Ecuaciones de Fresnel

Transmisión parcial y reflexión de un pulso que viaja desde un medio índice bajo a un alto refractivo.

A una incidencia cercana al arrastre, las interfaces de los medios aparecen como espejo, especialmente debido a la reflexión del s polarización, a pesar de ser pobres reflectores a la incidencia normal. Gafas polarizadas bloquean el s polarización, reduciendo enormemente el resplandor de superficies horizontales.

Las ecuaciones de Fresnel (o coeficientes de Fresnel) describen la reflexión y transmisión de la luz (o radiación electromagnética en general) cuando incide en una interfaz entre diferentes medios ópticos. Fueron deducidos por Augustin-Jean Fresnel () quien fue el primero en comprender que la luz es una onda transversal, aunque nadie se dio cuenta de que las "vibraciones" de la onda eran campos eléctricos y magnéticos. Por primera vez, la polarización pudo entenderse cuantitativamente, ya que las ecuaciones de Fresnel predijeron correctamente el diferente comportamiento de las ondas de las polarizaciones s y p que inciden sobre una interfaz material..

Resumen

Cuando la luz incide en la interfaz entre un medio con índice de refracción n₁ y un segundo medio con índice de refracción n_{2< /sub>, pueden ocurrir tanto reflexión como refracción de la luz. Las ecuaciones de Fresnel dan la relación entre el campo eléctrico de la onda reflejada y el campo eléctrico de la onda incidente, y la relación del campo eléctrico de la onda transmitida.;s campo eléctrico al campo eléctrico de la onda incidente, para cada uno de los dos componentes de polarización. (Los campos magnéticos también se pueden relacionar usando coeficientes similares). Estas relaciones son generalmente complejas y describen no solo las amplitudes relativas sino también los cambios de fase en la interfaz.}

Las ecuaciones asumen que la interfaz entre los medios es plana y que los medios son homogéneos e isotrópicos. Se supone que la luz incidente es una onda plana, lo cual es suficiente para resolver cualquier problema ya que cualquier campo de luz incidente puede descomponerse en ondas planas y polarizaciones.

Polarizaciones S y P

El plano de incidencia se define por el vector de propagación de la radiación entrante y el vector normal de la superficie.

Hay dos conjuntos de coeficientes de Fresnel para dos componentes de polarización lineal diferentes de la onda incidente. Dado que cualquier estado de polarización se puede resolver en una combinación de dos polarizaciones lineales ortogonales, esto es suficiente para cualquier problema. Del mismo modo, la luz no polarizada (o "polarizada aleatoriamente") tiene la misma cantidad de energía en cada una de las dos polarizaciones lineales.

La polarización s se refiere a la polarización del campo eléctrico de una onda normal al plano de incidencia (el z dirección en la derivación a continuación); entonces el campo magnético está en el plano de incidencia. La polarización p se refiere a la polarización del campo eléctrico en el plano de incidencia (el plano xy en la derivación a continuación); entonces el campo magnético es normal al plano de incidencia.

Aunque la reflexión y la transmisión dependen de la polarización, en incidencia normal (θ = 0) no hay distinción entre ellos, por lo que todos los estados de polarización se rigen por un solo conjunto de coeficientes de Fresnel (y otro caso especial se menciona a continuación en el que eso es cierto).

Coeficientes de reflexión y transmisión de potencia (intensidad)

Variables utilizadas en las ecuaciones de Fresnel

Coeficientes de potencia: aire a vidrio

Coeficientes de potencia: vidrio al aire

En el diagrama de la derecha, una onda plana incidente en la dirección del rayo IO golpea la interfaz entre dos medios de índices de refracción n_{1< /sub> y n2 en el punto O. Parte de la onda se refleja en la dirección OR y otra parte se refracta en la dirección OT. Los ángulos que forman los rayos incidente, reflejado y refractado con la normal de la interfaz se dan como θi, θr< /sub> y θt, respectivamente.}

La relación entre estos ángulos viene dada por la ley de la reflexión:

$${displaystyle theta _{mathrm {}=theta _{mathrm {r}}}$$

y la ley de Snell:

$${displaystyle n_{1}sin theta _{mathrm {i} }=n_{2}sin theta _{mathrm {t}.}$$

El comportamiento de la luz que golpea la interfaz se resuelve considerando los campos eléctricos y magnéticos que constituyen una onda electromagnética y las leyes del electromagnetismo, como se muestra a continuación. La proporción de ondas' Se obtienen amplitudes de campo eléctrico (o campo magnético), pero en la práctica uno está más interesado en fórmulas que determinen coeficientes de potencia, ya que la potencia (o irradiancia) es lo que se puede medir directamente en frecuencias ópticas. La potencia de una onda es generalmente proporcional al cuadrado de la amplitud del campo eléctrico (o magnético).

Llamamos a la fracción de la potencia incidente que se refleja desde la interfaz reflectancia (o reflectividad, o coeficiente de reflexión de potencia) < i>R, y la fracción que se refracta en el segundo medio se llama transmitancia (o transmisividad, o coeficiente de transmisión de potencia) T . Tenga en cuenta que estos son los que se medirían justo en cada lado de una interfaz y no tienen en cuenta la atenuación de una onda en un medio absorbente después de la transmisión o reflexión.

La reflectancia de la luz polarizada en s es

$${displaystyle R_{mathrm {s}=left durable{frac {Z_{2}cos theta ¿Qué? }-Z_{1}cos theta _{mathrm {t} {Z_{2}cos theta _{mathrm {i} }+Z_{1}cos theta _{mathrm {t} } 'justo de la vida, {2}$$

mientras que la reflectancia de la luz polarizada p es

$${displaystyle R_{mathrm}=left forever{frac {Z_{2}cos theta ¿Qué? }-Z_{1}cos theta _{mathrm {i} {Z_{2}cos theta _{mathrm {t} }+Z_{1}cos theta _{mathrm {i}}}right sobre la vida, {2}$$

donde Z₁ y Z< sub>2 son las impedancias de onda de los medios 1 y 2, respectivamente.

Suponemos que los medios no son magnéticos (es decir, μ₁ = μ₂ = μ0), que suele ser una buena aproximación en frecuencias ópticas (y para medios transparentes en otras frecuencias). Entonces las impedancias de onda están determinadas únicamente por los índices de refracción n₁ y n₂:

$${displaystyle Z_{i}={frac ¿Qué?$$

$${displaystyle ¿Qué? {n_{1}cos theta _{mathrm {i} }-n_{2}cos theta _{mathrm {t} {}{n_{1}cos theta _{mathrm {i} }+n_{2}cos theta _{mathrm {t} } {fnMicroc} {fnMicroc} {n_{1}cos theta _{mathrm {i} }-n_{2}{sqrt {1-left({frac {n_{1} {n_{2}}sin} {fn_} {fn_}}}} {n_{1}cos} theta _{mathrm {i} }+n_{2}{sqrt {1-left({frac {n_{1} {n_{2}}sin} {fnMicrosoft Sans Serif}}}justo intuir en la vida,}$$

$${displaystyle R_{mathrm}=left forever{frac} {n_{1}cos theta _{mathrm {t} }-n_{2}cos theta _{mathrm {i} {}{n_{1}cos theta _{mathrm {t} }+n_{2}cos theta ¿Qué? } {fnMicroc} {fnMicroc} {fn_}{sqrt {1-left({frac} {n_{1} {n_{2}}sin} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fn} {fn} {fn_fn} {fnfnfnfn} {fnfn} {fnfn} {fnfnfnfnfnfn} {fnfnfn} {fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn}fnfn}fnfnfnfn}fnfn}fn}fnfn}\fnfn}\fnfn}fnfn {n_{1} {n_{2}}sin} theta _{mathrm {i}right)} {2}n_{2}cos theta _{mathrm {i} Está bien.$$

La segunda forma de cada ecuación se deriva de la primera mediante la eliminación de θ_t mediante la ley de Snell y las identidades trigonométricas.

Como consecuencia de la conservación de la energía, se puede encontrar la potencia transmitida (o más correctamente, irradiancia: potencia por unidad de área) simplemente como la parte de la potencia incidente que no se refleja:

$${displaystyle T_{mathrm {s}=1-R_{mathrm {s}$$

y

$${displaystyle T_{mathrm {p}=1-R_{mathrm {p}$$

Tenga en cuenta que todas esas intensidades se miden en términos de la irradiación de una onda en la dirección normal a la interfaz; esto es también lo que se mide en los experimentos típicos. Ese número podría obtenerse de las irradiancias en la dirección de una onda incidente o reflejada (dadas por la magnitud del vector de Poynting de una onda) multiplicadas por cosθ para una onda en un ángulo θ con respecto a la dirección normal (o de manera equivalente, tomando el producto punto del vector de Poynting con el vector unitario normal a la interfaz). Esta complicación se puede ignorar en el caso del coeficiente de reflexión, ya que cosθ_i = cosθ_r, de modo que la relación entre la irradiancia reflejada y la incidente en la dirección de la onda sea la misma que en la dirección normal a la interfaz.

Aunque estas relaciones describen la física básica, en muchas aplicaciones prácticas uno se preocupa por la "luz natural" que puede ser descrito como no polarizado. Eso significa que hay una cantidad igual de energía en las polarizaciones s y p, de modo que la reflectividad efectiva del material es solo el promedio de las dos reflectividades:

$${displaystyle R_{mathrm {eff}={frac {1}}left(R_{mathrm {s}+R_{mathrm {p}right). }$$

Para aplicaciones de baja precisión que involucran luz no polarizada, como gráficos por computadora, en lugar de calcular rigurosamente el coeficiente de reflexión efectivo para cada ángulo, a menudo se usa la aproximación de Schlick.

Casos especiales

Incidencia normal

Para el caso de incidencia normal, ${displaystyle theta _{mathrm {}=theta _{mathrm {t}=0}$, y no hay distinción entre s y p polarización. Así pues, la reflexión simplifica

$${displaystyle R=left {n_{1}-n_{2} {n_{1}}justo sobre la vida actual {2},}$$

Para vidrio común (n₂ ≈ 1.5) rodeado de aire (n₁=1), se puede ver que la reflectancia de potencia en incidencia normal es de aproximadamente 4% u 8% considerando ambos lados de un panel de vidrio.

Ángulo de Brewster

En una interfaz dieléctrica de n₁ a n< /i>₂, hay un ángulo de incidencia particular en el que R_p< /span> va a cero y una onda incidente con polarización p se refracta puramente, por lo que toda la luz reflejada tiene polarización s. Este ángulo se conoce como ángulo de Brewster y mide alrededor de 56° para n₁=1 y n_{2< /sub>=1.5 (vidrio típico).}

Reflexión interna total

Cuando la luz que viaja en un medio más denso golpea la superficie de un medio menos denso (es decir, n₁ > n₂), más allá de un ángulo de incidencia particular conocido como ángulo crítico, toda la luz se refleja y R_s = R_p = 1. Este fenómeno, conocido como reflexión interna total, ocurre en ángulos de incidencia para los cuales la ley de Snell predice que el seno del ángulo de refracción excedería la unidad (mientras que, de hecho, senθ ≤ 1 para todo real θ). Para vidrio con n=1.5 rodeado de aire, el ángulo crítico es de aproximadamente 42°.

Coeficientes de reflexión y transmisión de amplitud compleja

Las ecuaciones anteriores que relacionan potencias (que podrían medirse con un fotómetro, por ejemplo) se derivan de las ecuaciones de Fresnel que resuelven el problema físico en términos de amplitudes complejas de campo electromagnético, es decir, considerando cambios de fase además de sus amplitudes. Esas ecuaciones subyacentes generalmente proporcionan proporciones de valores complejos de esos campos EM y pueden tomar varias formas diferentes, según el formalismo utilizado. Los coeficientes de amplitud complejos para la reflexión y la transmisión generalmente se representan con minúsculas r y t (mientras que los coeficientes de potencia están en mayúscula). Como antes, asumimos que la permeabilidad magnética, µ de ambos medios es igual a la permeabilidad del espacio libre µ_o como es esencialmente cierto de todos los dieléctricos en frecuencias ópticas.

Coeficientes de amplificación: aire a vidrio

Coeficientes de amplificación: vidrio al aire

En las siguientes ecuaciones y gráficos, adoptamos las siguientes convenciones. Para la polarización s, el coeficiente de reflexión r se define como la relación del campo eléctrico complejo de la onda reflejada amplitud a la de la onda incidente, mientras que para p la polarización r es la relación del complejo de ondas magnético amplitudes de campo (o de manera equivalente, el negativo de la relación de sus amplitudes de campo eléctrico). El coeficiente de transmisión t es la relación entre la amplitud del campo eléctrico complejo de la onda transmitida y la de la onda incidente, para cualquier polarización. Los coeficientes r y t son generalmente diferentes entre los s y p, e incluso en incidencia normal (¡donde las designaciones s y p ni siquiera se aplican!) el signo de r se invierte dependiendo de si se considera que la onda es s o p polarizado, un artefacto de la convención de signos adoptada (ver gráfico para una interfaz de aire-vidrio a 0 ° de incidencia).

Las ecuaciones consideran un incidente de onda plana en una interfaz de plano en ángulo de incidencia ${displaystyle theta _{mathrm {i}}$, a onda reflejada en ángulo ${displaystyle theta _{mathrm {r}=theta _{mathrm {i}}$, y una onda transmitida en ángulo ${displaystyle theta _{mathrm {t}}$. En el caso de una interfaz en un material absorbente (donde n es complejo) o reflejo interno total, el ángulo de transmisión no suele evaluar a un número real. En ese caso, sin embargo, se pueden obtener resultados significativos utilizando formulaciones de estas relaciones en las que se evitan funciones trigonométricas y ángulos geométricos; las ondas inhomogéneas lanzadas en el segundo medio no pueden describirse utilizando un solo ángulo de propagación.

Usando esta convención,

$${displaystyle {begin{aligned}r_{text{s} {fnMicroc} {n_{1}cos theta ##{text{i}-n_{2}cos {fn} {fn} {fn}cH00}cH00} theta _{text{i}+n_{2}cos ################################################################################################################################################################################################################################################################ {2n_{1}cos theta {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}fn}fn}fn}fnfnfn} theta _{text{i}+n_{2}cos ################################################################################################################################################################################################################################################################ {n_{2}cos theta ## {text{i}-n_{1}cos {fn} {cHFF} {cH00}cH00}} {cH00}} {cHFF} {cH}} {cH00}}cH00}}cH00} theta _{text{i}+n_{1}cos ################################################################################################################################################################################################################################################################ {2n_{1}cos theta {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn}} {fn}} {fn} {fn}} {cHFF}}}}}} {fn}}} {fnfnfn}}} {fnfn}fn}}}}}}}} {fnfn}}}}fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}ccccccccfn}}}}}}}}}}}}cccccccccccccccccccccfn}}}}}cccccccccccccccH theta _{text{i}+n_{1}cos {fnMicrosoft Sans Serif}}$$

Se puede ver que t_s = r_s + 1 y n₂/n₁t_p=r_p+1. Se pueden escribir ecuaciones muy similares aplicando la relación de las ondas' campos magnéticos, pero la comparación de los campos eléctricos es más convencional.

Debido a que las ondas reflejadas e incidentes se propagan en el mismo medio y forman el mismo ángulo con la normal a la superficie, el coeficiente de reflexión de potencia R es solo la magnitud al cuadrado de r:

$${displaystyle R=vivr habit^{2}$$

Por otro lado, el cálculo del coeficiente de transmisión de energía T es menos sencillo, ya que la luz viaja en diferentes direcciones en los dos medios. Además, las impedancias de onda en los dos medios difieren; La potencia (irradiación) viene dada por el cuadrado de la amplitud del campo eléctrico dividido por la impedancia característica del medio (o por el cuadrado del campo magnético multiplicado por la impedancia característica). Esto resulta en:

$${displaystyle T={frac {n_{2}cos theta {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}fn}fnfn}fnfnfn} "Teta"$$

utilizando la definición anterior de t. El factor introducido de n₂/n₁ es el recíproco de la relación de las impedancias de onda de los medios. Los factores cos(θ) ajustan las ondas' potencias por lo que se calculan en la dirección normal a la interfaz, tanto para las ondas incidentes como para las transmitidas, de modo que la transmisión de potencia completa corresponde a T=1.

En el caso de reflexión interna total donde la transmisión de potencia T es cero, t no obstante, describe el campo eléctrico (incluida su fase) justo más allá de la interfaz. Este es un campo evanescente que no se propaga como una onda (por lo tanto, T=0) pero tiene valores distintos de cero muy cerca de la interfaz. El cambio de fase de la onda reflejada en la reflexión interna total se puede obtener de manera similar a partir de los ángulos de fase de r_p y < span class="texhtml">r_s (cuyas magnitudes son la unidad en este caso). Estos cambios de fase son diferentes para las ondas s y p, que es el conocido principio por el cual se utiliza la reflexión interna total para efectuar transformaciones de polarización.

Formas alternativas

En la fórmula anterior r_s, si ponemos ${displaystyle n_{2}=n_{1}sin theta _{text{i}/sin theta _{t}}}$ y multiplicar el numerador y el denominador por 1/n₁pecadoSilencio_t, obtenemos

$${displaystyle r_{text{s}=-{frac {theta _{text{i}}-theta _{text{t}}}}} {Theta _{text{i}}+theta _{text{t}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$$

Si hacemos lo mismo con la fórmula para r_p, se muestra fácilmente que el resultado es equivalente a

$${displaystyle {theta _{text{i}-theta _{theta _{text{t}}}} {theta_theta _{text{t}}}}}}}}}}}}} {theta {theta}}}}}$$

Estas fórmulas  se conocen respectivamente como ley del seno de Fresnel y ley de la tangente de Fresnel. Aunque en una incidencia normal estas expresiones se reducen a 0/0, se puede ver que producen los resultados correctos en el límite como θ_i → 0.

Múltiples superficies

Cuando la luz hace múltiples reflejos entre dos o más superficies paralelas, los múltiples haces de luz generalmente interfieren entre sí, lo que resulta en amplitudes netas de transmisión y reflexión que dependen de la longitud de onda de la luz. Sin embargo, la interferencia solo se ve cuando las superficies están a distancias comparables o menores que la longitud de coherencia de la luz, que para la luz blanca ordinaria es de unos pocos micrómetros; puede ser mucho mayor para la luz de un láser.

Un ejemplo de interferencia entre reflejos son los colores iridiscentes que se ven en una pompa de jabón o en finas películas de aceite sobre el agua. Las aplicaciones incluyen interferómetros Fabry-Pérot, recubrimientos antirreflectantes y filtros ópticos. Un análisis cuantitativo de estos efectos se basa en las ecuaciones de Fresnel, pero con cálculos adicionales para tener en cuenta la interferencia.

El método de matriz de transferencia o el método de Rouard recursivo  se pueden utilizar para resolver problemas de superficies múltiples.

Historia

En 1808, Étienne-Louis Malus descubrió que cuando un rayo de luz se reflejaba en una superficie no metálica en el ángulo apropiado, se comportaba como uno de los dos rayos que emergen de un doble- cristal refractivo de calcita. Más tarde acuñó el término polarización para describir este comportamiento. En 1815, David Brewster determinó experimentalmente la dependencia del ángulo de polarización del índice de refracción. Pero la razón de esa dependencia era un misterio tan profundo que a fines de 1817, Thomas Young se sintió impulsado a escribir:

[T]la gran dificultad de todos, que es asignar una razón suficiente para la reflexión o no reflexión de un rayo polarizado, probablemente permanecerá mucho tiempo, para mortificar la vanidad de una filosofía ambiciosa, completamente sin resolver por cualquier teoría.

En 1821, sin embargo, Augustin-Jean Fresnel obtuvo resultados equivalentes a sus leyes del seno y la tangente (arriba), al modelar las ondas de luz como ondas elásticas transversales con vibraciones perpendiculares a lo que antes se llamaba el plano de polarización. Fresnel confirmó rápidamente mediante experimentos que las ecuaciones predijeron correctamente la dirección de polarización del haz reflejado cuando el haz incidente estaba polarizado a 45 ° con respecto al plano de incidencia, para la luz incidente del aire sobre el vidrio o el agua; en particular, las ecuaciones dieron la polarización correcta en el ángulo de Brewster. La confirmación experimental se informó en una "posdata" al trabajo en el que Fresnel reveló por primera vez su teoría de que las ondas de luz, incluidas las "no polarizadas" ondas, eran puramente transversales.

Los detalles de la derivación de Fresnel, incluidas las formas modernas de la ley del seno y la ley de la tangente, se dieron más tarde, en una memoria leída en la Academia de Ciencias de Francia en enero de 1823. Esa derivación combinaba la conservación de la energía con la continuidad. de la vibración tangencial en la interfaz, pero no tuvo en cuenta ninguna condición en el componente normal de la vibración. La primera derivación de los principios electromagnéticos fue dada por Hendrik Lorentz en 1875.

En las mismas memorias de enero de 1823, Fresnel encontró que para ángulos de incidencia mayores que el ángulo crítico, sus fórmulas para los coeficientes de reflexión (r _s y r_p) dieron valores complejos con magnitudes unitarias. Al notar que la magnitud, como de costumbre, representaba la relación de las amplitudes máximas, supuso que el argumento representaba el cambio de fase y verificó la hipótesis experimentalmente. La verificación involucrada

• calculando el ángulo de incidencia que introduciría una diferencia de fase total de 90° entre los componentes s y p, para varios números de reflexiones internas totales en ese ángulo (generalmente hubo dos soluciones),
• sometiendo luz a ese número de reflexiones internas totales en ese ángulo de incidencia, con una polarización lineal inicial de 45° al plano de incidencia, y
• comprobando que la polarización final era circular.

Por lo tanto, finalmente tuvo una teoría cuantitativa para lo que ahora llamamos el rombo de Fresnel, un dispositivo que había estado usando en experimentos, de una forma u otra, desde 1817 (ver Fresnel rombo  § Historia).

El éxito del coeficiente de reflexión complejo inspiró a James MacCullagh y Augustin-Louis Cauchy, a partir de 1836, a analizar la reflexión de los metales mediante el uso de las ecuaciones de Fresnel con un índice de refracción complejo.

Cuatro semanas antes de presentar su teoría completa de la reflexión interna total y el rombo, Fresnel envió una memoria  en la que introdujo los términos necesarios polarización lineal, polarización circular, y polarización elíptica, y en el que explicó la rotación óptica como una especie de birrefringencia: la luz polarizada linealmente se puede descomponer en dos componentes polarizados circularmente que giran en direcciones opuestas, y si se propagan a diferentes velocidades, la diferencia de fase entre ellos, por lo tanto, la orientación de su resultante polarizado linealmente, variará continuamente con la distancia.

Por lo tanto, la interpretación de Fresnel de los valores complejos de sus coeficientes de reflexión marcó la confluencia de varias corrientes de su investigación y, posiblemente, la culminación esencial de su reconstrucción de la óptica física sobre la hipótesis de la onda transversal (ver Augustin-Jean Fresnel).

Derivación

Aquí derivamos sistemáticamente las relaciones anteriores a partir de premisas electromagnéticas.

Parámetros de materiales

Para calcular coeficientes de Fresnel significativos, debemos suponer que el medio es (aproximadamente) lineal y homogéneo. Si el medio también es isotrópico, los cuatro vectores de campo E,B,D,H  están relacionados por

$${displaystyle {begin{aligned}mathbf {D}=epsilon mathbf {E} 'Mathbf {B}=mu mathbf {H} ,end{aligned}}$$

donde ϵ y μ son escalares, conocidos respectivamente como permitividad (eléctrica) y permeabilidad (magnética) i> del medio. Para un vacío, estos tienen los valores ϵ₀ y μ₀, respectivamente. Por lo tanto, definimos la permitividad relativa (o constante dieléctrica) ϵ_rel=ϵ/ϵ₀ , y la permeabilidad relativa μ _rel=μ/μ₀.

En óptica, es común suponer que el medio no es magnético, por lo que μ_rel= 1. Para materiales ferromagnéticos en frecuencias de radio/microondas, valores mayores de μ_rel debe tenerse en cuenta. Pero, para medios ópticamente transparentes y para todos los demás materiales en frecuencias ópticas (excepto los posibles metamateriales), μ_rel está muy cerca de 1; es decir, μ≈μ₀.

En óptica, se suele conocer el índice de refracción n del medio, que es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío (c) a la velocidad de la luz en el medio. En el análisis de la reflexión y transmisión parciales, uno también está interesado en la impedancia de onda electromagnética Z, que es la relación de la amplitud de E a la amplitud de H. Por lo tanto, es deseable expresar n y Z en términos de ϵ y μ, y de ahí relacionar Z con n. La última relación mencionada, sin embargo, hará que sea conveniente derivar los coeficientes de reflexión en términos de la admitancia de la onda Y , que es el recíproco de la impedancia de onda Z.

En el caso de ondas sinusoidales en el plano uniforme, la impedancia o admitancia de onda se conoce como impedancia intrínseca o admitancia del medio. Este caso es para el que se van a derivar los coeficientes de Fresnel.

Ondas planas electromagnéticas

En una onda electromagnética sinusoidal plana uniforme, el campo eléctrico E tiene la forma

${displaystyle mathbf {E_{k} e^{i(mathbf {kcdot r} -omega t)}}$

()1)

donde E_k es el vector de amplitud complejo (constante), < i>i es la unidad imaginaria, k es el vector de onda (cuya magnitud k es el número de onda angular), r es el vector de posición, ω es la frecuencia angular, t es el tiempo, y se entiende que la parte real de la expresión es el campo físico. El valor de la expresión no cambia si la posición r varía en una dirección normal a k; por lo tanto k es normal a los frentes de onda.

Para avanzar la fase por el ángulo ϕ, reemplazamos ωt por ωt+ϕ  (es decir, reemplazamos −ωt por −ωt−ϕ),  con el resultado de que el campo (complejo) se multiplica por e^−iϕ. Entonces, un avance de fase es equivalente a la multiplicación por una constante compleja con un argumento negativo. Esto se vuelve más obvio cuando el campo (1) se factoriza como E_k e^{ik⋅re−iωt,}  donde el último factor contiene la dependencia del tiempo. Ese factor también implica que la diferenciación w.r.t. el tiempo corresponde a la multiplicación por −iω.

Si l es el componente r en la dirección de k, sobre el terreno (1) puede ser escrito E_ke^i()kl−ωt). Si el argumento de e^i(⋯) es ser constante, ldebe aumentar a la velocidad ${displaystyle omega /k,,}$ conocido como velocidad de fase ()v_p). Esto a su vez es igual a ${displaystyle c/n}$. Solving for k da

${displaystyle k=nomega /c,}$

()2)

Como de costumbre, descartamos el factor dependiente del tiempo e^−iωt que se entiende que multiplica cada campo complejo cantidad. El campo eléctrico para una onda sinusoidal plana uniforme será representado por el fasor dependiente de la ubicación

${displaystyle mathbf {E_{k} e^{imathbf {kcdot r} }$

()3)

Para campos de esa forma, la ley de Faraday y la ley de Maxwell-Ampère, respectivamente, se reducen a

$${displaystyle {begin{aligned}omega mathbf {B}=mathbf {k} times mathbf {E} \omega mathbf {D}=-mathbf {k} times mathbf {H} ,end{aligned}}}$$

Poner   B = μH  y   D = ϵE, como anterior, podemos eliminar B y D para obtener ecuaciones en solo E y H:

$${displaystyle {begin{aligned}omega mu mathbf {H} &=mathbf {k} times mathbf {E} \omega epsilon mathbf {E} &=-mathbf {k} times mathbf {H} ,end{aligned}}}}}}}$$

εμk,E,Htriada ortogonal derecha2

$${\fnMicrosoft Sans Serif} {\\\fnMicrosoft Sans Serif}$$

HEHE

${displaystyle n=c,{sqrt {mu epsilon },}$

()4)

Dividir (o multiplicar en cruz) las mismas dos ecuaciones da   H = YE, donde

${displaystyle Y={sqrt {epsilon /mu},}$

()5)

Esta es la admitancia intrínseca.

De (4) obtenemos la velocidad de fase ${displaystyle c/n=1{big /}!{sqrt {mu epsilon,}}}}}$. Para un vacío esto reduce a ${displaystyle c=1{big}\sqrt {mmsqrt {mmcH00} ¿Qué? ♪♪$. Dividir el segundo resultado por el primero da

$${displaystyle No. #### {text{rel}epsilon - ¿Qué?$$

no magnética${displaystyle - ¿Qué?$.

()Tomando el recíproco de (5, encontramos que el intrínseco impedancia es ${textstyle Z={sqrt {epsilon}}$. En un vacío esto toma el valor ${textstyle Z_{0}={sqrt {mu - ¿Qué? #####,approx 377,Omega ,}$ conocido como la impedancia del espacio libre. Por división, ${textstyle Z/Z_{0}={sqrt {mu _{text{rel}/epsilon ¿Qué?$. Para un no magnética médium, esto se convierte en ${displaystyle Z=Z_{0}}=Z_{0}/n.}$)

Los vectores de onda

Incident, reflected, and transmitted wave vectorsk_i, k_r, y k_t), para la incidencia de un medio con índice refractivo n₁ a un medio con índice refractivo n₂. Las flechas rojas son perpendiculares a los vectores de onda.

En coordenadas cartesianas (x, y,z), deja que la región y < 0 tienen índice de refracción n₁ , admitancia intrínseca Y₁ , etc., y sea la región y > 0 tienen índice de refracción n₂ , intrinsi c admitancia Y₂ , etc. Entonces el xz es la interfaz, y el eje y es normal a la interfaz (ver diagrama). Sean i y j (en letra romana en negrita) vectores unitarios en las direcciones x y y, respectivamente. Sea el plano de incidencia el plano xy (el plano de la página), con el ángulo de incidencia < i>θ_i medido desde j hacia i. Sea el ángulo de refracción, medido en el mismo sentido, θ_t , donde el subíndice t representa transmitido (reservando r para reflejado).

En ausencia de cambios Doppler, ω no cambia por reflexión o refracción. Por lo tanto, por (2), la magnitud del vector de onda es proporcional al índice de refracción.

Entonces, para un ω dado, si redefinimos k como la magnitud del vector de onda en el medio de referencia (para el cual n =1), entonces el vector de onda tiene una magnitud n₁k en el primer medio (region y < 0 en el diagrama) y magnitud < span class="texhtml">n₂k en el segundo medio. A partir de las magnitudes y la geometría, encontramos que los vectores de onda son

$${displaystyle {begin{aligned}mathbf {k} _{text{i} {f} {fn_}k} {i} sin theta {fnMitbf {j} cos theta _{text{i})\[5ex]mathbf {k} _{text{r} {c} {cH0} k(mtbf) {i} sin theta {text{i}}-mathbf {j} cos theta _{text{i})[.5ex]mathbf {k} _{text{t} {=n_{2}k(mathbf {i} sin theta _{text{t}+mathbf {j} cos theta _{text{t}) {cH00}sin theta ¿Por qué?$$

3

${displaystyle {begin{aligned}mathbf {k} _{text{i}mathbf {cdot r}=n_{1}k(xsin theta ¿Por qué? _{text{i}-ycos theta _{text{i}) # Mathbf {k} _{t}mathbf {cdot r} ' k(n_{1}xsin theta ¿Por qué?$

()6)

Por lo tanto:

At ${displaystyle Y=0,~~~mathbf {k}Mathbf {cdot r} Mathbf {k} =mathbf {k} ¿Por qué? =n_{1}kxsin theta _{text{i},}$

()7)

Los componentes s

Para la polarización s, el campo E es paralelo al campo < eje i>z y, por lo tanto, puede ser descrito por su componente en la dirección z. Sean los coeficientes de reflexión y transmisión r_s y t_s , respectivamente. Entonces, si se considera que el campo E del incidente tiene amplitud unitaria, la forma fasorial (3) de su z el componente es

${displaystyle ¿Qué?$

()8)

y los campos reflejados y transmitidos, en la misma forma, son

${displaystyle {begin{aligned}E_{text{r} limit=r_{s,}e^{imathbf {k} {fnMitbf {cdot r} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {k} _{text{t}mathbf {cdot r}end{aligned}}$

()9)

Según la convención de signos utilizada en este artículo, un coeficiente de reflexión o transmisión positivo es aquel que conserva la dirección del campo transversal, lo que significa (en este contexto) el campo normal al plano de incidencia. Para la polarización s, eso significa el campo E. Si los campos incidente, reflejado y transmitido E (en las ecuaciones anteriores) están en el z ("fuera de la página"), los respectivos campos H están en la direcciones de las flechas rojas, ya que  k , E , H  forman una tríada ortogonal de mano derecha. Los campos H pueden, por lo tanto, ser descritos por sus componentes en las direcciones de esas flechas, indicados por   H_i ,  H_r, H_t . Entonces, desde  H =  YE,

${displaystyle {begin{aligned}H_{text{i} {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? }H_{text{r} {\fnMicrosoft Sans Serif} {k} {fnMitbf {cdot r} }H_{text{t} {,Y_{2}t_{s,}e^{imathbf {k} _{text{t}mathbf {cdot r}end{aligned}}$

()10)

En la interfaz, por las condiciones habituales de interfaz para campos electromagnéticos, las componentes tangenciales de E y Los campos H deben ser continuos; es decir,

${displaystyle left. {begin{aligned}E_{text{i}+E_{text{r} {f} {f}} {f}f}f}f}f}f}f}f} theta _{text{i}-H_{text{r}cos theta _{text{i} {=H_{text{t}cos theta _{t}end{aligned}~right}~~{at}}~ {text{at}~}~y=0$ Contenido relacionado La dispersión de Rayleigh Ángulo de Brewster Corrimiento al rojo Más resultados...