Lema de Urysohn

En topología, el lema de Urysohn es un lema que establece que un espacio topológico es normal si y solo si dos subconjuntos cerrados disjuntos pueden estar separados por una función continua.

El lema de Urysohn se usa comúnmente para construir funciones continuas con varias propiedades en espacios normales. Es ampliamente aplicable ya que todos los espacios métricos y todos los espacios compactos de Hausdorff son normales. El lema se generaliza (y generalmente se usa en la prueba de) el teorema de extensión de Tietze.

El lema lleva el nombre del matemático Pavel Samuilovich Urysohn.

Discusión

Dos subconjuntos A{displaystyle A} y B{displaystyle B} de un espacio topológico X{displaystyle X} se dice que están separados por los barrios si hay barrios U{displaystyle U} de A{displaystyle A} y V{displaystyle V} de B{displaystyle B} que están descompuestos. En particular A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son necesariamente descomunales.

Dos subconjuntos planos A{displaystyle A} y B{displaystyle B} se dice que se separa por una función si existe una función continua f:X→ → [0,1]{displaystyle f:Xto [0,1]} desde X{displaystyle X} en el intervalo de unidad [0,1]{displaystyle [0,1]} tales que f()a)=0{displaystyle f(a)=0} para todos a▪ ▪ A{displaystyle ain A} y f()b)=1{displaystyle f(b)=1} para todos b▪ ▪ B.{displaystyle bin B.} Cualquier función así se llama Función Urysohn para A{displaystyle A} y B.{displaystyle B.} En particular A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son necesariamente descomunales.

Sigue que si dos subconjuntos A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son separados por una función entonces así son sus cierres.
También sigue que si dos subconjuntos A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son separados por una función entonces A{displaystyle A} y B{displaystyle B} están separados por barrios.

Un espacio normal es un espacio topológico en el que dos conjuntos cerrados disjuntos pueden estar separados por vecindades. El lema de Urysohn establece que un espacio topológico es normal si y solo si dos conjuntos cerrados disjuntos pueden ser separados por una función continua.

Los juegos A{displaystyle A} y B{displaystyle B} no es necesario precisamente separados f{displaystyle f}, es decir, no lo hacemos, y en general no podemos, requerir eso f()x)ل ل 0{displaystyle f(x)neq 0} y ل ل 1{displaystyle neq 1} para x{displaystyle x} fuera de A{displaystyle A} y B.{displaystyle B.} Los espacios en los que esta propiedad tiene son los espacios perfectamente normales.

El lema de Urysohn ha llevado a la formulación de otras propiedades topológicas como la 'propiedad de Tychonoff' y "espacios completamente Hausdorff". Por ejemplo, un corolario del lema es que los espacios T1 normales son Tychonoff.

Declaración Formal

Un espacio topológico X{displaystyle X} es normal si y sólo si, para cualquier dos subconjuntos descomunales cerrados no vacíos A{displaystyle A} y B{displaystyle B} de X,{displaystyle X. existe un mapa continuo f:X→ → [0,1]{displaystyle f:Xto [0,1]} tales que f()A)={}0}{displaystyle f(A)={0} y f()B)={}1}.{displaystyle f(B)={1}

Bosquejo de prueba

Ilustración de la función "onion" de Urysohn.

El procedimiento es una aplicación completamente directa de la definición de normalidad (una vez que uno dibuja algunas figuras que representan los primeros pasos en la inducción que se describe a continuación para ver qué está pasando), comenzando con dos conjuntos cerrados disjuntos. La parte inteligente de la prueba es la indexación de los conjuntos abiertos así construidos por fracciones diádicas.

Por cada fracción dyadica r▪ ▪ ()0,1){displaystyle rin (0,1)}, vamos a construir un subconjunto abierto U()r){displaystyle U(r)} de X{displaystyle X} tal que:

1. U()r){displaystyle U(r)} contiene A{displaystyle A} y está descompuesto B{displaystyle B} para todos r{displaystyle r},
2. Para <math alttext="{displaystyle rr.s{displaystyle rcanta}<img alt="r, el cierre de U()r){displaystyle U(r)} figura en U()s).{displaystyle U(s).}

Una vez que tengamos estos conjuntos, definimos f()x)=1{displaystyle f(x)=1} si x∉U()r){displaystyle xnot in U(r)} para cualquier r{displaystyle r}; de lo contrario f()x)=inf{}r:x▪ ▪ U()r)}{displaystyle f(x)=inf{r:xin U(r)} para todos x▪ ▪ X{displaystyle xin X}, donde inf{displaystyle inf} denota el infimum. Usando el hecho de que los racionales dyadicos son densos, entonces no es demasiado difícil demostrar que f{displaystyle f} es continuo y tiene la propiedad f()A)⊆ ⊆ {}0}{displaystyle f(A)subseteq{0} y f()B)⊆ ⊆ {}1}.{displaystyle f(B)subseteq{1}

Para construir los conjuntos U()r){displaystyle U(r)}, realmente hacemos un poco más: construimos conjuntos U()r){displaystyle U(r)} y V()r){displaystyle V(r)} tales que

• A⊆ ⊆ U()r){displaystyle Asubseteq U(r)} y B⊆ ⊆ V()r){displaystyle Bsubseteq V(r)} para todos r{displaystyle r},
• U()r){displaystyle U(r)} y V()r){displaystyle V(r)} están abiertos y descomunales para todos r{displaystyle r},
• Para <math alttext="{displaystyle rr.s{displaystyle rcanta}<img alt="r, V()s){displaystyle V(s)} figura en el complemento de U()r){displaystyle U(r)} y el complemento V()r){displaystyle V(r)} figura en U()s).{displaystyle U(s).}

Desde el complemento V()r){displaystyle V(r)} está cerrado y contiene U()r){displaystyle U(r)}, esta última condición implica entonces condición (2) desde arriba.

Esta construcción procede por inducción matemática. Primera definición U()1)=X∖ ∖ B{displaystyle U(1)=Xsetminus B} y V()0)=X∖ ∖ A.{displaystyle V(0)=Xsetminus A.} Desde X{displaystyle X} es normal, podemos encontrar dos conjuntos abiertos disjoint U()1/2){displaystyle U(1/2)} y V()1/2){displaystyle V(1/2)} que contienen A{displaystyle A} y B{displaystyle B}, respectivamente. Ahora asume que n≥ ≥ 1{displaystyle ngeq 1} y los juegos U()k/2n){displaystyle Uleft(k/2^{n}right)} y V()k/2n){displaystyle Vleft(k/2^{n}right)} ya se han construido para k=1,...... ,2n− − 1.{displaystyle k=1,ldots2^{n}-1.} Desde X{displaystyle X} es normal, para cualquier a▪ ▪ {}0,1,...... ,2n− − 1}{displaystyle ain left{0,1,ldots2^{n}-1right}, podemos encontrar dos conjuntos abiertos que contienen X∖ ∖ V()a/2n){displaystyle Xsetminus Vleft(a/2^{n}right)} y X∖ ∖ U()()a+1)/2n){displaystyle Xsetminus Uleft(a+1)/2^{n}right)}, respectivamente. Llama a estos dos juegos abiertos U()()2a+1)/2n+1){displaystyle Uleft(2a+1)/2^{n+1}right)}, y V()()2a+1)/2n+1){displaystyle Vleft(2a+1)/2^{n+1}right)}, y verificar las tres condiciones anteriores.

El proyecto Mizar ha formalizado completamente y comprobado automáticamente una demostración del lema de Urysohn en el archivo URYSOHN3.