y de manera similar a ∧ c son falsos, entonces (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) es falso. Sin embargo, a ∧ (b ∨ c) es igual a a, lo cual ciertamente no es falso (existen estados para que es un resultado de medición viable). Además: si el espacio de Hilbert relevante para la dinámica de la partícula sólo admite momentos no mayores que 1, entonces a es verdadera.

Para entender más, sean p₁ y p₂ las funciones de impulso (transformadas de Fourier) para las proyecciones de la función de onda de partículas a x ≤ 0 y x ≥ 0 respectivamente. Sea |p_i|↾_≥1 la restricción de p_i a momentos que son (en valor absoluto) ≥1.

(a ∧ b) ∨ (a ∧ c) corresponde a estados con | p₁|↾_≥1 = |p₂|↾_≥1 = 0 (esto es válido incluso si definimos p de manera diferente para hacer posibles tales estados; además, a ∧ b corresponde a |p₁|↾_≥1=0 y p₂=0) . Mientras tanto, a corresponde a estados con |p|↾_≥1 = 0. Como operador, p = p₁ + p₂ y distinto de cero |p₁|↾_≥1 y |p₂|↾_≥1 podrían interferir para producir cero |p|↾_≥1. Esta interferencia es clave para la riqueza de la lógica cuántica y la mecánica cuántica.

Relación con la medición cuántica

Observables de Mackey

Dada una red ortocomplementada Q, un observable de Mackey φ es un homomorfismo aditivo contable de la red ortocomplementada de subconjuntos de Borel de R a Q . En símbolos, esto significa que para cualquier secuencia {S_i}_i de Subconjuntos de Borel separados por pares de R, {φ(S_i)}_i son proposiciones ortogonales por pares (elementos de Q) y

φ φ ()⋃ ⋃ i=1JUEGO JUEGO Si)=. . i=1JUEGO JUEGO φ φ ()Si).{displaystyle varphi left(bigcup - ¿Qué? }S_{i}right)=sum ¿Qué?

De manera equivalente, un observable de Mackey es una medida valorada por proyección en R.

Teorema (Teorema espectral). Si Q es la red de subespacios cerrados de Hilbert H, entonces existe una correspondencia biyectiva entre los observables de Mackey y los operadores autoadjuntos densamente definidos en H. yo>.

Medidas de probabilidad cuántica

Una medida de probabilidad cuántica es una función P definida en Q con valores en [0,1] tales que P("⊥)=0, P (⊤)=1 y si {E_i}_i es una secuencia de elementos ortogonales por pares de Q entonces

P()⋁ ⋁ i=1JUEGO JUEGO Ei)=. . i=1JUEGO JUEGO P⁡ ⁡ ()Ei).{displaystyle operatorname {P} ! - ¿Qué? }E_{i}right)=sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ {} (E_{i}).}

Cada medida de probabilidad cuántica en los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert es inducida por una matriz de densidad, un operador no negativo de traza 1. Formalmente,

Theorem. Suppose Q es la celo de los subespacios cerrados de un espacio separado Hilbert de dimensión compleja al menos 3. Entonces para cualquier medida de probabilidad cuántica P on Q existe un operador de clase de traza único S tales que

P⁡ ⁡ ()E)=Tr⁡ ⁡ ()SE){displaystyle operatorname {P} (E)=operatorname {Tr} (SE)}

para cualquier proyección autoadjunta E dentro Q.

Relación con otras lógicas

La lógica cuántica se integra en la lógica lineal y la lógica modal B. De hecho, la lógica moderna para el análisis de la computación cuántica a menudo comienza con la lógica cuántica e intenta injertar en ella características deseables de una extensión de la lógica clásica; los resultados necesariamente incorporan la lógica cuántica.

La red ortocomplementada de cualquier conjunto de proposiciones cuánticas se puede integrar en un álgebra booleana, que luego se presta a la lógica clásica.

Limitaciones

Aunque muchos tratamientos de la lógica cuántica suponen que la red subyacente debe ser ortomodular, dichas lógicas no pueden manejar múltiples sistemas cuánticos que interactúan. En un ejemplo debido a Foulis y Randall, hay proposiciones ortomodulares con modelos de Hilbert de dimensión finita cuyo emparejamiento no admite ningún modelo ortomodular. Asimismo, la lógica cuántica con la ley ortomodular falsifica el teorema de deducción.

La lógica cuántica no admite ningún condicional material razonable; cualquier conectivo que sea monótono en cierto sentido técnico reduce la clase de proposiciones a un álgebra de Boole. En consecuencia, la lógica cuántica lucha por representar el paso del tiempo. Una posible solución es la teoría de las filtraciones cuánticas desarrollada a finales de los años 1970 y 1980 por Belavkin. Sin embargo, se sabe que el Sistema BV, un fragmento de inferencia profunda de lógica lineal muy cercano a la lógica cuántica, puede manejar espacios-tiempos discretos arbitrarios.