Ley del tercero excluido

En lógica, la ley del medio excluido (o el principio del medio excluido) establece que para cada proposición, esta proposición o su negación es verdadera. Es una de las llamadas tres leyes del pensamiento, junto con la ley de no contradicción y la ley de identidad. Sin embargo, ningún sistema de lógica se basa solo en estas leyes, y ninguna de estas leyes proporciona reglas de inferencia, como el modus ponens o las leyes de De Morgan.

La ley es también conocida como ley (o principio) del tercero excluido, en latín principium tercii exclusi. Otra designación latina para esta ley es tertium non datur: "no se da una tercera [posibilidad]". Es una tautología.

El principio no debe confundirse con el principio semántico de bivalencia, que establece que toda proposición es verdadera o falsa. El principio de bivalencia siempre implica la ley del tercero excluido, mientras que lo contrario no siempre es cierto. Un contraejemplo comúnmente citado utiliza afirmaciones improbables ahora, pero demostrables en el futuro para mostrar que la ley del tercero excluido puede aplicarse cuando falla el principio de bivalencia.

Historia

Aristóteles

La primera formulación conocida se encuentra en la discusión de Aristóteles sobre el principio de no contradicción, propuesta por primera vez en Sobre la interpretación, donde dice que de dos proposiciones contradictorias (es decir, donde una proposición es la negación del otro) uno debe ser verdadero y el otro falso. También lo enuncia como principio en la Metafísica libro 3, diciendo que en todo caso es necesario afirmar o negar, y que es imposible que haya algo entre las dos partes de una contradicción..

Aristóteles escribió que la ambigüedad puede surgir del uso de nombres ambiguos, pero no puede existir en los hechos mismos:

Es imposible, entonces, que "ser un hombre" debe significar precisamente "no ser un hombre", si "hombre" no sólo significa algo sobre un tema, sino también tiene un significado.... Y no será posible ser y no ser lo mismo, excepto en virtud de una ambigüedad, como si alguien a quien llamamos "hombre", y otros llamaran "no-hombre"; pero el punto en cuestión no es éste, si lo mismo puede ser y no ser un hombre en nombre, sino si puede ser de hecho. ()Metafísica 4.4, W.D. Ross (trans.), GBWW 8, 525–526).

La afirmación de Aristóteles de que "no será posible ser y no ser la misma cosa", que se escribiría en lógica proposicional como ~(P ∧ ~P), es un enunciado que los lógicos modernos podrían llamar la ley del tercero excluido (P ∨ ~P), como distribución de la negación de la afirmación de Aristóteles los hace equivalentes, independientemente de que el primero afirme que ningún enunciado es tanto verdadero como falso, mientras que el segundo requiere que cualquier enunciado sea o verdadero o falso. falso.

Pero Aristóteles también escribe, "ya que es imposible que los contradictorios sean al mismo tiempo verdaderos de la misma cosa, obviamente los contrarios tampoco pueden pertenecer al mismo tiempo a la misma cosa" (Libro IV, CH 6, p. 531). Luego propone que "no puede haber un intermedio entre contradictorios, sino que de un sujeto debemos afirmar o negar cualquier predicado". (Libro IV, CH 7, p. 531). En el contexto de la lógica tradicional de Aristóteles, esta es una afirmación notablemente precisa de la ley del tercero excluido, P ∨ ~P.

También en Sobre la interpretación, Aristóteles parece negar la ley del tercero excluido en el caso de contingentes futuros, en su discusión sobre la batalla naval.

Leibniz

Su forma habitual, "Cada juicio es verdadero o falso" [nota 9]..."(de Kolmogorov en van Heijenoort, p. 421) nota a pie de página 9: "Esta es la formulación muy simple de Leibniz (ver Nouveaux Essais, IV,2)" (ibíd., pág. 421)

Bertrand Russell y Principia Mathematica

El principio fue declarado como un teorema de lógica proposicional por Russell y Whitehead en Principia Mathematica como:

Alternativa Alternativa 2⋅ ⋅ 11.⊢ ⊢ .pAlternativa Alternativa ♪ ♪ p{displaystyle mathbf {*2cdot 11}. vdash. p vee thicksim p}.

Entonces, ¿qué es la "verdad" y "falsedad"? En la apertura, PM anuncia rápidamente algunas definiciones:

Valores de la verdad. El "valor verdadero" de una propuesta es verdad si es verdad y falsedad si es falso* [*Esta frase se debe a Frege]... el valor de la verdad de "p ∨ q" es verdad si el valor de la verdad de una p o q es verdad, y es falsedad de otra manera... que de "~ p" es el opuesto de la p..." (p. 7-8)

Esto no es de mucha ayuda. Pero más adelante, en una discusión mucho más profunda ("Definición y ambigüedad sistemática de Verdad y Falsedad" Capítulo II parte III, p. 41 ff), PM define la verdad y la falsedad en términos de una relación entre el "a" y la "b" y el "perceptor". Por ejemplo "Este 'a' es 'b'" (por ejemplo, "Este 'objeto a' es 'rojo'") realmente significa "'objeto a' es un dato de los sentidos" y "'rojo' es un dato de los sentidos", y ellos "están en relación" entre sí y en relación con el "yo". Por lo tanto, lo que realmente queremos decir es: "Percibo que 'Este objeto a es rojo'" y esta es una 'verdad' innegable por parte de terceros.

PM define además una distinción entre un "dato de sentido" y una "sensación":

Es decir, cuando juzgamos (dicemos) "esto es rojo", lo que ocurre es una relación de tres términos, la mente, y "esto", y "rojo". Por otro lado, cuando percibimos "la enrojecimiento de esto", hay una relación de dos términos: la mente y el objeto complejo "la enrojecimiento de esto" (pág. 43-44).

Russell reiteró su distinción entre "datos de los sentidos" y "sensación" en su libro Los problemas de la filosofía (1912), publicado al mismo tiempo que PM (1910-1913):

Digamos el nombre de "sense-data" a las cosas que son inmediatamente conocidas en la sensación: tales cosas como colores, sonidos, olores, dureza, rugosidad, etc. Daremos el nombre "sensación" a la experiencia de ser inmediatamente conscientes de estas cosas... El color en sí es un dato sensorial, no una sensación. (pág. 12)

Russell describió además su razonamiento detrás de sus definiciones de "verdad" y "falsedad" en el mismo libro (Capítulo XII, Verdad y Falsedad).

Consecuencias de la ley del tercero excluido en Principia Mathematica

De la ley del medio excluido, fórmula ✸2.1 en Principia Mathematica, Whitehead y Russell derivan algunas de las herramientas más poderosas en el juego de herramientas de argumentación del lógico. (En Principia Mathematica, las fórmulas y proposiciones se identifican con un asterisco inicial y dos números, como "✸2.1").

✸2.1 ~p ∨ p "Esta es la Ley del medio excluido" (PM, pág. 101).

La demostración de ✸2.1 es más o menos la siguiente: "idea primitiva" 1.08 define p → q = ~p ∨ q. Sustituyendo p por q en esta regla se obtiene p → p = ~p ∨ p. Dado que p → p es verdadero (este es el Teorema 2.08, que se demuestra por separado), entonces ~p ∨ p debe ser cierto.

✸2.11 p ∨ ~p (La permutación de las afirmaciones está permitida por el axioma 1.4)
✸2.12 p → ~(~p) (Principio de la doble negación, parte 1: si "esta rosa es roja" es verdadera entonces'no es cierto que "'esta rosa no es roja' es cierto".)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)} (Lema junto con 2.12 usado para derivar 2.14)
✸2.14 ~(~p) → p (Principio de doble negación, parte 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (Uno de los cuatro &# 34;Principios de transposición". Similar a 1.03, 1.16 y 1.17. Aquí se requirió una demostración muy larga.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (Si es cierto que "Si esta rosa es roja entonces este cerdo vuela" entonces es cierto que "Si este cerdo no vuela entonces esta rosa no es roja&. #34;)
✸2.17 (~p → ~q) → (q → p) (Otra de las "Principios de transposición".)
✸2.18 (~p → p) → p (Llamado "El complemento de reductio ad absurdum Establece que una proposición que se sigue de la hipótesis de su propia falsedad es verdadera (PM, pp. 103–104).)

La mayoría de estos teoremas, en particular ✸2.1, ✸2.11 y ✸2.14, son rechazados por el intuicionismo. Estas herramientas se reformulan en otra forma que Kolmogorov cita como 'los cuatro axiomas de implicación de Hilbert'. y los 'dos axiomas de negación de Hilbert' (Kolmogorov en van Heijenoort, p. 335).

Proposiciones ✸2.12 y ✸2.14, "doble negación": Los escritos intuicionistas de L. E. J. Brouwer se refieren a lo que él llama "el principio de la reciprocidad de las múltiples especies, es decir, el principio de que para todo sistema la corrección de una propiedad se sigue de la imposibilidad de la imposibilidad de esta propiedad" (Brouwer, ibíd., p. 335).

Este principio se denomina comúnmente "principio de doble negación" (PM, págs. 101-102). De la ley del tercero excluido (✸2.1 y ✸2.11), PM deriva el principio ✸2.12 inmediatamente. Sustituimos ~p por p en 2.11 para producir ~p ∨ ~(~p), y por la definición de implicación (es decir, 1.01 p → q = ~p ∨ q) entonces ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (La derivación de 2.14 es un poco más complicada).

Reichnbach

Es correcto, al menos para la lógica bivalente, es decir, se puede ver con un mapa de Karnaugh—que esta ley elimina "el medio" de lo inclusivo-o usado en su ley (3). Y este es el punto de la demostración de Reichenbach de que algunos creen que el exclusivo-o debería tomar el lugar del inclusivo-o.

Sobre este tema (en términos ciertamente muy técnicos) Reichenbach observa:

El tercio no datur

29.x[f()x)f()x)

no es exhaustiva en sus términos principales y es por lo tanto una fórmula inflada. Este hecho tal vez explique por qué algunas personas consideran que es irrazonable escribir (29) con el inclusive-'or', y quieren que se escriba con el signo de la exclusiva- O '

30. (x[f()x⊕ ~f()x)], donde el símbolo "⊕" significa exclusiva-o

en que forma sería totalmente exhaustiva y por lo tanto nomológica en el sentido más estrecho. (Reichenbach, pág. 376)

En la línea (30) el "(x)" significa "para todos" o "para todos", una forma utilizada por Russell y Reichenbach; hoy el simbolismo es generalmente О О {displaystyle forall } x. Así, un ejemplo de la expresión parecería así:

• ()cerdo):Flies()cerdo⊕ ~Flies()cerdo)
• (Para todos los casos de "pig" vistos y no vistos): ("Pig vuela" o "Pig no vuela" pero no ambos simultáneamente)

Formalistas versus intuicionistas

Desde finales de 1800 hasta la década de 1930, hubo un debate amargo y persistente entre Hilbert y sus seguidores frente a Hermann Weyl y L. E. J. Brouwer. La filosofía de Brouwer, llamada intuicionismo, comenzó en serio con Leopold Kronecker a fines del siglo XIX.

A Hilbert no le gustaban mucho las ideas de Kronecker:

Kronecker insistió en que no podía haber existencia sin construcción. Para él, como para Paul Gordan [otro matemático mayor], la prueba de Hilbert de la finicidad de la base del sistema invariante no era simplemente matemáticas. Hilbert, por otro lado, a lo largo de su vida era insistir en que si uno puede probar que los atributos asignados a un concepto nunca conducirán a una contradicción, la existencia matemática del concepto se establece de esta manera (Reid p. 34)

Era su [la intención de Kronecker] que nada se podía decir que tenía existencia matemática a menos que se pudiera construir realmente con un número finito de números enteros positivos (Reid p. 26)

El debate tuvo un efecto profundo en Hilbert. Reid indica que el segundo problema de Hilbert (uno de los problemas de Hilbert de la Segunda Conferencia Internacional en París en 1900) evolucionó a partir de este debate (cursivas en el original):

En su segundo problema, [Hilbert] había pedido un prueba matemática de la consistencia de los axiomas de la aritmética de números reales.

Para mostrar el significado de este problema, agregó la siguiente observación:

"Si se asignan atributos contradictorios a un concepto, digo que matemáticamente el concepto no existe" (Reid p. 71)

Por lo tanto, Hilbert estaba diciendo: "Si se demuestra que tanto p como ~p son verdaderos, entonces p no lo es. existir", y por lo tanto estaba invocando la ley del medio excluido en la forma de la ley de la contradicción.

Y finalmente constructivistas... restringió las matemáticas al estudio de operaciones concretas en estructuras infinitas finitas o potencialmente (pero no en realidad), completadas sumas infinitas... fueron rechazadas, como fueron la prueba indirecta basada en la Ley de Medio Excluido. Los más radicales entre los constructivistas fueron los intuitionistas, liderados por el extremista topólogo L. E. J. Brouwer (Dawson p. 49)

El rencoroso debate continuó desde principios del siglo XX hasta la década de 1920; en 1927, Brouwer se quejó de "polemizar contra él [el intuicionismo] en tonos burlones" (Brouwer en van Heijenoort, p. 492). Pero el debate fue fértil: dio como resultado Principia Mathematica (1910-1913), y esa obra dio una definición precisa a la ley del tercero excluido, y todo esto proporcionó un marco intelectual y las herramientas necesarias para los matemáticos de principios del siglo XX:

De la escorrentía, y en parte de ella, surgió varios desarrollos lógicos importantes; la axiomatización de la teoría de conjuntos de Zermelo (1908a), que fue seguida dos años después por el primer volumen de Principia Mathematica, en la que Russell y Whitehead mostraron cómo, a través de la teoría de los tipos: gran parte de la aritmética podría ser desarrollada por medios lógicos (Dawson p. 49)

Brouwer redujo el debate al uso de pruebas diseñadas a partir de "negativo" o "no existencia" versus "constructivo" prueba:

Según Brouwer, una afirmación de que un objeto existe teniendo una propiedad determinada significa que, y sólo se prueba, cuando se conoce un método que en principio al menos permitirá que dicho objeto sea encontrado o construido...

Hilbert no estaba de acuerdo.

"Las pruebas de existencia pura han sido los hitos más importantes en el desarrollo histórico de nuestra ciencia", sostuvo. (Reid p. 155)

Brouwer se negó a aceptar el principio lógico del medio excluido, Su argumento fue el siguiente:

"Supongamos que A es la declaración "Existe un miembro del conjunto S tener la propiedad P." Si el conjunto es finito, es posible, en principio, examinar cada miembro de S y determinar si hay un miembro S con la propiedad P o que cada miembro de S carece de la propiedad P." (Esto faltaba una cita final) Por lo tanto, para conjuntos finitos, Brouwer aceptó el principio del medio excluido como válido. Él se negó a aceptarlo para conjuntos infinitos porque si el conjunto S es infinito, no podemos, incluso en principio, examinar a cada miembro del conjunto. Si, durante el curso de nuestro examen, encontramos un miembro del set con la propiedad P, la primera alternativa está fundamentada; pero si nunca encontramos tal miembro, la segunda alternativa todavía no está fundamentada.

Puesto que los teoremas matemáticos a menudo se prueban estableciendo que la negación nos implicaría en una contradicción, esta tercera posibilidad que Brouwer sugirió poner en duda muchas de las declaraciones matemáticas actualmente aceptadas.

"Tomar el Principio del Medio Excluido del matemático", dijo Hilbert, "es lo mismo que... prohibir el boxeador el uso de sus puños".

"La posible pérdida no parecía molestar a Weyl... El programa de Brouwer fue lo que viene, insistió a sus amigos en Zürich." (Reid, pág. 149)

En su conferencia de 1941 en Yale y el artículo posterior, Gödel propuso una solución: "que la negación de una proposición universal debía entenderse como afirmando la existencia... de un contraejemplo" (Dawson, pág. 157)

El enfoque de Gödel sobre la ley del tercero excluido era afirmar que las objeciones contra "el uso de 'definiciones impredicativas'" había "cargado más peso" que "la ley del medio excluido y los teoremas relacionados del cálculo proposicional" (Dawson pág. 156). Propuso su "sistema Σ… y concluyó mencionando varias aplicaciones de su interpretación. Entre ellos había una prueba de la consistencia con la lógica intuicionista del principio ~ (∀A: (A ∨ ~A)) (a pesar de la inconsistencia del supuesto ∃ A: ~ (A ∨ ~A))" (Dawson, p. 157) (no se ha colocado ningún paréntesis de cierre)

El debate pareció debilitarse: matemáticos, lógicos e ingenieros continúan utilizando la ley del medio excluido (y la doble negación) en su trabajo diario.

Definiciones intuicionistas de la ley (principio) del tercero excluido

Lo siguiente destaca el profundo problema matemático y filosófico detrás de lo que significa "saber", y también ayuda a dilucidar qué significa la "ley" implica (es decir, lo que la ley realmente significa). Emergen sus dificultades con la ley: que no quieren aceptar como verdaderas las implicaciones extraídas de lo inverificable (incomprobable, incognoscible) o de lo imposible o lo falso. (Todas las citas son de van Heijenoort, cursiva añadida).

Brouwer ofrece su definición de "principio del medio excluido"; vemos aquí también el tema de la "comprobabilidad":

Sobre la base de la testabilidad que acabamos de mencionar, se mantiene, para las propiedades concebidas dentro de un sistema principal finito específico, el "principio del medio excluido", es decir, el principio de que para cada sistema cada propiedad es correcto [richtig] o imposible, y en particular el principio de la reciprocidad de la especie complementaria, es decir, el principio de que para cada sistema la corrección de una propiedad se debe a la imposibilidad de la imposibilidad de esta propiedad. (335)

La definición de Kolmogorov cita los dos axiomas de negación de Hilbert

5. A →A → B)
6. ()A → B################################################################################################################################################################################################################################################################A → B) → B}

El primer axioma de negación de Hilbert, "cualquier cosa sigue de lo falso", hizo su aparición sólo con el surgimiento de la lógica simbólica, como hizo el primer axioma de implicación... mientras... el axioma bajo consideración [axiom 5] afirma algo sobre las consecuencias de algo imposible: tenemos que aceptar B si el verdadero juicio A es considerado como falso...

El segundo axioma de la negación de Hilbert expresa el principio del centro excluido. El principio se expresa aquí en la forma en que se utiliza para derivaciones: si B A continuación A así como de ~A, entonces B es verdad. Su forma habitual, "todo juicio es verdadero o falso" es equivalente a la anterior".

De la primera interpretación de la negación, es decir, la interdicción del juicio como verdadero, es imposible obtener la certeza de que el principio del medio excluido es verdadero... Brouwer demostró que en el caso de tales juicios transfinitos el principio del medio excluido no puede considerarse obvio

nota de pie de página 9: "Esta es la formulación muy simple de Leibniz (ver Nouveaux Essais, IV,2). La formulación "A o B o no...B"no tiene nada que ver con la lógica de los juicios.

nota de pie de página 10: "Simbolicamente la segunda forma se expresa así

A Alternativa ~A

donde ∨ significa "o". La equivalencia de las dos formas se prueba fácilmente (p. 421)

Ejemplos

Por ejemplo, si P es la proposición:

Sócrates es mortal.

entonces la ley del tercero excluido sostiene que la disyunción lógica:

O Sócrates es mortal, o no es el caso que Sócrates sea mortal.

es verdadero en virtud de su forma solamente. Es decir, el "medio" La posición de que Sócrates no es ni mortal ni no-mortal está excluida por la lógica y, por lo tanto, o bien la primera posibilidad (Sócrates es mortal) o su negación (no es el caso de que Sócrates sea mortal) debe ser cierto.

A continuación se muestra un ejemplo de un argumento que depende de la ley del tercero excluido. Buscamos probar que

existen dos números irracionales a{displaystyle a} y b{displaystyle b} tales que ab{displaystyle a^{b} es racional.

Se sabe que 2{displaystyle {sqrt {2}} es irracional (ver prueba). Considere el número

22{displaystyle {sqrt {2}} {sqrt {2}}} {f}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}}.

Claramente (excluido el medio) este número es racional o irracional. Si es racional, la demostración es completa y

a=2{displaystyle a={sqrt {2}} y b=2{displaystyle b={sqrt {2}}.

Pero si 22{displaystyle {sqrt {2}} {sqrt {2}}} {f}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} es irracional, entonces deja

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Entonces

ab=()22)2=2()2⋅ ⋅ 2)=22=2{displaystyle a^{b}=left({sqrt {2}{sqrt {2}right)^{sqrt {2}={sqrt {2}}} {sqrt {2}cdot {sqrt {2}right)}={sqrt {2} {2}=2},

y 2 es ciertamente racional. Esto concluye la prueba.

En el argumento anterior, la afirmación "este número es racional o irracional" invoca la ley del tercero excluido. Un intuicionista, por ejemplo, no aceptaría este argumento sin más apoyo para esa afirmación. Esto podría venir en forma de prueba de que el número en cuestión es de hecho irracional (o racional, según sea el caso); o un algoritmo finito que podría determinar si el número es racional.

Pruebas no constructivas sobre el infinito

La prueba anterior es un ejemplo de una prueba no constructiva rechazada por los intuicionistas:

La prueba no es constructiva porque no da números específicos a{displaystyle a} y b{displaystyle b} que satisfacen el teorema pero sólo dos posibilidades separadas, una de las cuales debe funcionar. (En realidad) a=22{displaystyle a={sqrt {2} {fn} {fnK}} {fnK}}}} {fnK}}}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}}} {\fn}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\ es irracional pero no hay ninguna prueba fácil conocida de ese hecho.) (Davis 2000:220)

(Las pruebas constructivas del ejemplo específico anterior no son difíciles de producir; por ejemplo a=2{displaystyle a={sqrt {2}} y b=log2⁡ ⁡ 9{displaystyle b=log _{2}9} ambos se muestran fácilmente irracionales, y ab=3{displaystyle a^{b}=3}; una prueba permitida por los intuitionistas).

Por no constructivo Davis quiere decir que "una prueba de que realmente hay entidades matemáticas que satisfacen ciertas condiciones no tendría que proporcionar un método para exhibir explícitamente las entidades en cuestión&#34.; (pág. 85). Tales pruebas suponen la existencia de una totalidad que es completa, una noción rechazada por los intuicionistas cuando se extiende al infinito; para ellos, el infinito nunca puede completarse:

En matemáticas clásicas se producen no constructivo o indirectas pruebas de existencia, que los intuicionistas no aceptan. Por ejemplo, para probar existe una n tal que P()n), el matemático clásico puede deducir una contradicción de la suposición para todos n, no P()n). Bajo la lógica clásica e intuitionista, por reductio ad absurdum no para todos, no P()n). La lógica clásica permite que este resultado se transforme en existe una n tal que P()n), pero no en general la intuición... el significado clásico, que en algún lugar de la totalidad infinita completa de los números naturales se produce un n tales que P()n), no está disponible para él, ya que no concibe los números naturales como una totalidad completa. (Kleene 1952:49–50)

David Hilbert y Luitzen E. J. Brouwer dan ejemplos de la ley del medio excluido extendida al infinito. El ejemplo de Hilbert: "la afirmación de que solo hay una cantidad finita de números primos o hay una cantidad infinita" (citado en Davis 2000:97); y Brouwer's: 'Cada especie matemática es finita o infinita'. (Brouwer 1923 en van Heijenoort 1967:336). En general, los intuicionistas permiten el uso de la ley del tercero excluido cuando se limita al discurso sobre colecciones finitas (conjuntos), pero no cuando se usa en el discurso sobre conjuntos infinitos (por ejemplo, los números naturales). Por lo tanto, los intuicionistas rechazan absolutamente la afirmación general: "Para todas las proposiciones P relacionadas con conjuntos infinitos D: P o ~P" (Kleene 1952: 48).

Los contraejemplos putativos de la ley del tercero excluido incluyen la paradoja del mentiroso o la paradoja de Quine. Ciertas resoluciones de estas paradojas, en particular el dialeteísmo de Graham Priest como se formaliza en LP, tienen la ley del tercero excluido como teorema, pero resuelven al mentiroso como verdadero y falso. De esta forma, la ley del tercero excluido es verdadera, pero como la verdad misma, y por tanto la disyunción, no es excluyente, no dice casi nada si una de las disyunciones es paradójica, o verdadera y falsa a la vez.

Críticas

Muchos sistemas lógicos modernos reemplazan la ley del tercero excluido con el concepto de negación como falla. En lugar de que una proposición sea verdadera o falsa, una proposición es verdadera o no se puede demostrar que es verdadera. Estas dos dicotomías sólo difieren en sistemas lógicos que no son completos. El principio de negación como falla se usa como base para la lógica autoepistémica y se usa ampliamente en la programación lógica. En estos sistemas, el programador es libre de afirmar la ley del tercero excluido como un hecho verdadero, pero no está incorporada a priori en estos sistemas.

Matemáticos como L. E. J. Brouwer y Arend Heyting también han cuestionado la utilidad de la ley del tercero excluido en el contexto de las matemáticas modernas.

En lógica matemática

En la lógica matemática moderna, se ha argumentado que el medio excluido da como resultado una posible autocontradicción. Es posible en lógica hacer proposiciones bien construidas que no pueden ser ni verdaderas ni falsas; un ejemplo común de esto es la 'paradoja del mentiroso', la afirmación 'esta afirmación es falsa', que se argumenta a sí misma como ni verdadera ni falsa. Arthur Prior ha argumentado que The Paradox no es un ejemplo de una declaración que no puede ser verdadera o falsa. La ley del tercero excluido todavía se cumple aquí, ya que la negación de esta declaración 'Esta declaración no es falsa', se puede asignar como verdadera. En la teoría de conjuntos, tal paradoja autorreferencial puede construirse examinando el conjunto 'el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos'. Este conjunto está definido sin ambigüedades, pero conduce a la paradoja de Russell: ¿el conjunto contiene, como uno de sus elementos, a sí mismo? Sin embargo, en la moderna teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, este tipo de contradicción ya no se admite. Además, las paradojas de autorreferencia pueden construirse sin siquiera invocar la negación, como en la paradoja de Curry.

Leyes análogas

Algunos sistemas de lógica tienen leyes diferentes pero análogas. Para algunas lógicas finitas de valores n, existe una ley análoga llamada ley de n+1th excluidos. Si la negación es cíclica y "∨" es un "operador máximo", entonces la ley se puede expresar en el lenguaje objeto mediante (P ∨ ~P ∨ ~~P ∨... ∨ ~...~P), donde " ~...~" representa n−1 signos de negación y "∨... ∨" n−1 signos de disyunción. Es fácil comprobar que la oración debe recibir al menos uno de los valores de verdad n (y no un valor que no sea uno de los n).

Otros sistemas rechazan la ley por completo.