Kernel (álgebra lineal)

En matemáticas, el núcleo de un mapa lineal, también conocido como espacio nulo o espacio nulo, es el subespacio lineal del dominio del mapa que se asigna al vector cero. Es decir, dado un mapa lineal L: V → W entre dos espacios vectoriales < span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">V y W, el El núcleo de L es el espacio vectorial de todos los elementos v< /span> de V tal que L( v) = 0, donde 0 denota el vector cero en W, o más simbólicamente:

${displaystyle ker(L)=left{mathbf {v} in Vmid L(mathbf {v})=mathbf {0}right}=L^{-1}(0). }$

Propiedades

El núcleo L es un subespacio lineal del dominio V. En el mapa lineal ${displaystyle L:Vto W,}$ dos elementos V tener la misma imagen en W si y sólo si su diferencia está en el núcleo L, es decir,

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {cH0}b}cH0}f}cH0}b}cH0}cH0}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00$$

De esto se deduce que la imagen de L es isomorfa al cociente de V por el núcleo:

$${displaystyle operatorname {im} (L)cong V/ker(L). }$$

$${displaystyle dim(ker L)+dim(operatorname {im} L)=dim(V). }$$

${displaystyle dim(operatorname {im} L),}$

${displaystyle dim(ker L).}$

$${displaystyle operatorname {Rank}(L)=dim(operatorname {im} L)qquad {text{ and }qquad operatorname {Nullity} (L)=dim(ker L),}$$

$${displaystyle operatorname {Rank} (L)+operatorname {Nullity} (L)=dim left(operatorname {domain} Lright). }$$

Cuando V es un espacio interior de producto, el cociente ${displaystyle V/ker(L)}$ se puede identificar con el complemento ortogonal en V de ${displaystyle ker(L)}$ Esta es la generalización a operadores lineales del espacio de fila, o coimage, de una matriz.

Aplicación a módulos

La noción de núcleo también tiene sentido para homomorfismos de módulos, que son generalizaciones de espacios vectoriales donde los escalares son elementos de un anillo, en lugar de un campo. El dominio del mapeo es un módulo, y el núcleo constituye un submódulo. Aquí los conceptos de rango y nulidad no necesariamente se aplican.

En análisis funcional

Si V y W son espacios vectoriales topológicos tales que W es de dimensión finita, entonces un operador lineal L: V → W es continua si y sólo si el núcleo de L es un subespacio cerrado de V.

Representación como multiplicación de matrices

Considerar un mapa lineal representado como m × n matriz A con coeficientes en un campo K (típicamente ${displaystyle mathbb {R}$ o ${displaystyle mathbb}$), que está operando en vectores de columna x con n componentes sobre K. El núcleo de este mapa lineal es el conjunto de soluciones a la ecuación Ax = 0, donde 0 se entiende como el vector cero. La dimensión del núcleo A se llama nulidad de A. En la notación de configuración,

${displaystyle operatorname {N} (A)=operatorname {Null} (A)=operatorname {ker} (A)=left{mathbf {x} in K^{n}mid Amathbf {x} =mathbf {0} right}$

La ecuación matricial es equivalente a un sistema homogéneo de ecuaciones lineales:

${displaystyle Amathbf {x} =mathbf {0} ;;Leftrightarrow ;;{begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1} limitándose;+; limita_{12}x_{2} limite;+;cdots ;+; afectadas limitadaa_{1n}x_{n} limitándose;=; afectadas limitada0a_{21}x_{1} limitándose;+; limitándose a_{22}x_{2} limitándose;+;cdots ;+; limitadaa_{2n}x_{n} tendrían que reducir;=; tendrían que reducirse0\\] reducir gradualmente tardes limitadasvdots\\\; }x_{1} limite;+; ;+; limitadaa_{mn}x_{n} diezmada;=; limitada tropeza0{text{}\end{alignedat}}}}}\\$

Por lo tanto, el núcleo de a es la misma que la solución establecida en las ecuaciones homogéneas anteriores.

Propiedades del subespacio

El núcleo de una matriz m × n A sobre un campo K es un subespacio lineal de Kⁿ. Es decir, el núcleo de A, el conjunto Null(A), tiene las tres propiedades siguientes:

1. Null(A) siempre contiene el vector cero, ya A0 = 0.
2. Si x latitud NullA) y Sí. latitud NullA)Entonces x + Sí. latitud NullA). Esto se deriva de la distribución de la multiplicación de matriz sobre adición.
3. Si x latitud NullA) y c es un cuero cabelludo c ▪ KEntonces cx latitud NullA), desde A()cx) c()Ax) c0 = 0.

El espacio de filas de una matriz

El producto Ax se puede escribir en términos del producto escalar de vectores de la siguiente manera:

${displaystyle Amathbf {x} ={begin{bmatrix}mathbf {a} _{1}cdot mathbf {x}\\\Mathbf {a} ¿Por qué? {m}cdot mathbf {x} end{bmatrix}}}$

Aquí, a₁,... a_m denota el filas de la matriz A. Se deduce que x está en el núcleo de A, si y sólo si x es ortogonal (o perpendicular) a cada uno de los vectores fila de A (ya que la ortogonalidad se define como tener un producto escalar de 0).

El espacio de filas, o coimagen, de una matriz A es el intervalo de los vectores de filas de A. Según el razonamiento anterior, el núcleo de A es el complemento ortogonal del espacio de filas. Es decir, un vector x se encuentra en el núcleo de A, si y sólo si es perpendicular a cada vector en el espacio de filas de A..

La dimensión del espacio de filas de A se llama rango de A, y la dimensión del núcleo de A se llama rango nulidad de A. Estas cantidades están relacionadas por el teorema de rango-nulidad.

${displaystyle operatorname {rank} (A)+operatorname {nullity} (A)=n.}$

Espacio nulo izquierdo

El espacio nulo izquierdo, o cokernel, de una matriz A consta de todos los vectores columna x tales que x^TA = 0^T, donde T denota la transpuesta de una matriz. El espacio nulo izquierdo de A es el mismo que el núcleo de A^T. El espacio nulo izquierdo de A es el complemento ortogonal del espacio columna de A y es dual con respecto al cokernel de la transformación lineal asociada. El núcleo, el espacio de filas, el espacio de columnas y el espacio nulo izquierdo de A son los cuatro subespacios fundamentales asociados a la matriz A.

Sistemas no homogéneos de ecuaciones lineales

El núcleo también juega un papel en la solución de un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales:

${displaystyle Amathbf {x} =mathbf {b} quad {text{or}quad {begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1} limitándose;+; lentamentea_{12}x_{2} limitándose;+;cdots ;+; limitada a una_{1n}x_{n} limitándose;=; limitándose a caerb_{1}a_{21}x_{1} limitándose;+; implicado_{22}x_{2} consiguiente;+;cdots ;+; limitadaa_{2n}x_{n} tendrían que reducir;=; tendríamos que aceptarlob_{2}\]\\; tendríamos que cumplir con crecesvdots \; ;+; limitadaa_{mn}x_{n} diez veces;=; palpitando$

Si u y v son dos posibles soluciones a la ecuación anterior, entonces

${displaystyle A(mathbf {u} -mathbf {v}=Amathbf {u} -Amathbf {v} =mathbf {b} - Mathbf {b} = 'mathbf {0} ,}$

Por lo tanto, la diferencia de dos soluciones a la ecuación a x = b se encuentra en el núcleo de a .

se deduce que cualquier solución a la ecuación a x = b puede expresarse como la suma de una solución fija V y un elemento arbitrario del núcleo. Es decir, la solución establecida en la ecuación a x = b es

${displaystyle left{mathbf {v} +mathbf {x} mid Amathbf {v} =mathbf {b} land mathbf {x} in operatorname {Null} (A)right},}$

Geométricamente, esto dice que la solución establecida en Ax = b es la traducción del núcleo de A por el vector v. Véase también alternativa de Fredholm y plano (geometría).

Ilustración

La siguiente es una ilustración sencilla del cálculo del núcleo de una matriz (consulte § Cálculo mediante eliminación gaussiana, a continuación para conocer los métodos más adecuados para cálculos más complejos). La ilustración también aborda el espacio de las filas y su relación con el núcleo.

Considere la matriz

${displaystyle A={begin{bmatrix}2 ventaja3 limitada5\-4 coincidido3end{bmatrix}}$

El núcleo de esta matriz consta de todos los vectores (x, y, z) ∈ R3 para el cual

${begin{bmatrix}0ysend{bmatrix}}={begin{bmatrix}xysend{bmatrix}}={begin{bmatrix}0$