Jacob Bernoulli

Jacob Bernoulli (también conocido como James o Jacques; 6 de enero de 1655 [OS 27 de diciembre de 1654] - 16 de agosto de 1705) fue uno de los muchos matemáticos destacados de la familia Bernoulli. Fue uno de los primeros defensores del cálculo leibniziano y se puso del lado de Gottfried Wilhelm Leibniz durante la controversia del cálculo Leibniz-Newton. Es conocido por sus numerosas contribuciones al cálculo y, junto con su hermano Johann, fue uno de los fundadores del cálculo de variaciones. También descubrió la constante matemática fundamental e. Sin embargo, su contribución más importante fue en el campo de la probabilidad, de donde derivó la primera versión de la ley de los grandes números en su obra Ars Conjectandi.

Biografía

Jacob Bernoulli nació en Basilea, Suiza. Siguiendo el deseo de su padre, estudió teología e ingresó al ministerio. Pero contrariamente a los deseos de sus padres, también estudió matemáticas y astronomía. Viajó por toda Europa desde 1676 hasta 1682, aprendiendo sobre los últimos descubrimientos en matemáticas y ciencias de la mano de figuras destacadas de la época. Esto incluyó el trabajo de Johannes Hudde, Robert Boyle y Robert Hooke. Durante este tiempo también produjo una teoría incorrecta de los cometas.

Imagen desde Acta Eruditorum (1682) donde se publicó la crítica de Bernoulli Conamen novi systematis cometarum

Bernoulli regresó a Suiza y comenzó a enseñar mecánica en la Universidad de Basilea desde 1683. Su tesis doctoral Solutionem tergemini problematis se presentó en 1684. Apareció impresa en 1687.

En 1684, Bernoulli se casó con Judith Stupanus; tuvieron dos hijos. Durante esta década, también inició una fértil carrera investigadora. Sus viajes le permitieron establecer correspondencia con muchos de los principales matemáticos y científicos de su época, que mantuvo durante toda su vida. Durante este tiempo, estudió los nuevos descubrimientos en matemáticas, incluyendo De ratiociniis in aleae ludo de Christiaan Huygens, Descartes' La Géométrie y los suplementos de Frans van Schooten. También estudió a Isaac Barrow y John Wallis, lo que le llevó a interesarse por la geometría infinitesimal. Aparte de estos, fue entre 1684 y 1689 cuando se descubrieron muchos de los resultados que formarían Ars Conjectandi.

Fue nombrado profesor de matemáticas en la Universidad de Basilea en 1687, cargo que ocupó el resto de su vida. En ese momento, había comenzado a dar clases particulares a su hermano Johann Bernoulli sobre temas matemáticos. Los dos hermanos comenzaron a estudiar el cálculo tal como lo presentó Leibniz en su artículo de 1684 sobre el cálculo diferencial en "Nova Methodus pro Maximis et Minimis" publicado en Acta Eruditorum. También estudiaron las publicaciones de von Tschirnhaus. Debe entenderse que las publicaciones de Leibniz sobre el cálculo eran muy oscuras para los matemáticos de esa época y los Bernoulli fueron de los primeros en tratar de comprender y aplicar las teorías de Leibniz.

Jacob colaboró con su hermano en varias aplicaciones del cálculo. Sin embargo, la atmósfera de colaboración entre los dos hermanos se convirtió en rivalidad a medida que el genio matemático de Johann comenzaba a madurar, y ambos se atacaban entre sí por escrito y planteaban difíciles desafíos matemáticos para poner a prueba las habilidades del otro. Para 1697, la relación se había roto por completo.

El cráter lunar Bernoulli también lleva su nombre junto con su hermano Johann.

Obras importantes

Las primeras contribuciones importantes de Jacob Bernoulli fueron un folleto sobre los paralelos de la lógica y el álgebra publicado en 1685, un trabajo sobre probabilidad en 1685 y geometría en 1687. El resultado de su geometría dio una construcción para dividir cualquier triángulo en cuatro partes iguales con dos rectas perpendiculares.

Para 1689 había publicado importantes trabajos sobre series infinitas y publicado su ley de grandes números en teoría de probabilidad. Jacob Bernoulli publicó cinco tratados en serie infinita entre 1682 y 1704. Los dos primeros de ellos contenían muchos resultados, como el resultado fundamental de que ${displaystyle sum {frac {1}{n}}$ divergencias, que Bernoulli creía que eran nuevas pero habían sido probadas por Pietro Mengoli 40 años antes y fue probada por Nicole Oresme en el siglo XIV ya. Bernoulli no pudo encontrar una forma cerrada ${displaystyle sum {frac {1}{n^{2}}}$, pero él demostró que converge a un límite finito menos de 2. Euler fue el primero en encontrar el límite de esta serie en 1737. Bernoulli también estudió la serie exponencial que salió del examen de interés compuesto.

En mayo de 1690, en un artículo publicado en Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli demostró que el problema de determinar la isócrona es equivalente a resolver una ecuación diferencial no lineal de primer orden. La isócrona, o curva de descenso constante, es la curva a lo largo de la cual una partícula descenderá por gravedad desde cualquier punto hasta el fondo exactamente en el mismo tiempo, sin importar cuál sea el punto de partida. Había sido estudiada por Huygens en 1687 y Leibniz en 1689. Después de encontrar la ecuación diferencial, Bernoulli la resolvió mediante lo que ahora llamamos separación de variables. El artículo de Jacob Bernoulli de 1690 es importante para la historia del cálculo, ya que aparece por primera vez el término integral con su significado de integración. En 1696, Bernoulli resolvió la ecuación, ahora llamada ecuación diferencial de Bernoulli,

${displaystyle y'=p(x)y+q(x)y^{n}$

Jacob Bernoulli también descubrió un método general para determinar la evolución de una curva como la envolvente de sus círculos de curvatura. También investigó las curvas cáusticas y, en particular, estudió estas curvas asociadas de la parábola, la espiral logarítmica y las epicicloides alrededor de 1692. La lemniscata de Bernoulli fue concebida por primera vez por Jacob Bernoulli en 1694. En 1695 investigó el problema del puente levadizo que busca la curva requerida. de modo que un peso que se desliza por el cable mantiene siempre equilibrado el puente levadizo.

Ars conjectandi, 1713 (Milano, Fondazione Mansutti).

La obra más original de Bernoulli fue Ars Conjectandi, publicada en Basilea en 1713, ocho años después de su muerte. El trabajo estaba incompleto en el momento de su muerte, pero sigue siendo un trabajo de la mayor importancia en la teoría de la probabilidad. El libro también cubre otros temas relacionados, incluida una revisión de la combinatoria, en particular el trabajo de van Schooten, Leibniz y Prestet, así como el uso de los números de Bernoulli en una discusión de la serie exponencial. Inspirado en Huygens' trabajo, Bernoulli también da muchos ejemplos de cuánto uno esperaría ganar jugando varios juegos de azar. El término juicio de Bernoulli resultó de este trabajo.

En la última parte del libro, Bernoulli esboza muchas áreas de la probabilidad matemática, incluida la probabilidad como un grado mensurable de certeza; necesidad y azar; expectativa moral versus matemática; probabilidad a priori y a posteriori; expectativa de ganar cuando los jugadores se dividen según la destreza; consideración de todos los argumentos disponibles, su valoración y su evaluación calculable; y la ley de los grandes números.

Bernoulli fue uno de los promotores más importantes de los métodos formales de análisis superior. La astucia y la elegancia rara vez se encuentran en su método de presentación y expresión, pero hay un máximo de integridad.

Descubrimiento de la constante matemática e

En 1683, Bernoulli descubrió la constante e al estudiar una pregunta sobre el interés compuesto que requería encontrar el valor de la siguiente expresión (que de hecho es e< /lapso>):

${displaystyle lim _{ntoinfty }left(1+{frac {1}{n}right)^{n}}$

Un ejemplo es una cuenta que comienza con $1,00 y paga el 100 por ciento de interés por año. Si el interés se acredita una vez, al final del año, el valor es de $2.00; pero si el interés se calcula y suma dos veces en el año, $1 se multiplica dos veces por 1,5, lo que da como resultado $1,00×1,5² = $2,25. La capitalización trimestral produce $1,00×1,25⁴ = $2,4414..., y la capitalización mensual produce $1,00×(1,0833...)¹² = $2,613035...

Bernoulli notó que esta secuencia se acerca a un límite (la fuerza de interés) para intervalos de capitalización más y más pequeños. La capitalización semanal produce $2,692597..., mientras que la capitalización diaria produce $2,714567..., solo dos centavos más. Usando n como el número de intervalos de capitalización, con un interés del 100 % / n en cada intervalo, el límite para grandes n es el número que Euler luego denominó e; con una capitalización continua, el valor de la cuenta alcanzará los $2,7182818.... En términos más generales, una cuenta que comienza en $1 y produce (1+R) dólares a interés compuesto, producirá e^R dólares con continuo composición

Lápida

La lápida de Jacob Bernoulli en Basilea Münster

Bernoulli quería una espiral logarítmica y el lema Eadem mutata resurgo ('Aunque cambiado, vuelvo a levantarme igual') grabado en su lápida. Escribió que la espiral autosimilar 'puede usarse como símbolo, ya sea de fortaleza y constancia en la adversidad, o del cuerpo humano, que después de todos sus cambios, incluso después de la muerte, será restaurado a su forma exacta y precisa. yo perfecto." Bernoulli murió en 1705, pero se grabó una espiral de Arquímedes en lugar de una logarítmica.

Traducción de inscripción latina:

Jacob Bernoulli, el incomparable matemático.

Profesor de la Universidad de Basilea durante más de 18 años;

miembro de las Reales Academias de París y Berlín; famoso por sus escritos.

De una enfermedad crónica, de mente sana hasta el final;

sucumbieron en el año de la gracia 1705, el 16 de agosto, a la edad de 50 años y 7 meses, esperando la resurrección.

Judith Stupanus,

su esposa durante 20 años,

y sus dos hijos han erigido un monumento al marido y al padre que tanto faltan.

Obras

• Conamen novi systematis cometarum (en latín). Amstelaedami: apud Henr. Wetstenium. 1682. (El título se traduce como "una nueva hipótesis para el sistema de cometas".)
• De gravitate aetheris (en latín). Amstelaedami: apud Henricum Wetstenium. 1683.
• Ars conjectandi, opus posthumum, Basileae, impensis Thurnisiorum Fratrum, 1713.
• Opera (en latín). Vol. 1. Genève: héritiers Cramer & frères Philibert. 1744.
  • Opera (en latín). Vol. 2. Genève: héritiers Cramer & frères Philibert. 1744.

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  De gravedad aetheris, 1683

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  Opera, vol 1, 1744