La conjetura catalana

La conjetura de Catalan (o teorema de Mihăilescu) es un teorema de teoría de números que fue conjeturado por el matemático Eugène Charles Catalan en 1844 y probado en 2002 por Preda Mihăilescu en la Universidad de Paderborn. Los enteros 2³ y 3² son dos potencias perfectas (es decir, potencias de exponente mayor que uno) de números naturales cuyos valores (8 y 9, respectivamente) son consecutivos. El teorema establece que este es el único caso de dos potencias perfectas consecutivas. Es decir, que

Historia

La historia del problema se remonta al menos a Gersonides, quien demostró un caso especial de la conjetura en 1343 donde (x, y) estaba restringido a ser (2, 3) o (3, 2). El primer progreso significativo después de que Catalan hiciera su conjetura se produjo en 1850 cuando Victor-Amédée Lebesgue se ocupó del caso b = 2.

En 1976, Robert Tijdeman aplicó el método de Baker en teoría de la trascendencia para establecer un vínculo en a,b y utilizó los resultados existentes ligados x,Sí. en términos de a, b para dar un límite superior efectivo x,Sí.,a,b. Michel Langevin computó un valor exp⁡ ⁡ exp⁡ ⁡ exp⁡ ⁡ exp⁡ ⁡ 730.. 10101010317{displaystyle exp exp exp 730approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}} para el límite, resolviendo la conjetura de catalán para todos, pero un número finito de casos.

La conjetura de Catalan fue probada por Preda Mihăilescu en abril de 2002. La prueba fue publicada en el Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2004. Hace un uso extensivo de la teoría de la ciclotómica campos y módulos Galois. Yuri Bilu hizo una exposición de la prueba en el Séminaire Bourbaki. En 2005, Mihăilescu publicó una prueba simplificada.

Conjetura de Pillai

Conjetura de Pillai se refiere a una diferencia general de poderes perfectos (secuencia A001597 en el OEIS): es un problema abierto propuesto inicialmente por S. S. Pillai, quien conjetura que las brechas en la secuencia de poderes perfectos tienden a infinito. Esto equivale a decir que cada entero positivo ocurre sólo finitamente muchas veces como una diferencia de poderes perfectos: más generalmente, en 1931 Pillai conjetura que para enteros positivos fijos A, B, C la ecuación Axn− − BSí.m=C{displaystyle Ax^{n}-By^{m}=C} tiene solamente muchas soluciones finitas (x,Sí.,m,nCon...m,n) ل (2, 2). Pillai demostró que la diferencia SilencioAxn− − BSí.mSilencio≫ ≫ xλ λ n{displaystyle ¦Ax^{n}-By^{m} No. para cualquier λ menos de 1, uniformemente en m y n.

La conjetura general se derivaría de la conjetura ABC.

Paul Erdős conjetura que la secuencia ascendente ()an)n▪ ▪ N{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} de los poderes perfectos satisfies n^{c}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">an+1− − an■nc{displaystyle a_{n+1}-a_{n} {c}n^{c}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f240631b4e48a1bb84c0047e6ede15936a61cb0" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.275ex; height:2.676ex;"/> para alguna constante positiva c y todo lo suficientemente granden.

La conjetura de Pillai significa que para cada número natural n, solo hay un número finito de pares de potencias perfectas con diferencia n. La siguiente lista muestra, para n ≤ 64, todas las soluciones para potencias perfectas inferiores a 10¹⁸, como OEIS: A076427. Consulte también OEIS: A103953 para conocer la solución más pequeña (> 0).