Ley de Biot-Savart

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Importante ley del magnetismo clásico

En física, específicamente en electromagnetismo, la ley de Biot-Savart (o) es una ecuación que describe el campo magnético generado por una corriente eléctrica constante. Relaciona el campo magnético con la magnitud, dirección, longitud y proximidad de la corriente eléctrica. La ley de Biot-Savart es fundamental para la magnetostática y desempeña un papel similar al de la ley de Coulomb en la electrostática. Cuando no se aplica la magnetostática, la ley de Biot-Savart debe reemplazarse por las ecuaciones de Jefimenko. La ley es válida en la aproximación magnetostática y consistente tanto con la ley del circuito de Ampère como con la ley del magnetismo de Gauss. Lleva el nombre de Jean-Baptiste Biot y Félix Savart, quienes descubrieron esta relación en 1820.

Ecuación

Corrientes eléctricas (a lo largo de una curva/cable cerrado)

Mostrar son las direcciones de

{displaystyle Id{boldsymbol {ell }}}

mathbf {{hat {r}}'}

, y el valor de

{displaystyle |mathbf {r'} |}

La ley de Biot-Savart se usa para calcular el campo magnético resultante B en la posición r en el espacio 3D generado por una corriente flexible I (por ejemplo debido a un cable). Una corriente constante (o estacionaria) es un flujo continuo de cargas que no cambia con el tiempo y la carga no se acumula ni se agota en ningún punto. La ley es un ejemplo físico de una integral de línea, que se evalúa sobre el camino C en el que fluyen las corrientes eléctricas (por ejemplo, el cable). La ecuación en unidades SI es

${displaystyle mathbf {B} (mathbf {r})={frac {mu _{0}}{4pi }}int _{C}{frac {I,d{boldsymbol {ell }}times mathbf {r'} }{|mathbf {r'} |^{3}}}}$

Donde ${displaystyle d{boldsymbol {ell }}}$ es un vector a lo largo del camino $C$ cuya magnitud es la longitud del elemento diferencial del alambre en la dirección corriente convencional. ${displaystyle {boldsymbol {ell }}}$ es un punto en el camino $C$ . ${displaystyle mathbf {r'} =mathbf {r} -{boldsymbol {ell }}}$ es el vector de desplazamiento completo del elemento alambre ( ${displaystyle d{boldsymbol {ell }}}$ ) en punto ${displaystyle {boldsymbol {ell }}}$ hasta el punto en que se está computando el campo ( $mathbf {r}$ ), y μ₀ es la constante magnética. Alternativamente:

{displaystyle mathbf {B} (mathbf {r})={frac {mu _{0}}{4pi }}int _{C}{frac {I,d{boldsymbol {ell }}times mathbf {{hat {r}}'} }{|mathbf {r'} |^{2}}}}

mathbf {{hat {r}}'}

mathbf {r'}

La integral suele ser alrededor de una curva cerrada, ya que las corrientes eléctricas estacionarias solo pueden fluir alrededor de caminos cerrados cuando están acotados. Sin embargo, la ley también se aplica a cables infinitamente largos (este concepto se utilizó en la definición de la unidad SI de corriente eléctrica, el amperio, hasta el 20 de mayo de 2019).

Para aplicar la ecuación, el punto en el espacio donde se calcula el campo magnético es elegido arbitrariamente ( $mathbf {r}$ ). Manteniendo ese punto fijo, la línea integral sobre el camino de la corriente eléctrica se calcula para encontrar el campo magnético total en ese punto. La aplicación de esta ley depende implícitamente del principio de superposición para los campos magnéticos, es decir, el hecho de que el campo magnético es una suma vectorial del campo creado por cada sección infinitesimal del alambre individualmente.

Por ejemplo, considere el campo magnético de un bucle de radio $R$ llevando una corriente ${displaystyle I.}$ Por un punto a distancia $x$ a lo largo de la línea central del bucle, el vector de campo magnético en ese punto es:

{displaystyle mathbf {B} (x{hat {mathbf {x} }})={frac {mu _{0}IR^{2}}{2(x^{2}+R^{2})^{3/2}}}{hat {mathbf {x} }},}

{displaystyle {hat {mathbf {x} }}}

También hay una versión 2D de la ecuación Biot-Savart, utilizada cuando las fuentes son invariantes en una dirección. En general, la necesidad actual no fluye sólo en un plano normal a la dirección invariante y es dada por $mathbf {J}$ (densidad actual). La fórmula resultante es:

{displaystyle mathbf {B} (mathbf {r})={frac {mu _{0}}{2pi }}int _{C} {frac {(mathbf {J} ,dell)times mathbf {r} '}{|mathbf {r} '|}}={frac {mu _{0}}{2pi }}int _{C} (mathbf {J} ,dell)times mathbf {{hat {r}}'} }

Densidad de corriente eléctrica (en todo el volumen del conductor)

Las formulaciones dadas anteriormente funcionan bien cuando la corriente se puede aproximar a través de un cable infinitamente estrecho. Si el conductor tiene algo de espesor, la formulación adecuada de la ley de Biot-Savart (nuevamente en unidades SI) es:

$mathbf {B} (mathbf {r})={frac {mu _{0}}{4pi }}iiint _{V} {frac {(mathbf {J} ,dV)times mathbf {r} '}{|mathbf {r} '|^{3}}}$

Donde $mathbf {r'}$ es el vector de dV al punto de observación $mathbf {r}$ , $dV$ es el elemento de volumen, y $mathbf {J}$ es el vector de densidad actual en ese volumen (en SI en unidades de A/m²).

En términos de vector unitario $mathbf {{hat {r}}'}$

{displaystyle mathbf {B} (mathbf {r})={frac {mu _{0}}{4pi }}iiint _{V} dV{frac {mathbf {J} times mathbf {{hat {r}}'} }{|mathbf {r} '|^{2}}}}

Corriente uniforme constante

En el caso especial de una corriente constante uniforme I, el campo magnético $mathbf {B}$ es

{displaystyle mathbf {B} (mathbf {r})={frac {mu _{0}}{4pi }}Iint _{C}{frac {d{boldsymbol {ell }}times mathbf {r'} }{|mathbf {r'} |^{3}}}}

Carga puntual a velocidad constante

En el caso de una partícula con carga puntual q que se mueve a una velocidad constante v, las ecuaciones de Maxwell dan la siguiente expresión para el campo eléctrico y el campo magnético:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {E} &={frac {q}{4pi epsilon _{0}}}{frac {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}{left(1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}sin ^{2}theta right)^{frac {3}{2}}}}{frac {mathbf {{hat {r}}'} }{|mathbf {r} '|^{2}}}\mathbf {H} &=mathbf {v} times mathbf {D} \mathbf {B} &={frac {1}{c^{2}}}mathbf {v} times mathbf {E} end{aligned}}}

{mathbf {hat r}}'

mathbf {v}

{mathbf r}'

Cuando $v 2 ≪ c 2$ , el campo eléctrico y el campo magnético se pueden aproximar como

{displaystyle mathbf {E} ={frac {q}{4pi varepsilon _{0}}} {frac {mathbf {{hat {r}}'} }{|mathbf {r} '|^{2}}}}

{displaystyle mathbf {B} ={frac {mu _{0}q}{4pi }}mathbf {v} times {frac {mathbf {{hat {r}}'} }{|mathbf {r} '|^{2}}}}

Estas ecuaciones fueron derivadas por primera vez por Oliver Heaviside en 1888. Algunos autores llaman la ecuación anterior para $mathbf {B}$ la "Biot-Savart law for a point charge" debido a su parecido cercano a la norma Biot-Savart. Sin embargo, este lenguaje es engañoso ya que la ley Biot-Savart se aplica sólo a las corrientes estables y una carga de punto que se mueve en el espacio no constituye una corriente constante.

Aplicaciones de respuestas magnéticas

La ley de Biot-Savart se puede utilizar en el cálculo de respuestas magnéticas incluso a nivel atómico o molecular, p. blindajes químicos o susceptibilidades magnéticas, siempre que la densidad de corriente pueda obtenerse a partir de un cálculo o teoría mecánica cuántica.

Aplicaciones aerodinámicas

La figura muestra la velocidad (

dV

) inducido en un punto P por un elemento de filamento de vórtice (

dl

) de fuerza

Gamma

La ley de Biot-Savart también se utiliza en la teoría aerodinámica para calcular la velocidad inducida por las líneas de vórtice.

En la aplicación aerodinámica, los papeles de la vorticidad y la corriente se invierten en comparación con la aplicación magnética.

En el artículo de Maxwell de 1861 'On Physical Lines of Force', la intensidad del campo magnético H se equiparaba directamente con la vorticidad pura (espín), mientras que B fue una vorticidad ponderada que fue ponderada por la densidad del mar de vórtice. Maxwell consideró que la permeabilidad magnética μ era una medida de la densidad del mar de vórtices. De ahí la relación,

Corriente de inducción magnética: ${displaystyle mathbf {B} =mu mathbf {H} }$ era esencialmente una analogía rotacional a la relación lineal de corriente eléctrica,
Corriente de convección eléctrica: ${displaystyle mathbf {J} =rho mathbf {v}}$ Donde *** es la densidad de carga eléctrica.

B se vio como una especie de corriente magnética de vórtices alineados en sus planos axiales, siendo H la velocidad circunferencial de los vórtices.

La ecuación de la corriente eléctrica puede verse como una corriente convectiva de carga eléctrica que implica un movimiento lineal. Por analogía, la ecuación magnética es una corriente inductiva que involucra espín. No hay movimiento lineal en la corriente inductiva a lo largo de la dirección del vector B. La corriente inductiva magnética representa líneas de fuerza. En particular, representa líneas de fuerza de la ley del cuadrado inverso.

En aerodinámica, las corrientes de aire inducidas forman anillos solenoidales alrededor de un eje de vórtice. Se puede hacer una analogía de que el eje del vórtice está jugando el papel que juega la corriente eléctrica en el magnetismo. Esto pone a las corrientes de aire de la aerodinámica (campo de velocidad del fluido) en el papel equivalente del vector de inducción magnética B en el electromagnetismo.

En electromagnetismo, las líneas B forman anillos solenoidales alrededor de la fuente de corriente eléctrica, mientras que en aerodinámica, las corrientes de aire (velocidad) forman anillos solenoidales alrededor del eje del vórtice fuente.

Por lo tanto, en el electromagnetismo, el vórtice juega el papel de 'efecto' mientras que en aerodinámica, el vórtice juega el papel de 'causa'. Sin embargo, cuando observamos las líneas B de forma aislada, vemos exactamente el escenario aerodinámico en la medida en que B es el eje del vórtice y H es la circunferencia. velocidad como en el artículo de Maxwell de 1861.

En dos dimensiones, para una línea de vórtice de longitud infinita, la velocidad inducida en un punto viene dada por

{displaystyle v={frac {Gamma }{2pi r}}}

.

Este es un caso límite de la fórmula para segmentos de vórtice de longitud finita (similar a un cable finito):

{displaystyle v={frac {Gamma }{4pi r}}left[cos A-cos Bright]}

La ley de Biot-Savart, la ley del circuito de Ampère y la ley del magnetismo de Gauss

En una situación magnetostática, el campo magnético B calculado a partir de la ley de Biot-Savart siempre cumplirá la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Ampère:

Prueba

Partiendo de la ley Biot-Savart:

{displaystyle mathbf {B} (mathbf {r})={frac {mu _{0}}{4pi }}iiint _{V}d^{3}lmathbf {J} (mathbf {l})times {frac {mathbf {r} -mathbf {l} }{|mathbf {r} -mathbf {l} |^{3}}}}

Sustitución de la relación

{displaystyle {frac {mathbf {r} -mathbf {l} }{|mathbf {r} -mathbf {l} |^{3}}}=-nabla left({frac {1}{|mathbf {r} -mathbf {l} |}}right)}

y el uso de la regla del producto para los rizos, así como el hecho de que J no depende de

mathbf {r}

, esta ecuación puede ser reescrita como

{displaystyle mathbf {B} (mathbf {r})={frac {mu _{0}}{4pi }}nabla times iiint _{V}d^{3}l{frac {mathbf {J} (mathbf {l})}{|mathbf {r} -mathbf {l} |}}}

Como la divergencia de un rizo es siempre cero, esto establece la ley de Gauss para el magnetismo. A continuación, tomando el rizo de ambos lados, utilizando la fórmula para el rizo de un rizo, y de nuevo utilizando el hecho de que J no depende de $mathbf {r}$ , eventualmente obtenemos el resultado

{displaystyle nabla times mathbf {B} ={frac {mu _{0}}{4pi }}nabla iiint _{V}d^{3}lmathbf {J} (mathbf {l})cdot nabla left({frac {1}{|mathbf {r} -mathbf {l} |}}right)-{frac {mu _{0}}{4pi }}iiint _{V}d^{3}lmathbf {J} (mathbf {l})nabla ^{2}left({frac {1}{|mathbf {r} -mathbf {l} |}}right)}

Finalmente, enchufar las relaciones

{displaystyle {begin{aligned}nabla left({frac {1}{|mathbf {r} -mathbf {l} |}}right)&=-nabla _{l}left({frac {1}{|mathbf {r} -mathbf {l} |}}right),\nabla ^{2}left({frac {1}{|mathbf {r} -mathbf {l} |}}right)&=-4pi delta (mathbf {r} -mathbf {l})end{aligned}}}

(donde)

δ

es la función Dirac delta), utilizando el hecho de que la divergencia J es cero (debido a la asunción de magnetostáticos), y realizando una integración por partes, el resultado resulta ser

{displaystyle nabla times mathbf {B} =mu _{0}mathbf {J} }

Es decir, la ley de Ampère. (Debido a la suposición de magnetostáticos,

{displaystyle partial mathbf {E} /partial t=mathbf {0} }

, por lo que no hay desplazamiento adicional actual término en la ley de Ampère.)

En una situación no-magnetostática, la ley de Biot-Savart deja de ser cierta (es reemplazada por las ecuaciones de Jefimenko), mientras que la ley de Gauss para el magnetismo y la la ley de Maxwell-Ampère siguen siendo verdaderas.

Antecedentes teóricos

Al principio, la ley de Biot-Savart se descubrió experimentalmente, luego esta ley se derivó teóricamente de diferentes maneras. En The Feynman Lectures on Physics, primero se enfatiza la similitud de las expresiones para el potencial eléctrico fuera de la distribución estática de cargas y el potencial del vector magnético fuera del sistema de corrientes continuamente distribuidas, y luego se calcula el campo magnético a través del rotacional de el vector potencial. Otro enfoque implica una solución general de la ecuación de onda no homogénea para el potencial vectorial en el caso de corrientes constantes. El campo magnético también se puede calcular como consecuencia de las transformaciones de Lorentz para la fuerza electromagnética que actúa de una partícula cargada sobre otra partícula. Otras dos formas de derivar la ley de Biot-Savart incluyen: 1) la transformación de Lorentz de los componentes del tensor electromagnético desde un marco de referencia móvil, donde solo hay un campo eléctrico de alguna distribución de cargas, a un marco de referencia estacionario, en el que estos cargos se mueven. 2) el uso del método de los potenciales retardados.