Logaritmo común

Un gráfico del logaritmo común de números de 0.1 a 100

En matemáticas, el logaritmo común es el logaritmo de base 10. También se le conoce como logaritmo decádico y como logaritmo decimal, llamado así por su base, o logaritmo de Briggsian, en honor a Henry Briggs, un matemático inglés que fue pionero en su uso, así como el logaritmo estándar. Históricamente, se conocía como logarithmus decimalis o logarithmus decadis. Se indica mediante log(x), log₁₀ (x ), o a veces Log(x) con una L (sin embargo, esta notación es ambigua, ya que también puede significar la función multivaluada logarítmica natural compleja). En las calculadoras, se imprime como "log", pero los matemáticos generalmente se refieren al logaritmo natural (logaritmo con base e ≈ 2.71828) en lugar del logaritmo común cuando escriben "log". Para mitigar esta ambigüedad, la especificación ISO 80000 recomienda que log₁₀ (x) debe escribirse lg(x), y log_e (x) debe ser ln(x).

Página de una tabla de logaritmos comunes. Esta página muestra los logaritmos para números de 1000 a 1509 a cinco decimales. La tabla completa cubre valores hasta 9999.

Antes de principios de la década de 1970, las calculadoras electrónicas portátiles no estaban disponibles y las calculadoras mecánicas capaces de multiplicar eran voluminosas, caras y no estaban ampliamente disponibles. En cambio, se usaron tablas de logaritmos en base 10 en ciencias, ingeniería y navegación, cuando los cálculos requerían una mayor precisión que la que se podía lograr con una regla de cálculo. Al convertir la multiplicación y la división en sumas y restas, el uso de logaritmos evitó multiplicaciones y divisiones laboriosas y propensas a errores con papel y lápiz. Debido a que los logaritmos eran tan útiles, se incluyeron tablas de logaritmos en base 10 en los apéndices de muchos libros de texto. Los manuales de matemáticas y navegación también incluían tablas de logaritmos de funciones trigonométricas. Para conocer el historial de dichas tablas, consulte la tabla de registro.

Mantissa y característica

Una propiedad importante de los logaritmos en base 10, que los hace tan útiles en los cálculos, es que el logaritmo de los números mayores que 1 que difieren en un factor de una potencia de 10 tienen todos la misma parte fraccionaria. La parte fraccionaria se conoce como mantisa. Por lo tanto, las tablas de registro solo necesitan mostrar la parte fraccionaria. Las tablas de logaritmos comunes generalmente enumeran la mantisa, con cuatro o cinco decimales o más, de cada número en un rango, p. 1000 a 9999.

La parte entera, llamada característica, se puede calcular simplemente contando cuántos lugares se debe mover el punto decimal, para que quede justo a la derecha del primer dígito significativo. Por ejemplo, el logaritmo de 120 viene dado por el siguiente cálculo:

log10⁡ ⁡ ()120)=log10⁡ ⁡ ()102× × 1.2)=2+log10⁡ ⁡ ()1.2).. 2+0.07918.{displaystyle log _{10}(120)=log _{10}left(10^{2}times 1.2right)=2+log _{10}(1.2)approx 2+0.07918}

El último número (0,07918), la parte fraccionaria o la mantisa del logaritmo común de 120, se puede encontrar en la tabla que se muestra. La ubicación del punto decimal en 120 nos dice que la parte entera del logaritmo común de 120, la característica, es 2.

Logaritmos negativos

Los números positivos menores que 1 tienen logaritmos negativos. Por ejemplo,

log10⁡ ⁡ ()0,012)=log10⁡ ⁡ ()10− − 2× × 1.2)=− − 2+log10⁡ ⁡ ()1.2).. − − 2+0,07918=− − 1.92082.{displaystyle log _{10}(0.012)=log _{10}left(10^{-2}times 1.2right)=-2+log _{10}(1.2)approx -2+0.07918=-1.92082.}

Para evitar la necesidad de tablas separadas para convertir logaritmos positivos y negativos a sus números originales, se puede expresar un logaritmo negativo como una característica de entero negativo más una mantisa positiva. Para facilitar esto, se utiliza una notación especial, llamada notación de barra:

log10⁡ ⁡ ()0,012).. 2̄ ̄ +0,07918=− − 1.92082.{displaystyle log _{10}(0.012)approx {bar {2}+0.07918=-1.92082.}

La barra sobre la característica indica que es negativa, mientras que la mantissa sigue siendo positiva. Al leer un número en la notación de la barra en voz alta, el símbolo n̄ ̄ {displaystyle {bar {n}} se lee como "bar" n", así que 2̄ ̄ .07918{displaystyle {bar {2}}.07918} se lee como "bar 2 punto 07918...". Una convención alternativa es expresar el logaritmo modulo 10, en cuyo caso

log10⁡ ⁡ ()0,012).. 8.07918mod10,{displaystyle log _{10}(0.012)approx 8.07918{bmod {1}0}0,}

con el valor real del resultado de un cálculo determinado por el conocimiento del rango razonable del resultado.

El siguiente ejemplo utiliza la notación de barra para calcular 0,012 × 0,85 = 0,0102:

Como se ha encontrado anteriormente,log10⁡ ⁡ ()0,012).. 2̄ ̄ .07918Desdelog10⁡ ⁡ ()0.85)=log10⁡ ⁡ ()10− − 1× × 8,5)=− − 1+log10⁡ ⁡ ()8,5).. − − 1+0.92942=1̄ ̄ .92942log10⁡ ⁡ ()0,012× × 0.85)=log10⁡ ⁡ ()0,012)+log10⁡ ⁡ ()0.85).. 2̄ ̄ .07918+1̄ ̄ .92942=()− − 2+0,07918)+()− − 1+0.92942)=− − ()2+1)+()0,07918+0.92942)=− − 3+1.00860=− − 2+0,00860Alternativa Alternativa .. log10⁡ ⁡ ()10− − 2)+log10⁡ ⁡ ()1.02)=log10⁡ ⁡ ()0,01× × 1.02)=log10⁡ ⁡ ()0,0102).0,0 0,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

* Este paso hace que la mantisa esté entre 0 y 1, de modo que se pueda buscar su antilogaritmo (10^mantisa).

La siguiente tabla muestra cómo se puede usar la misma mantisa para un rango de números que difieren en potencias de diez:

Note que el mantissa es común a todos los 5 × 10ⁱ. Esto es válido para cualquier número real positivox{displaystyle x} porque

log10⁡ ⁡ ()x× × 10i)=log10⁡ ⁡ ()x)+log10⁡ ⁡ ()10i)=log10⁡ ⁡ ()x)+i.{displaystyle log _{10}left(xtimes 10^{i}right)=log _{10}(x)+log _{10}left(10^{i}right)=log _{10}(x)+i.}

Desde i es una constante, el mantissa viene de log10⁡ ⁡ ()x){displaystyle log _{10}(x)}, que es constante para dar x{displaystyle x}. Esto permite que una tabla de logaritmos incluya sólo una entrada para cada mantissa. En el ejemplo de 5 × 10ⁱ, 0.698 970 (004 336 018...) se enumerará una vez indexado por 5 (o 0,5 o 500, etc.).

Los números se colocan en escalas de reglas de diapositivas a distancias proporcionales a las diferencias entre sus logaritmos. Al agregar mecánicamente la distancia de 1 a 2 en la escala inferior a la distancia de 1 a 3 en la escala superior, se puede determinar rápidamente que 2 × 3 = 6.

Historia

Los logaritmos comunes a veces también se denominan "logaritmos de Briggsian" después de Henry Briggs, un matemático británico del siglo XVII. En 1616 y 1617, Briggs visitó a John Napier en Edimburgo, el inventor de lo que ahora se llama logaritmos naturales (base-e), para sugerir un cambio en los logaritmos de Napier. Durante estas conferencias se acordó la alteración propuesta por Briggs; y después de su regreso de su segunda visita, publicó el primer chiliad de sus logaritmos.

Debido a que los logaritmos en base 10 eran más útiles para los cálculos, los ingenieros generalmente simplemente escribieron "log(x)" cuando se referían a log₁₀ (x). Los matemáticos, por otro lado, escribieron "log(x)" cuando querían decir log_e (x) para el logaritmo natural. Hoy en día, ambas notaciones se encuentran. Dado que las calculadoras electrónicas portátiles están diseñadas por ingenieros en lugar de matemáticos, se hizo habitual que siguieran a los ingenieros. notación. Así que la notación, según la cual se escribe "ln(x)" cuando se trata del logaritmo natural, puede haber sido popularizado aún más por la misma invención que hizo el uso de "logaritmos comunes" Mucho menos comunes, calculadoras electrónicas.

Valor numérico

Las llaves del logaritmolog para base-10 y In para base-e) en una calculadora científica típica. El advenimiento de calculadoras portátiles elimina en gran medida el uso de logaritmos comunes como una ayuda para la computación.

El valor numérico del logaritmo en base 10 se puede calcular con las siguientes identidades:

log10⁡ ⁡ ()x)=In⁡ ⁡ ()x)In⁡ ⁡ ()10){displaystyle log _{10}(x)={frac {ln(x)}{ln(10)}quad } o log10⁡ ⁡ ()x)=log2⁡ ⁡ ()x)log2⁡ ⁡ ()10){displaystyle quad log _{10}(x)={frac {log _{2}(x)}{log _{2}(10)}quad } o log10⁡ ⁡ ()x)=logB⁡ ⁡ ()x)logB⁡ ⁡ ()10){displaystyle quad log _{10}(x)={frac {log _{B}(x)}{log _{B}(10)}quad }

usando logaritmos de cualquier base disponible B.{displaystyle ,B~.}

ya que existen procedimientos para determinar el valor numérico del logaritmo base e (ver Logaritmo natural § Cálculo eficiente) y el logaritmo base 2 (ver Algoritmos para calcular logaritmos binarios).

Derivado

La derivada de un logaritmo de base b es tal que

ddxlogb⁡ ⁡ ()x)=1xIn⁡ ⁡ ()b){displaystyle {d over dx}log _{b}(x)={1 over xln(b)}}Así que ddxlog10⁡ ⁡ ()x)=1xIn⁡ ⁡ ()10){displaystyle {d over dx}log _{10}(x)={1 over xln(10)}}.