Función integral logarítmica

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Función especial definida por una

Parcela de la función integral logarítmica li(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con Mathematica 13.1 función ComplejoPlot3D

En matemáticas, la función integral logarítmica o logaritmo integral li(x) es una función especial. Es relevante en los problemas de la física y tiene significado teórico número. En particular, según el número principal teorema, es una muy buena aproximación a la función de contabilidad principal, que se define como el número de números primo menos o igual a un valor dado $x$ .

Logaritmic integral function plot

Representación integral

La integral logarítmica tiene una representación integral definida para todos los números reales positivos $x$ ≠ 1 por la integral definida

{displaystyle operatorname {li} (x)=int _{0}^{x}{frac {dt}{ln t}}.}

Aquí, $ln$ denota el logaritmo natural. La función $1/(ln t)$ tiene una singularidad en $t = 1$ , y la integral para $x > 1$ se interpreta como un valor principal de Cauchy,

{displaystyle operatorname {li} (x)=lim _{varepsilon to 0+}left(int _{0}^{1-varepsilon }{frac {dt}{ln t}}+int _{1+varepsilon }^{x}{frac {dt}{ln t}}right).}

Integral logarítmica compensada

La integral logarítmica desplazada o integral logarítmica euleriana se define como

{displaystyle operatorname {Li} (x)=int _{2}^{x}{frac {dt}{ln t}}=operatorname {li} (x)-operatorname {li} (2).}

Como tal, la representación integral tiene la ventaja de evitar la singularidad en el dominio de la integración.

Equivalentemente,

{displaystyle operatorname {li} (x)=int _{0}^{x}{frac {dt}{ln t}}=operatorname {Li} (x)+operatorname {li} (2).}

Valores especiales

La función li(x) tiene un solo cero positivo; ocurre en x ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEIS: A070769; este número se conoce como la constante de Ramanujan-Soldner.

−Li(0) = li(2) ≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... OEIS: A069284

Esto es $-(Gamma left(0,-ln 2right)+i,pi)$ Donde $Gamma left(a,xright)$ es la función gamma incompleta. Debe entenderse como el valor principal de la función Cauchy.

Representación en serie

La función li(x) está relacionada con la integral exponencial Ei(x) a través de la ecuación

{hbox{li}}(x)={hbox{Ei}}(ln x),,!

que es válido para x > 0. Esta identidad proporciona una representación en serie de li(x) como

{displaystyle operatorname {li} (e^{u})={hbox{Ei}}(u)=gamma +ln |u|+sum _{n=1}^{infty }{u^{n} over ncdot n!}quad {text{ for }}uneq 0;,}

donde γ ≈ 0,57721 56649 01532... OEIS: A001620 es la constante de Euler-Mascheroni. Una serie más rápidamente convergente de Ramanujan es

{displaystyle operatorname {li} (x)=gamma +ln ln x+{sqrt {x}}sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}(ln x)^{n}}{n!,2^{n-1}}}sum _{k=0}^{lfloor (n-1)/2rfloor }{frac {1}{2k+1}}.}

Expansión asintótica

El comportamiento asintótico de x → ∞ es

{displaystyle operatorname {li} (x)=Oleft({frac {x}{ln x}}right).}

Donde $O$ es la gran notación O. La expansión asintotica completa es

{displaystyle operatorname {li} (x)sim {frac {x}{ln x}}sum _{k=0}^{infty }{frac {k!}{(ln x)^{k}}}}

{displaystyle {frac {operatorname {li} (x)}{x/ln x}}sim 1+{frac {1}{ln x}}+{frac {2}{(ln x)^{2}}}+{frac {6}{(ln x)^{3}}}+cdots.}

Esto proporciona el siguiente comportamiento asintótico más preciso:

{displaystyle operatorname {li} (x)-{frac {x}{ln x}}=Oleft({frac {x}{(ln x)^{2}}}right).}

Como expansión asintótica, esta serie no es convergente: es una aproximación razonable solo si la serie se trunca en un número finito de términos y solo se emplean valores grandes de x. Esta expansión se sigue directamente de la expansión asintótica de la integral exponencial.

Esto implica, p. que podemos poner entre corchetes li como:

<math alttext="{displaystyle 1+{frac {1}{ln x}}<operatorname {li} (x){frac {ln x}{x}}1+1In⁡ ⁡ x.li⁡ ⁡ ()x)In⁡ ⁡ xx.1+1In⁡ ⁡ x+3()In⁡ ⁡ x)2{displaystyle 1+{frac}{ln} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn x} {fn x}{x} {1+{frac {1}{ln x}}+{frac {3}{ln x)}}}}}}}}}}}}<img alt="{displaystyle 1+{frac {1}{ln x}}<operatorname {li} (x){frac {ln x}{x}}

para todos ${displaystyle ln xgeq 11}$ .

Significado teórico de los números

La integral logarítmica es importante en la teoría de números y aparece en las estimaciones del número de números primos menores que un valor dado. Por ejemplo, el teorema de los números primos establece que:

{displaystyle pi (x)sim operatorname {li} (x)}

Donde $pi (x)$ denota el número de primos más pequeños o iguales $x$ .

Asumiendo la hipótesis de Riemann, obtenemos la aún más fuerte:

{displaystyle |operatorname {li} (x)-pi (x)|=O({sqrt {x}}log x)}

De hecho, la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que:

{displaystyle |operatorname {li} (x)-pi (x)|=O(x^{1/2+a})}

para cualquier

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{displaystyle a confía0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;"/>

Para pequeño $x$ , $pi (x)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">li⁡ ⁡ ()x)■π π ()x){displaystyle operatorname {li} (x) {pi (x)}pi (x)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5fe8ab9e0035037819552569a1876ca8abb353" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.002ex; height:2.843ex;"/>$ pero la diferencia cambia significa un número infinito de veces $x$ aumenta, y la primera vez que esto sucede es en algún lugar entre 10¹⁹ y 1.4×10³¹⁶.