Lema (matemáticas)

En matemáticas, un lema es un teorema o proposición plenamente demostrado, que se usa para probar teoremas más complejos. El lema generalmente constituye la premisa menor lógica y su principal función es servir como un escalón hacia el descubrimiento o la demostración de resultados más significativos y complejos. Por esta razón, los lemas son frecuentemente conocidos como "teoremas de ayuda" o "teoremas auxiliares".

Un aspecto interesante de los lemas es que, aunque inicialmente se consideran de menor importancia, en ocasiones pueden adquirir una relevancia mayor a la esperada. Esto sucede cuando el lema en sí mismo presenta una aplicación o un concepto que resulta ser fundamental en un contexto más amplio que el del teorema original que se pretendía probar.

El origen de la palabra "lema" proviene del griego antiguo λῆμμα, que significa "cualquier cosa que se recibe", como un regalo, una ganancia o incluso un soborno. Esta etimología refleja la naturaleza del lema como un regalo al conocimiento, una contribución que, aunque en principio parece menor, puede resultar esencial para el avance en la comprensión de teoremas más complejos y profundos.

Los lemas son especialmente importantes en matemáticas, lógica informal y mapeo de argumentos. En matemáticas, los lemas son fundamentales en campos como el álgebra, el análisis, la geometría y la teoría de números, donde proporcionan pasos intermedios esenciales para resolver problemas complejos y demostrar teoremas profundos. En la lógica informal, los lemas ayudan a estructurar argumentos lógicos, facilitando la comprensión y el análisis de razonamientos complejos. Y en el mapeo de argumentos, que es esencial en la filosofía y la argumentación teórica, los lemas actúan como puntos de referencia o premisas secundarias que apoyan la construcción de argumentos más amplios y robustos.

Etimología de 'lema'

Pueden usarse los términos lema o lemma (el original del griego) y en plural lemas o lemmata.

En la Antigüedad griega, lemma (en griego antiguo: λῆμμα) era un término de lógica: designaba la premisa mayor del silogismo, es decir, la primera afirmación. En la dialéctica griega, el lemma, el prolema y la epífora son las tres partes del argumento.

Por extensión, en matemáticas, lema designa uno de los argumentos de la prueba sin ser el fundamento y, más generalmente, un resultado intermedio útil para la demostración de un teorema.

Uso de los lemas

En la práctica, el método para demostrar un teorema suele ser el siguiente:

• Se quiere demostrar el teorema T a partir de una cierta lista de axiomas y otros resultados ya demostrados, pero esto no parece evidente a primera vista.
• Pero se piensa que, si se supiera que L es verdadero (siendo L otra afirmación denominada lema), se podría concluir inmediatamente, dado las reglas de lógica admitidas.
• Entonces, se plantea L como el resultado a demostrar y se le aplica un método de demostración de teorema.
• Una vez demostrado L, se deduce T.

Este principio es utilizado especialmente por los programas informáticos conocidos como asistentes de prueba, tales como Coq o PVS.

Algunos lemas demostrados se vuelven más famosos que el teorema para el cual fueron creados y permanecen conocidos bajo el nombre de "lemas de X" aunque usualmente juegan un papel de teorema.

HSD

Diferencia entre teorema y lema

No existe una distinción formal entre un lema y un teorema, solo una de intención (ver Terminología de teoremas). Sin embargo, un lema puede considerarse un resultado menor cuyo único propósito es ayudar a demostrar un teorema más sustancial: un paso en la dirección de la demostración.

Lemas famosos

Un buen trampolín puede conducir a muchos otros. Algunos resultados poderosos en matemáticas se conocen como lemas, llamados primero por su propósito originalmente menor. Estos incluyen, entre otros:

Si bien estos resultados originalmente parecían demasiado simples o demasiado técnicos para justificar un interés independiente, finalmente resultaron ser fundamentales para las teorías en las que ocurren.