Ley de Little

En la teoría matemática de colas, resultado de Little, teorema, lema, ley o La fórmula es un teorema de John Little que establece que el número promedio a largo plazo L de clientes en un sistema estacionario es igual a la tasa de llegada efectiva promedio a largo plazo λ multiplicado por el tiempo medio W que un cliente pasa en el sistema. Expresado algebraicamente la ley es

L=λ λ W.{displaystyle L=lambda W.}

La relación no está influenciada por la distribución del proceso de llegada, la distribución del servicio, la orden de servicio o prácticamente cualquier otra cosa. En la mayoría de los sistemas de colas, el tiempo de servicio es el cuello de botella que crea la cola.

El resultado se aplica a cualquier sistema y, en particular, se aplica a sistemas dentro de sistemas. Por ejemplo, en una sucursal bancaria, la línea del cliente podría ser un subsistema, y cada uno de los cajeros, otro subsistema, y el resultado de Little podría aplicarse a cada uno, así como a todo. Los únicos requisitos son que el sistema sea estable y no preventivo; esto descarta estados de transición como el arranque inicial o el apagado.

En algunos casos, es posible no solo relacionar matemáticamente el número promedio en el sistema con la espera promedio, sino incluso relacionar toda la distribución de probabilidad (y momentos) del número en el sistema a la espera.

Historia

En un artículo de 1954, se supuso que la ley de Little era cierta y se usó sin pruebas. La forma L = λW fue publicada por primera vez por Philip M. Morse, donde desafió a los lectores a encontrar una situación en la que la relación no se mantuviera. Little publicó en 1961 su prueba de la ley, demostrando que tal situación no existía. La prueba de Little fue seguida por una versión más simple de Jewell y otra de Eilon. Shaler Stidham publicó una prueba diferente y más intuitiva en 1972.

Ejemplos

Encontrar el tiempo de respuesta

Imagine una aplicación que no tuviera una manera fácil de medir el tiempo de respuesta. Si se conocen el número medio en el sistema y el rendimiento, el tiempo de respuesta promedio se puede encontrar usando la Ley de Little:

tiempo de respuesta media = número medio en el sistema / rendimiento medio

Por ejemplo: un medidor de profundidad de cola muestra un promedio de nueve trabajos en espera de ser atendidos. Agregue uno para el trabajo al que se está dando servicio, de modo que haya un promedio de diez trabajos en el sistema. Otro medidor muestra un rendimiento medio de 50 por segundo. El tiempo medio de respuesta se calcula como 0,2 segundos = 10/50 por segundo.

Clientes en la tienda

Imagínese una pequeña tienda con un solo mostrador y un área para curiosear, donde solo una persona puede estar en el mostrador a la vez y nadie se va sin comprar algo. Así que el sistema es más o menos:

entrada → navegación → mostrador → salida

Si la tasa a la que las personas ingresan a la tienda (llamada tasa de llegada) es la tasa a la que salen (llamada tasa de salida), el sistema es estable. Por el contrario, una tasa de llegada superior a la tasa de salida representaría un sistema inestable, donde el número de clientes en espera en la tienda aumentaría gradualmente hasta el infinito.

La ley de Little nos dice que la cantidad promedio de clientes en la tienda L es la tasa de llegada efectiva λ, multiplicada por el tiempo promedio que un cliente gasta en la tienda W, o simplemente:

L=λ λ W{displaystyle L=lambda W.

Suponga que los clientes llegan a razón de 10 por hora y se quedan un promedio de 0,5 horas. Esto significa que deberíamos encontrar que el número promedio de clientes en la tienda en cualquier momento es 5.

L=10× × 0.5=5{displaystyle L=10times 0.5=5}

Suponga ahora que la tienda está considerando hacer más publicidad para aumentar la tasa de llegada a 20 por hora. La tienda debe estar preparada para albergar un promedio de 10 ocupantes o debe reducir el tiempo que cada cliente pasa en la tienda a 0,25 horas. La tienda podría lograr esto último cobrando la factura más rápido o agregando más mostradores.

Podemos aplicar la Ley de Little a los sistemas dentro de la tienda. Por ejemplo, considere el contador y su cola. Supongamos que notamos que hay un promedio de 2 clientes en la fila y en el mostrador. Sabemos que la tasa de llegada es de 10 por hora, por lo que los clientes deben pasar 0,2 horas en promedio haciendo el check-out.

W=Lλ λ =210=0.2{displaystyle W={frac {L}{lambda }={frac {2}{10}=0.2}

Incluso podemos aplicar la Ley de Little al propio contador. La cantidad promedio de personas en el mostrador estaría en el rango (0, 1) ya que no puede haber más de una persona en el mostrador a la vez. En ese caso, la cantidad promedio de personas en el mostrador también se conoce como la utilización del mostrador.

Sin embargo, debido a que una tienda en realidad generalmente tiene una cantidad limitada de espacio, eventualmente puede volverse inestable. Si la tasa de llegada es mucho mayor que la tasa de salida, la tienda eventualmente comenzará a desbordarse y, por lo tanto, los nuevos clientes que lleguen simplemente serán rechazados (y obligados a ir a otro lugar o volver a intentarlo más tarde) hasta que vuelva a haber espacio disponible. en la tienda. Esta es también la diferencia entre la tasa de llegada y la tasa de llegada efectiva, donde la tasa de llegada corresponde aproximadamente a la tasa a la que llegan los clientes a la tienda, mientras que la tasa de llegada efectiva tarifa corresponde a la tarifa a la que los clientes entran a la tienda. Sin embargo, en un sistema con un tamaño infinito y sin pérdidas, los dos son iguales.

Parámetros de estimación

Para usar la ley de datos de Little, se deben usar fórmulas para estimar los parámetros, ya que el resultado no necesariamente se aplica directamente en intervalos de tiempo finitos, debido a problemas como la forma de registrar a los clientes que ya están presentes al comienzo de el intervalo de registro y aquellos que aún no se han ido cuando se detiene el registro.

Aplicaciones

La ley de Little se usa ampliamente en la fabricación para predecir el tiempo de entrega en función de la tasa de producción y la cantidad de trabajo en proceso.

Los probadores de rendimiento de software han utilizado la ley de Little para garantizar que los resultados de rendimiento observados no se deban a cuellos de botella impuestos por el aparato de prueba.

Otras aplicaciones incluyen el personal de departamentos de emergencia en hospitales.

Forma de distribución

Una extensión de la ley de Little proporciona una relación entre la distribución de estado estacionario del número de clientes en el sistema y el tiempo que pasan en el sistema bajo una disciplina de servicio por orden de llegada.