Leyes de Newton

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Las leyes del movimiento de Newton son tres leyes básicas de la mecánica clásica que describen la relación entre el movimiento de un objeto y las fuerzas que actúan sobre él. Estas leyes se pueden parafrasear de la siguiente manera:

Un cuerpo permanece en reposo o en movimiento con velocidad constante en línea recta, a menos que una fuerza actúe sobre él.
Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, la tasa de cambio en el tiempo de su cantidad de movimiento es igual a la fuerza.
Si dos cuerpos ejercen fuerzas entre sí, estas fuerzas tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas.

Las tres leyes del movimiento fueron enunciadas por primera vez por Isaac Newton en su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Principios matemáticos de la filosofía natural), publicado originalmente en 1687. Newton las usó para investigar y explicar el movimiento de muchos objetos y sistemas físicos, lo que sentó las bases. para la mecánica clásica. En el tiempo transcurrido desde Newton, el contenido conceptual de la física clásica se ha reformulado de formas alternativas, involucrando diferentes enfoques matemáticos que han producido ideas que estaban oscurecidas en la formulación newtoniana original. También se han descubierto limitaciones a las leyes de Newton: se necesitan nuevas teorías cuando los objetos son muy rápidos (relatividad especial), muy masivos (relatividad general) o muy pequeños (mecánica cuántica).

Requisitos previos

Las leyes de Newton a menudo se expresan en términos de masas puntuales o de partículas, es decir, cuerpos cuyo volumen es despreciable. Esta es una aproximación razonable para cuerpos reales cuando se puede despreciar el movimiento de las partes internas y cuando la separación entre los cuerpos es mucho mayor que el tamaño de cada uno. Por ejemplo, la Tierra y el Sol pueden aproximarse como puntos cuando se considera la órbita del primero alrededor del segundo, pero la Tierra no es como un punto cuando se consideran las actividades en su superficie.

La descripción matemática del movimiento, o cinemática, se basa en la idea de especificar posiciones usando coordenadas numéricas. El movimiento está representado por estos números que cambian con el tiempo: la trayectoria de un cuerpo está representada por una función que asigna a cada valor de una variable de tiempo los valores de todas las coordenadas de posición. El caso más simple es el unidimensional, es decir, cuando un cuerpo está obligado a moverse solo a lo largo de una línea recta. Entonces, su posición puede estar dada por un solo número, que indica dónde está en relación con algún punto de referencia elegido. Por ejemplo, un cuerpo puede ser libre para deslizarse a lo largo de una pista que va de izquierda a derecha, por lo que su ubicación puede especificarse por su distancia desde un punto cero u origen conveniente, con números negativos que indican posiciones a la izquierda y números positivos que indican posiciones a la derecha. $S t)$ , entonces su velocidad promedio en el intervalo de tiempo desde $t_{0}$ hasta $t_{1}$ es

{displaystyle {frac {Delta s}{Delta t}}={frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}.}

Aquí, la letra griega $Delta$ (delta) se usa, según la tradición, para significar "cambio en". Una velocidad promedio positiva significa que la coordenada de posición $s$ aumenta durante el intervalo en cuestión, una velocidad promedio negativa indica una disminución neta durante ese intervalo y una velocidad promedio de cero significa que el cuerpo termina el intervalo de tiempo en el mismo lugar donde comenzó. El cálculo proporciona los medios para definir una velocidad instantánea, una medida de la velocidad y la dirección del movimiento de un cuerpo en un solo momento de tiempo, en lugar de durante un intervalo. Una notación para la velocidad instantánea es reemplazarla $Delta$ con el símbolo $d$ , por ejemplo,

Esto denota que la velocidad instantánea es la derivada de la posición con respecto al tiempo. Aproximadamente se puede considerar como la relación entre un cambio de posición $ds$ infinitesimalmente pequeño y el intervalo de tiempo infinitesimalmente pequeño $dt$ en el que ocurre. Más cuidadosamente, la velocidad y todas las demás derivadas se pueden definir utilizando el concepto de límite. Una función $pie)$ tiene un límite de $L$ en un valor de entrada dado $t_{0}$ si la diferencia entre $F$ y $L$ puede hacerse arbitrariamente pequeña eligiendo una entrada lo suficientemente cercana a $t_{0}$ . uno escribe,

La velocidad instantánea se puede definir como el límite de la velocidad promedio a medida que el intervalo de tiempo se reduce a cero:

{displaystyle {frac {ds}{dt}}=lim _{Delta tto 0}{frac {s(t+Delta t)-s(t)}{Delta t}}.}

La aceleración es a la velocidad lo que la velocidad es a la posición: es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. La aceleración también se puede definir como un límite:

{displaystyle a={frac {dv}{dt}}=lim _{Delta tto 0}{frac {v(t+Delta t)-v(t)}{Delta t}}.}

En consecuencia, la aceleración es la segunda derivada de la posición, a menudo escrita como ${displaystyle {frac{d^{2}s}{dt^{2}}}}$ .

La posición, cuando se considera un desplazamiento desde un punto de origen, es un vector: una cantidad con magnitud y dirección. La velocidad y la aceleración también son cantidades vectoriales. Las herramientas matemáticas del álgebra vectorial proporcionan los medios para describir el movimiento en dos, tres o más dimensiones. Los vectores a menudo se indican con una flecha, como en ${ vec {s}}$ , o en negrita, como ${ estilo de visualización { bf {s}}}$ . A menudo, los vectores se representan visualmente como flechas, siendo la dirección del vector la dirección de la flecha y la magnitud del vector indicada por la longitud de la flecha. Numéricamente, un vector se puede representar como una lista; por ejemplo, el vector de velocidad de un cuerpo podría ser ${displaystyle {vec {v}}=(3{frac {rm {m}}{rm {s}}},4{frac {rm {m}}{rm {s}} })}$ , indicando que se mueve a 3 metros por segundo a lo largo de un eje horizontal ya 4 metros por segundo a lo largo del eje vertical. El mismo movimiento descrito en un sistema de coordenadas diferente se representará con números diferentes, y se puede usar el álgebra vectorial para traducir entre estas alternativas.

El concepto físico de fuerza hace cuantitativa la idea cotidiana de empujar o tirar. Las fuerzas en la mecánica newtoniana a menudo se deben a cuerdas y cuerdas, fricción, esfuerzo muscular, gravedad, etc. Al igual que el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, la fuerza es una cantidad vectorial.

Leyes

Primero

Traducido del latín, la primera ley de Newton dice:Todo cuerpo continúa en su estado de reposo, o de movimiento uniforme en línea recta, a menos que sea obligado a cambiar ese estado por fuerzas impresas sobre él.

La primera ley de Newton expresa el principio de inercia: el comportamiento natural de un cuerpo es moverse en línea recta a velocidad constante. En ausencia de influencias externas, el movimiento de un cuerpo preserva el statu quo.

La comprensión moderna de la primera ley de Newton es que ningún observador inercial tiene privilegio sobre ningún otro. El concepto de un observador inercial convierte en cuantitativa la idea cotidiana de no sentir los efectos del movimiento. Por ejemplo, una persona de pie en el suelo viendo pasar un tren es un observador inercial (o puede idealizarse como tal con una buena aproximación para muchos propósitos prácticos). Si el observador en tierra ve que el tren se mueve suavemente en línea recta a una velocidad constante, entonces un pasajero sentado en el tren también será un observador inercial: el pasajero del tren se sienteSin movimiento. El principio expresado por la primera ley de Newton es que no hay manera de decir qué observador inercial está "realmente" en movimiento y cuál está "realmente" inmóvil. El estado de reposo de un observador es el estado de movimiento uniforme en línea recta de otro observador, y ningún experimento puede considerar que ningún punto de vista es correcto o incorrecto. No existe un estándar absoluto de descanso.

Segundo

El cambio de movimiento de un objeto es proporcional a la fuerza aplicada; y se hace en la dirección de la línea recta en la que se imprime la fuerza.

Por "movimiento", Newton se refería a la cantidad ahora llamada cantidad de movimiento, que depende de la cantidad de materia contenida en un cuerpo, la velocidad a la que se mueve ese cuerpo y la dirección en la que se mueve. En notación moderna, el momento de un cuerpo es el producto de su masa por su velocidad:

La segunda ley de Newton, en su forma moderna, establece que la derivada temporal del impulso es la fuerza:

{displaystyle {vec {F}}={frac {d{vec {p}}}{dt}},.}

Si la masa $metro$ no cambia con el tiempo, entonces la derivada actúa solo sobre la velocidad, por lo que la fuerza es igual al producto de la masa y la derivada temporal de la velocidad, que es la aceleración:

Como la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, esto también se puede escribir

{displaystyle {vec {F}}=m{frac {d^{2}}{dt^{2}}}{vec {s}},.}

Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo se suman como vectores, por lo que la fuerza total sobre un cuerpo depende tanto de las magnitudes como de las direcciones de las fuerzas individuales. Cuando la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a cero, entonces, según la segunda ley de Newton, el cuerpo no acelera y se dice que está en equilibrio mecánico. Un estado de equilibrio mecánico es estable si, cuando la posición del cuerpo cambia ligeramente, el cuerpo permanece cerca de ese equilibrio. De lo contrario, el equilibrio es inestable.

Una representación visual común de las fuerzas que actúan en conjunto es el diagrama de cuerpo libre, que representa esquemáticamente un cuerpo de interés y las fuerzas que le son aplicadas por influencias externas. Por ejemplo, un diagrama de cuerpo libre de un bloque colocado sobre un plano inclinado puede ilustrar la combinación de la fuerza gravitatoria, la fuerza "normal", la fricción y la tensión de la cuerda.

La segunda ley de Newton se presenta a veces como una definición de fuerza, es decir, una fuerza es la que existe cuando un observador inercial ve un cuerpo acelerando. Para que esto sea más que una tautología (la aceleración implica fuerza, la fuerza implica aceleración), también se debe hacer alguna otra declaración sobre la fuerza. Por ejemplo, se podría especificar una ecuación que detalle la fuerza, como la ley de gravitación universal de Newton. Al insertar tal expresión ${vec{F}}$ en la segunda ley de Newton, se puede escribir una ecuación con poder predictivo. También se ha considerado que la segunda ley de Newton establece un programa de investigación para la física, estableciendo que los objetivos importantes del tema son identificar las fuerzas presentes en la naturaleza y catalogar los constituyentes de la materia.

Tercero

A toda acción se opone siempre una reacción igual; o bien, las acciones mutuas de dos cuerpos entre sí son siempre iguales y dirigidas a partes contrarias.

Las paráfrasis demasiado breves de la tercera ley, como "acción es igual a reacción", han contribuido a un problema que ha acosado a generaciones de estudiantes: la "acción" y la "reacción" se aplican a diferentes cuerpos. Por ejemplo, considere un libro en reposo sobre una mesa. La gravedad de la Tierra tira hacia abajo sobre el libro. La "reacción" a esa "acción" no es la fuerza de apoyo de la mesa que sostiene el libro, sino la atracción gravitacional del libro que actúa sobre la Tierra.

La opinión moderna es que la tercera ley de Newton es consecuencia de un principio más fundamental, la conservación del momento. Esto último sigue siendo cierto incluso en los casos en que la declaración de Newton no lo hace, por ejemplo, cuando los campos de fuerza, así como los cuerpos materiales, transportan cantidad de movimiento, y cuando la cantidad de movimiento se define correctamente, también en la mecánica cuántica. En la mecánica newtoniana, si dos cuerpos tienen momentos ${ vec {p}}_{1}$ y ${ vec {p}}_{2}$ respectivamente, entonces el momento total del par es ${displaystyle {vec {p}}={vec {p}}_{1}+{vec {p}}_{2}}$ , y la tasa de cambio de ${ vec {p}}$ es

{displaystyle {frac {d{vec {p}}}{dt}}={frac {d{vec {p}}_{1}}{dt}}+{frac {d{ vec {p}}_{2}}{dt}}.}

Por la segunda ley de Newton, el primer término es la fuerza total sobre el primer cuerpo y el segundo término es la fuerza total sobre el segundo cuerpo. Si los dos cuerpos están aislados de influencias externas, la única fuerza sobre el primer cuerpo puede ser la del segundo, y viceversa. Por la tercera ley de Newton, estas fuerzas tienen igual magnitud pero dirección opuesta, por lo que se cancelan cuando se suman y ${ vec {p}}$ es constante. Alternativamente, si ${ vec {p}}$ se sabe que es constante, se deduce que las fuerzas tienen igual magnitud y dirección opuesta.

Candidatos a leyes adicionales

Varias fuentes han propuesto elevar otras ideas utilizadas en la mecánica clásica al estado de las leyes de Newton. Por ejemplo, en la mecánica newtoniana, la masa total de un cuerpo formado por la unión de dos cuerpos más pequeños es la suma de sus masas individuales. Frank Wilczek ha sugerido llamar la atención sobre esta suposición denominándola "Ley cero de Newton". Otro candidato para una "ley cero" es el hecho de que en cualquier instante, un cuerpo reacciona a las fuerzas que se le aplican en ese instante. Asimismo, la idea de que las fuerzas se suman como vectores (o, en otras palabras, obedecen al principio de superposición), y la idea de que las fuerzas cambian la energía de un cuerpo, han sido descritas como una "cuarta ley".

Trabajo y energia

Los físicos desarrollaron el concepto de energía después de la época de Newton, pero se ha convertido en una parte inseparable de lo que se considera física "newtoniana". La energía se puede clasificar en términos generales en cinética, debido al movimiento de un cuerpo, y potencial, debido a la posición de un cuerpo en relación con otros. La energía térmica, la energía transportada por el flujo de calor, es un tipo de energía cinética que no está asociada con el movimiento macroscópico de los objetos, sino con los movimientos de los átomos y las moléculas que los componen. De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía, cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo mientras ese cuerpo se mueve a lo largo de la línea de la fuerza, la fuerza realiza un trabajo sobre el cuerpo y la cantidad de trabajo realizado es igual al cambio en la energía cinética del cuerpo..En muchos casos de interés, el trabajo neto realizado por una fuerza cuando un cuerpo se mueve en un circuito cerrado (comenzando en un punto, moviéndose a lo largo de una trayectoria y regresando al punto inicial) es cero. Si este es el caso, entonces la fuerza se puede escribir en términos del gradiente de una función llamada potencial escalar:

{displaystyle {vec {F}}=-{vec {nabla }}U,.}

Esto es cierto para muchas fuerzas, incluida la de la gravedad, pero no para la fricción; de hecho, casi cualquier problema en un libro de texto de mecánica que no involucre fricción puede expresarse de esta manera. El hecho de que la fuerza se pueda escribir de esta manera se puede entender a partir de la conservación de la energía. Sin fricción para disipar la energía de un cuerpo en calor, la energía del cuerpo cambiará entre formas cinéticas potenciales y (no térmicas) mientras que la cantidad total permanece constante. Cualquier ganancia de energía cinética, que ocurre cuando la fuerza neta sobre el cuerpo lo acelera a una velocidad mayor, debe ir acompañada de una pérdida de energía potencial. Entonces, la fuerza neta sobre el cuerpo está determinada por la forma en que disminuye la energía potencial.

Ejemplos

Movimiento uniformemente acelerado

Si un cuerpo cae desde el reposo cerca de la superficie de la Tierra, entonces, en ausencia de la resistencia del aire, acelerará a un ritmo constante. Esto se conoce como caída libre. La velocidad alcanzada durante la caída libre es proporcional al tiempo transcurrido, y la distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido. Es importante destacar que la aceleración es la misma para todos los cuerpos, independientemente de su masa. Esto se sigue de combinar la segunda ley de movimiento de Newton con su ley de gravitación universal. Este último establece que la magnitud de la fuerza gravitacional de la Tierra sobre el cuerpo es

donde $metro$ es la masa del cuerpo que cae, $METRO$ es la masa de la Tierra, $GRAMO$ es la constante de Newton y $r$ es la distancia desde el centro de la Tierra hasta la ubicación del cuerpo, que es casi el radio de la Tierra. Estableciendo esto igual a $mamá$ , la masa del cuerpo se $metro$ cancela en ambos lados de la ecuación, dejando una aceleración que depende de $GRAMO$ , $METRO$ y $r$ y $r$ puede tomarse como constante. Este valor particular de aceleración se denota típicamente $gramo$ :

{displaystyle g={frac {GM}{r^{2}}}approx 9,8{frac {rm {m}}{{rm {s}}^{2}}}.}

Si el cuerpo no se suelta desde el reposo, sino que se lanza hacia arriba y/o horizontalmente con una velocidad distinta de cero, entonces la caída libre se convierte en movimiento de proyectil. Cuando se puede despreciar la resistencia del aire, los proyectiles siguen trayectorias en forma de parábola, porque la gravedad afecta el movimiento vertical del cuerpo y no su horizontal. En el pico de la trayectoria del proyectil, su velocidad vertical es cero, pero su aceleración es $gramo$ hacia abajo, como siempre. Establecer el vector incorrecto igual a cero es una confusión común entre los estudiantes de física.

Movimiento circular uniforme

Cuando un cuerpo se encuentra en movimiento circular uniforme, la fuerza sobre él cambia la dirección de su movimiento pero no su velocidad. Para un cuerpo que se mueve en un círculo de radio $r$ a una velocidad constante $v$ , su aceleración tiene una magnitud

y se dirige hacia el centro del círculo. La fuerza requerida para sostener esta aceleración, llamada fuerza centrípeta, también está dirigida hacia el centro del círculo y tiene una magnitud de ${displaystyle mv^{2}/r}$ . Muchas órbitas, como la de la Luna alrededor de la Tierra, pueden aproximarse mediante un movimiento circular uniforme. En tales casos, la fuerza centrípeta es la gravedad y, según la ley de gravitación universal de Newton, tiene una magnitud ${displaystyle GMm/r^{2}}$ , donde $METRO$ es la masa del cuerpo más grande que se orbita. Por lo tanto, la masa de un cuerpo se puede calcular a partir de las observaciones de otro cuerpo que orbita a su alrededor.

La bala de cañón de Newton es un experimento mental que interpola entre el movimiento de un proyectil y el movimiento circular uniforme. Una bala de cañón que se lanza débilmente desde el borde de un acantilado alto golpeará el suelo en la misma cantidad de tiempo que si se dejara caer desde el reposo, porque la fuerza de la gravedad solo afecta el impulso de la bala de cañón en la dirección hacia abajo, y su efecto es no disminuida por el movimiento horizontal. Si la bala de cañón se lanza con una velocidad horizontal inicial mayor, viajará más lejos antes de tocar el suelo, pero seguirá golpeando el suelo en la misma cantidad de tiempo. Sin embargo, si la bala de cañón se lanza con una velocidad inicial aún mayor, entonces la curvatura de la Tierra se vuelve significativa: el suelo mismo se curvará alejándose de la bala de cañón que cae. Una bala de cañón muy rápida se alejará de la trayectoria inercial en línea recta al mismo ritmo que la Tierra se curva debajo de ella; es decir, estará en órbita (imaginando que no se frena por la resistencia del aire ni por los obstáculos).

Movimiento armónico

Considere un cuerpo de masa $metro$ capaz de moverse a lo largo del $X$ eje y suponga que existe un punto de equilibrio en la posición $x=0$ . Es decir, en $x=0$ , la fuerza neta sobre el cuerpo es el vector cero y, según la segunda ley de Newton, el cuerpo no acelerará. Si la fuerza sobre el cuerpo es proporcional al desplazamiento desde el punto de equilibrio y está dirigida al punto de equilibrio, entonces el cuerpo realizará un movimiento armónico simple. Escribiendo la fuerza como $F=-kx$ , la segunda ley de Newton se convierte en

{displaystyle m{frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx,.}

Esta ecuación diferencial tiene la solución

{displaystyle x(t)=Acos omega t+Bsin omega t,}

donde la frecuencia $omega$ es igual a ${ sqrt {k/m}}$ , y las constantes $A$ y $B$ se pueden calcular conociendo, por ejemplo, la posición y la velocidad que tiene el cuerpo en un momento dado, como $t=0$ .

Una de las razones por las que el oscilador armónico es un ejemplo conceptualmente importante es que es una buena aproximación para muchos sistemas cerca de un equilibrio mecánico estable. Por ejemplo, un péndulo tiene un equilibrio estable en la posición vertical: si está inmóvil allí, permanecerá allí, y si se lo empuja ligeramente, se balanceará hacia adelante y hacia atrás. Despreciando la resistencia del aire y la fricción en el pivote, la fuerza sobre el péndulo es la gravedad, y la segunda ley de Newton se convierte en

{displaystyle {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}=-{frac {g}{L}}sin theta,}

donde $L$ es la longitud del péndulo y $theta$ es su ángulo con la vertical. Cuando el ángulo $theta$ es pequeño, el seno de $theta$ es casi igual a $theta$ (consulte la serie de Taylor), por lo que esta expresión se simplifica a la ecuación para un oscilador armónico simple con frecuencia ${displaystyle omega ={sqrt {g/L}}}$ .

Un oscilador armónico se puede amortiguar, a menudo por fricción o arrastre viscoso, en cuyo caso la energía sale del oscilador y la amplitud de las oscilaciones disminuye con el tiempo. Además, un oscilador armónico puede ser impulsado por una fuerza aplicada, lo que puede dar lugar al fenómeno de resonancia.

Objetos con masa variable

La física newtoniana considera que la materia no se crea ni se destruye, aunque puede reorganizarse. Puede darse el caso de que un objeto de interés gane o pierda masa porque se le añade o se le quita materia. En tal situación, las leyes de Newton se pueden aplicar a las piezas individuales de materia, haciendo un seguimiento de qué piezas pertenecen al objeto de interés a lo largo del tiempo. Por ejemplo, si un cohete de masa $Monte)$ , que se mueve a una velocidad ${vec{v}}(t)$ , expulsa materia a una velocidad ${vec{u}}$ relativa al cohete, entonces

{displaystyle {vec {F}}=M{frac {d{vec {v}}}{dt}}-{vec {u}}{frac {dM}{dt}},, }

donde ${vec{F}}$ es la fuerza externa neta (por ejemplo, la atracción gravitacional de un planeta).

Movimiento y rotación de cuerpos rígidos

Un cuerpo rígido es un objeto cuyo tamaño es demasiado grande para despreciarlo y que mantiene la misma forma a lo largo del tiempo. En la mecánica newtoniana, el movimiento de un cuerpo rígido a menudo se entiende separándolo en el movimiento del centro de masa del cuerpo y el movimiento alrededor del centro de masa.

Centro de masa

Los aspectos significativos del movimiento de un cuerpo extendido se pueden entender imaginando la masa de ese cuerpo concentrada en un solo punto, conocido como el centro de masa. La ubicación del centro de masa de un cuerpo depende de cómo se distribuya el material de ese cuerpo. Para una colección de objetos puntuales con masas ${displaystyle m_{1},ldots,m_{N}}$ en posiciones ${displaystyle {vec {r}}_{1},ldots,{vec {r}}_{N}}$ , el centro de masa está ubicado en

{displaystyle {vec {R}}=sum _{i=1}^{N}{frac {m_{i}{vec {r}}_{i}}{M}},}

donde $METRO$ es la masa total de la colección. En ausencia de una fuerza externa neta, el centro de masa se mueve a una velocidad constante en línea recta. Esto se aplica, por ejemplo, a una colisión entre dos cuerpos. Si la fuerza externa total no es cero, entonces el centro de masa cambia de velocidad como si fuera un cuerpo puntual de masa $METRO$ . Esto se deriva del hecho de que las fuerzas internas dentro de la colección, las fuerzas que los objetos ejercen entre sí, ocurren en pares balanceados por la tercera ley de Newton. En un sistema de dos cuerpos con uno mucho más masivo que el otro, el centro de masa coincidirá aproximadamente con la ubicación del cuerpo más masivo.

Análogos rotacionales de las leyes de Newton

Cuando las leyes de Newton se aplican a cuerpos extensos en rotación, conducen a nuevas cantidades que son análogas a las invocadas en las leyes originales. El análogo de la masa es el momento de inercia, la contraparte del momento es el momento angular y la contraparte de la fuerza es el par.

El momento angular se calcula con respecto a un punto de referencia. Si el vector de desplazamiento desde un punto de referencia a un cuerpo es ${vec{r}}$ y el cuerpo tiene cantidad de movimiento ${ vec {p}}$ , entonces la cantidad de movimiento angular del cuerpo con respecto a ese punto es, utilizando el producto vectorial vectorial,

{displaystyle {vec {L}}={vec {r}}times {vec {p}}.}

Tomando la derivada temporal del momento angular da

{displaystyle {frac {d{vec {L}}}{dt}}=left({frac {d{vec {r}}}{dt}}right)times {vec { p}}+{vec {r}}times {frac {d{vec {p}}}{dt}}={vec {v}}times m{vec {v}}+{ vec {r}}times {vec {F}}.}

El primer término desaparece porque ${ vec {v}}$ y ${displaystyle m{vec {v}}}$ apuntan en la misma dirección. El término restante es el torque,

{displaystyle {vec {tau }}={vec {r}}times {vec {F}}.}

Cuando el momento de torsión es cero, el momento angular es constante, al igual que cuando la fuerza es cero, el momento es constante. El momento de torsión puede desaparecer incluso cuando la fuerza no es cero, si el cuerpo está ubicado en el punto de referencia ( ${ estilo de visualización { vec {r}} = 0}$ ) o si la fuerza ${vec{F}}$ y el vector de desplazamiento ${vec{r}}$ están dirigidos a lo largo de la misma línea.

El momento angular de un conjunto de masas puntuales y, por tanto, de un cuerpo extendido, se encuentra sumando las contribuciones de cada uno de los puntos. Esto proporciona un medio para caracterizar la rotación de un cuerpo alrededor de un eje, sumando los momentos angulares de sus piezas individuales. El resultado depende del eje elegido, la forma del cuerpo y la velocidad de rotación.

Sistema gravitatorio multicuerpo

La ley de gravitación universal de Newton establece que cualquier cuerpo atrae a cualquier otro cuerpo a lo largo de la línea recta que los conecta. El tamaño de la fuerza de atracción es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Encontrar la forma de las órbitas que producirá una ley de fuerza del cuadrado inverso se conoce como el problema de Kepler. El problema de Kepler se puede resolver de varias maneras, incluso demostrando que el vector de Laplace-Runge-Lenz es constante o aplicando una transformación de dualidad a un oscilador armónico bidimensional.Como sea que se resuelva, el resultado es que las órbitas serán secciones cónicas, es decir, elipses (incluyendo círculos), parábolas o hipérbolas. La excentricidad de la órbita, y por lo tanto el tipo de sección cónica, está determinada por la energía y el momento angular del cuerpo en órbita. Los planetas no tienen suficiente energía para escapar del Sol, por lo que sus órbitas son elipses, en una buena aproximación; debido a que los planetas se atraen entre sí, las órbitas reales no son exactamente secciones cónicas.

Si se agrega una tercera masa, el problema de Kepler se convierte en el problema de los tres cuerpos, que en general no tiene solución exacta en forma cerrada. Es decir, no hay forma de partir de las ecuaciones diferenciales implícitas en las leyes de Newton y, después de una secuencia finita de operaciones matemáticas estándar, obtener ecuaciones que expresen los movimientos de los tres cuerpos a lo largo del tiempo. Se pueden aplicar métodos numéricos para obtener resultados útiles, aunque aproximados, para el problema de los tres cuerpos.Las posiciones y velocidades de los cuerpos se pueden almacenar en variables dentro de la memoria de una computadora; Las leyes de Newton se utilizan para calcular cómo cambiarán las velocidades en un breve intervalo de tiempo y, conociendo las velocidades, se pueden calcular los cambios de posición en ese intervalo de tiempo. Este proceso se repite para calcular, aproximadamente, las trayectorias de los cuerpos. En términos generales, cuanto más corto sea el intervalo de tiempo, más precisa será la aproximación.

Caos e imprevisibilidad

Dinámica no lineal

Las leyes de movimiento de Newton permiten la posibilidad del caos. Es decir, cualitativamente hablando, los sistemas físicos que obedecen las leyes de Newton pueden exhibir una dependencia sensible de sus condiciones iniciales: un ligero cambio en la posición o velocidad de una parte de un sistema puede conducir a que todo el sistema se comporte de una manera radicalmente diferente en poco tiempo.. Ejemplos dignos de mención incluyen el problema de los tres cuerpos, el péndulo doble, el billar dinámico y el problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou.

Las leyes de Newton se pueden aplicar a los fluidos considerando un fluido compuesto de piezas infinitesimales, cada una de las cuales ejerce fuerzas sobre las piezas vecinas. La ecuación del momento de Euler es una expresión de la segunda ley de Newton adaptada a la dinámica de fluidos. Un fluido se describe mediante un campo de velocidad, es decir, una función ${ estilo de visualización { vec {v}} ({ vec {x}}, t)}$ que asigna un vector de velocidad a cada punto en el espacio y el tiempo. Un objeto pequeño que es arrastrado por el flujo del fluido puede cambiar de velocidad por dos razones: primero, porque el campo de velocidad en su posición cambia con el tiempo, y segundo, porque se mueve a una nueva ubicación donde el campo de velocidad tiene un valor diferente. En consecuencia, cuando se aplica la segunda ley de Newton a una porción infinitesimal de fluido, la aceleración ${ vec {a}}$ tiene dos términos, una combinación conocida como total oderivado material. La masa de una porción infinitesimal depende de la densidad del fluido, y existe una fuerza neta sobre ella si la presión del fluido varía de un lado a otro. En consecuencia, ${displaystyle {vec {a}}={vec {F}}/m}$ se convierte

{displaystyle {frac {parcial v}{parcial t}}+({vec {nabla }}cdot {vec {v}}){vec {v}}=-{frac { 1}{rho }}{vec {nabla }}P+{vec {f}},}

donde $rho$ es la densidad, $PAGS$ es la presión y ${ vec {f}}$ representa una influencia externa como un tirón gravitacional. La incorporación del efecto de la viscosidad convierte la ecuación de Euler en una ecuación de Navier-Stokes:

{displaystyle {frac {parcial v}{parcial t}}+({vec {nabla }}cdot {vec {v}}){vec {v}}=-{frac { 1}{rho }}{vec {nabla }}P+nu nabla ^{2}{vec {v}}+{vec {f}},}

donde $nu$ es la viscosidad cinemática.

Singularidades

Es matemáticamente posible que un conjunto de masas puntuales, moviéndose de acuerdo con las leyes de Newton, lancen algunas de ellas con tanta fuerza que vuelen hacia el infinito en un tiempo finito. Este comportamiento no físico, conocido como "singularidad sin colisión", depende de que las masas sean puntuales y capaces de acercarse entre sí arbitrariamente, así como de la falta de un límite de velocidad relativista en la física newtoniana.

Todavía no se sabe si las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes exhiben o no el comportamiento análogo de soluciones inicialmente suaves que "explotan" en un tiempo finito. La cuestión de la existencia y fluidez de las soluciones de Navier-Stokes es uno de los Problemas del Premio del Milenio.

Relación con otras formulaciones de la física clásica

La mecánica clásica se puede formular matemáticamente de múltiples maneras diferentes, además de la descripción "newtoniana" (que, por supuesto, incorpora contribuciones de otros antes y después de Newton). El contenido físico de estas diferentes formulaciones es el mismo que el newtoniano, pero brindan diferentes conocimientos y facilitan diferentes tipos de cálculos. Por ejemplo, la mecánica lagrangiana ayuda a hacer evidente la conexión entre las simetrías y las leyes de conservación, y es útil cuando se calcula el movimiento de cuerpos restringidos, como una masa restringida para moverse a lo largo de una pista curva o sobre la superficie de una esfera. La mecánica hamiltoniana es conveniente para la física estadística, conduce a una mayor comprensión de la simetría,y se puede desarrollar en técnicas sofisticadas para la teoría de la perturbación. Debido a la amplitud de estos temas, la discusión aquí se limitará a tratamientos concisos de cómo reformulan las leyes del movimiento de Newton.

Lagrangiano

La mecánica lagrangiana difiere de la formulación newtoniana al considerar trayectorias completas a la vez en lugar de predecir el movimiento de un cuerpo en un solo instante. Es tradicional en la mecánica lagrangiana denotar la posición con $q$ y la velocidad con ${ punto {q}}$ . El ejemplo más simple es una partícula puntual masiva, cuyo lagrangiano se puede escribir como la diferencia entre sus energías cinética y potencial:

donde la energía cinética es

{displaystyle T={frac{1}{2}}m{dot {q}}^{2}}

y la energía potencial es alguna función de la posición, $V(q)$ . El camino físico que tomará la partícula entre un punto inicial $q_{yo}$ y un punto final $q_f$ es el camino para el cual la integral del Lagrangiano es "estacionaria". Es decir, el camino físico tiene la propiedad de que pequeñas perturbaciones del mismo, en una primera aproximación, no cambiarán la integral del Lagrangiano. El cálculo de variaciones proporciona las herramientas matemáticas para encontrar este camino. La aplicación del cálculo de variaciones a la tarea de encontrar el camino produce la ecuación de Euler-Lagrange para la partícula,

{displaystyle {frac {d}{dt}}left({frac {parcial L}{parcial {dot {q}}}}right)={frac {parcial L}{ q parcial}}.}

Evaluando las derivadas parciales del Lagrangiano da

{displaystyle {frac {d}{dt}}(m{dot {q}})=-{frac {dV}{dq}},}

que es una reformulación de la segunda ley de Newton. El lado izquierdo es la derivada temporal del impulso, y el lado derecho es la fuerza, representada en términos de energía potencial.

Landau y Lifshitz argumentan que la formulación lagrangiana hace que el contenido conceptual de la mecánica clásica sea más claro que comenzar con las leyes de Newton. La mecánica lagrangiana proporciona un marco conveniente para demostrar el teorema de Noether, que relaciona simetrías y leyes de conservación. La conservación de la cantidad de movimiento se puede derivar aplicando el teorema de Noether a un Lagrangiano para un sistema de partículas múltiples y, por lo tanto, la tercera ley de Newton es un teorema en lugar de una suposición.

Hamiltoniano

En la mecánica hamiltoniana, la dinámica de un sistema está representada por una función llamada hamiltoniana, que en muchos casos de interés es igual a la energía total del sistema. El hamiltoniano es una función de las posiciones y los momentos de todos los cuerpos que componen el sistema, y también puede depender explícitamente del tiempo. Las derivadas temporales de las variables de posición y momento están dadas por derivadas parciales del hamiltoniano, a través de las ecuaciones de Hamilton. El ejemplo más simple es una masa puntual $metro$ obligada a moverse en línea recta, bajo el efecto de un potencial. Escribiendo $q$ para la coordenada de posición y $pags$ para el momento del cuerpo, el hamiltoniano es

{displaystyle {mathcal {H}}(p,q)={frac {p^{2}}{2m}}+V(q).}

En este ejemplo, las ecuaciones de Hamilton son

{displaystyle {frac {dq}{dt}}={frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial p}}}

{displaystyle {frac {dp}{dt}}=-{frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial q}}.}

Evaluando estas derivadas parciales, la ecuación anterior se convierte en

{displaystyle {frac {dq}{dt}}={frac {p}{m}},}

que reproduce la afirmación familiar de que la cantidad de movimiento de un cuerpo es el producto de su masa por su velocidad. La derivada temporal de la cantidad de movimiento es

{displaystyle {frac {dp}{dt}}=-{frac {dV}{dq}},}

lo cual, al identificar la derivada negativa del potencial con la fuerza, vuelve a ser solo la segunda ley de Newton.

Al igual que en la formulación lagrangiana, en la mecánica hamiltoniana la conservación de la cantidad de movimiento se puede derivar mediante el teorema de Noether, lo que convierte a la tercera ley de Newton en una idea que se deduce en lugar de suponerla.

Entre las propuestas para reformar el plan de estudios estándar de introducción a la física se encuentra una que enseña el concepto de energía antes que el de fuerza, esencialmente "mecánica hamiltoniana introductoria".

Hamilton–Jacobi

La ecuación de Hamilton-Jacobi proporciona otra formulación de la mecánica clásica, que la hace matemáticamente análoga a la óptica ondulatoria. Esta formulación también usa funciones hamiltonianas, pero de una manera diferente a la formulación descrita anteriormente. Los caminos que toman los cuerpos o conjuntos de cuerpos se deducen de una función ${displaystyle S({vec {q}}_{1},{vec {q}}_{2},ldots,t)}$ de las posiciones ${displaystyle {vec{q}}_{i}}$ y del tiempo $t$ . El hamiltoniano se incorpora a la ecuación de Hamilton-Jacobi, una ecuación diferencial para $S$ . Los cuerpos se mueven con el tiempo de tal manera que sus trayectorias son perpendiculares a las superficies de constante $S$ , de manera análoga a como un rayo de luz se propaga en la dirección perpendicular a su frente de onda. Esto es más simple de expresar para el caso de una masa de un solo punto, en la que $S$ es una función ${ estilo de visualización S ({ vec {q}}, t)}$ , y la masa puntual se mueve en la dirección a lo largo de la cual $S$ cambia más abruptamente. En otras palabras, el momento de la masa puntual es el gradiente de $S$ :

{displaystyle {vec {v}}={frac {1}{m}}{vec {nabla }}S.}

La ecuación de Hamilton-Jacobi para una masa puntual es

{displaystyle -{frac {S parcial}{t parcial}}=Hleft({vec {q}},{vec {nabla }}S,tright).}

La relación con las leyes de Newton se puede ver considerando una masa puntual que se mueve en un potencial independiente del tiempo ${displaystyle V({vec{q}})}$ , en cuyo caso la ecuación de Hamilton-Jacobi se convierte en

{displaystyle -{frac {S parcial}{t parcial}}={frac {1}{2m}}left({vec {nabla }}Sright)^{2}+V ({ vec {q}}).}

Tomando la pendiente de ambos lados, esto se convierte en

{displaystyle -{vec {nabla }}{frac {parcial S}{parcial t}}={frac {1}{2m}}{vec {nabla }}left({ vec {nabla }}Sright)^{2}+{vec {nabla }}V.}

Intercambiando el orden de las derivadas parciales en el lado izquierdo y usando las reglas de la potencia y la cadena en el primer término del lado derecho,

{displaystyle -{frac {parcial }{parcial t}}{vec {nabla }}S={frac {1}{m}}left({vec {nabla }}S cdot {vec {nabla }}right){vec {nabla }}S+{vec {nabla }}V.}

Reuniendo los términos que dependen del gradiente de $S$ ,

{displaystyle left[{frac {parcial }{parcial t}}+{frac {1}{m}}left({vec {nabla }}Scdot {vec {nabla }}right)right]{vec {nabla }}S=-{vec {nabla }}V.}

Esta es otra reexpresión de la segunda ley de Newton. La expresión entre paréntesis es una derivada total o material como se mencionó anteriormente, en la que el primer término indica cómo la función que se está diferenciando cambia con el tiempo en una ubicación fija, y el segundo término captura cómo una partícula en movimiento verá diferentes valores de esa función como viaja de un lugar a otro:

{displaystyle left[{frac {parcial }{parcial t}}+{frac {1}{m}}left({vec {nabla }}Scdot {vec {nabla }}right)right]=left[{frac {parcial }{partial t}}+{vec {v}}cdot {vec {nabla }}right]={frac {d}{dt}}.}

Relación con otras teorías físicas

Termodinámica y física estadística

En física estadística, la teoría cinética de los gases aplica las leyes de movimiento de Newton a un gran número (típicamente del orden del número de Avogadro) de partículas. La teoría cinética puede explicar, por ejemplo, la presión que ejerce un gas sobre el recipiente que lo contiene como la suma de muchos impactos de átomos, cada uno de los cuales imparte una pequeña cantidad de impulso.

La ecuación de Langevin es un caso especial de la segunda ley de Newton, adaptada para el caso de describir un objeto pequeño bombardeado estocásticamente por otros aún más pequeños. se puede escribir

{displaystyle m{vec {a}}=-gamma {vec {v}}+{vec {xi }},,}

donde $gama$ es un coeficiente de arrastre y ${vec {xi}}$ es una fuerza que varía aleatoriamente de un instante a otro, representando el efecto neto de las colisiones con las partículas circundantes. Esto se utiliza para modelar el movimiento browniano.

Electromagnetismo

Las tres leyes de Newton se pueden aplicar a fenómenos que involucran electricidad y magnetismo, aunque existen sutilezas y advertencias.

La ley de Coulomb para la fuerza eléctrica entre dos cuerpos estacionarios cargados eléctricamente tiene la misma forma matemática que la ley de gravitación universal de Newton: la fuerza es proporcional al producto de las cargas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos, y dirigida a lo largo de la línea recta entre ellos. La fuerza de Coulomb que una carga $q_{1}$ ejerce sobre otra carga $q_{2}$ es igual en magnitud a la fuerza que $q_{2}$ ejerce sobre $q_{1}$ , y apunta exactamente en la dirección opuesta. Por lo tanto, la ley de Coulomb es consistente con la tercera ley de Newton.

El electromagnetismo trata las fuerzas como producidas por campos que actúan sobre cargas. La ley de fuerza de Lorentz proporciona una expresión para la fuerza sobre un cuerpo cargado que se puede conectar a la segunda ley de Newton para calcular su aceleración. De acuerdo con la ley de fuerza de Lorentz, un cuerpo cargado en un campo eléctrico experimenta una fuerza en la dirección de ese campo, una fuerza proporcional a su carga $q$ y a la intensidad del campo eléctrico. Además, un cuerpo cargado en movimiento en un campo magnético experimenta una fuerza que también es proporcional a su carga, en una dirección perpendicular tanto al campo como a la dirección de movimiento del cuerpo. Usando el producto vectorial vectorial,

{displaystyle {vec {F}}=q{vec {E}}+q{vec {v}}times {vec {B}}.}

Si el campo eléctrico desaparece ( ${vec{E}}=0$ ), entonces la fuerza será perpendicular al movimiento de la carga, tal como en el caso del movimiento circular uniforme estudiado anteriormente, y la carga circulará (o más generalmente se moverá en una hélice) alrededor de las líneas del campo magnético. a la frecuencia del ciclotrón ${ estilo de visualización omega = qB/m}$ . La espectrometría de masas funciona aplicando campos eléctricos y/o magnéticos a cargas en movimiento y midiendo la aceleración resultante, que según la ley de fuerza de Lorentz produce la relación masa-carga.

Las colecciones de cuerpos cargados no siempre obedecen la tercera ley de Newton: puede haber un cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo sin un cambio compensatorio en la cantidad de movimiento de otro. La discrepancia se explica por el impulso que lleva el propio campo electromagnético. El momento por unidad de volumen del campo electromagnético es proporcional al vector de Poynting.

Existe un sutil conflicto conceptual entre el electromagnetismo y la primera ley de Newton: la teoría del electromagnetismo de Maxwell predice que las ondas electromagnéticas viajarán a través del espacio vacío a una velocidad constante y definida. Por lo tanto, algunos observadores inerciales aparentemente tienen un estatus privilegiado sobre los demás, a saber, aquellos que miden la velocidad de la luz y encuentran que es el valor predicho por las ecuaciones de Maxwell. En otras palabras, la luz proporciona un estándar absoluto para la velocidad, pero el principio de inercia sostiene que no debería haber tal estándar. Esta tensión se resuelve en la teoría de la relatividad especial, que revisa las nociones de espacio y tiempo de tal forma que todos los observadores inerciales coincidirán en la velocidad de la luz en el vacío.

Relatividad especial

En la relatividad especial, la regla que Wilczek llamó "Ley cero de Newton" se rompe: la masa de un objeto compuesto no es simplemente la suma de las masas de las piezas individuales. La primera ley de Newton, el movimiento inercial, sigue siendo cierta. Una forma de la segunda ley de Newton, que la fuerza es la tasa de cambio de la cantidad de movimiento, también se cumple, al igual que la conservación de la cantidad de movimiento. Sin embargo, la definición de impulso se modifica. Entre las consecuencias de esto está el hecho de que cuanto más rápido se mueve un cuerpo, más difícil es acelerarlo, por lo que, no importa cuánta fuerza se aplique, un cuerpo no puede acelerarse hasta la velocidad de la luz. Dependiendo del problema en cuestión, la cantidad de movimiento en la relatividad especial se puede representar como un vector tridimensional ${displaystyle {vec {p}}=mgamma {vec {v}}}$ , donde $metro$ es la masa en reposo del cuerpo y $gama$ es el factor de Lorentz, que depende de la velocidad del cuerpo. Alternativamente, el momento y la fuerza se pueden representar como cuatro vectores.

La mecánica newtoniana es una buena aproximación a la relatividad especial cuando las velocidades involucradas son pequeñas en comparación con la de la luz.

Relatividad general

La relatividad general es la teoría de la gravedad que va más allá de la de Newton. En la relatividad general, la fuerza gravitatoria se vuelve a imaginar como la curvatura del espacio-tiempo. Una trayectoria curva como una órbita no es el resultado de una fuerza que desvía un cuerpo de una trayectoria rectilínea ideal, sino el intento del cuerpo de caer libremente a través de un fondo que a su vez está curvado por la presencia de otras masas. Una observación de John Archibald Wheeler que se ha vuelto proverbial entre los físicos resume la teoría: "El espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse; la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse". El mismo Wheeler pensó en esta relación recíproca como una forma moderna y generalizada de la tercera ley de Newton.La relación entre la distribución de la materia y la curvatura del espacio-tiempo está dada por las ecuaciones de campo de Einstein, que requieren cálculo tensorial para expresarse.

La teoría newtoniana de la gravedad es una buena aproximación a las predicciones de la relatividad general cuando los efectos gravitatorios son débiles y los objetos se mueven lentamente en comparación con la velocidad de la luz.

Mecánica cuántica

La mecánica cuántica es una teoría de la física desarrollada originalmente para comprender los fenómenos microscópicos: el comportamiento a escala de moléculas, átomos o partículas subatómicas. En términos generales y generales, cuanto más pequeño es un sistema, más requerirá un modelo matemático adecuado comprender los efectos cuánticos. El fundamento conceptual de la física cuántica es muy diferente al de la física clásica. En lugar de pensar en cantidades como la posición, el momento y la energía como propiedades que tiene un objeto, uno considera qué resultado podría aparecer cuando se realiza una medición de un tipo elegido. La mecánica cuántica permite al físico calcular la probabilidad de que una medida elegida produzca un resultado particular.El valor esperado de una medida es el promedio de los posibles resultados que podría arrojar, ponderados por sus probabilidades de ocurrencia.

El teorema de Ehrenfest proporciona una conexión entre los valores esperados cuánticos y la segunda ley de Newton, una conexión que es necesariamente inexacta, ya que la física cuántica es fundamentalmente diferente de la clásica. En la física cuántica, la posición y el momento están representados por entidades matemáticas conocidas como operadores hermitianos, y la regla de Born se usa para calcular los valores esperados de una medida de posición o una medida de momento. Estos valores esperados generalmente cambiarán con el tiempo; es decir, dependiendo del momento en que (por ejemplo) se realice una medición de posición, variarán las probabilidades de sus diferentes posibles resultados. El teorema de Ehrenfest dice, en términos generales, que las ecuaciones que describen cómo estos valores esperados cambian con el tiempo tienen una forma que recuerda a la segunda ley de Newton. Sin embargo,

Historia

Isaac Newton (1643-1727), en un retrato de 1689 de Godfrey Kneller
Copia del propio Newton de sus Principia, con correcciones escritas a mano para la segunda edición, en la Biblioteca Wren del Trinity College, Cambridge.
Primera y segunda ley de Newton, en latín, del original Principia Mathematica de 1687

Los conceptos invocados en las leyes del movimiento de Newton (masa, velocidad, cantidad de movimiento, fuerza) tienen predecesores en trabajos anteriores, y el contenido de la física newtoniana se desarrolló aún más después de la época de Newton. Newton combinó el conocimiento de los movimientos celestes con el estudio de los eventos en la Tierra y demostró que una teoría de la mecánica podía abarcar ambos.

Antigüedad y antecedentes medievales

El tema de la física a menudo se remonta a Aristóteles; sin embargo, la historia de los conceptos involucrados está oscurecida por múltiples factores. Una correspondencia exacta entre conceptos aristotélicos y modernos no es fácil de establecer: Aristóteles no distingue claramente lo que llamaríamos velocidad y fuerza, y usa el mismo término para densidad y viscosidad; concibió el movimiento como siempre a través de un medio, más que a través del espacio. Además, algunos conceptos a menudo denominados "aristotélicos" podrían atribuirse mejor a sus seguidores y comentaristas sobre él. Estos comentaristas encontraron que la física aristotélica tenía dificultades para explicar el movimiento de un proyectil.Aristóteles dividió el movimiento en dos tipos: "natural" y "violento". El movimiento "natural" de la materia sólida terrestre era caer hacia abajo, mientras que un movimiento "violento" podía empujar un cuerpo hacia los lados. Además, en la física aristotélica, un movimiento "violento" requiere una causa inmediata; separado de la causa de su movimiento "violento", un cuerpo volvería a su comportamiento "natural". Sin embargo, una jabalina continúa moviéndose después de que deja la mano de su lanzador. Aristóteles concluyó que el aire alrededor de la jabalina debe tener la capacidad de mover la jabalina hacia adelante. John Philoponus, un pensador griego bizantino activo durante el siglo VI, encontró esto absurdo: el mismo medio, el aire, era de alguna manera responsable tanto de sostener el movimiento como de impedirlo. Si la idea de Aristóteles fuera cierta, Philoponus dijo que los ejércitos lanzarían armas soplándolas con fuelles. Philoponus argumentó que poner un cuerpo en movimiento impartía una cualidad, un ímpetu, que estaría contenido dentro del propio cuerpo. Mientras se mantuviera su ímpetu, el cuerpo continuaría moviéndose.En los siglos siguientes, personas como Nur ad-Din al-Bitruji, Avicena, Abu'l-Barakāt al-Baghdādī, John Buridan y Alberto de Sajonia propusieron versiones de la teoría del ímpetu. En retrospectiva, la idea de ímpetu puede verse como un precursor del concepto moderno de impulso. (La intuición de que los objetos se mueven de acuerdo con algún tipo de ímpetu persiste en muchos estudiantes de física introductoria).

La inercia y la primera ley

El concepto moderno de inercia se atribuye a Galileo. Basado en sus experimentos, Galileo concluyó que el comportamiento "natural" de un cuerpo en movimiento era seguir moviéndose, hasta que algo interfiriera con él. Galileo reconoció que en el movimiento de un proyectil, la gravedad de la Tierra afecta el movimiento vertical pero no el horizontal. Sin embargo, la idea de inercia de Galileo no era exactamente la que sería codificada en la primera ley de Newton. Galileo pensó que un cuerpo que se desplazara inercialmente una gran distancia seguiría la curvatura de la Tierra. Esta idea fue corregida por Isaac Beeckman, René Descartes y Pierre Gassendi, quienes reconocieron que el movimiento de inercia debería ser un movimiento en línea recta.

La fuerza y la segunda ley

Christiaan Huygens, en su Horologium Oscillatorium (1673), planteó la hipótesis de que "Por la acción de la gravedad, cualquiera que sea su fuente, sucede que los cuerpos son movidos por un movimiento compuesto tanto de un movimiento uniforme en una dirección u otra como de un movimiento hacia abajo debido a la gravedad". La segunda ley de Newton generalizó esta hipótesis de la gravedad a todas las fuerzas.

Una característica importante de la física newtoniana es que las fuerzas pueden actuar a distancia sin necesidad de contacto físico. Por ejemplo, el Sol y la Tierra se atraen gravitacionalmente, a pesar de estar separados por millones de kilómetros. Esto contrasta con la idea, defendida por Descartes entre otros, de que la gravedad del Sol mantenía a los planetas en órbita haciéndolos girar en un vórtice de materia transparente, el éter. Newton consideró explicaciones etéreas de la fuerza, pero finalmente las rechazó. El estudio del magnetismo por William Gilbert y otros creó un precedente para pensar en fuerzas inmateriales,e incapaz de encontrar una explicación cuantitativamente satisfactoria de su ley de la gravedad en términos de un modelo etéreo, Newton finalmente declaró: "No finjo ninguna hipótesis": ya sea que un modelo como los vórtices de Descartes se pueda encontrar o no como base de las teorías de Principia de movimiento y la gravedad, los primeros motivos para juzgarlos deben ser las predicciones acertadas que hicieron. Y, de hecho, desde la época de Newton todos los intentos de tal modelo han fracasado.

Conservación de la cantidad de movimiento y la tercera ley

Johannes Kepler sugirió que las atracciones gravitatorias eran recíprocas, que, por ejemplo, la Luna atrae a la Tierra mientras que la Tierra atrae a la Luna, pero no argumentó que tales pares son iguales y opuestos. En sus Principios de filosofía (1644), Descartes introdujo la idea de que durante una colisión entre cuerpos, una "cantidad de movimiento" permanece sin cambios. Descartes definió esta cantidad de manera algo imprecisa al sumar los productos de la velocidad y el "tamaño" de cada cuerpo, donde "tamaño" para él incorporaba tanto el volumen como el área de la superficie.Además, Descartes pensó en el universo como un pleno, es decir, lleno de materia, por lo que todo movimiento requería que un cuerpo desplazara un medio a medida que se movía. Durante la década de 1650, Huygens estudió las colisiones entre esferas duras y dedujo un principio que ahora se identifica como la conservación del momento. Christopher Wren más tarde deduciría las mismas reglas para las colisiones elásticas que tenía Huygens, y John Wallis aplicaría la conservación del momento para estudiar las colisiones inelásticas. Newton citó el trabajo de Huygens, Wren y Wallis para apoyar la validez de su tercera ley.

Newton llegó a su conjunto de tres leyes de forma incremental. En un manuscrito de 1684 escrito a Huygens, enumeró cuatro leyes: el principio de inercia, el cambio de movimiento por la fuerza, una declaración sobre el movimiento relativo que hoy se llamaría invariancia de Galileo y la regla de que las interacciones entre cuerpos no cambian el movimiento. de su centro de masa. En un manuscrito posterior, Newton agregó una ley de acción y reacción, mientras decía que esta ley y la ley del centro de masa se implicaban mutuamente. Newton probablemente se decidió por la presentación en los Principia, con tres leyes primarias y luego otras declaraciones reducidas a corolarios, durante 1685.

Después de los Principios

Newton expresó su segunda ley diciendo que la fuerza sobre un cuerpo es proporcional a su cambio de movimiento o cantidad de movimiento. Cuando escribió los Principia, ya había desarrollado el cálculo (al que llamó "la ciencia de las fluxiones"), pero en los Principia no hizo un uso explícito de él, quizás porque creía que los argumentos geométricos en la tradición de Euclides eran más riguroso. En consecuencia, los Principia no expresan la aceleración como la segunda derivada de la posición, por lo que no dan la segunda ley como $F = ma$ . Esta forma de la segunda ley fue escrita (para el caso especial de fuerza constante) por lo menos ya en 1716, por Jakob Hermann; Leonhard Euler lo emplearía como premisa básica en la década de 1740.Euler fue pionero en el estudio de los cuerpos rígidos y estableció la teoría básica de la dinámica de fluidos. El Traité de mécanique céleste (1798-1825) de cinco volúmenes de Pierre-Simon Laplace abandonó la geometría y desarrolló la mecánica puramente a través de expresiones algebraicas, mientras resolvía cuestiones que los Principia habían dejado abiertas, como una teoría completa de las mareas.

El concepto de energía se convirtió en una parte clave de la mecánica newtoniana en el período posterior a Newton. La solución de Huygens de la colisión de esferas duras mostró que, en ese caso, no solo se conserva la cantidad de movimiento, sino también la energía cinética (o, más bien, una cantidad que en retrospectiva podemos identificar como la mitad de la energía cinética total). La cuestión de qué se conserva durante todos los demás procesos, como las colisiones inelásticas y el movimiento ralentizado por la fricción, no se resolvió hasta el siglo XIX. Los debates sobre este tema se superpusieron con las disputas filosóficas entre los puntos de vista metafísicos de Newton y Leibniz, y en ocasiones se usaron variantes del término "fuerza" para denotar lo que llamaríamos tipos de energía. Por ejemplo, en 1742, Émilie du Châtelet escribió: "La fuerza muerta consiste en una simple tendencia al movimiento: tal es la de un manantial dispuesto a relajarse; fuerza viva es la que tiene un cuerpo cuando está en movimiento real." En la terminología moderna, "fuerza muerta" y "fuerza viva" corresponden a energía potencial y energía cinética respectivamente.La conservación de la energía no se estableció como un principio universal hasta que se entendió que la energía del trabajo mecánico puede disiparse en calor. Con el concepto de energía dado una base sólida, las leyes de Newton podrían derivarse dentro de formulaciones de la mecánica clásica que ponen la energía en primer lugar, como en las formulaciones de Lagrangian y Hamilton descritas anteriormente.

Las presentaciones modernas de las leyes de Newton utilizan las matemáticas de los vectores, un tema que no se desarrolló hasta finales del siglo XIX y principios del XX. El álgebra vectorial, iniciada por Josiah Willard Gibbs y Oliver Heaviside, surgió y suplantó en gran medida al anterior sistema de cuaterniones inventado por William Rowan Hamilton.

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