Lista de identidades logarítmicas

En matemáticas, existen muchas identidades logarítmicas. La siguiente es una compilación de los más destacados, muchos de los cuales se utilizan con fines computacionales.

Identidades triviales

${displaystyle log _{b}(1)=0}$	porque	${displaystyle B^{0}=1}$, dado que b no es igual a 0
${displaystyle log _{b}(b)=1}$	porque	${displaystyle B^{1}=b}$

Explicaciones

Por definición, sabemos que:

${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {grien}ycolor {black})=color {red}xcolor} {Neck}color {blue}bcolor {black}color {x}color {black}=color {ver}ycolor {black}}$,

Donde ${displaystyle color {blue}bcolor {black}neq 0}$.

Ajuste ${displaystyle color {red}xcolor {black}=0}$, podemos ver que: ${fn} {fn}fn} {fn}fn}fn} {fnh}fn}f} {fn}}fn}f}fn} {fn}fn}fn}f}fnK}f}fnK}fnK}f}b}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}c}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}c}b}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}$. Por lo tanto, sustituyendo estos valores a la fórmula, vemos que: ${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {grien}ycolor {black})=color {red}xcolor} {Neck}iff color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {blue}1color {black}=color {red}0color {black}}$, que nos consigue la primera propiedad.

Ajuste ${displaystyle color {red}xcolor {black}=1}$, podemos ver que: ${fn}fn} {fn}fn}fn}fn} {fn}fn}c}c}c}c}cc}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}ccH0}c}c}cc}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cc}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}ccccc}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c$. Por lo tanto, sustituyendo estos valores a la fórmula, vemos que: ${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {grien}ycolor {black})=color {red}xcolor} {Neck}iff color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {blue}bcolor {black}=color {red}1color {black}}$, que nos consigue la segunda propiedad.

Muchas identidades matemáticas se llaman triviales , solo porque son relativamente simples (normalmente desde la perspectiva de un matemático experimentado). Esto no quiere decir que llamar a una identidad o fórmula trivial signifique que no es importante.

Cancelar exponenciales

Logaritmos y exponenciales con la misma base se cancelan entre sí. Esto es cierto porque los logaritmos y las exponenciales son operaciones inversas, de la misma manera que la multiplicación y la división son operaciones inversas, y la suma y la resta son operaciones inversas.

${displaystyle b^{log _{b}(x)}=x{text{ because }{mbox{antilog}}_{b}(log _{b}(x)=x}$

${displaystyle log _{b}(b^{x})=x{text{ because }log _{b}({mbox{antilog}}_{b}(x)=x}$

Ambos de los anteriores se derivan de las dos ecuaciones siguientes que definen un logaritmo: (nota que en esta explicación, las variables ${displaystyle color {red}xcolor {black}$ y ${displaystyle x}$ no se refiere al mismo número)

${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {grien}ycolor {black})=color {red}xcolor} {Neck}color {blue}bcolor {black}color {x}color {black}=color {ver}ycolor {black}}$

Mirando la ecuación ${displaystyle color {blue}bcolor {black}color {x}color {black}=color {ver}ycolor {black}}$, y sustitución del valor ${displaystyle color {red}xcolor {black}$ de ${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {grien}ycolor {black})=color {red}xcolor {black}}$, obtenemos la siguiente ecuación: ${displaystyle color {blue}bcolor {black}color {blue}color {black}=color {grien}ycolor {black}color {blue}bcolor {black}color {black}color {red}{log} {b}(y)}color {black}=color {ver}ycolor}ycolor}color {color}color}ycolor} {color}color}color}color {color} {color}color}ycolor}} {color} {color}color}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {be} {color {color {color {color {color {color {color}}}}}}}}}color {color {color}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {Neck}iff color {blue}bcolor {black}color {red}{color} {color}} {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {grien}ycolor {black}}color {black}=color {grien}ycolor {black}}}}color {black}}}color {black}}}color {black}}}}color {black}}}}}}}color {black}}}}}}color {black}}}}}}color {black}}}}}}}}}}}}}}}}}}color {black}}color {black}}}color {black}}}}}}color {black}}}}}}}color {black}}color {black}}}}color {black}}color {black}}color {black}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$, que nos consigue la primera ecuación. Otra manera más difícil de pensar en ello es que ${displaystyle color {blue}bcolor {black}color {text{something}color {black}=color {grien}ycolor {black}}$, y eso "${displaystyle color {red}{text{something}}$" ${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {grien}ycolor {black}}$.

Mirando la ecuación ${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {grien}ycolor {black})=color {red}xcolor {black}}$, y sustitución del valor ${displaystyle color {verde}ycolor {Negro}$ de ${displaystyle color {blue}bcolor {black}color {x}color {black}=color {ver}ycolor {black}}$, obtenemos la siguiente ecuación: ${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {grien}ycolor {black})=color {red}xcolor} {Neck}iff color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {grien}b^{x}color {black})=color {red}xcolor} {black}iff color {black}log color {blue}_{b}color {black}({color {blue}bcolor {black}color {black}color {black}}color {black}=color {black})=color {black}xcolor {black}}}}}}}}color {black}}}}}color {black}}}}color {black}}color {black}}}}color {black}color {black}}color {black}}}}color {color {black}}}}}}}}}}color {black}}color {black}color {color {black}}}color {color {black}}color {black}}}color {black}}}}}}}}}}}}color {color {black}color {color {black}}}color {color {color {$, que nos consigue la segunda ecuación. Otra manera más difícil de pensar en ello es que ${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {grien}{text{something}}color {black})=color {red}xcolor {black} {black}}}$, y eso algo "${displaystyle color {verde}{text{something}}$" ${displaystyle color {blue}bcolor {black}color {red}color {black}}}$.

Uso de operaciones más simples

Se pueden utilizar logaritmos para facilitar los cálculos. Por ejemplo, dos números se pueden multiplicar simplemente usando una tabla de logaritmos y sumando. A menudo se conocen como propiedades logarítmicas, que se documentan en la siguiente tabla. Las primeras tres operaciones a continuación asumen que x = b^c y/o y = b^d, entonces que log_b(x) = c y < span class="texhtml">log_b(y) = d. Las derivaciones también usan las definiciones de registro x = b^{log_b (x)} y x = log_b(b^x).

${displaystyle log _{b}(xy)=log _{b}(x)+log _{b}(y)}$	porque	${displaystyle ¿Qué?$
${displaystyle log _{b}({tfrac {x}{y})=log _{b}(x)-log _{b}(y)}$	porque	${displaystyle {tfrac {c}{b}}=b^{c-d} {c}} {c}} {c}}} {c}}} {c}}}}} {c}}}} {c}}}}}}} {ccc}}}}}}}}}}}}}}$
${displaystyle log _{b}(x^{d})=dlog _{b}(x)}$	porque	${displaystyle (b^{c} {d}=b^{cd}$
${displaystyle log _{b}left({sqrt[{y}right)={frac {log _{b}(x)}{y}}}$	porque	${displaystyle {sqrt[{y}}=x^{1/y}$
${displaystyle x^{log _{b}(y)}=y^{log _{b}(x)}$	porque	${displaystyle x^{log _{b}(y)}=b^{log _{b}(x)log _{b}(y)}=(b^{log _{b}(y)})^{log _{b}(x)}=y^{log _{b}(x)}}}}}}$
${displaystyle clog _{b}(x)+dlog _{b}(y)=log _{b}(x^{c}y^{d}) }$	porque	${displaystyle log _{b}(x^{c}y^{d})=log _{b}(x^{c})+log _{b}(y^{d})}$

Donde ${displaystyle b}$, ${displaystyle x}$, y ${displaystyle y}$ son números reales positivos y ${displaystyle bneq 1}$, y ${displaystyle c}$ y ${displaystyle d}$ son números reales.

Las leyes resultan de cancelar exponenciales y la correspondiente ley de índices. Comenzando con la primera ley:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {b} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft ] {b} {b} {b} {b} {g}f}}b}b} {b} {b}b}}gnMicrob}}}}}}}}}}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b} {b} {b} {b} {b} {b}b} {b}b}b}b}b} {b} {b}b}}b}b}b}b}b}b}b}}b}}$

La ley de potencias explota otra de las leyes de índices:

${displaystyle x^{y}=(b^{log _{b}(x)})^{y}=b^{ylog _{b}(x)}Rightarrow log _{b}(x^{y})=ylog _{b}(x)}}}$

La ley relativa a los cocientes es la siguiente:

${displaystyle log _{b}{bigg (}{frac {x}{y}{bigg)}=log _{b}(xy^{-1})=log _{b}(x)+log _{b}(y^{-1})=log _{b}(x)-log _{b}(y)}$

${displaystyle log _{b}{bigg (}{frac {1}{bigg)}=log _{b}(y^{-1})=-log _{b}(y)}$

Del mismo modo, la ley de la raíz se obtiene reescribiendo la raíz como una potencia recíproca:

${displaystyle log _{b}({sqrt[{y}})=log _{b}(x^{frac {1}{y}})={frac {1}{y}}log _{b}(x)}}} {f}} {f} {f}}} {f}} {f}} {f}}}}}}g}}}g}g}g}}g}g}}}g}g}}}g}g}}g}}}}}g}gnun}}g}g}}}}}g}g}}}gnun}gnun}gnun}}gnun}gnun}}gnungnun}}gnun}}}}}}}}}}}}}gnun}gnungnun}}gnun}}}}}}}}$

Derivaciones de reglas de productos, cocientes y potencias

Estas son las tres leyes/reglas/principios principales de los logaritmos, a partir de los cuales se pueden probar las otras propiedades enumeradas anteriormente. Cada una de estas propiedades del logaritmo corresponde a su respectiva ley de exponente, y sus derivaciones/pruebas dependerán de esos hechos. Hay múltiples formas de derivar/probar cada ley de logaritmo; este es solo un método posible.

Logaritmo de un producto

Para enunciar formalmente la ley del logaritmo de un producto:

${displaystyle forall bin mathbb {R} _{+},bneq 1,forall x,y,in mathbb {R} _{+},log _{b}(xy)=log _{b}(x)+log _{b}(y)}$

Derivación:

Vamos ${displaystyle bin mathbb [R] _{+}$, donde ${displaystyle bneq 1}$, y dejar ${displaystyle x,yin mathbb [R] _{+}$. Queremos relacionar las expresiones ${displaystyle log _{b}(x)}$ y ${displaystyle log _{b}(y)}$. Esto se puede hacer más fácilmente reescribiendo en términos de exponenciales, cuyas propiedades ya conocemos. Además, ya que vamos a referirnos a ${displaystyle log _{b}(x)}$ y ${displaystyle log _{b}(y)}$ bastante a menudo, les daremos algunos nombres variables para hacer trabajar con ellos más fácil: Vamos ${displaystyle m=log _{b}(x)}$, y dejar ${displaystyle n=log _{b}(y)}$.

Reescribir estos como exponenciales, vemos que ${displaystyle m=log _{b}(x)iff b^{m}=x}$ y ${displaystyle n=log _{b}(y)iff b^{n}=y}$. Desde aquí, podemos relacionarnos ${displaystyle b^{m}$ (i.e. ${displaystyle x}$) y ${displaystyle b^{n}$ (i.e. ${displaystyle y}$) usando leyes exponentes como

${displaystyle xy=(b^{m})(b^{n}=b^{m}cdot B^{n}=b^{m+n}$

Para recuperar los logaritmos, aplicamos ${displaystyle log _{b}$ a ambas partes de la igualdad.

${displaystyle log _{b}(xy)=log _{b}(b^{m+n}$

El lado derecho puede ser simplificado usando una de las propiedades de logaritmo desde antes: sabemos que ${displaystyle log _{b}(b^{m+n})=m+n}$, dar

${displaystyle log _{b}(xy)=m+n}$

Ahora resustituyemos los valores por ${displaystyle m}$ y ${displaystyle n}$ en nuestra ecuación, así que nuestra expresión final es sólo en términos de ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$, y ${displaystyle b}$.

${displaystyle log _{b}(xy)=log _{b}(x)+log _{b}(y)}$

Esto completa la derivación.

Logaritmo de un cociente

Para expresar formalmente el logaritmo de un cociente ley:

${displaystyle forall bin mathbb {R} _{+},bneq 1,forall x,y,in mathbb {R} _{+},log _{b}left({frac {x}{y}right)=log _{b}(x)-log _{b}(y)}$

Derivación:

Vamos ${displaystyle bin mathbb [R] _{+}$, donde ${displaystyle bneq 1}$, y dejar ${displaystyle x,yin mathbb [R] _{+}$.

Queremos relacionar las expresiones ${displaystyle log _{b}(x)}$ y ${displaystyle log _{b}(y)}$. Esto se puede hacer más fácilmente reescribiendo en términos de exponenciales, cuyas propiedades ya conocemos. Además, ya que vamos a referirnos a ${displaystyle log _{b}(x)}$ y ${displaystyle log _{b}(y)}$ bastante a menudo, les daremos algunos nombres variables para hacer trabajar con ellos más fácil: Vamos ${displaystyle m=log _{b}(x)}$, y dejar ${displaystyle n=log _{b}(y)}$.

Reescribir estos como exponenciales, vemos que: ${displaystyle m=log _{b}(x)iff b^{m}=x}$ y ${displaystyle n=log _{b}(y)iff b^{n}=y}$. Desde aquí, podemos relacionarnos ${displaystyle b^{m}$ (i.e. ${displaystyle x}$) y ${displaystyle b^{n}$ (i.e. ${displaystyle y}$) usando leyes exponentes como

${displaystyle {frac {fn}}={frac {fnh}{} {fn}}}={frac {fn}} {fn}}} {fnK}}}} {fnfn}}}}}={f} {m} {m} {n}}=b^{m-n}}$

Para recuperar los logaritmos, aplicamos ${displaystyle log _{b}$ a ambas partes de la igualdad.

${displaystyle log _{b}left({frac {x}{y}right)=log _{b}left(b^{m-n}right)}$

El lado derecho puede ser simplificado usando una de las propiedades de logaritmo desde antes: sabemos que ${displaystyle log _{b}(b^{m-n})=m-n}$, dar

${displaystyle log _{b}left({frac {x}{y}right)=m-n}$

Ahora resustituyemos los valores por ${displaystyle m}$ y ${displaystyle n}$ en nuestra ecuación, así que nuestra expresión final es sólo en términos de ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$, y ${displaystyle b}$.

${displaystyle log _{b}left({frac {x}{y}right)=log _{b}(x)-log _{b}(y)}$

Esto completa la derivación.

Logaritmo de una potencia

Para enunciar formalmente el logaritmo de una potencia ley,

${displaystyle forall bin mathbb {R} _{+},bneq 1,forall xin mathbb {R} _{+},forall rin mathbb {R}log _{b}(x^{r})=rlog _{b}(x)}$

Derivación:

Vamos ${displaystyle bin mathbb [R] _{+}$, donde ${displaystyle bneq 1}$, vamos ${displaystyle xin mathbb [R] _{+}$, y dejar ${displaystyle rin mathbb {R}$. Para esta derivación, queremos simplificar la expresión ${displaystyle log _{b}(x^{r}}$. Para hacer esto, comenzamos con la expresión más simple ${displaystyle log _{b}(x)}$. Ya que vamos a usar ${displaystyle log _{b}(x)}$ a menudo, lo definiremos como una nueva variable: Vamos ${displaystyle m=log _{b}(x)}$.

Para manipular más fácilmente la expresión, la reescribimos como exponencial. Por definición, ${displaystyle m=log _{b}(x)iff b^{m}=x}$Así que tenemos

${displaystyle B^{m}=x}$

Similar a las derivaciones anteriores, aprovechamos otra ley exponente. Para tener ${displaystyle x^{r}$ en nuestra expresión final, elevamos ambos lados de la igualdad al poder de ${displaystyle r}$:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$

donde usamos la ley exponente ${displaystyle (b^{m}=b^{mr}$.

Para recuperar los logaritmos, aplicamos ${displaystyle log _{b}$ a ambas partes de la igualdad.

${displaystyle log _{b}(b^{mr})=log _{b}(x^{r})}$

El lado izquierdo de la igualdad se puede simplificar utilizando una ley de logaritmo, que establece que ${displaystyle log _{b}(b^{mr})=mr}$.

${displaystyle mr=log _{b}(x^{r}}$

Sustitución del valor original ${displaystyle m}$, reorganización y simplificación da

${displaystyle {begin{aligned}left(log _{b}(x)right)r correspond=log _{b}(x^{r})log _{b}(x)}=log _{b}(x^{r})log _{b} {} {}} {}} {}}{b}}} {d}}} {}}}}}}}}}}} {f}}} {b} {b}}}}}}}}} {b}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}} {b}}}}} {b} {b} {b} {b} {b} {b} {b}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}b} {b}} {b}$

Esto completa la derivación.

Cambiar la base

Para establecer formalmente la fórmula del logaritmo de cambio de base:

${displaystyle forall a,bin mathbb {R} _{+},a,bneq 1forall xin mathbb {R} _{+},log _{b}(x)={frac {log _{a}(x)}{log _{a}(b)}}}}$

Esta identidad es útil para evaluar logaritmos en calculadoras. Por ejemplo, la mayoría de las calculadoras tienen botones para ln y para log10, pero no todas las calculadoras tienen botones para el logaritmo de una base arbitraria.

Prueba/derivación

Vamos ${displaystyle a,bin mathbb {R} _{+}$, donde ${displaystyle a,bneq 1}$ Vamos ${displaystyle xin mathbb [R] _{+}$. Aquí, ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ son las dos bases que usaremos para los logaritmos. No pueden ser 1, porque la función de logaritmo no está bien definida para la base de 1. El número ${displaystyle x}$ será lo que el logaritmo está evaluando, por lo que debe ser un número positivo. Ya que estamos tratando con el término ${displaystyle log _{b}(x)}$ con bastante frecuencia, lo define como una nueva variable: Vamos ${displaystyle m=log _{b}(x)}$.

Para manipular más fácilmente la expresión, se puede reescribir como exponencial.

${displaystyle B^{m}=x}$

Aplicar ${displaystyle log _{a}}$ a ambas partes de la igualdad,

${displaystyle log _{a}(b^{m})=log _{a}(x)}$

Ahora, usando el logaritmo de una propiedad de poder, que afirma que ${displaystyle log _{a}(b^{m})=mlog _{a}(b)}$,

${displaystyle mlog _{a}(b)=log _{a}(x)}$

Isolating ${displaystyle m}$, obtenemos lo siguiente:

${displaystyle m={frac {log _{a}(x)}{log _{a}(b)}}}$

Reemplazamiento ${displaystyle m=log _{b}(x)}$ volver a la ecuación,

${displaystyle log _{b}(x)={frac {log _{a}{log _{a}(b)}}}}}$

Esto completa la prueba de que ${displaystyle log _{b}(x)={frac {log _{a}{log _{a}(b)}}}}}$.

Esta fórmula tiene varias consecuencias:

${displaystyle log _{b}a={frac {1}{log} {} {}} {}{a}b}}} {}} {} {c}} {c}}} {c}}}}}}} {c}}} {c}} {c}} {c}} {c}}}} {c}}}}}}}} {c}}}}}}}} {c}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}} {c} {c}}}}}} {c}} {c}}}}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}} {c}}}}} {c}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${displaystyle log _{b^{n}a={log _{b}a over n}$

${displaystyle b^{log _{}d}d^{log}b}$

${displaystyle -log _{b}a=log _{b}left({1over a}right)=log _{1/b}a}$

${displaystyle log ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué?$

Donde ${textstylepi}$ es cualquier permutación de los subscriptos 1,...,n. Por ejemplo

${displaystyle log _{b}wcdot log _{a}xcdot log _{d}ccdot log _{d}z=log ¿Qué? _{b}xcdot log _{a}ccdot log _{d}z.}$

Suma/resta

La siguiente regla de suma/resta es especialmente útil en la teoría de la probabilidad cuando se trata de una suma de log-probabilidades:

${displaystyle log _{b}(a+c)=log _{b}a+log _{b}left(1+{frac}right)}$	porque	${displaystyle left(a+cright)=atimes left(1+{frac {c}{a}right)}$
${displaystyle log _{b}(a-c)=log _{b}a+log _{b}left(1-{frac {c}}right)}$	porque	${displaystyle left(a-cright)=atimes left(1-{frac {c}{a}right)}}$

Tenga en cuenta que la identidad de subtracción no se define si ${displaystyle a=c}$, ya que el logaritmo de cero no se define. Observa también que, cuando se programa, ${displaystyle a}$ y ${displaystyle c}$ puede tener que cambiar en el lado derecho de las ecuaciones si ${displaystyle c confiara}$ para evitar perder el "1 +" debido a errores de redondeo. Muchos idiomas de programación tienen un idioma específico log1p(x) función que calcula ${displaystyle log _{e}(1+x)}$ sin flujo (cuando ${displaystyle x}$ es pequeño).

De manera más general:

${displaystyle log _{b}sum limits ¿Por qué? _{b}a_{0}+log _{b}left(1+sum limits ¿Por qué? {a_{i} {a_{0}}right)=log _{b}a_{0}+log _{b}left(1+sum limits _{i=1}^{N}b^{left(log) ¿Qué? - Sí.$

Exponentes

Una identidad útil que implica exponentes:

${displaystyle x^{frac {log(x)}{log(x)}=log(x)}}$

o más universalmente:

${displaystyle x^{frac {log(a)}{log(x)}=a}$

Otras identidades/resultantes

${displaystyle {frac {1}{frac {1}{x}(a)}}+{frac {1}{log _{y}(a)}}}}=log _{xy}(a)} {} {f} {f}} {f}}} {f}}}}} {f}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f} {f}} {f}}} {f} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}} {f} {f}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}$

${displaystyle {frac {1}{frac {1}{x}(a)}}-{frac {1}{log _{y}(a)}}}}=log _{frac {x}{y} {} {} {} {} {f}} {f}}}} {f}} {f} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}} {f} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Desigualdades

Basado en y

${displaystyle {frac {x}{1+x}leq ln(1+x)leq {frac {x(6+x)}{6+4x}}leq x{mbox{ for all }{-1} {=0}$

${displaystyle {begin{aligned}{2x}{2+x} {leq 3-{sqrt {frac {27}{3+2x}}}leq {frac {x}{sqrt} {sqrt}} {f} {f}}}} {b}}}}} {m}}}}} {m}}}}}}}} {f}}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f} {b}}}}}f}f}f} {b}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f} {f}b}f}f}b}b}b}f}}b}f}}f}fn {1+x+x^{2}}}[4pt] {1+x}}[4pt] âtext{ for }0leq x{text{, reverse for }{-1}{0leq 0end{aligned}}}}0leq x{text{, reverse for }{-1}{-1}{0}{aligned}}}}} {}}}}}}} {0}{1+x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}} {cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc$

Todos son precisos ${displaystyle x=0}$, pero no para grandes números.

Identidades de cálculo

Límites

${displaystyle lim _{xto 0^{+}}log _{a}(x)=-infty quad {mbox{if }}a Conf1}$

${displaystyle lim _{xto 0^{+}}log _{a}(x)=infty quad {mbox{if }0 Seguido1}$

${displaystyle lim _{xto infty }log _{a}(x)=infty quad {mbox{if }a Conf1}$

${displaystyle lim _{xto infty }log _{a}(x)=-infty quad {mbox{if }0 madea meant1}$

${displaystyle lim _{xto 0^{+}x^{b}log _{a}(x)=0quad {mbox{if}}b Conf0}$

${displaystyle lim _{xto infty}{frac {log _{a}(x}{x^{b}}}=0quad {mbox{if}b}0}$

El último límite suele resumirse como "los logaritmos crecen más lentamente que cualquier potencia o raíz de x".

Derivadas de funciones logarítmicas

${displaystyle {d over dx}ln x={1 over x},x confía0}$

${displaystyle {d over dx}ln Новывывыены={1 over x},xneq 0}$

${displaystyle {d over dx}log _{a}x={1over xln a},x título0,a título0,{text{ and }aneq 1}$

Definición integral

${displaystyle ln x=int _{1}{x}{frac {1}{t} dt}$

Integrales de funciones logarítmicas

${displaystyle int ln x,dx=xln x-x+C=x(ln x-1)+C}$

${displaystyle int log ¿Por qué?$

Para recordar integrales superiores, es conveniente definir

${displaystyle x^{left[nright]}=x^{n}(log(x)-H_{n}}$

Donde ${displaystyle H_{n}$ es n^T número armónico:

${displaystyle x^{left[0right]}=log x}$

${displaystyle x^{left[1right]}=xlog(x)-x}$

${displaystyle x^{left[2right]}=x^{2}log(x)-{begin{matrix}{frac {3} {2}end{matrix}x^{2}$

${displaystyle x^{left[3right]}=x^{3}log(x)-{begin{matrix}{frac {11}{6}}end{matrix}x^{3}}} {}}}}} {f}}}}$

Entonces

${displaystyle {frac {dx},x^{left[nright]=nx^{left[n-1right]}$

${displaystyle int x^{left[nright],dx={frac {x^{left[n+1right]}{n+1}+C}$

Aproximación de números grandes

Las identidades de los logaritmos se pueden usar para aproximar números grandes. Tenga en cuenta que log_b(a) + log_{b< /sub>(c) = logb(ac)}, donde a , b y c son constantes arbitrarias. Supongamos que uno quiere aproximarse al primo de Mersenne número 44, 2^32,582,657 −1. Para obtener el logaritmo en base 10, multiplicaríamos 32 582 657 por log₁₀(2), obteniendo 9 808 357,09543 = 9 808 357 + 0,09543. Entonces podemos obtener 10^{9 808 357} × 10^0,09543 ≈ 1,25 × 10^{9 808 357}.

Del mismo modo, los factoriales se pueden aproximar sumando los logaritmos de los términos.

Identidades de logaritmos complejos

El logaritmo complejo es el número complejo análogo a la función logarítmica. Ninguna función de un solo valor en el plano complejo puede satisfacer las reglas normales para los logaritmos. Sin embargo, se puede definir una función multivaluada que satisfaga la mayoría de las identidades. Es habitual considerar esto como una función definida sobre una superficie de Riemann. Se puede definir una versión de un solo valor, denominada valor principal del logaritmo, que es discontinua en el eje x negativo y es igual a la versión de varios valores en un solo corte de rama.

Definiciones

En lo que sigue, se usa una primera letra mayúscula para el valor principal de las funciones, y la versión en minúsculas se usa para la función multivaluada. La versión de valor único de definiciones e identidades siempre se da primero, seguida de una sección separada para las versiones de valor múltiple.

In...r) es el logaritmo natural estándar del número real r.

Arg(z) es el valor principal de la función arg; su valor está restringido a (π -, π). Puede ser calculado usando Arg(x+i) = atan2(Sí.,x).

Log(z) es el valor principal de la función logaritmo compleja y tiene parte imaginaria en el rango (π -, π).

${displaystyle operatorname {Log} (z)=ln(Sobreviviente)+ioperatorname {Arg} (z)}$

${displaystyle e^{fnMimbre de operador {Log} (z)}=z}$

La versión de valores múltiples de log(z) es un conjunto, pero es más fácil escribirlo sin llaves y usarlo en las fórmulas siguientes reglas obvias.

log(z) es el conjunto de números complejos v que satisfacen e^v = z

arg(z) es el conjunto de posibles valores de la función arg aplicada a z.

Cuando k es cualquier número entero:

${displaystyle log(z)=ln(vivienda)+iarg(z)}$

${displaystyle log(z)=operatorname {Log} (z)+2pi ik}$

${displaystyle e^{log(z)}=z}$

Constantes

Formas de valores principales:

${displaystyle operatorname {Log} (1)=0}$

${displaystyle operatorname {Log} (e)=1}$

Formas de valores múltiples, para cualquier k un entero:

${displaystyle log(1)=0+2pi ik}$

${displaystyle log(e)=1+2pi ik}$

Resumen

Formas de valores principales:

${displaystyle operatorname {Log} (z_{1})+operatorname {Log} (z_{2}=operatorname {Log} (z_{1}z_{2}){pmod {2pi i}} {fnK}} {cH0}} {cH0}} {cH0}}}}} {cH0}}} {cH00}}} {cH00}}}}} {cH00}}}}}}}}} {cH}}}}}}} {b}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}} {b}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {pmod}}} {pmod}} {pmod}}}}}}}}} {pmod {pmod}}}}}}}}} {pmod {pmod}} {pmod}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${displaystyle operatorname {Log} (z_{1})+operatorname {Log} (z_{2}=operatorname {Log} (z_{1}z_{2})quad (-pi > = > {Arg} (z_{1})+operatorname {Arg} (z_{2})leq pi;{text{ e.g., }operatorname {Arg} {Re} z_{1}geq 0{text{ and }operatorname {Re} z_{2} {0}}$

${displaystyle operatorname {Log} (z_{1})-operatorname {Log} (z_{2}=operatorname {Log} (z_{1}/z_{2}){pmod {2pi}}}$

${displaystyle operatorname {Log} (z_{1})-operatorname {Log} (z_{2}=operatorname {Log} (z_{1}/z_{2})quad (-pi > = `operatorname {Arg} (z_{1})-operatorname {Arg} (z_{2})leq pi;{text{ e.g., }operatorname {Re} z_{1}geq 0{text{ and }operatorname {Re} z_{2} {0}}$

Formas de valores múltiples:

${displaystyle log(z_{1})+log(z_{2})=log(z_{1}z_{2}}}$

${displaystyle log(z_{1})-log(z_{2})=log(z_{1}/z_{2}}$

Poderes

Una potencia compleja de un número complejo puede tener muchos valores posibles.

Forma de valor principal:

${displaystyle {z_{1}} {z_{2}=e^{z_{2}operatorname {Log} (z_{1}}}$

${displaystyle operatorname {Log} {left({z_{1}}{z_{2}right)}=z_{2}operatorname Log.$

Formas de valores múltiples:

${displaystyle {z_{1}} {z_{2}=e^{z_{2}log(z_{1}}}}}$

Donde k₁, k< sub>2 son números enteros:

${displaystyle log {left({z_{1}}{z_{2}right)}=z_{2}log(z_{1})+2pi ik_{2}$

${displaystylelog {left}{z_{2}right)}=z_{2}operatorname {Log} (z_{1})+z_{2}2pi ik_{1}+2pi ik_{2}$