Ley del coseno de Lambert

En óptica, la ley del coseno de Lambert dice que la intensidad radiante o la intensidad luminosa observada desde una superficie reflectora difusa ideal o un radiador difuso ideal es directamente proporcional al coseno del ángulo θ entre la dirección de la luz incidente y la superficie normal; I = I0cos(θ). La ley también se conoce como ley de emisión del coseno o ley de emisión de Lambert. Lleva el nombre de Johann Heinrich Lambert, de su Photometria, publicada en 1760.

Se dice que una superficie que obedece la ley de Lambert es Lambertiana y exhibe reflectancia lambertiana. Tal superficie tiene el mismo resplandor cuando se ve desde cualquier ángulo. Esto significa, por ejemplo, que para el ojo humano tiene el mismo brillo aparente (o luminancia). Tiene el mismo resplandor porque, aunque la potencia emitida por un elemento de área dado se reduce por el coseno del ángulo de emisión, el ángulo sólido, subtendido por la superficie visible para el observador, se reduce en la misma cantidad. Debido a que la relación entre la potencia y el ángulo sólido es constante, la radiancia (potencia por unidad de ángulo sólido por unidad de área de fuente proyectada) permanece igual.

Dispersores y radiadores lambertianos

Cuando un elemento de área está irradiando como resultado de haber sido iluminado por una fuente externa, la irradiancia (energía o fotones/tiempo/área) que llega a ese elemento de área será proporcional al coseno del ángulo entre la fuente de iluminación y lo normal. Un dispersor lambertiano dispersará esta luz de acuerdo con la misma ley del coseno que un emisor lambertiano. Esto significa que aunque la radiancia de la superficie depende del ángulo de la normal a la fuente de iluminación, no dependerá del ángulo de la normal al observador. Por ejemplo, si la luna fuera un dispersor lambertiano, sería de esperar que su brillo dispersado disminuyera considerablemente hacia el terminador debido al mayor ángulo en el que la luz del sol incide sobre la superficie. El hecho de que no disminuya ilustra que la luna no es un dispersor lambertiano y, de hecho, tiende a dispersar más luz en los ángulos oblicuos que un dispersor lambertiano.

La emisión de un radiador lambertiano no depende de la cantidad de radiación incidente, sino de la radiación que se origina en el propio cuerpo emisor. Por ejemplo, si el sol fuera un radiador lambertiano, uno esperaría ver un brillo constante en todo el disco solar. El hecho de que el sol muestre un oscurecimiento de las extremidades en la región visible ilustra que no es un radiador lambertiano. Un cuerpo negro es un ejemplo de un radiador lambertiano.

Detalles del efecto de igual brillo

Figure 1: Emission rate (photons/s) in a normal and off-normal direction. El número de fotones/seg dirigidos a cualquier cuña es proporcional a la zona de la cuña.

Figura 2: Intensidad observada (fotones/(s·m)2·sr) para un observador normal y fuera de lo normal; dA0 es el área de la abertura de observación y dΩ es el ángulo sólido subtended por la abertura desde el punto de vista del elemento área emisor.

La situación de una superficie Lambertiana (emisora o dispersante) se ilustra en las Figuras 1 y 2. Para mayor claridad conceptual, pensaremos en términos de fotones en lugar de energía o energía luminosa. Las cuñas en el círculo representan cada una un ángulo igual dΩ, de un tamaño elegido arbitrariamente, y para una superficie lambertiana, el número de fotones por segundo emitidos en cada cuña es proporcional al área de la cuña..

La longitud de cada cuña es el producto del diámetro del círculo y cos(θ). La tasa máxima de emisión de fotones por unidad de ángulo sólido está a lo largo de la normal y disminuye a cero para θ = 90°. En términos matemáticos, la radiación a lo largo de la normal es I fotones/(s·m²·sr) y el número de fotones por segundo emitidos en la cuña vertical es I dΩ dA. El número de fotones por segundo emitidos en la cuña en el ángulo θ es I cos(θ) dΩ dA.

La figura 2 representa lo que ve un observador. El observador directamente sobre el elemento de área verá la escena a través de una apertura de área dA₀ y el elemento de área dA subtenderá un (sólido) ángulo de dΩ₀, que es una parte del campo de visión angular total de la escena del observador. Dado que el tamaño de cuña dΩ se eligió arbitrariamente, por conveniencia podemos suponer sin pérdida de generalidad que coincide con el ángulo sólido subtendido por la apertura cuando se "visto" desde el lugar geométrico del elemento del área de emisión dA. Por lo tanto, el observador normal registrará los mismos I dΩ dA fotones por segundo emisión derivada anteriormente y medirá una radiancia de

${displaystyle I_{0}={frac {I,dOmega ,dA}{dOmega ♪♪$ fotones/(s·m²·sr).

El observador en un ángulo θ con respecto a la normal verá la escena a través de la misma apertura de área dA₀ (todavía correspondiente a una dΩ cuña) y desde esta perspectiva oblicua el elemento de área dA se acorta y subtiende un ángulo (sólido) de dΩ ₀ cos(θ). Este observador registrará I cos(θ) dΩ dA< /span> fotones por segundo, y así estará midiendo un resplandor de

${displaystyle I_{0}={frac {Icos(theta),dOmega,dA}{dOmega _{0},cos(theta),dA_{0}}=frac {I,dOmega ,dA}{dOmega ♪♪$ fotones/(s·m²·sr),

que es lo mismo que el observador normal.

Relacionando la intensidad luminosa máxima y el flujo luminoso

En general, la intensidad luminosa de un punto sobre una superficie varía según la dirección; para una superficie lambertiana, esa distribución se define por la ley cosina, con una intensidad luminosa máxima en la dirección normal. Así, cuando la suposición lambertiana sostiene, podemos calcular el flujo total luminoso, ${displaystyle F_{text{tot}}$, desde la intensidad máxima luminosa, ${displaystyle I_{max }$, integrando la ley cosina:

$${displaystyle {begin{aligned}F_{text{tot} âTMa {begin {begin{aligned}F_{text{tot} {f} {f}} {f}}}} _{0}{2pi }int _{0}{pi /2}cos(theta),I_{max },sin(theta),dtheta ,dphi\=2pi cdot I_{max }int _{0}{pi /2}cos(theta)sin(theta),dtheta \cl=2pi {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicroc}{2}},dthetaend{aligned}}}}$$

${displaystyle F_{text{tot}=pi ,mathrm {sr} {max}$

Donde ${displaystyle sin(theta)}$ es el determinante de la matriz Jacobiana para la esfera de unidad, y darse cuenta de que ${displaystyle I_{max }$ es flujo luminoso por esteriladiano. Del mismo modo, la intensidad máxima será ${displaystyle 1/(pi ,mathrm {sr}}$ del flujo luminoso radiado total. Para superficies lambertianas, el mismo factor de ${displaystyle pi ,mathrm {sr}$ relaciona luminancia con emisión luminosa, intensidad radiante a flujo radiante y radiación a emisión radiante. Los radicales y los estedianos son, por supuesto, sin dimensión y así "rad" y "sr" se incluyen sólo para la claridad.

Ejemplo: una superficie con una luminancia de, digamos, 100 cd/m² (= 100 nits, monitor de PC típico), si es un emisor Lambert perfecto, tendrá una emitancia luminosa de 100π lm /m². Si su área es de 0,1 m² (~19" monitor), entonces la luz total emitida, o flujo luminoso, sería 31,4 lm.