Producto semidirecto

En matemáticas, específicamente en teoría de grupos, el concepto de producto semidirecto es una generalización de un producto directo. Hay dos conceptos estrechamente relacionados de producto semidirecto:

• an interior El producto semidirecto es una forma particular en la que un grupo puede ser formado por dos subgrupos, uno de los cuales es un subgrupo normal.
• an exterior El producto semidirecto es una manera de construir un nuevo grupo de dos grupos dados utilizando el producto cartesiano como un conjunto y una operación de multiplicación particular.

Al igual que con los productos directos, existe una equivalencia natural entre los productos semidirectos internos y externos, y ambos se conocen comúnmente como productos semidirectos.

Para grupos finitos, el teorema de Schur-Zassenhaus proporciona una condición suficiente para la existencia de una descomposición como un producto semidirecto (también conocido como división de extensión).

Definiciones de productos semidirectos internos

Dado un grupo G con elemento de identidad e, un subgrupo H, y un subgrupo normal N ◁ G, las siguientes declaraciones son equivalentes:

• G es el producto de subgrupos, G = NH, y estos subgrupos tienen intersección trivial: N ∩ H =e}.
• Por todos g ▪ G, hay único n ▪ N y h ▪ H tales que g = nh.
• Por todos g ▪ G, hay único h ▪ H y n ▪ N tales que g = hn.
• La composición π ∘ i de la incrustación natural i: H → G con la proyección natural π: G → G/N es un isomorfismo entre H y el grupo de referencia G/N.
• Existe un homomorfismo G → H que es la identidad H y cuyo núcleo es N. En otras palabras, hay una secuencia exacta de división

${displaystyle 1to Nto Gto Hto 1}$

de grupos (que también se conoce como extensión de grupos ${displaystyle H.$ por ${displaystyle N}$).

Si alguna de estas afirmaciones se cumple (y por lo tanto todas ellas se cumplen, por su equivalencia), decimos que G es la semidirecta producto de N y H, escrito

${displaystyle G=Nrtimes H.$ o ${displaystyle G=Hltimes N,}$

o que G se divide en N ; uno también dice que G es un producto semidirecto de H actuando sobre N, o incluso un producto semidirecto de H y N. Para evitar ambigüedades, es recomendable especificar cuál es el subgrupo normal.

Si ${displaystyle G=Hltimes N}$, entonces hay un grupo homomorfismo ${displaystyle varphi colon Hrightarrow mathrm {Aut} (N)}$ dado por ${displaystyle varphi _{h}(n)=hnh^{-1}$, y para ${displaystyle g=hn,g'=h'n'}$, tenemos ${displaystyle gg'=hnh'n'=h'h'h' {-1}nh'n'=h'varphi _{h'}{-1}n'n'}$.

Productos semidirectos interior y exterior

Consideremos primero el producto semidirecto interno. En este caso, para un grupo ${displaystyle G.$, considerar su subgrupo normal N y el subgrupo H (no necesariamente normal). Supongamos que condiciones en la lista anterior se mantienen. Vamos ${displaystyle operatorname {Aut} (N)}$ denota el grupo de todos los automorfismos de N, que es un grupo bajo composición. Construir un homomorfismo grupo ${displaystyle varphi colon Hto operatorname {Aut} (N)}$ definido por la conjugación,

${displaystyle varphi (h)(n)=hnh^{-1}$, para todos h dentro H y n dentro N.

La expresión ${displaystyle varphi (h)}$ a menudo escrito como ${displaystyle varphi _{h}$ por brevedad. De esta manera podemos construir un grupo ${displaystyle G'=(N,H)}$ con operación de grupo definida

${displaystyle (n_{1},h_{1})cdot (n_{2},h_{2})=(n_{1}varphi (h_{1})(n_{2}),,h_{1}h_{2})=(n_{1}varphi) ¿Qué?$ para n₁, n₂ dentro N y h₁, h₂ dentro H.

Los subgrupos N y H determinan G hasta el isomorfismo, como mostraremos más adelante. De esta forma, podemos construir el grupo G a partir de sus subgrupos. Este tipo de construcción se denomina producto semidirecto interno (también conocido como producto semidirecto interno).

Ahora consideremos el producto semidirecto exterior. Dados dos grupos N y H y un homomorfismo de grupo < span class="texhtml">φ: H → Aut(N), podemos construir un nuevo grupo N ⋊_φ H, denominado producto semidirecto externo de N y H con respecto a < span class="texhtml">φ, definido de la siguiente manera:

Esto define un grupo en el que el elemento de identidad es (e_N, e _H) y el inverso del elemento (n, h) es (φ_h⁻¹( n⁻¹), h⁻¹). Los pares (n, e_H) forman un subgrupo normal isomorfo a N, mientras que los pares (e_N, h< /i>) forman un subgrupo isomorfo a H. El grupo completo es un producto semidirecto de esos dos subgrupos en el sentido dado anteriormente.

Por el contrario, supongamos que tenemos un grupo G con un subgrupo normal N y un subgrupo H, tal que cada elemento g de G puede escribirse únicamente en la forma g = nh donde n se encuentra en N y h se encuentra en H. Sea φ: H → Aut(N) el homomorfismo (escrito φ(h) = φ_h) dado por

${displaystyle varphi _{h}(n)=hnh^{-1}$

para todos n ∈ N, h ∈ H.

Entonces G es isomorfo al producto semidirecto N ⋊ _φ H. El isomorfismo λ: G → N ⋊_{φ H} está bien definido por λ(a) = λ(nh) = (n, h) debido a la singularidad de la descomposición a = nh.

En G, tenemos

${fn_}h_{1}h_{1})(n_{2}h_{2})=n_{1}h_{1}n_{2}(h_{1}h_{1}h_{1}h_{2}==(n_{1}varphi} ¿Qué?$

Así, para a = n₁h ₁ y b = n₂h₂ obtenemos

${displaystyle {begin{aligned}lambda (ab) limit=lambda (n_{1}h_{1}n_{2}h_{2}=lambda (n_{1}varphi ¿Qué? (n_{2}),h_{1})=(n_{1},h_{2})=(n_{1},h_{1})bullet (n_{2},h_{2})\[5pt=lambda (n_{1}h_{1})lambda$

lo que prueba que λ es un homomorfismo. Dado que λ es obviamente un epimorfismo y un monomorfismo, entonces de hecho es un isomorfismo. Esto también explica la definición de la regla de multiplicación en N ⋊_φ H .

El producto directo es un caso especial del producto semidirecto. Para ver esto, sea φ el homomorfismo trivial (es decir, enviar cada elemento de H al automorfismo de identidad de N) entonces N ⋊ _φ H es el producto directo N × H.

Una versión del lema de división para grupos establece que un grupo G es isomorfo a un producto semidirecto de los dos grupos N y H si y solo si existe una secuencia exacta corta

${displaystyle 1longrightarrow N,{overset {beta # {longrightarrow }, G,{overset {Alpha}{longrightarrow},Hlongarrow 1}$

y un homomorfismo de grupo γ: H → G tal que α ∘ γ = id_H, el mapa de identidad en H. En este caso, φ: H → Aut(N) viene dado por φ(h) = φ_h, donde

${displaystyle varphi _{h}(n)=beta ^{-1}(gamma (h)beta (n)gamma (h^{-1})). }$

Ejemplos

Grupo diedro

El grupo diedro D_2n con 2n< /i> elementos es isomorfo a un producto semidirecto de los grupos cíclicos C_n y C₂. Aquí, el elemento de no identidad de C₂ actúa sobre C_n mediante la inversión de elementos; esto es un automorfismo ya que C_n es abeliano. La presentación para este grupo es:

${displaystyle langle a,;bmid a^{2}=e,;b^{n}=e,;aba^{-1}=b^{-1}rangle.}$

Grupos cíclicos

Más generalmente, un producto semidirecto de cualquier grupo cíclico C_m con generador a y C_n con generador b es dada por una relación extra, aba⁻¹ = b^k, con k y n coprime, y ${displaystyle k^{m}equiv 1{pmod {n}}$; es decir, la presentación:

${displaystyle langle a,;bmid a^{m}=e,;b^{n}=e,;aba^{-1}=b^{k}rangle.}$

Si r y m son coprimos, a^r es un generador de C_m y a^rba^−r = b^kr, de ahí la presentación:

${displaystyle langle a,;bmid a^{m}=e,;b^{n}=e,;aba^{-1}=b^{k^{r}rangle$

da un grupo isomorfo al anterior.

Holomorfo de un grupo

Un ejemplo canónico de un grupo expresado como un producto semidirecto es el holomorfo de un grupo. Esto se define como

${displaystyle operatorname {Hol} (G)=Grtimes operatorname {Aut} (G)}$

Donde ${displaystyle {text{Aut}}(G)}$ es el grupo automorfismo de un grupo ${displaystyle G.$ y el mapa de la estructura ${displaystyle phi }$ viene de la acción correcta ${displaystyle {text{Aut}}(G)}$ on ${displaystyle G.$. En términos de elementos multiplicadores, esto da la estructura del grupo

${displaystyle (g,alpha)(h,beta)=(g(phi (alpha)cdot h),alpha beta).}$

Grupo fundamental de la botella de Klein

El grupo fundamental de la botella de Klein se puede presentar en la forma

${displaystyle langle a,;bmid aba^{-1}=b^{-1}rangle.}$

y por lo tanto es un producto semidirecto del grupo de enteros, ${displaystyle mathbb {Z}$, con ${displaystyle mathbb {Z}$. El homomorfismo correspondiente φ: ${displaystyle mathbb {Z}$ → Aut(${displaystyle mathbb {Z}$) es dado por φ()h)n) = (−1)^hn.

Matrices triangulares superiores

El grupo ${displaystyle mathbb {T} _{n}$ de matrices triangulares superiores con no cero determinante, es decir, con entradas no cero en la diagonal, tiene una descomposición en el producto semidirecto ${displaystyle mathbb {T} _{n}cong mathbb {U}n}rtimes mathbb {D} _{n}$ Donde ${displaystyle mathbb {U} _{n}$ es el subgrupo de matrices con sólo ${displaystyle 1}$'s en la diagonal, que se llama el grupo de matriz unitariaringular superior, y ${displaystyle mathbb {} _{n}$ es el subgrupo de matrices diagonales.
The group action of ${displaystyle mathbb {} _{n}$ on ${displaystyle mathbb {U} _{n}$ es inducido por multiplicación de matriz. Si nos fijamos

${displaystyle A={begin{bmatrix}x_{1} "0�� limitadax_{2} limitcdots &0\vdots > 'vdots > \0 limit0 limitescdots ¿Qué?$y ${displaystyle B={begin{bmatrix}1 coincidencia_{12} implicaa_{13} limitcdots "A_{1n}� tarde1 tarde_{23} tardecdots > '\vdots &vdots &vdots &vdots >$

entonces su producto matricial es

${displaystyle AB={begin{bmatrix}x_{1} {1}a_{12} limitx_{1}a_{13} {13}..$

Esto da la acción del grupo inducido ${displaystyle m:mathbb {fn}times mathbb {U} _{n}to mathbb {fn}$

${displaystyle m(A,B)={begin{bmatrix}1 limitx_{1}a_{12} limitx_{1}a_{13}..$

Una matriz ${displaystyle mathbb {T} _{n}$ puede ser representado por matrices en ${displaystyle mathbb {U} _{n}$ y ${displaystyle mathbb {} _{n}$. Por lo tanto ${displaystyle mathbb {T} _{n}cong mathbb {U}n}rtimes mathbb {D} _{n}$.

Grupo de isometrías en el plano

El grupo euclidiano de todos los movimientos rígidos (isometrías) del avión (mapas) f: ${displaystyle mathbb {R}$² → ${displaystyle mathbb {R}$² tal que la distancia euroclidiana entre x y Sí. iguala la distancia entre f()x) y f()Sí.) para todos x y Sí. dentro ${displaystyle mathbb {R} {2}}$) es isomorfo a un producto semidirecto del grupo abeliano ${displaystyle mathbb {R} {2}}$ (que describe las traducciones) y el grupo O(2) de ortogonal 2 × 2 matrices (que describe las rotaciones y reflexiones que mantienen fijo el origen). Aplicar una traducción y luego una rotación o reflexión tiene el mismo efecto que aplicar la rotación o reflexión primero y luego una traducción por el vector de traducción rotado o reflejado (es decir, aplicar el conjugado de la traducción original). Esto demuestra que el grupo de traducciones es un subgrupo normal del grupo euclidiano, que el grupo euclidiano es un producto semidirecto del grupo de traducción y O(2), y que el homomorfismo correspondiente φ: O(2) → Aut(${displaystyle mathbb {R}$²) se da por multiplicación de matriz: φ()h)n) hn.

Grupo ortogonal O(n)

El grupo ortogonal O(n) de todos los reales ortogonales n × Matrices n (intuitivamente el conjunto de todas las rotaciones y reflexiones del espacio n-dimensional que mantienen el origen fijo) es isomorfo a un producto semidirecto del grupo SO(n) (que consta de todas las matrices ortogonales con determinante 1, intuitivamente las rotaciones de nespacio dimensional) y C_{2. Si representamos C2 como el grupo multiplicativo de matrices {I, R}, donde R es un reflejo de n< /i>-espacio dimensional que mantiene fijo el origen (es decir, una matriz ortogonal con determinante –1 que representa una involución), luego φ: C2 → Aut(SO(n)) viene dado por < i>φ(H)(N) = HNH⁻¹} para todo H en C₂ y N en SO(n). En el caso no trivial (H no es la identidad) esto significa que φ(H) es la conjugación de operaciones por la reflexión (en un espacio tridimensional, un eje de rotación y la dirección de rotación se reemplazan por su "imagen especular").

Transformaciones semilineales

El grupo de transformaciones semilineales en un espacio vectorial V sobre un terreno ${displaystyle mathbb {K}$, a menudo denotado .V), es isomorfo a un producto semidirecto del grupo lineal GL(V) (un subgrupo normal de .V)), y el grupo de automorfismo ${displaystyle mathbb {K}$.

Grupos cristalográficos

En cristalografía, el grupo espacial de un cristal se divide como el producto semidirecto del grupo puntual y el grupo de traslación si y solo si el grupo espacial es simétrico. Los grupos espaciales no simórficos tienen grupos de puntos que ni siquiera están contenidos como subconjunto del grupo espacial, lo que es responsable de gran parte de la complicación en su análisis.

No-ejemplos

Por supuesto, ningún grupo simple puede ser expresado como un producto semi-directo (porque no tienen subgrupos normales notriviales), pero hay algunos contraexamples comunes de grupos que contienen un subgrupo normal no-trivial que no obstante no pueden expresarse como un producto semi-directo. Note que aunque no todos los grupos ${displaystyle G.$ se puede expresar como una extensión dividida ${displaystyle H.$ por ${displaystyle A}$, resulta que tal grupo puede ser incrustado en el producto de la corona ${displaystyle Awr H}$ por el teorema universal de incrustación.

Z4

El grupo cíclico ${displaystyle mathbb {Z} _{4}$ no es un grupo simple ya que tiene un subgrupo de orden 2, a saber ${displaystyle {0,2}cong mathbb {Z} _{2}$ es un subgrupo y su coeficiente es ${displaystyle mathbb {Z} _{2}$Así que hay una extensión

${displaystyle 0to mathbb {Z} _{2}to mathbb {Z} _{4}to mathbb [Z] _{2}to 0}$

Si la extensión fue dividida, entonces el grupo ${displaystyle G.$ dentro

${displaystyle 0to mathbb {Z}{2}to Gto mathbb [Z] _{2}to 0}$

sería isomorfo para ${displaystyle mathbb {Z} _{2}times mathbb {Z} _{2}$.

P8

El grupo de las ocho quaternions ${displaystyle {pm 1,pm i,pm j,pm k}$ Donde ${displaystyle ijk=-1}$ y ${displaystyle # I^{2}=j^{2}=k^{2}=-1}$, es otro ejemplo de un grupo que tiene subgrupos no-triviales todavía no está dividido. Por ejemplo, el subgrupo generado por ${displaystyle i}$ es isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} _{4}$ y es normal. También tiene un subgrupo de orden ${displaystyle 2}$ generados por ${displaystyle -1}$. Esto significaría ${displaystyle Q_{8}$ tendría que ser una extensión dividida en lo siguiente hipotética secuencia exacta de grupos:

${displaystyle 0to mathbb {Z} _{4}to Q_{8}to mathbb [Z] _{2}to 0}$,

pero tal secuencia exacta no existe. Esto se puede mostrar computando el primer grupo de cohomología ${displaystyle mathbb {Z} _{2}$ con coeficientes en ${displaystyle mathbb {Z} _{4}$Así que ${displaystyle H^{1}(mathbb {Z} _{2},mathbb {Z} _{4})cong mathbb {Z} /2}$ y notar a los dos grupos en estas extensiones son ${displaystyle mathbb {Z} _{2}times mathbb {Z} _{4}$ y el grupo dihedral ${displaystyle D_{8}$. Pero, como ninguno de estos grupos es isomorfo con ${displaystyle Q_{8}$, el grupo de quaternion no está dividido. Esta no-existencia de isomorfismos se puede comprobar notando la extensión trivial es abelian mientras ${displaystyle Q_{8}$ no es abeliano, y notar que los únicos subgrupos normales son ${displaystyle mathbb {Z} _{2}$ y ${displaystyle mathbb {Z} _{4}$, pero ${displaystyle Q_{8}$ tiene tres subgrupos isomorfos a ${displaystyle mathbb {Z} _{4}$.

Propiedades

Si G es el producto semidirecto del subgrupo normal N y el subgrupo H, y tanto N como < span class="texhtml">H son finitos, entonces el orden de G es igual al producto de las órdenes de N y H. Esto se deriva del hecho de que G es del mismo orden que el producto semidirecto externo de N< /i> y H, cuyo conjunto subyacente es el producto cartesiano N × H.

Relación con productos directos

Suponga que G es un producto semidirecto del subgrupo normal N y el subgrupo H. Si H también es normal en G, o de forma equivalente, si existe un homomorfismo G → N que es la identidad en N con núcleo H, luego G es el producto directo de N y H.

El producto directo de dos grupos N y H puede considerarse como el producto semidirecto de N y H con respecto a φ(h) = id_N para todas las h en H.

Tenga en cuenta que en un producto directo, el orden de los factores no es importante, ya que N × H es isomorfo a H × N. Este no es el caso de los productos semidirectos, ya que los dos factores juegan papeles diferentes.

Además, el resultado de un producto semidirecto (propiamente dicho) por medio de un homomorfismo no trivial nunca es un grupo abeliano, incluso si los grupos de factores son abelianos.

No unicidad de productos semidirectos (y más ejemplos)

A diferencia del caso del producto directo, un producto semidirecto de dos grupos no es, en general, único; si G y G′ son dos grupos que contienen isomorfos copias de N como subgrupo normal y H como subgrupo, y ambos son un producto semidirecto de N y H, entonces no sigue que G y G′ son isomorfos porque el producto semidirecto también depende de la elección de una acción de H sobre < i>N.

Por ejemplo, hay cuatro grupos no isomorfos de orden 16 que son productos semidirectos de C₈ y C₂; en este caso, C₈ es necesariamente un subgrupo normal porque tiene índice 2. Uno de estos cuatro productos semidirectos es el producto directo, mientras que el otro tres son grupos no abelianos:

• el grupo dihedral de orden 16
• el grupo cuasidiedral del orden 16
• el grupo Iwasawa de orden 16

Si un grupo dado es un producto semidirecto, entonces no hay garantía de que esta descomposición sea única. Por ejemplo, existe un grupo de orden 24 (el único que contiene seis elementos de orden 4 y seis elementos de orden 6) que se puede expresar como producto semidirecto de las siguientes formas: (D< sub>8 ⋉ C₃) ≅ (C₂ ⋉ Q12) ≅ (C₂ ⋉ D_{12< /sub>) ≅ (D6 ⋉ V)}.

Existencia

En general, no existe una caracterización conocida (es decir, una condición necesaria y suficiente) para la existencia de productos semidirectos en grupos. Sin embargo, se conocen algunas condiciones suficientes que garantizan la existencia en ciertos casos. Para grupos finitos, el teorema de Schur-Zassenhaus garantiza la existencia de un producto semidirecto cuando el orden del subgrupo normal es coprimo con el orden del grupo cociente.

Por ejemplo, el teorema de Schur-Zassenhaus implica la existencia de un producto semidirecto entre grupos de orden 6; hay dos productos de este tipo, uno de los cuales es un producto directo y el otro un grupo diédrico. Por el contrario, el teorema de Schur-Zassenhaus no dice nada sobre grupos de orden 4 o grupos de orden 8, por ejemplo.

Generalizaciones

Dentro de la teoría de grupos, la construcción de productos semidirectos se puede llevar mucho más lejos. El producto Zappa-Szep de grupos es una generalización que, en su versión interna, no supone que ninguno de los subgrupos sea normal.

También hay una construcción en la teoría de anillos, el producto cruzado de anillos. Este se construye de forma natural a partir del anillo de grupo para un producto semidirecto de grupos. El enfoque de teoría de anillos se puede generalizar aún más a la suma semidirecta de álgebras de Lie.

Para geometría, también existe un producto cruzado para acciones grupales en un espacio topológico; desafortunadamente, en general no es conmutativo incluso si el grupo es abeliano. En este contexto, el producto semidirecto es el espacio de órbitas de la acción grupal. El último enfoque ha sido defendido por Alain Connes como sustituto de los enfoques mediante técnicas topológicas convencionales; cf geometría no conmutativa.

También hay generalizaciones de largo alcance en la teoría de categorías. Muestran cómo construir categorías de fibras a partir de categorías indexadas. Esta es una forma abstracta de la construcción del producto semidirecto externo.

Grupoides

Otra generalización es para los groupoides. Esto ocurre en topología porque si un grupo G actúa sobre un espacio X también actúa sobre el grupoide fundamental π₁(X) del espacio. El producto semidirecto π₁(X) ⋊ G entonces es relevante para encontrar el grupoide fundamental del espacio orbital X/G. Para obtener detalles completos, consulte el Capítulo 11 del libro al que se hace referencia a continuación, y también algunos detalles en el producto semidirecto en ncatlab.

Categorías abelianas

Los productos semidirectos no triviales no surgen en categorías abelianas, como la categoría de módulos. En este caso, el lema de división muestra que todo producto semidirecto es un producto directo. Así, la existencia de productos semidirectos refleja una falla de la categoría para ser abeliana.

Notación

Generalmente el producto semidirecto de un grupo H actuando en un grupo N (en la mayoría de los casos por conjugación como subgrupos de un grupo común) es denotado por N ⋊ H o H ⋉ N. Sin embargo, algunas fuentes pueden usar este símbolo con el significado opuesto. En caso de acción φ: H → Aut(N) debe hacerse explícito, uno también escribe N ⋊_φ H. Una manera de pensar en el N ⋊ H símbolo es como una combinación del símbolo para subgrupo normal (◁) y el símbolo para el producto (×). Barry Simon, en su libro sobre la teoría de la representación grupal, emplea la notación inusual ${displaystyle Nmathbin {circled S _{varphi } H.$ para el producto semidirecto.

Unicode enumera cuatro variantes:

	Valor	MathML	Descripción Unicode
⋉	U+22C9	Horas	LEFT NORMAL FACTOR SEMIDIRECT PRODUCT
⋊	U+22CA	rtimes	PRODUCTO DE FACTORES NORMALES DERECHO
⋋	U+22CB	3	LEFT SEMIDIRECT PRODUCT
⋌	U+22CC	rtres	PRODUCTO DE PRODUCTOS DE DERECHO

Aquí, la descripción Unicode del símbolo rtimes dice "factor normal derecho", en contraste con su significado habitual en la práctica matemática.

En LaTeX, los comandos rtimes y ltimes producen los caracteres correspondientes. Con el paquete de símbolos AMS cargado, leftthreetimes produce ⋋ y rightthreetimes produce ⋌.