Ley de darcy

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Ecuación que describe el flujo de un líquido a través de un medio poroso

La ley de Darcy es una ecuación que describe el flujo de un fluido a través de un medio poroso. La ley fue formulada por Henry Darcy basándose en los resultados de experimentos sobre el flujo de agua a través de lechos de arena, formando la base de la hidrogeología, una rama de las ciencias de la tierra. Es análogo a la ley de Ohm en electrostática, que relaciona linealmente el caudal volumétrico del fluido con la diferencia de carga hidráulica (que a menudo es simplemente proporcional a la diferencia de presión) a través de la conductividad hidráulica. De hecho, la ley de Darcy es un caso especial de la ecuación de Stokes para el flujo de momento, que a su vez se deriva de la ecuación de momento de Navier-Stokes.

Fondo

La ley de Darcy fue determinada por primera vez experimentalmente por Darcy, pero desde entonces se ha derivado de las ecuaciones de Navier-Stokes mediante métodos de homogeneización. Es análoga a la ley de Fourier en el campo de la conducción de calor, a la ley de Ohm en el campo de las redes eléctricas y a la ley de Fick en la teoría de la difusión.

Una aplicación de la ley de Darcy es el análisis del flujo de agua a través de un acuífero; La ley de Darcy junto con la ecuación de conservación de masa simplifica a la ecuación de flujo de agua subterránea, una de las relaciones básicas de la hidrogeología.

Morris Muskat fue el primero en refinar la ecuación de Darcy para un flujo monofásico al incluir la viscosidad en la ecuación de fase única (fluida) de Darcy. Se puede entender que los fluidos viscosos tienen más dificultad para atravesar un medio poroso que los fluidos menos viscosos. Este cambio lo hizo adecuado para investigadores de la industria petrolera. Basándose en los resultados experimentales de sus colegas Wyckoff y Botset, Muskat y Meres también generalizaron la ley de Darcy para cubrir un flujo multifásico de agua, petróleo y gas en el medio poroso de un yacimiento de petróleo. Las ecuaciones generalizadas de flujo multifásico de Muskat y otros proporcionan la base analítica para la ingeniería de yacimientos que existe hasta el día de hoy.

Descripción

En la forma integral, la ley de Darcy, refinada por Morris Muskat, en ausencia de fuerzas gravitatorias y en un medio homogéneamente permeable, se da por una simple relación proporcional entre la velocidad volumétrica de flujo ${displaystyle Q}$ , y la caída de presión ${displaystyle Delta p}$ a través de un medio poroso. La constante de proporcionalidad está vinculada a la permeabilidad ${displaystyle k}$ del medio, la viscosidad dinámica del fluido ${displaystyle mu }$ , la distancia dada ${displaystyle L}$ sobre el cual se calcula la caída de presión, y el área transversal ${displaystyle A}$ , en la forma:

{displaystyle Q={frac {kA}{mu L}}Delta p}

Tenga en cuenta que la proporción:

{displaystyle R={frac {mu L}{kA}}}

puede definirse como la resistencia hidráulica de la ley de Darcy.

La ley de Darcy se puede generalizar a una forma local:

La ecuación constitutiva de Darcy (medios porosos isótrópicos)

{displaystyle mathbf {q} =-{frac {k}{mu }}nabla p}

Donde ${displaystyle nabla p}$ es el gradiente hidráulico y ${displaystyle mathbf {q} }$ es el flujo volumétrico que aquí se llama también velocidad superficial. Tenga en cuenta que la relación:

{displaystyle sigma ={frac {k}{mu }}}

puede pensarse como la ley de conductividad hidráulica de Darcy.

En la forma integral (menos general), el flujo volumétrico y el gradiente de presión corresponden a las relaciones:

${displaystyle q={frac {Q}{A}}}$

${displaystyle nabla p={frac {Delta p}{L}}}$ .

En el caso de un medio poroso anisotrópico, la permeabilidad es un tensor de segundo orden, y en notación tensorial se puede escribir la ley más general:

La ecuación constitutiva de Darcy (medios porosos antropópicos)

{displaystyle q_{i}=-{frac {k_{ij}}{mu }}partial _{j}p}

Note que la cantidad ${displaystyle mathbf {q} }$ , a menudo referido como el flujo Darcy o velocidad Darcy, no es la velocidad a la que el fluido está viajando a través de los poros. La velocidad de flujo ( $u$ ) está relacionado con el flujo ( $q$ ) por la porosidad ( $φ$ ) con la siguiente ecuación:

{displaystyle mathbf {q} =varphi ,mathbf {u}.}

La ecuación constitutiva de Darcy, para flujo monofásico (fluido), es la ecuación que define la permeabilidad absoluta (permeabilidad monofásica).

Con referencia al diagrama a la derecha, la velocidad de flujo está en unidades SI ${displaystyle mathrm {(m/s)} }$ y desde la porosidad $φ$ es un número nodimensional, el flujo Darcy ${displaystyle mathbf {q} }$ , o descarga por área unidad, también se define en unidades ${displaystyle mathrm {(m/s)} }$ ; la permeabilidad ${displaystyle k}$ unidades ${displaystyle mathrm {(m^{2})} }$ , la viscosidad dinámica ${displaystyle mu }$ unidades ${displaystyle mathrm {(Pacdot s)} }$ y el gradiente hidráulico está en unidades ${displaystyle mathrm {(Pa/m)} }$ .

En la forma integral, la caída total de presión ${displaystyle Delta p=p_{b}-p_{a}}$ en unidades ${displaystyle mathrm {(Pa)} }$ , y ${displaystyle L}$ es la longitud de la muestra en unidades ${displaystyle mathrm {(m)} }$ , el caudal volumétrico de Darcy ${displaystyle Q}$ , o descarga, también se define en unidades ${displaystyle mathrm {(m^{3}/s)} }$ y el área transversal ${displaystyle A}$ unidades ${displaystyle mathrm {(m^{2})} }$ . A continuación se utilizan varios de estos parámetros en definiciones alternativas. Un signo negativo se utiliza en la definición del flujo después de la convención de física estándar que los fluidos fluyen de regiones de alta presión a regiones de baja presión. Tenga en cuenta que la cabeza de elevación debe tenerse en cuenta si la entrada y la salida están en diferentes elevaciones. Si el cambio de presión es negativo, entonces el flujo será positivo $x$ dirección. Ha habido varias propuestas para una ecuación constitutiva para la permeabilidad absoluta, y la más famosa es probablemente la ecuación Kozeny (también llamada ecuación Kozeny-Carman).

Al considerar la relación para la presión estática del fluido (ley de Stevin):

{displaystyle p=rho gh}

{displaystyle Q={frac {kAg}{nu L}},{Delta h}}

{displaystyle K={frac {krho g}{mu }}={frac {kg}{nu }}.}

La ley de Darcy es una declaración matemática simple que resume claramente varias propiedades familiares que exhibe el agua subterránea que fluye en los acuíferos, incluyendo:

si no hay gradiente de presión sobre una distancia, no se produce flujo (estos son condiciones hidrostáticas),
si hay un gradiente de presión, el flujo ocurrirá de alta presión hacia baja presión (opposite la dirección del creciente gradiente - por lo tanto el signo negativo en la ley de Darcy),
mayor es el gradiente de presión (a través del mismo material de formación), mayor es la tasa de descarga, y
la tasa de descarga del líquido a menudo será diferente —a través de diferentes materiales de formación (o incluso a través del mismo material, en una dirección diferente)— incluso si el mismo gradiente de presión existe en ambos casos.

Una ilustración gráfica del uso de la ecuación del flujo de agua subterránea en estado estacionario (basada en la ley de Darcy y la conservación de la masa) se encuentra en la construcción de redes de flujo, para cuantificar la cantidad de agua subterránea que fluye debajo de una presa.

La ley de Darcy sólo es válida para flujos lentos y viscosos; sin embargo, la mayoría de los casos de flujo de agua subterránea entran en esta categoría. Normalmente cualquier flujo con un número de Reynolds menor que uno es claramente laminar, y sería válido aplicar la ley de Darcy. Las pruebas experimentales han demostrado que los regímenes de flujo con números de Reynolds hasta 10 aún pueden ser darcianos, como en el caso del flujo de agua subterránea. El número de Reynolds (un parámetro adimensional) para el flujo de medios porosos se expresa típicamente como

{displaystyle mathrm {Re} ={frac {ud}{nu }},,}

donde $ν$ es la viscosidad cinemática del agua, $u$ es la descarga específica (no la velocidad de los poros, con unidades de longitud por tiempo), $d 30</sub$ es un diámetro de grano representativo para los medios porosos (la elección estándar es d30, que es el 30% del tamaño que pasa de un análisis de tamaño de grano usando tamices, con unidades de longitud).

Derivación

Para flujo estacionario, progresivo e incompresible, es decir, $D (ρu i) / Dt \approx 0$ , la ecuación de Navier-Stokes se simplifica a la ecuación de Stokes, que al descuidar el término general es:

{displaystyle mu nabla ^{2}u_{i}-partial _{i}p=0,,}

donde $μ$ es la viscosidad, $u i$ es la velocidad en la dirección $i$ , y $p$ es la presión. Suponiendo que la fuerza de resistencia viscosa es lineal con la velocidad, podemos escribir:

{displaystyle -left(k^{-1}right)_{ij}mu varphi u_{j}-partial _{i}p=0,,}

donde $φ$ es la porosidad y $k ij$ es el tensor de permeabilidad de segundo orden. Esto da la velocidad en la dirección $n$ ,

{displaystyle k_{ni}left(k^{-1}right)_{ij}u_{j}=delta _{nj}u_{j}=u_{n}=-{frac {k_{ni}}{varphi mu }}partial _{i}p,,}

que da la ley de Darcy para la densidad de flujo volumétrico en la dirección $n$ ,

{displaystyle q_{n}=-{frac {k_{ni}}{mu }},partial _{i}p,.}

En medios porosos isotrópicos, los elementos fuera de la diagonal en el tensor de permeabilidad son cero, $k ij = 0$ para $i \neq j$ y los elementos diagonales son idénticos, $k ii = k$ , y la forma común se obtiene como se muestra a continuación, lo que permite determinar la velocidad del flujo de líquido resolviendo un conjunto de ecuaciones en un región dada.

{displaystyle {boldsymbol {q}}=-{frac {k}{mu }},{boldsymbol {nabla }}p,.}

La ecuación anterior es una ecuación que rige para el flujo de fluido de una fase única en un medio poroso.

Uso en ingeniería petrolera

Otra derivación de la ley de Darcy se utiliza ampliamente en ingeniería petrolera para determinar el flujo a través de medios permeables; la más simple de las cuales es para una formación rocosa unidimensional y homogénea con una única fase fluida y una viscosidad de fluido constante. .

Casi todos los yacimientos de petróleo tienen una zona de agua debajo del tramo de petróleo, y algunos también tienen una capa de gas encima del tramo de petróleo. Cuando la presión del yacimiento cae debido a la producción de petróleo, el agua fluye hacia la zona petrolera desde abajo y el gas fluye hacia la zona petrolera desde arriba (si existe la capa de gas), y obtenemos un flujo simultáneo y una mezcla inmiscible de todas las fases del fluido en la zona petrolera. El operador del campo petrolero también puede inyectar agua (y/o gas) para mejorar la producción de petróleo. Por lo tanto, la industria petrolera está utilizando una ecuación de Darcy generalizada para flujo multifásico desarrollada por Muskat et alios. Debido a que el nombre de Darcy está tan extendido y fuertemente asociado con el flujo en medios porosos, la ecuación multifásica se denomina ley de Darcy para flujo multifásico o ecuación (o ley) generalizada de Darcy o simplemente ecuación de Darcy ( o ley) o simplemente ecuación de flujo si el contexto dice que el texto analiza la ecuación multifase de Muskat et alios. El flujo multifásico en yacimientos de petróleo y gas es un tema amplio, y uno de los muchos artículos sobre este tema es la ley de Darcy para el flujo multifásico.

Uso en la preparación de café

Varios artículos han utilizado la ley de Darcy para modelar la física de la preparación en una cafetera moka, específicamente cómo el agua caliente se filtra a través del café molido bajo presión, comenzando con un artículo de 2001 de Varlamov y Balestrino, y continuando con un artículo de 2007 de Gianino, un artículo de 2008 de Navarini et al. y un artículo de 2008 de W. King. Los artículos considerarán que la permeabilidad del café es constante como simplificación o medirán el cambio a lo largo del proceso de elaboración.

Formularios adicionales

Expresión diferencial

La ley de Darcy se puede expresar de manera muy general como:

{displaystyle mathbf {q} =-Knabla h}

Donde q es el vector de flujo de volumen del fluido en un punto particular en el medio, h es el cabezal hidráulico total, y K es el tensor de conductividad hidráulica, en ese punto. La conductividad hidráulica a menudo se puede aproximar como escalar. (Nota la analogía con la ley de Ohm en electrostáticos. El vector de flujo es análogo a la densidad actual, la cabeza es análoga a la tensión, y la conductividad hidráulica es análoga a la conductividad eléctrica.)

Ley cuadrática

Para flujos en medios porosos con números de Reynolds superiores a aproximadamente 1 a 10, los efectos de inercia también pueden volverse significativos. A veces se añade un término inercial a la ecuación de Darcy, conocido como término de Forchheimer. Este término puede explicar el comportamiento no lineal de la diferencia de presión frente a los datos de flujo.

{displaystyle nabla p=-{frac {mu }{k}}q-{frac {rho }{k_{1}}}q^{2},,}

cuando el mandato adicional $k 1$ se conoce como permeabilidad inercial, en unidades de longitud ${displaystyle mathrm {(m)} }$ .

El flujo en medio de un yacimiento de arenisca es tan lento que la ecuación de Forchheimer generalmente no es necesaria, pero el flujo de gas hacia un pozo de producción de gas puede ser lo suficientemente alto como para justificar el uso de la ecuación de Forchheimer. . En este caso, los cálculos del rendimiento del flujo de entrada para el pozo, no la celda de la cuadrícula del modelo 3D, se basan en la ecuación de Forchheimer. El efecto de esto es que aparece una capa adicional dependiente de la tasa en la fórmula de rendimiento del flujo de entrada.

Algunos yacimientos carbonatados tienen muchas fracturas, y la ecuación de Darcy para el flujo multifásico se generaliza para regular tanto el flujo en las fracturas como el flujo en la matriz (es decir, la roca porosa tradicional). La superficie irregular de las paredes de la fractura y el alto caudal en las fracturas pueden justificar el uso de la ecuación de Forchheimer.

Corrección para gases en medios finos (difusión Knudsen o efecto Klinkenberg)

Para el flujo de gas en pequeñas dimensiones características (por ejemplo, arena muy fina, estructuras nanoporosas, etc.), las interacciones de la pared de partículas se vuelven más frecuentes, dando lugar a fricción adicional de la pared (fricción Knudsen). Para un flujo en esta región, donde están presentes las fricciones viscosas y knudsen, es necesario utilizar una nueva formulación. Knudsen presentó un modelo semi-empírico para el flujo en régimen de transición basado en sus experimentos en pequeños capilares. Para un medio poroso, la ecuación Knudsen se puede dar como

{displaystyle N=-left({frac {k}{mu }}{frac {p_{a}+p_{b}}{2}}+D_{mathrm {K} }^{mathrm {eff} }right){frac {1}{R_{mathrm {g} }T}}{frac {p_{mathrm {b} }-p_{mathrm {a} }}{L}},,}

donde $N$ es el flujo molar, $R g$ es la constante del gas, $T$ es la temperatura, $D eff > K$ es la difusividad Knudsen efectiva de los medios porosos. El modelo también se puede derivar del modelo de fricción binaria (BFM) basado en el primer principio. La ecuación diferencial del flujo de transición en medios porosos basada en BFM se da como

{displaystyle {frac {partial p}{partial x}}=-R_{mathrm {g} }Tleft({frac {kp}{mu }}+D_{mathrm {K} }right)^{-1}N,.}

Esta ecuación es válida tanto para capilares como para medios porosos. La terminología del efecto Knudsen y la difusividad de Knudsen es más común en ingeniería mecánica y química. En ingeniería geológica y petroquímica, este efecto se conoce como efecto Klinkenberg. Usando la definición de flujo molar, la ecuación anterior se puede reescribir como

{displaystyle {frac {partial p}{partial x}}=-R_{mathrm {g} }Tleft({frac {kp}{mu }}+D_{mathrm {K} }right)^{-1}{dfrac {p}{R_{mathrm {g} }T}}q,.}

Esta ecuación se puede reorganizar en la siguiente ecuación

{displaystyle q=-{frac {k}{mu }}left(1+{frac {D_{mathrm {K} }mu }{k}}{frac {1}{p}}right){frac {partial p}{partial x}},.}

Al comparar esta ecuación con la ley de Darcy convencional, se puede dar una nueva formulación como

{displaystyle q=-{frac {k^{mathrm {eff} }}{mu }}{frac {partial p}{partial x}},,}

dónde

{displaystyle k^{mathrm {eff} }=kleft(1+{frac {D_{mathrm {K} }mu }{k}}{frac {1}{p}}right),.}

Esto es equivalente a la formulación de permeabilidad efectiva propuesta por Klinkenberg:

{displaystyle k^{mathrm {eff} }=kleft(1+{frac {b}{p}}right),.}

Donde $b$ es conocido como el parámetro Klinkenberg, que depende del gas y la estructura media porosa. Esto es bastante evidente si comparamos las formulaciones anteriores. El parámetro Klinkenberg $b$ depende de la permeabilidad, la difusividad y la viscosidad de Knudsen (es decir, tanto gas como propiedades medias porosas).

La ley de Darcy por cortos plazos

Para escalas de tiempo muy cortas, se puede agregar una derivada temporal del flujo a la ley de Darcy, lo que da como resultado soluciones válidas en tiempos muy pequeños (en transferencia de calor, esto se llama la forma modificada de Fourier). ley s),

{displaystyle tau {frac {partial q}{partial t}}+q=-knabla h,,}

donde $τ$ es una constante de tiempo muy pequeña que hace que esta ecuación se reduzca a la forma normal de Darcy. ley en condiciones "normales" veces (> nanosegundos). La razón principal para hacer esto es que la ecuación regular del flujo de agua subterránea (ecuación de difusión) conduce a singularidades en límites de carga constantes en tiempos muy pequeños. Esta forma es matemáticamente más rigurosa, pero conduce a una ecuación hiperbólica del flujo de agua subterránea, que es más difícil de resolver y sólo es útil en momentos muy breves, normalmente fuera del ámbito del uso práctico.

Forma Brinkman de la ley de Darcy

Otra extensión a la forma tradicional de la ley de Darcy es el término Brinkman, que se utiliza para contabilizar el flujo de transición entre los límites (introducido por Brinkman en 1949),

{displaystyle -beta nabla ^{2}q+q=-{frac {k}{mu }}nabla p,,}

Donde $β$ es un término de viscosidad eficaz. Este plazo de corrección representa el flujo a través del medio donde los granos de los medios son porosos mismos, pero es difícil de usar, y es generalmente descuidado.

Validez de la ley de Darcy

La ley de Darcy es válida para el flujo laminar a través de sedimentos. En los sedimentos de grano fino, las dimensiones de los intersticios son pequeñas y, por tanto, el flujo es laminar. Los sedimentos de grano grueso también se comportan de manera similar, pero en los sedimentos de grano muy grueso el flujo puede ser turbulento. Por tanto, la ley de Darcy no siempre es válida en tales sedimentos. Para el flujo a través de tuberías circulares comerciales, el flujo es laminar cuando el número de Reynolds es menor que 2000 y turbulento cuando es mayor que 4000, pero en algunos sedimentos se ha encontrado que el flujo es laminar cuando el valor del número de Reynolds es menor que 1. .

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