Ley del pensamiento

Las leyes del pensamiento son reglas axiomáticas fundamentales en las que a menudo se considera que se basa el propio discurso racional. La formulación y clarificación de tales reglas tiene una larga tradición en la historia de la filosofía y la lógica. Generalmente se toman como leyes que guían y subyacen en el pensamiento, los pensamientos, las expresiones, las discusiones, etc. de todos. Sin embargo, estas ideas clásicas a menudo son cuestionadas o rechazadas en desarrollos más recientes, como la lógica intuicionista, el dialeteísmo y la lógica difusa.

Según el Diccionario de Filosofía de Cambridge de 1999, las leyes del pensamiento son leyes por las cuales o de acuerdo con las cuales procede el pensamiento válido, o que justifican una inferencia válida, o a las cuales toda deducción válida es reducible. Las leyes del pensamiento son reglas que se aplican sin excepción a cualquier tema de pensamiento, etc.; a veces se dice que son objeto de la lógica. El término, rara vez utilizado exactamente en el mismo sentido por diferentes autores, se ha asociado durante mucho tiempo con tres expresiones igualmente ambiguas: la ley de identidad (DI), la ley de contradicción (o no contradicción; NC) y la ley de excluidos. medio (ME). A veces, estas tres expresiones se toman como proposiciones de ontología formal que tienen el tema más amplio posible, proposiciones que se aplican a entidades como tales: (ID), todo es (es decir, es idéntico a) sí mismo; (NC) nada que tenga una cualidad determinada también tiene el negativo de esa cualidad (por ejemplo, ningún número par es no par); (EM) todo tiene una cualidad determinada o tiene el negativo de esa cualidad (por ejemplo, cada número es par o no par). Igualmente común en obras más antiguas es el uso de estas expresiones para principios de metalógica sobre proposiciones: (ID) cada proposición se implica a sí misma; (NC) ninguna proposición es a la vez verdadera y falsa; (EM) toda proposición es verdadera o falsa.

Desde mediados hasta finales del siglo XIX, estas expresiones se han utilizado para denotar proposiciones del álgebra booleana sobre clases: (ID) cada clase se incluye a sí misma; (NC) cada clase es tal que su intersección ("producto") con su propio complemento es la clase nula; (EM) cada clase es tal que su unión ("suma") con su propio complemento es la clase universal. Más recientemente, las dos últimas de las tres expresiones se han utilizado en relación con la lógica proposicional clásica y con la llamada lógica proposicional protética o cuantificada; en ambos casos la ley de no contradicción implica la negación de la conjunción ("y") de algo con su propia negación, ¬(A∧¬A), y la ley del tercero excluido implica la disyunción ("o") de algo con su propia negación, A∨¬A. En el caso de la lógica proposicional, el "algo" es una letra esquemática que sirve como marcador de posición, mientras que en el caso de la lógica protética el "algo" es una variable genuina. Las expresiones "ley de no contradicción" y "ley del medio excluido" también se utilizan para los principios semánticos de la teoría de modelos relacionados con oraciones e interpretaciones: (NC) bajo ninguna interpretación una oración dada es a la vez verdadera y falsa, (EM) bajo cualquier interpretación, una oración dada es verdadera o falsa.

Las expresiones mencionadas anteriormente se han utilizado de muchas otras maneras. También se han mencionado muchas otras proposiciones como leyes del pensamiento, incluido el dictum de omni et nullo atribuido a Aristóteles, la sustitutividad de idénticos (o iguales) atribuida a Euclides, la llamada identidad de indiscernibles atribuida a Gottfried Wilhelm Leibniz, y otras "verdades lógicas".

La expresión "leyes del pensamiento" ganó mayor prominencia gracias a su uso por parte de Boole (1815-1864) para denotar teoremas de su "álgebra de la lógica"; de hecho, tituló su segundo libro de lógica Una investigación de las leyes del pensamiento en las que se basan las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades (1854). Los lógicos modernos, en desacuerdo casi unánime con Boole, consideran que esta expresión es un nombre inapropiado; Ninguna de las proposiciones anteriores clasificadas bajo las "leyes del pensamiento" se refieren explícitamente al pensamiento per se, un fenómeno mental estudiado por la psicología, ni implican una referencia explícita a un pensador o conocedor como sería el caso en la pragmática o la epistemología. La distinción entre psicología (como estudio de los fenómenos mentales) y lógica (como estudio de la inferencia válida) está ampliamente aceptada.

Las tres leyes tradicionales

Historia

Hamilton ofrece una historia de las tres leyes tradicionales que comienza con Platón, continúa con Aristóteles y termina con los escolares de la Edad Media; además ofrece una cuarta ley (ver la entrada a continuación, en Hamilton):

"Los principios de Contradicción y Medio Excluido se pueden rastrear de nuevo a Platón: Los principios de la Contradicción y del Medio Excluido pueden remontarse a Platón, por quien fueron pronunciados y aplicados frecuentemente; aunque no fue hasta mucho tiempo después, que cualquiera de ellos obtuvo una denominación distintiva. To take the principle of Contradiction first. Esta ley emplea frecuentemente, pero los pasajes más notables se encuentran en el Phœdo, en el Sofista, y en los libros cuarto y séptimo de la República. [Hamilton LECT. V. LOGIC. 62]

Law of Excluded Middle: La ley del Medio Excluido entre dos contradictorios remonta, como he dicho, también a Platón, aunque el Segundo Alcibiades, el diálogo en el que está más claramente expresado, debe ser admitido como espurio. También está en los fragmentos de Pseudo-Archytas, que se encuentran en Stobæus. [Hamilton LECT. V. LOGIC. 65]

Hamilton observa además que "Es explícitamente enunciado y enfáticamente por Aristóteles en muchos pasajes tanto de su Metafísica (l. iii. (iv.) c.7.) como de su Análisis, tanto Prior (l. i. c. 2) y Posterior (1. i. c. 4). En la primera de estas, dice: "Es imposible que exista un medio entre opuestos contradictorios, pero es necesario afirmar o negar todo lo que sea". [Hamilton LECT. V. LOGIC. 65]

"Ley de identidad. [Hamilton también llama a esto "El principio de toda afirmación y definición lógica"] Antonius Andreas: La ley de identidad, dije, no fue explicada como principio de coordinación hasta un período comparativamente reciente. El primer autor en el que he encontrado esto hecho, es Antonius Andreas, un erudito de Scotus, que floreció a finales del siglo XIII y principios del siglo XIV. El escolar, en el cuarto libro de su Comentario de la metafísica de Aristóteles, un comentario que está lleno de las opiniones más ingeniosas y originales, no sólo afirma a la ley de la identidad una dignidad coordinada con la ley de la contradicción, sino, contra Aristóteles, sostiene que el principio de la identidad, y no el principio de la contradicción, es el primero. La fórmula en la que Andreas expresó que era Ens est ens. Posteriormente a este autor, la cuestión relativa a la prioridad relativa de las dos leyes de identidad y de contradicción se convirtió en una agitada en las escuelas; aunque también se encontró a algunos que afirmaron a la ley del Medio Excluido este rango supremo". [De Hamilton LECT. V. LOGIC. 65–66]

Tres leyes tradicionales: identidad, no contradicción, tercero excluido

Los siguientes estados son los tres "leyes" tradicionales en las palabras de Bertrand Russell (1912):

La ley de la identidad

La ley de la identidad: 'Todo lo que es, es'

Para todo a: a = a.

Respecto a esta ley, Aristóteles escribió:

Primero, esto al menos es obviamente cierto, que la palabra "ser" o "no ser" tiene un significado definido, de modo que no todo será "so y no así". De nuevo, si el "hombre" tiene un significado, que sea "aniel de dos pies"; al tener un significado lo entiendo: —si el "hombre" significa "X", entonces si A es un hombre "X" será lo que "ser un hombre" significa para él. (No hace ninguna diferencia incluso si uno dijera que una palabra tiene varios significados, si sólo son limitados en número; porque a cada definición se podría asignar una palabra diferente. Por ejemplo, podríamos decir que "hombre" no tiene un significado sino varios, uno de los cuales tendría una definición, viz. " animal de dos pies", mientras que podría haber también varias otras definiciones si sólo eran limitadas en número; porque un nombre peculiar podría ser asignado a cada una de las definiciones. Si, sin embargo, no eran limitados, pero uno decía que la palabra tiene un número infinito de significados, obviamente el razonamiento sería imposible; porque no tener un significado es no tener significado, y si las palabras no tienen sentido nuestro razonamiento entre sí, y de hecho con nosotros mismos, ha sido aniquilado; porque es imposible pensar en nada si no pensamos en una cosa; pero si esto es posible, un nombre podría ser asignado a esta cosa.

—Aristóteles, metafísica, Libro IV, Parte 4 (traducido por W.D. Ross)

Más de dos milenios después, George Boole aludió al mismo principio que Aristóteles cuando Boole hizo la siguiente observación con respecto a la naturaleza del lenguaje y los principios que deben ser inherentes naturalmente a él:

Existen, de hecho, ciertos principios generales fundados en la misma naturaleza del lenguaje, mediante los cuales se determina el uso de símbolos, que no son sino los elementos del lenguaje científico. En cierta medida estos elementos son arbitrarios. Su interpretación es puramente convencional: se nos permite emplearlos en cualquier sentido que nos plazca. Pero este permiso está limitado por dos condiciones indispensables, en primer lugar, que desde el sentido una vez establecido convencionalmente nunca, en el mismo proceso de razonamiento, partimos; en segundo lugar, que las leyes por las que se lleva a cabo el proceso se funden exclusivamente sobre el sentido o significado fijo arriba de los símbolos empleados.

—George Boole, una investigación de las leyes del pensamiento

La ley de la no contradicción

La ley de la no contradicción (alternativamente, la 'ley de la contradicción'): 'Nada puede ser y no ser al mismo tiempo.'

En otras palabras: "dos o más afirmaciones contradictorias no pueden ser ambas verdaderas en el mismo sentido al mismo tiempo": ¬(A∧¬A).

En palabras de Aristóteles, que "no se puede decir de algo que es y que no es en el mismo sentido y al mismo tiempo". Como ejemplo de esta ley, escribió:

Es imposible, entonces, que "ser un hombre" debe significar precisamente no ser un hombre, si "hombre" no sólo significa algo sobre un tema, sino que también tiene un significado... Y no será posible ser y no ser lo mismo, excepto en virtud de la ambigüedad, como si alguien a quien llamamos "hombre", y otros llamaran "no-hombre"; pero el punto en cuestión no es éste, si lo mismo puede ser y no ser un hombre en nombre, sino si puede ser de hecho.

—Aristóteles, metafísica, Libro IV, Parte 4 (traducido por W.D. Ross)

La ley del tercero excluido

La ley del tercero excluido: 'Todo debe ser o no ser.'

De acuerdo con la ley del tercero excluido o tercero excluido, para toda proposición, ya sea su forma positiva o negativa es verdadera: A∨¬A.

Con respecto a la ley del tercero excluido, Aristóteles escribió:

Pero por otro lado no puede haber un intermediario entre los contradictorios, pero de un tema debemos afirmar o negar cualquier predicado. Esto es claro, en primer lugar, si definimos lo verdadero y lo falso. Decir de lo que es que no es, o de lo que no es que es, es falso, mientras que decir de lo que es que es, y de lo que no es que no es, es verdad; así que el que dice de cualquier cosa que es, o que no es, dirá o lo que es verdad o lo que es falso.

—Aristóteles, metafísica, Libro IV, Parte 7 (traducido por W.D. Ross)

Justificación

Como indican las citas de Hamilton anteriores, en particular la "ley de identidad" entrada, el fundamento y la expresión de las "leyes del pensamiento" han sido un terreno fértil para el debate filosófico desde Platón. Hoy el debate sobre cómo "llegamos a conocer" el mundo de las cosas y de nuestros pensamientos—continúa; para ver ejemplos de fundamentos, consulte las entradas a continuación.

Plato

En uno de los diálogos esocráticos de Platón, Sócrates describió tres principios derivados de la introspección:

Primero, que nada puede llegar a ser mayor o menor, ya sea en número o magnitud, mientras permanece igual a sí mismo... En segundo lugar, que sin adición o resta no hay aumento o disminución de nada, pero sólo igualdad... Tercero, que lo que no era antes no puede ser después, sin llegar a ser y haber llegado a ser.

—Plato, Theaetetus, 155

Lógica india

La ley de no contradicción se encuentra en la lógica india antigua como una meta-regla en los Shrauta Sutras, la gramática de Pāṇini y los Brahma Sutras atribuidos a Vyasa. Posteriormente fue elaborado por comentaristas medievales como Madhvacharya.

Locke

John Locke afirmó que los principios de identidad y contradicción (es decir, la ley de identidad y la ley de no contradicción) eran ideas generales y sólo se les ocurrieron a las personas después de un considerable pensamiento filosófico abstracto. Caracterizó el principio de identidad como "Todo lo que es, es". Planteó el principio de contradicción como "Es imposible que una misma cosa sea y no sea". Para Locke, estos no eran principios innatos o a priori.

Leibniz

Gottfried Leibniz formuló dos principios adicionales, uno o ambos de los cuales a veces pueden considerarse una ley del pensamiento:

• principio de la razón suficiente
• identidad de indiscernibles

En el pensamiento de Leibniz, así como en general en el enfoque del racionalismo, estos dos principios son considerados como axiomas claros e incontestables. Fueron ampliamente reconocidos en el pensamiento europeo de los siglos XVII, XVIII y XIX, aunque fueron objeto de un mayor debate en el siglo XIX. Como resultó ser el caso de la ley de continuidad, estas dos leyes implican asuntos que, en términos contemporáneos, están sujetos a mucho debate y análisis (respectivamente sobre determinismo y extensión). Los principios de Leibniz fueron particularmente influyentes en el pensamiento alemán. En Francia, el Port-Royal Logic estaban menos influenciados por ellos. Hegel discutió con la identidad de indiscernibles en su Ciencia de la lógica (1812-1816).

Schopenhauer

Cuatro leyes

"Las leyes primarias del pensamiento, o las condiciones de lo pensable, son cuatro: – 1. La ley de identidad [A es A]. 2. La ley de la contradicción. 3. La ley de exclusión; o medio excluido. 4. La ley de la razón suficiente." (Thomas Hughes, La teoría ideal de Berkeley y el mundo real, Parte II, Sección XV, Nota al pie, p. 38)

Arthur Schopenhauer analizó las leyes del pensamiento y trató de demostrar que son la base de la razón. Los enumeró de la siguiente manera en su Sobre la cuádruple raíz del principio de razón suficiente, §33:

1. Un sujeto es igual a la suma de sus predicados, o a = a.
2. Ningún predicado puede ser atribuido y negado simultáneamente a un sujeto, o a un sujeto ~a.
3. De cada dos predicas contradictorias uno debe pertenecer a cada sujeto.
4. La verdad es la referencia de un juicio a algo fuera de ella como su razón o terreno suficiente.

También:

Las leyes del pensamiento pueden ser más inteligible expresada así:

1. Todo lo que es, existe.
2. Nada puede ser y no ser simultáneamente.
3. Cada cosa es o no lo es.
4. De todo lo que es, se puede encontrar por qué es.

Entonces habría que añadir sólo el hecho de que una vez por todas en la lógica la pregunta es lo que se piensa y por lo tanto sobre conceptos y no sobre cosas reales.

—Schopenhauer, Manuscrito restos, Vol. 4, "Pandectae II", §163

Para mostrar que son el fundamento de la razón, dio la siguiente explicación:

A través de una reflexión, que podría llamar un auto-examen de la facultad de la razón, sabemos que estos juicios son la expresión de las condiciones de todo pensamiento y por lo tanto tienen estos como su fundamento. Así, haciendo intentos vanidosos de pensar en oposición a estas leyes, la facultad de la razón las reconoce como las condiciones de la posibilidad de todo pensamiento. Entonces encontramos que es igual de imposible pensar en oposición a ellos como es mover nuestras extremidades en una dirección contraria a sus articulaciones. Si el sujeto pudiera conocerse, deberíamos conocer esas leyes. inmediatamente, y no primero a través de experimentos en objetos, es decir, representaciones (imágenes mentales).

—Schopenhauer, En la cuadrícula raíz del principio de la razón suficiente, §33

Las cuatro leyes de Schopenhauer se pueden presentar esquemáticamente de la siguiente manera:

1. A es A.
2. A no es-A.
3. X es A o no A.
4. Si A entonces B (A implica B).

Dos leyes

Más tarde, en 1844, Schopenhauer afirmó que las cuatro leyes del pensamiento podían reducirse a dos. En el noveno capítulo del segundo volumen de El mundo como voluntad y representación, escribió:

Me parece que la doctrina de las leyes del pensamiento podría ser simplificada si se establecieran sólo dos, la ley del medio excluido y la de la razón suficiente. El primero así: "Todo predicado puede ser confirmado o negado de cada sujeto." Aquí ya está contenido en el "ya sea, o" que ambos no pueden ocurrir simultáneamente, y por lo tanto sólo lo que se expresa por las leyes de identidad y contradicción. Así se añadirían como corolarios de ese principio que realmente dice que cada dos conceptos-esféricos deben ser considerados como unidos o como separados, pero nunca como ambos a la vez; y por lo tanto, aunque se unen palabras que expresan este último, estas palabras afirman un proceso de pensamiento que no se puede llevar a cabo. La conciencia de esta infeasibilidad es el sentimiento de contradicción. La segunda ley del pensamiento, el principio de la razón suficiente, afirmaría que lo anterior atribuir o refutar debe ser determinado por algo diferente del propio juicio, que puede ser una percepción (pura o empírica), o simplemente otro juicio. Esta otra cosa y diferente se llama entonces el terreno o la razón del juicio. Hasta donde un juicio satisface la primera ley del pensamiento, es creíble; en la medida en que satisface al segundo, es cierto, o al menos en el caso en que el fundamento de un juicio es sólo otro juicio que es lógica o formalmente cierto.

Boole (1854): De sus "leyes de la mente" Boole deriva "Ley de contradicción" de Aristóteles

El título del tratado de lógica de George Boole de 1854, Una investigación sobre las leyes del pensamiento, indica un camino alternativo. Las leyes ahora están incorporadas en una representación algebraica de sus "leyes de la mente", perfeccionadas a lo largo de los años en el álgebra booleana moderna.

Justificación: Cómo se aplican las "leyes de la mente" hay que distinguir

Boole comienza su capítulo I "Naturaleza y diseño de esta Obra" con una discusión sobre qué característica distingue, en general, las "leyes de la mente" de las "leyes de la naturaleza":

"Las leyes generales de la Naturaleza no son, en su mayoría, objetos inmediatos de percepción. O son inferencias inductivas de un gran cuerpo de hechos, la verdad común en la que expresan, o, en su origen por lo menos, hipótesis físicas de una naturaleza causal.... Son en todos los casos, y en el sentido más estricto del término, conclusiones probables, acercarse, de hecho, cada vez más cerca de la certeza, ya que reciben cada vez más de la confirmación de la experiencia...".

En contraste con esto están lo que él llama "leyes de la mente": Boole afirma que se conocen en su primera instancia, sin necesidad de repetición:

"Por otra parte, el conocimiento de las leyes de la mente no requiere como base ninguna extensa colección de observaciones. La verdad general se ve en particular, y no es confirmada por la repetición de instancias.... no sólo vemos en el ejemplo particular la verdad general, sino que la vemos también como una verdad cierta – una verdad, nuestra confianza en la que no continuará aumentando con la experiencia creciente de su verificación práctica." (Boole 1854:4)

Signos de Boole y sus leyes

Boole comienza con la noción de "signos" representando "clases", "operaciones" y "identidad":

"Todos los signos del lenguaje, como instrumento de razonamiento, pueden ser realizados por un sistema de signos compuesto de los siguientes elementos

"1o símbolos literarios como x, y, etc representando las cosas como sujetos de nuestras concepciones,

"2o Señales de operación, como +, −, x de pie para aquellas operaciones de la mente por las cuales las concepciones de las cosas se combinan o resuelven para formar nuevas concepciones que implican los mismos elementos,

3. El signo de identidad, =.

Y estos símbolos de Logic están en su uso sujetos a leyes definidas, en parte concuerdan y difieren en parte de las leyes de los símbolos correspondientes en la ciencia del Álgebra. (Boole 1854:27)

Boole luego aclara qué es un "símbolo literal" p.ej. x, y, z,... representa: un nombre aplicado a una colección de instancias en "clases". Por ejemplo, "pájaro" Representa toda la clase de criaturas emplumadas y aladas de sangre caliente. Para sus propósitos, extiende la noción de clase para representar la pertenencia a "uno", o "nada", o "al universo". es decir, la totalidad de todos los individuos:

"Acordemos entonces representar la clase de individuos a los que se aplica un nombre o descripción particular, por una sola letra, como z.... Por una clase se entiende generalmente una colección de individuos, a cada uno de los cuales se puede aplicar un nombre o descripción en particular; pero en este trabajo se extenderá el significado del término para incluir el caso en el que sólo existe un individuo, respondiendo al nombre o descripción requeridos, así como los casos denotados por los términos "nada" y "universo", que como "clases" deben entenderse para componer respectivamente "no seres", "todos". (Boole 1854:28)

A continuación, define lo que la cadena de símbolos, por ejemplo xy significa [moderno lógico, conjunción]:

"Se acordará además, que por la combinación xy se representará esa clase de cosas a las que los nombres o descripciones representados por x y y son simultáneamente aplicables. Por lo tanto, si x solo significa "cosas blancas", y si "se oye", deja que xy se destaque por "ove blanca" (Boole 1854:28)

Dada estas definiciones, ahora enumera sus leyes con su justificación más ejemplos (debido de Boole):

• (1) xy = yx [ley mercantil]

"x representa 'estuarios,' y 'estudios', las expresiones xy y yx representarán indiferentemente" 'los que son estuarios,' o 'estuarios que son ríos,'"

• (2) xx = x, alternativamente x² = x [Identidad absoluta de significado, la "ley fundamental del pensamiento" de Boole cf página 49]

"Esos hombres buenos, buenos, equivalen a hombres buenos".

OR lógico: Boole define "reunir partes en un todo o separar un todo en sus partes" (Boole 1854:32). Aquí el conectivo "y" se usa disyuntivamente, al igual que "o"; presenta una ley conmutativa (3) y una ley distributiva (4) para la noción de "coleccionismo". La noción de separar una parte del todo la simboliza con el "-" operación; define una ley conmutativa (5) y distributiva (6) para esta noción:

• (3) y + x = x + y [ley mercantil]

"Así la expresión "hombres y mujeres" es... equivalente a la expresión" mujeres y hombres. Que x represente a 'hombres' y, 'mujeres' y dejemos + para 'y' y 'o'..."

• (4) z(x + y) = zx + zy [ley distributiva]

z = europeo, (x = "hombres, y = mujeres): hombres y mujeres europeos = hombres europeos y mujeres europeas

• (5) x − y = −y + x [ley de la conmutación: separando una parte del todo]

"Todos los hombres (x) excepto los asiáticos (y)" está representado por x - y. "Todos los estados (x) excepto los estados monárquicos (y)" está representado por x - y

• (6) z(x - y) = zx − zy [ley distributiva]

Por último, existe una noción de "identidad" simbolizado por "=". Esto permite dos axiomas: (axioma 1): iguales sumados a iguales dan como resultado iguales, (axioma 2): iguales restados de iguales dan como resultado iguales.

• (7) Identidad ("es", "are") por ejemplo x = y + z, "estrellas" = "suns" y "los planetas"

Nada "0" y Universo "1": Observa que los únicos dos números que satisfacen xx = x son 0 y 1. Luego observa que 0 representa "Nada" mientras "1" representa el "Universo" (del discurso).

El NO lógico: Boole define el contrario (NO lógico) de la siguiente manera (su Proposición III):

"Si x representa cualquier clase de objetos, entonces 1 − x representa la clase contraria o complementaria de objetos, es decir, la clase incluyendo todos los objetos que no se comprimen en la clase x" (Boole 1854:48)

Si x = "hombres" entonces "1 − x" representa al "universo" menos "hombres", es decir, "no hombres".

La noción de algo particular en contraposición a lo universal: para representar la noción de "algunos hombres", Boole escribe la letra minúscula "v" antes del símbolo de predicado "vx" algunos hombres.

OR exclusivo e inclusivo: Boole no utiliza estos nombres modernos, pero los define de la siguiente manera x(1-y) + y(1-x) y x + y(1 -x), respectivamente; estos concuerdan con las fórmulas derivadas mediante el álgebra booleana moderna.

Boole deriva la ley de contradicción

Armado con su "sistema" deriva el "principio de [no]contradicción" comenzando con su ley de identidad: x² = x. Resta x de ambos lados (su axioma 2), obteniendo x² − x = 0. Luego factoriza x: x(x − 1) = 0. Por ejemplo, si x = & #34;hombres" entonces 1 − x representa NO-hombres. Entonces tenemos un ejemplo de la "Ley de Contradicción":

"Hence: x(1 − x) representará a la clase cuyos miembros son a la vez "hombres", y" no hombres", y la ecuación [x(1 − x)=0] expresa así el principio, que una clase cuyos miembros son al mismo tiempo hombres y no hombres no existe. En otras palabras, que es imposible para el mismo individuo ser al mismo tiempo un hombre y no un hombre.... esto es idéntico que "principio de contradicción" que Aristóteles ha descrito como el axioma fundamental de toda filosofía... lo que se ha considerado comúnmente como el axioma fundamental de la metafísica es sólo la consecuencia de una ley del pensamiento, matemática en su forma". (con más explicación acerca de esta "dichotomy" viene sobre cf Boole 1854:49ff)

Boole define la noción "dominio (universo) del discurso"

Esta noción se encuentra en todo el libro "Leyes del pensamiento" de Boole. p.ej. 1854:28, donde el símbolo "1" (el número entero 1) se utiliza para representar el "Universo" y "0" para representar "Nada", y con mucho más detalle más adelante (páginas 42 y siguientes):

"Ahora, cualquiera que sea la extensión del campo dentro del cual se encuentren todos los objetos de nuestro discurso, ese campo puede ser adecuadamente denominado universo del discurso... Además, este universo del discurso es en el sentido más estricto el tema final del discurso".

En su capítulo "El cálculo de predicados" Kleene observa que la especificación del "dominio" del discurso "no es una suposición trivial, ya que no siempre se satisface claramente en el discurso ordinario... de la misma manera, en matemáticas, la lógica puede volverse bastante resbaladiza cuando no se ha especificado ningún D [dominio] explícita o implícitamente, o la especificación de un D [dominio] es demasiado vago (Kleene 1967:84).

Hamilton (1837–38 conferencias sobre lógica, publicadas en 1860): una cuarta "ley de la razón y el consecuente"

Como se señaló anteriormente, Hamilton especifica cuatro leyes (las tres tradicionales más la cuarta "Ley de la razón y el consecuente")—de la siguiente manera:

"XIII. Las Leyes Fundamentales del Pensamiento, o las condiciones de lo pensado, como comúnmente recibido, son cuatro: – 1. La Ley de Identidad; 2. La Ley de Contradicción; 3. La Ley de Exclusión o del Medio Excluido; y, 4. La Ley de Razón y Consecuente, o de Razón Suficiente."

Rationale: "Logic is the science of the Laws of Thought as Thought"

Hamilton opina que el pensamiento se presenta en dos formas: "necesario" y "contingente" (Hamilton 1860:17). En cuanto a lo "necesario" forma define su estudio como "lógico": "La lógica es la ciencia de las formas necesarias de pensamiento" (Hamilton 1860:17). Para definir lo "necesario" afirma que implica las siguientes cuatro "cualidades":

(1) "determinado o necesario por la naturaleza del sujeto del pensamiento mismo... es subjetiva, no objetivamente, determinada;

(2) "original y no adquirido;

(3) "universal; es decir, no puede ser que necesite en algunas ocasiones, y no necesita en otros.

(4) "debe ser una ley; porque una ley es la que se aplica a todos los casos sin excepción, y de la cual una desviación es siempre, y en todas partes, imposible, o, por lo menos, no aceptada.... Esta última condición, igualmente, nos permite dar la enunciación más explícita de la materia-objeto de la lógica, al decir que la lógica es la ciencia de las Leyes del Pensamiento como el Pensamiento, o la ciencia de las Leyes Formales del Pensamiento, o la ciencia de las Leyes de la Forma del Pensamiento; porque todas estas son simplemente varias expresiones de la misma cosa."

Cuarta ley de Hamilton: "No inferir nada sin fundamento o razón"

Aquí está la cuarta ley de Hamilton de su LECT. V. LÓGICA. 60–61:

"Ahora voy a la cuarta ley.

"Par. XVII. Law of Sufficient Reason, or of Reason and Consequent:

"XVII. El pensamiento de un objeto, tal como se caracteriza en realidad por atributos positivos o negativos, no se deja al capricho del Entendimiento – la facultad del pensamiento; pero que la facultad debe ser necesaria a este o aquel acto determinante del pensamiento por un conocimiento de algo diferente de, e independiente de; el proceso de pensamiento mismo. Esta condición de nuestro entendimiento es expresada por la ley, como se llama, de la Razón Suficiente (principio Rationis Sufficientis); pero se denomina más adecuadamente la ley de Razón y Consecuente (principio Rationis et Consecutionis). Ese conocimiento por el cual la mente es necesaria para afirmar o posit algo más, se llama el lógica razón de la tierra, o antecedentes; que otra cosa que la mente es necesaria para afirmar o posit, se llama la lógica consecutiva; y la relación entre la razón y consecuente, se llama la lógica conexión o consecuencia. Esta ley se expresa en la fórmula – No inferir nada sin fundamento ni razón.¹

Relaciones entre Razón y Consecuente: Las relaciones entre Razón y Consecuente, cuando se comprime en un pensamiento puro, son las siguientes:

1. Cuando una razón se da explícitamente o implícitamente, entonces debe existir un consiguiente; y, viceversa, cuando se da una consecuencia, también debe existir una razón.

¹ Ver Schulze, Logik, §19, y Krug, LogikED.

2. Donde no hay razón, no puede haber consecuencia; y viceversa, donde no hay consecuencia (ya sea implícita o explícita) no puede haber ninguna razón. Es decir, los conceptos de la razón y de consiguiente, como recíprocamente relativo, involucran y suponen uno al otro.

El significado lógico de esta ley: La significación lógica de la ley de Razón y Consecuente radica en esto, que en virtud de ella, el pensamiento se constituye en una serie de actos todos indisolublemente conectados; cada uno necesariamente inferir al otro. Así es que la distinción y oposición de la materia posible, real y necesaria, que se ha introducido en la Lógica, es una doctrina totalmente ajena a esta ciencia.

Welton

En el siglo XIX, las leyes del pensamiento aristotélico, así como a veces las leyes del pensamiento leibnizianas, eran material estándar en los libros de texto de lógica, y J. Welton las describió de esta manera:

Las Leyes del Pensamiento, Principios Regulativos del Pensamiento, o Postulados del Conocimiento, son aquellas leyes mentales fundamentales, necesarias, formales y a priori, de acuerdo con las cuales todo pensamiento válido debe llevarse a cabo. Son a priori, es decir, resultan directamente de los procesos de la razón ejercidos sobre los hechos del mundo real. Son formales; porque como las leyes necesarias de todo pensamiento, no pueden, al mismo tiempo, determinar las propiedades definidas de cualquier clase particular de cosas, porque es opcional si pensamos en esa clase de cosas o no. Son necesarios, porque nadie lo hace, o puede, concebirlos invertidos, o realmente violarlos, porque nadie acepta nunca una contradicción que se presenta a sí mismo a su mente como tal.

—Welton, Manual de lógica, 1891, Vol. I, p. 30.

Russell (1903-1927)

La secuela de "Los principios de las matemáticas" de Bertrand Russell de 1903; se convirtió en la obra de tres volúmenes denominada Principia Mathematica (en adelante PM), escrita conjuntamente con Alfred North Whitehead. Inmediatamente después de que él y Whitehead publicaran PM, escribió su libro de 1912 "Los problemas de la filosofía". Sus "Problemas" refleja "las ideas centrales de la lógica de Russell".

Los principios de las matemáticas (1903)

En sus "Principios" Russell define la lógica simbólica o formal (utiliza los términos como sinónimos) como "el estudio de los diversos tipos generales de deducción" (Russell 1903:11). Afirma que "la lógica simbólica se ocupa esencialmente de la inferencia en general" (Russell 1903:12) y con una nota a pie de página indica que no distingue entre inferencia y deducción; es más, considera que la inducción “es una deducción disfrazada o un mero método para hacer conjeturas plausibles”; (Russell 1903:11). Esta opinión cambiará en 1912, cuando considere que su "principio de inducción" estar a la par de los diversos "principios lógicos" que incluyen las "Leyes del Pensamiento".

En su Parte I "Los indefinibles de las matemáticas" Capítulo II "Lógica Simbólica" Parte A "El cálculo proposicional" Russell reduce la deducción ("cálculo proposicional") a 2 "indefinibles" y 10 axiomas:

"17. Requerimos, entonces, en el cálculo proposicional, no indefinible excepto los dos tipos de implicación [simple aka "material" y "formal"]-- recordando, sin embargo, que la implicación formal es una noción compleja, cuyo análisis queda por emprender. En cuanto a nuestros dos indefinables, necesitamos ciertas proposiciones indemonstrables, que hasta ahora no he logrado reducir a menos diez (Russell 1903:15).

De estos afirma ser capaz de derivar la ley del tercero excluido y la ley de contradicción pero no exhibe sus derivaciones (Russell 1903:17). Posteriormente, él y Whitehead perfeccionaron estos "principios primitivos" y axiomas en los nueve que se encuentran en PM, y aquí Russell en realidad exhibe estas dos derivaciones en ❋1,71 y ❋3,24, respectivamente.

Los problemas de la filosofía (1912)

Para 1912 Russell en sus "Problemas" presta mucha atención a la "inducción" (justificación inductiva) así como a la "deducción" (inferencia), ambas representan sólo dos ejemplos de "principios lógicos evidentes" que incluyen las "Leyes del Pensamiento".

Principio de inducción: Russell dedica un capítulo a su "principio de inducción". Lo describe como algo que se divide en dos partes: en primer lugar, como una recopilación repetida de evidencia (sin fallas de asociación conocidas) y, por lo tanto, una probabilidad cada vez mayor de que cada vez que sucede A, sigue B; en segundo lugar, en un nuevo caso en el que efectivamente ocurra A, B ciertamente seguirá: es decir, "un número suficiente de casos de asociación hará que la probabilidad de una nueva asociación sea casi una certeza, y hará que se acerque a la certeza sin límite". #34;

Luego recoge todos los casos (instancias) del principio de inducción (por ejemplo, caso 1: A₁ = "el sol naciente", B₁ = "el cielo oriental"; caso 2: A₂ = "el sol de puesta", B₂ = "el cielo occidental"; caso 3: etc.) en una ley de inducción "general" que expresa como sigue:

a) Cuanto mayor es el número de casos en los que se ha encontrado algo del tipo A asociado con algo del tipo B, más probable es (si se conocen casos de fracaso de asociación) que A está siempre asociado con B;

b) En las mismas circunstancias, un número suficiente de casos de asociación de A con B hará que sea casi seguro de que A está siempre asociado con B, y hará que esta ley general se acerque con certeza sin límite."

Argumenta que este principio de inducción no puede ser refutado ni probado por la experiencia, ya que el fracaso de la refutación ocurre porque la ley trata con la probabilidad de éxito en lugar de la certeza; la falta de prueba que se produce debido a casos no examinados que aún no se han experimentado, es decir, que ocurrirán (o no) en el futuro. "Por lo tanto, debemos aceptar el principio inductivo sobre la base de su evidencia intrínseca, o renunciar a toda justificación de nuestras expectativas sobre el futuro".

En su siguiente capítulo ("Sobre nuestro conocimiento de los principios generales"), Russell ofrece otros principios que tienen esta propiedad similar: "que no pueden ser probados ni refutados por la experiencia, pero que se utilizan en argumentos. que parten de lo vivido." Afirma que estos "tienen evidencia aún mayor que el principio de inducción... el conocimiento de ellos tiene el mismo grado de certeza que el conocimiento de la existencia de los datos sensoriales". Constituyen los medios para extraer inferencias de lo que se da en la sensación.

Principio de inferencia: Russell ofrece luego un ejemplo que él llama un principio "lógico" principio. Dos veces antes ha afirmado este principio, primero como cuarto axioma en su libro de 1903 y luego como su primera "proposición primitiva" de PM: "❋1.1 Cualquier cosa implícita en una proposición elemental verdadera es verdadera". Ahora lo repite en su 1912 en una forma refinada: “Así, nuestro principio establece que si esto implica aquello, y esto es cierto, entonces eso es verdadero”. En otras palabras, "todo lo implícito en una proposición verdadera es verdadero", o "todo lo que se sigue de una proposición verdadera es verdadero". Pone gran énfasis en este principio, afirmando que "este principio está realmente involucrado -al menos, hay instancias concretas del mismo- en todas las manifestaciones".

No llama a su principio de inferencia modus ponens, pero su expresión formal y simbólica en PM (segunda edición, 1927) es la de modus ponens. ; La lógica moderna llama a esto una "regla" en contraposición a una "ley". En la cita que sigue, el símbolo "⊦" es el "signo de afirmación" (cf. PM:92); "⊦" significa "es cierto que", por lo tanto "⊦p" donde "p" es "el sol está saliendo" significa "es cierto que el sol está saliendo", alternativamente "La afirmación 'El sol está saliendo' es cierto". La "implicación" símbolo "⊃" se lee comúnmente "si p entonces q", o "p implica q" (cf. PM:7). Incrustado en esta noción de "implicación" son dos "ideas primitivas", "la función contradictoria" (simbolizado por NOT, "~") y "la suma o disyunción lógica" (simbolizado por OR, "⋁"); éstas aparecen como "proposiciones primitivas" ❋1,7 y ❋1,71 en PM (PM:97). Con estas dos "proposiciones primitivas" Russell define "p ⊃ q" tener la equivalencia lógica formal "NO-p O q" simbolizado por "~p ⋁ q":

"Inferencias. El proceso de inferencia es el siguiente: se afirma una proposición "p", y se afirma una proposición "p implica q", y luego como secuela se afirma la proposición "q". La confianza en la inferencia es la creencia de que si las dos afirmaciones anteriores no están en error, la afirmación final no está en error. En consecuencia, cuando, en símbolos, donde p y q tienen por supuesto una determinación especial

"⊦p" y "(p, q)"

" han ocurrido, entonces "⊦q" ocurrirá si se desea ponerlo en registro. El proceso de la inferencia no puede reducirse a símbolos. Su único registro es la ocurrencia de "⊦q".... Una inferencia es la caída de un verdadero premiso; es la disolución de una implicación".

En otras palabras, en una larga "cadena" de inferencias, después de cada inferencia podemos separado el "consecuente" "⊦q" de la cadena de símbolo "⊦p, ⊦(p2)" y no llevar estos símbolos hacia adelante en una cuerda de símbolos que siempre se levanta.

Las tres "leyes" (principios) del pensamiento: Russell continúa afirmando otros principios, de los cuales el principio lógico anterior es "sólo uno". Afirma que "algunos de ellos deben aceptarse antes de que sea posible cualquier argumento o prueba". Cuando algunas de ellas hayan sido concedidas, otras podrán probarse." De estas diversas "leyes" afirma que "sin muy buena razón, tres de estos principios han sido señalados por la tradición bajo el nombre de "Leyes del Pensamiento". Y estos los enumera de la siguiente manera:

"(1) La ley de identidadLo que sea, lo es. '

2) La ley de contradicción"Nada puede ser y no ser. '

3) La ley del medio excluido"Todo debe ser o no ser".

Justificación: Russell opina que "el nombre 'leyes del pensamiento' es... engañoso, porque lo importante no es el hecho de que pensemos de acuerdo con estas leyes, sino el hecho de que las cosas se comporten de acuerdo con ellas; en otras palabras, el hecho de que cuando pensamos de acuerdo con ellos pensamos de verdad." Pero califica esto como una "gran pregunta" y lo amplía en dos capítulos siguientes donde comienza con una investigación de la noción de "a priori" conocimiento (innato, incorporado) y, en última instancia, llega a aceptar el "mundo de los universales" platónico. En su investigación vuelve de vez en cuando a las tres leyes tradicionales del pensamiento, destacando en particular la ley de contradicción: "La conclusión de que la ley de contradicción es una ley del pensamiento es sin embargo, errónea... [más bien], la ley de contradicción se refiere a las cosas, y no simplemente a los pensamientos... un hecho concerniente a las cosas en el mundo."

Su argumento comienza con la afirmación de que las tres leyes tradicionales del pensamiento son "muestras de principios evidentes por sí mismos". Para Russell, la cuestión de lo "evidente" simplemente introduce la cuestión más amplia de cómo obtenemos nuestro conocimiento del mundo. Cita la "polémica histórica... entre las dos escuelas llamadas respectivamente 'empiristas' [ Locke, Berkeley y Hume ] y los 'racionalistas' [Descartes y Leibniz]" (estos filósofos son sus ejemplos). Russell afirma que los racionalistas "mantenían que, además de lo que sabemos por experiencia, existen ciertas "ideas innatas" en la mente. y 'principios innatos', que conocemos independientemente de la experiencia"; Para eliminar la posibilidad de que los bebés tengan un conocimiento innato de las "leyes del pensamiento", Russell cambia el nombre de este tipo de conocimiento a a priori. Y aunque Russell está de acuerdo con los empiristas en que "no se puede saber que nada existe excepto con la ayuda de la experiencia", también está de acuerdo con los racionalistas en que parte del conocimiento es . a priori, específicamente "las proposiciones de la lógica y la matemática pura, así como las proposiciones fundamentales de la ética".

Esta cuestión de cómo puede existir tal conocimiento a priori lleva a Russell a una investigación sobre la filosofía de Immanuel Kant, que después de una cuidadosa consideración rechaza de la siguiente manera:

"... hay una objeción principal que parece fatal para cualquier intento de lidiar con el problema de a priori conocimiento por su método. Lo que debemos tener en cuenta es nuestra certeza de que los hechos deben ajustarse siempre a la lógica y aritmética.... Así la solución de Kant limita indebidamente el alcance de a priori proposiciones, además de fracasar en el intento de explicar su certeza".

Sus objeciones a Kant llevan a Russell a aceptar la 'teoría de las ideas' de Platón, "en mi opinión... uno de los intentos más exitosos realizados hasta ahora."; afirma que "... debemos examinar nuestro conocimiento de los universales... donde encontraremos que [esta consideración] resuelve el problema del conocimiento a priori".

Principia Mathematica (Parte I: primera edición de 1910, segunda edición de 1927)

Desafortunadamente, los "Problemas" no ofrece un ejemplo de un "conjunto mínimo" de principios que se aplicarían al razonamiento humano, tanto inductivo como deductivo. Pero PM al menos proporciona un conjunto de ejemplos (pero no el mínimo; consulte la publicación a continuación) que es suficiente para fines deductivos razonamiento mediante el cálculo proposicional (a diferencia del razonamiento mediante el cálculo de predicados más complicado): un total de 8 principios al comienzo de la "Parte I: Lógica Matemática". Cada una de las fórmulas:❋1.2 a:❋1.6 es una tautología (verdadera sin importar cuál sea el valor de verdad de p, q, r...). Lo que falta en el tratamiento de PM es una regla formal de sustitución; en su tesis doctoral de 1921, Emil Post soluciona esta deficiencia (ver Post más abajo). A continuación, las fórmulas están escritas en un formato más moderno que el utilizado en PM; los nombres se dan en PM).

❋1.1 Cualquier cosa implícita por una verdadera proposición elemental es verdad.

❋1.2 Principio de Tautología: (p ⋁ p)

❋1.3 Principio de la adición [lógica]: q lla (p ⋁ q)

❋1.4 Principio de la permutación: (p ⋁ q)

❋1.5 Principio asociativo: p ⋁ (q ⋁ r)redundante redundante]

❋1.6 Principio de [lógica] Sumación: (q,2 r).

❋1.7 [lógica NO]: Si p es una proposición elemental, ~p es una proposición elemental.

❋1.71 [logical inclusive OR]: Si p y q son proposiciones elementales, (p ⋁ q) es una proposición elemental.

Russell resume estos principios con "Esto completa la lista de proposiciones primitivas requeridas para la teoría de la deducción aplicada a proposiciones elementales" (PM:97).

A partir de estas ocho tautologías y de un uso tácito de la "regla" de sustitución, PM deriva entonces más de cien fórmulas diferentes, entre las que se encuentran la Ley del Medio Excluido ❋1.71 y la Ley de Contradicción ❋3.24 (este último requiere una definición de AND lógico simbolizado por el ⋀ moderno: (p ⋀ q) =_def ~(~p ⋁ ~q). (PM usa el símbolo "punto" _▪ para AND lógico)).

Ladd-Franklin (1914): "principio de exclusión" y el "principio de agotamiento"

Casi al mismo tiempo (1912) que Russell y Whitehead estaban terminando el último volumen de sus Principia Mathematica y la publicación de "Los problemas de la filosofía" al menos dos lógicos (Louis Couturat, Christine Ladd-Franklin) afirmaban que dos "leyes" (principios) de contradicción" y "medio excluido" son necesarios especificar "contradictorios"; Ladd-Franklin los rebautizó como principios de exclusión y agotamiento. Lo siguiente aparece como nota a pie de página en la página 23 de Couturat 1914:

"Como la Sra. LADD·FRANKLlN ha señalado verdaderamente (BALDWIN, Diccionario de Filosofía y Psicología, artículo "Ley del Pensamiento"), el principio de contradicción no es suficiente para definir contradictorios; el principio del medio excluido debe ser añadido que merece igualmente el nombre de principio de contradicción. Es por ello que la Sra. LADD-FRANKLIN propone llamarlos respectivamente el principio de exclusión y el principio del agotamiento, ya que, según el primero, dos términos contradictorios son exclusivos (el otro); y, según el segundo, son exhaustivos (del universo del discurso)".

En otras palabras, la creación de "contradictorios" representa una dicotomía, es decir, la "división" de un universo de discurso en dos clases (colecciones) que tienen las dos propiedades siguientes: son (i) mutuamente excluyentes y (ii) (colectivamente) exhaustivas. En otras palabras, ninguna cosa (extraída del universo del discurso) puede ser simultáneamente miembro de ambas clases (ley de no contradicción), sino [y] cada cosa (en el universo del discurso) discurso) debe ser miembro de una clase u otra (ley del tercero excluido).

Post (1921): El cálculo proposicional es consistente y completo

Como parte de su tesis doctoral "Introducción a una teoría general de proposiciones elementales" Emil Post demostró "el sistema de proposiciones elementales de Principia [PM]" es decir, su "cálculo proposicional" descrito por las primeras 8 "proposiciones primitivas" ser consistente. La definición de "consistente" es ésta: que mediante el "sistema" a la mano (sus axiomas, leyes y reglas establecidos) es imposible derivar (mostrar) tanto una fórmula S como su contradictoria ~S (es decir, su negación lógica) (Nagel y Newman 1958:50). Para demostrar esto formalmente, Post tuvo que agregar una proposición primitiva a las 8 proposiciones primitivas de PM, una "regla" que especificaba la noción de "sustitución" eso faltaba en el PM original de 1910.

Dado el pequeño conjunto de "proposiciones primitivas" y la prueba de su consistencia, Post luego demuestra que este sistema ("cálculo proposicional" de PM) es completo, lo que significa que todas las tablas de verdad posibles se pueden generar en el " sistema":

"... todo sistema de verdad tiene una representación en el sistema de Principia mientras que todo sistema completo, que es uno que tiene todas las tablas de verdad posibles, es equivalente a él.... Por lo tanto, vemos que los sistemas completos son equivalentes al sistema Principia no sólo en el desarrollo de tablas de verdad, sino también postuladamente. Como otros sistemas son en un sentido formas degeneradas de sistemas completos podemos concluir que no se introducen nuevos sistemas lógicos".

¿Un conjunto mínimo de axiomas? La cuestión de su independencia

Luego está la cuestión de la "independencia" de los axiomas. En su comentario anterior a Post 1921, van Heijenoort afirma que Paul Bernays resolvió el asunto en 1918 (pero publicado en 1926): se puede demostrar la fórmula ❋1.5 Principio asociativo: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) con los otros cuatro. ¿En cuanto a qué sistema de "proposiciones-primitivas" es el mínimo, van Heijenoort afirma que el asunto fue "investigado por Zylinski (1925), el propio Post (1941) y Wernick (1942)" pero van Heijenoort no responde a la pregunta.

Teoría del modelo versus teoría de la prueba: la prueba de Post

Kleene (1967:33) observa que la "lógica" puede ser "fundada" de dos maneras, primero como una "teoría modelo", o segundo, mediante una "prueba" o "teoría axiomática"; "Las dos formulaciones, la de la teoría del modelo y la de la teoría de la prueba, dan resultados equivalentes" (Kleene 1967:33). Esta elección fundamental y su equivalencia también se aplican a la lógica de predicados (Kleene 1967:318).

En su introducción a Post 1921, van Heijenoort observa que tanto la "tabla de la verdad como los enfoques axiomáticos se presentan claramente". Esta cuestión de una prueba de consistencia en ambos sentidos (por una teoría modelo, por una teoría de prueba axiomática) surge en la versión más agradable de la prueba de consistencia de Post que se puede encontrar en Nagel y Newman 1958 en su capítulo V y #34;Un ejemplo de una prueba absoluta de coherencia exitosa". En el cuerpo principal del texto utilizan un modelo para lograr su prueba de coherencia (también afirman que el sistema está completo pero no ofrecen una prueba) (Nagel y Newman 1958:45–56). Pero su texto promete al lector una prueba que es axiomática en lugar de depender de un modelo, y en el Apéndice entregan esta prueba basándose en las nociones de división de fórmulas en dos clases K₁ y K₂ que son mutuamente excluyentes y exhaustivos (Nagel & Newman 1958:109-113).

Gödel (1930): El cálculo de predicados de primer orden está completo

El (restringido) "cálculo de predicados de primer orden" es el "sistema de lógica" eso agrega a la lógica proposicional (cf Post, arriba) la noción de "sujeto-predicado" es decir, el sujeto x se extrae de un dominio (universo) del discurso y el predicado es una función lógica f(x): x como sujeto y f(x) como predicado (Kleene 1967:74). Aunque la prueba de Gödel implica la misma noción de "completitud" Al igual que la prueba de Post, la prueba de Gödel es mucho más difícil; lo que sigue es una discusión del conjunto de axiomas.

Integridad

Kurt Gödel en su tesis doctoral de 1930 "La integridad de los axiomas del cálculo funcional de la lógica" demostró que en este "cálculo" (es decir, lógica de predicados restringida con o sin igualdad) que toda fórmula válida es "refutable o satisfactible" o lo que es lo mismo: toda fórmula válida es demostrable y por tanto la lógica es completa. Aquí está la definición de Gödel de si el "cálculo funcional restringido" está "completo":

"... si realmente basta para la derivación de cada uno logico-mathematical proposition, or where, perhaps, it is conceivable that there are true propositions (which may be provable by means of other principles) that cannot be derived in the system under consideration."

El cálculo de predicados de primer orden

Este cálculo de predicados en particular está "restringido al primer orden". Al cálculo proposicional añade dos símbolos especiales que simbolizan las generalizaciones "para todos" y "existe (al menos uno)" que se extienden sobre el dominio del discurso. El cálculo requiere sólo la primera noción "para todos", pero normalmente incluye ambas: (1) la noción "para todos x" o "por cada x" se simboliza en la literatura de formas tan diversas como (x), ∀x, Πx, etc., y la (2) noción de "existe (al menos una x)" simbolizado de diversas formas como Ex, ∃x.

La restricción es que la generalización "para todos" se aplica sólo a las variables (objetos x, y, z, etc. extraídos del dominio del discurso) y no a funciones, en otras palabras, el cálculo permitirá ∀xf(x) (" para todas las criaturas x, x es un pájaro") pero no ∀f∀x(f(x)) [pero si "igualdad" se agrega al cálculo, permitirá ∀f:f(x); ver más abajo en Tarski]. Ejemplo:

Que el predicado "función" f(x) sea "x es un mamífero", y el sujeto-dominio (o universo del discurso) (cf Kleene 1967:84) sea la categoría "bats":

La fórmula ∀xf(x) produce el valor de la verdad "verdad" (read: "Para todas las instancias x de objetos 'bats', 'x es un mamífero'" es una verdad, es decir, "Todos los murciélagos son mamíferos");

Pero si las instancias de x son extraídas de un dominio "criaturas de coser" entonces Оxf(x) produce el valor de la verdad "falso" (es decir, "Para todas las instancias x de 'criaturas de coser', 'x es un mamífero'" tiene un valor de la verdad de "falsidad"; "Los insectos de fundición son mamíferos" es falso);

Sin embargo sobre el amplio dominio del discurso "todas las criaturas alas" (por ejemplo, "pájaros" + "insectos voladores" + "ardillas de combate" + "bats") nosotros puede afirma ∃xf(x) (read: "Existe por lo menos una criatura alaada que es un mamífero"; produce un valor de verdad de la "verdad" porque los objetos x pueden venir de la categoría "bats" y tal vez "ardillas de combate" (dependiendo de cómo definimos "anillo"). Pero la fórmula produce la "falsidad" cuando el dominio del discurso está restringido a los "insectos" o "pájaros" o "insectos" y "pájaros".

Kleene señala que "el cálculo de predicados (con o sin igualdad) cumple plenamente (para las teorías de primer orden) lo que se ha concebido como el papel de la lógica" (Kleene 1967:322).

Un nuevo axioma: el dicho de Aristóteles: "la máxima de todos y ninguno"

Esta primera mitad de este axioma – "la máxima de todos" aparecerá como el primero de dos axiomas adicionales en el conjunto de axiomas de Gödel. El "dictum de Aristóteles" (dictum de omni et nullo) a veces se le llama "la máxima de todos y ninguno" pero en realidad son dos "máximas" que afirman: "Lo que es cierto para todos (los miembros del dominio) es cierto para algunos (los miembros del dominio)", y "Lo que no es cierto para todos (los miembros del dominio) no es cierto para ninguno (de los miembros del dominio)".

El "dictum" aparece en Boole 1854 en un par de lugares:

"Puede ser una pregunta si esa fórmula de razonamiento, que se llama el dictum de Aristóteles, de Omni et nullo, expresa una ley primaria de razonamiento humano o no; pero no es cuestión que expresa una verdad general en la lógica" (1854:4)

Pero más tarde parece discutir en contra:

"[Algunos principios de] principio general de naturaleza axiomática, como el "dictum de Aristóteles:" Todo lo que se afirma o niega del género puede en el mismo sentido ser afirmado o negado de cualquier especie incluida bajo ese género.... o bien estado directamente, pero en forma abstracta, el argumento que se supone que elucidate, y, así declarando que el argumento, afirma su validez; o implica en su expresión términos técnicos que, después de la definición, nos conducen de nuevo al mismo punto, viz. la declaración abstracta de las supuestas formas permisibles de inferencia".

Pero la primera mitad de esta "dictum" (dictum de omni) es retomado por Russell y Whitehead en PM, y por Hilbert en su versión (1927) de la “lógica de predicados de primer orden”; su (sistema) incluye un principio que Hilbert llama "dictum de Aristóteles"

(x)f(x) → f(y)

Este axioma también aparece en el conjunto de axiomas moderno ofrecido por Kleene (Kleene 1967:387), como su "∀-esquema", uno de los dos axiomas (él los llama "postulados&#34).;) requerido para el cálculo de predicados; el otro es el "∃-esquema" f(y) ⊃ ∃xf(x) que razona desde el f(y) particular hasta la existencia de al menos un sujeto x que satisface el predicado f(x); Ambos requieren adhesión a un dominio definido (universo) de discurso.

Cálculo de predicados restringidos de Gödel

Para complementar los cuatro (en lugar de cinco; ver Post) axiomas del cálculo proposicional, Gödel 1930 agrega el dictum de omni como el primero de dos axiomas adicionales. Tanto este "dictum" y el segundo axioma, afirma en una nota a pie de página, deriva de Principia Mathematica. De hecho, PM incluye tanto como

❋10.1 ⊦ Оxf(x) φ(y) ["I.e. what is true in all cases is true in any one case" ("El dictum de Aristóteles", reescrito en símbolos más modernos)]

❋10.2 ⊦ habitx(p ⋁ f(x))) [reescrito en símbolos más modernos]

Este último afirma que la suma lógica (es decir, ⋁, OR) de una proposición simple p y un predicado ∀xf(x) implica la suma lógica de cada uno por separado. Pero PM deriva ambas de seis proposiciones primitivas de ❋9, que en la segunda edición de PM se descarta y se reemplaza con cuatro nuevas "Pp" (principios primitivos) de ❋8 (ver en particular ❋8.2, y Hilbert deriva el primero de su "axioma lógico" en su libro de 1927 y no menciona el segundo. Cómo llegaron Hilbert y Gödel a adoptar estos dos como axiomas no está claro.

También se requieren dos "reglas" de desapego ("modus ponens") aplicable a los predicados.

Tarski (1946): la ley de Leibniz

Alfred Tarski en su 1946 (2a edición) "Introducción a la Lógica y a la Metodología de las Ciencias Deductivas" cita una serie de lo que él considera "leyes universales" del cálculo sentencio, tres "reglas" de la inferencia, y una ley fundamental de identidad (de la que deriva cuatro leyes más). Las "leyes de pensamiento" tradicionales están incluidas en su larga lista de "leyes" y "reglas". Su tratamiento es, como sugiere el título de su libro, limitado a la "Metodología de las Ciencias Deductivas".

Justificación: En su introducción (segunda edición) observa que lo que comenzó con una aplicación de la lógica a las matemáticas se ha ampliado a "todo el conocimiento humano":

"[Quiero presentar] una idea clara de esa poderosa tendencia del pensamiento contemporáneo que se concentra en la lógica moderna. Esta tendencia surgió originalmente de la tarea algo limitada de estabilizar las bases de las matemáticas. En su fase actual, sin embargo, tiene objetivos mucho más amplios. Porque busca crear un aparato conceptual unificado que proporcione una base común para todo el conocimiento humano".

Ley de identidad (ley de Leibniz, igualdad)

Para agregar la noción de "igualdad" al "cálculo proposicional" (esta nueva noción no debe confundirse con la equivalencia lógica simbolizada por ↔, ⇄, "si y sólo si (iff)", "bicondicional", etc..) Tarski (cf p. 54-57) simboliza lo que él llama "ley de Leibniz" con el símbolo "=". Esto extiende el dominio (universo) del discurso y los tipos de funciones a números y fórmulas matemáticas (Kleene 1967:148ff, Tarski 1946:54ff).

En pocas palabras: dado que "x tiene todas las propiedades que tiene y", podemos escribir "x = y", y esta fórmula tendrá un valor de verdad de "verdad" o "falsedad". Tarski enuncia esta ley de Leibniz de la siguiente manera:

• I. Ley de Leibniz: x = y, si, y sólo si, x tiene cada propiedad que tiene, y tiene cada propiedad que x tiene.

Luego deriva algunas otras "leyes" de esta ley:

• II. Ley de Reflexividad: Todo es igual a sí mismo: x = x. [Proven at PM ❋13.15]
• III. Ley de simetría: Si x = y, entonces y = x. [Proven at PM ❋13.16]
• IV. Ley de Transitividad: Si x = y y = z, entonces x = z. [Proven at PM ❋13.17]
• V. Si x = z y y = z, entonces x = y. [Proven at PM ❋13.172]

Principia Mathematica define la noción de igualdad de la siguiente manera (en símbolos modernos); nótese que la generalización "para todos" se extiende sobre funciones de predicado f():

❋13.01. x = y =_def (f(x) → f(y)) ("Esta definición establece que x y y van a ser llamados idénticos cuando cada función predicada satisfecha por x está satisfecha por y"

Hilbert 1927:467 añade sólo dos axiomas de igualdad, el primero es x = x, el segundo es (x = y) → ((f(x) → f(y)); el "para todos f" falta (o está implícita). Gödel 1930 define la igualdad de manera similar a PM:❋13.01. Kleene 1967 adopta los dos de Hilbert 1927 más dos más (Kleene 1967:387).

George Spencer-Brown (1969): Leyes de la forma

George Spencer-Brown en su libro "Leyes de la forma" (LoF) comienza por dar por sentado que "no podemos hacer una indicación sin hacer una distinción". Esto, por tanto, presupone la ley del tercero excluido. Luego pasa a definir dos axiomas, que describen cómo funcionan las distinciones (un "límite") y las indicaciones (una "llamada"):

• Axiom 1. La ley de llamar: El valor de una llamada hecha de nuevo es el valor de la llamada.
• Axiom 2. La ley del cruce: El valor de un cruce (frontario) hecho de nuevo no es el valor del cruce.

Estos axiomas tienen cierta semejanza con la "ley de identidad" y la "ley de no contradicción" respectivamente. Sin embargo, la ley de identidad se demuestra como un teorema (Teorema 4.5 en "Leyes de la forma") en el marco de LoF. En general, LoF se puede reinterpretar como lógica de primer orden, lógica proposicional y lógica de segundo orden asignando interpretaciones específicas a los símbolos y valores de LoF.

Desarrollos contemporáneos

Todos los "sistemas de lógica" se consideran "clásicos" las proposiciones de significado y las expresiones de predicados tienen dos valores, ya sea con el valor de verdad "verdad" o "falsedad" pero no ambos (Kleene 1967:8 y 83). Si bien la lógica intuicionista cae en la lógica "clásica" categoría, se opone a ampliar la categoría "para todos"; operador a la Ley del Medio Excluido; permite instancias de la "Ley", pero no su generalización a un dominio infinito del discurso.

Lógica intuicionista