Juicio de Bernoulli

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En la teoría de la probabilidad y la estadística, un ensayo de Bernoulli (o ensayo binomial) es un experimento aleatorio con exactamente dos resultados posibles, "éxito" y "fracaso", en el que la probabilidad de éxito es la misma cada vez que se realiza el experimento. Lleva el nombre de Jacob Bernoulli, un matemático suizo del siglo XVII, que los analizó en su Ars Conjectandi (1713).

La formalización matemática del ensayo de Bernoulli se conoce como proceso de Bernoulli. Este artículo ofrece una introducción elemental al concepto, mientras que el artículo sobre el proceso de Bernoulli ofrece un tratamiento más avanzado.

Dado que un ensayo de Bernoulli tiene solo dos resultados posibles, se puede enmarcar como una pregunta de "sí o no". Por ejemplo:

¿La carta superior de una baraja barajada es un as?
¿El recién nacido era una niña? (Ver proporción de sexos humanos).

Por lo tanto, el éxito y el fracaso son simplemente etiquetas para los dos resultados y no deben interpretarse literalmente. El término "éxito" en este sentido consiste en que el resultado cumpla condiciones específicas, no en ningún juicio moral. De manera más general, dado cualquier espacio de probabilidad, para cualquier evento (conjunto de resultados), se puede definir un ensayo de Bernoulli, correspondiente a si el evento ocurrió o no (evento o evento complementario). Los ejemplos de ensayos de Bernoulli incluyen:

Lanzar una moneda. En este contexto, el anverso ("cabezas") denota convencionalmente el éxito y el reverso ("cruces") denota el fracaso. Una moneda justa tiene una probabilidad de éxito de 0,5 por definición. En este caso hay exactamente dos resultados posibles.
Tirar un dado, donde un seis es "éxito" y todo lo demás es un "fracaso". En este caso hay seis resultados posibles y el evento es un seis; el evento complementario "no un seis" corresponde a los otros cinco resultados posibles.
Al realizar una encuesta de opinión política, elegir un votante al azar para determinar si ese votante votará "sí" en un próximo referéndum.

Definición

Los ensayos repetidos independientes de un experimento con exactamente dos resultados posibles se denominan ensayos de Bernoulli. Llame a uno de los resultados "éxito" y al otro resultado "fracaso". Sea $pag$ la probabilidad de éxito en un ensayo de Bernoulli y $q$ sea la probabilidad de fracaso. Entonces la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso suman uno, ya que estos son eventos complementarios: "éxito" y "fracaso" son mutuamente excluyentes y exhaustivos. Así se tienen las siguientes relaciones: ${displaystyle p=1-q,quad quad q=1-p,quad quad p+q=1.}$

Alternativamente, estos pueden expresarse en términos de probabilidades: dada la probabilidad p de éxito y q de fracaso, las probabilidades a favor son $pag:q$ y las probabilidades en contra son $q:p.$ Estos también se pueden expresar como números, dividiendo, dando las probabilidades a favor, $de}$ y las probabilidades contra, $o_{un}:$ , ${begin{alineado}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\o_{a}&=q/p=(1-p)/p =q/(1-q)end{alineado}}$

Estos son inversos multiplicativos, por lo que se multiplican a 1, con las siguientes relaciones: ${displaystyle o_{f}=1/o_{a},quad o_{a}=1/o_{f},quad o_{f}cdot o_{a}=1.}$

En el caso de que un ensayo de Bernoulli represente un evento a partir de un número finito de resultados igualmente probables, donde S de los resultados son un éxito y F de los resultados son un fracaso, las probabilidades a favor son $S:F$ y las probabilidades en contra son $F: S.$ Esto produce las siguientes fórmulas para la probabilidad y posibilidades: ${begin{alineado}p&=S/(S+F)\q&=F/(S+F)\o_{f}&=S/F\o_{a}&=F/Send {alineado}}$

Tenga en cuenta que aquí las probabilidades se calculan dividiendo el número de resultados, no las probabilidades, pero la proporción es la misma, ya que estas proporciones solo difieren al multiplicar ambos términos por el mismo factor constante.

Las variables aleatorias que describen los ensayos de Bernoulli a menudo se codifican utilizando la convención de que 1 = "éxito", 0 = "fracaso".

Estrechamente relacionado con un ensayo de Bernoulli está un experimento binomial, que consta de un número fijo $norte$ de ensayos de Bernoulli estadísticamente independientes, cada uno con una probabilidad de éxito $pag$ , y cuenta el número de éxitos. Una variable aleatoria correspondiente a un experimento binomial se denota por $B(n,p)$ y se dice que tiene una distribución binomial. La probabilidad de $k$ éxitos exactos en el experimento $B(n,p)$ está dada por: $P(k)={n elegir k}p^{k}q^{nk}$

donde ${n elegir k}$ es un coeficiente binomial.

Los ensayos de Bernoulli también pueden conducir a distribuciones binomiales negativas (que cuentan el número de éxitos en una serie de ensayos de Bernoulli repetidos hasta que se ve un número específico de fallas), así como a otras distribuciones.

Cuando se realizan múltiples ensayos de Bernoulli, cada uno con su propia probabilidad de éxito, a veces se los denomina ensayos de Poisson.

Ejemplo: lanzar monedas

Considere el experimento simple en el que se lanza una moneda justa cuatro veces. Encuentre la probabilidad de que exactamente dos de los lanzamientos resulten en cara.

Solución

Para este experimento, defina cara como éxito y cruz como fracaso. Como se supone que la moneda es justa, la probabilidad de éxito es $p={tfrac{1}{2}}$ . Por lo tanto, la probabilidad de falla, $q$ , viene dada por $q=1-p=1-{tfrac {1}{2}}={tfrac {1}{2}}$ .

Usando la ecuación anterior, la probabilidad de que exactamente dos lanzamientos de cuatro lanzamientos totales resulten caras está dada por: ${displaystyle {begin{alineado}P(2)&={4 elegir 2}p^{2}q^{4-2}\&=6times left({tfrac {1}{ 2}}right)^{2}times left({tfrac {1}{2}}right)^{2}\&={dfrac {3}{8}}.end{ alineado}}}$

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