Intersección de conjuntos

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En matemáticas, la intersección de dos conjuntos $A$ y $B,$ denotado por $A\cap B,$ es el conjunto que contiene todos los elementos de $A$ que también pertenecen $B$ o equivalentemente, todos los elementos de $B$ que también pertenecen $UN.$

Notación y terminología

La intersección se escribe con el símbolo " $\gorra$ " entre los términos; es decir, en notación infija. Por ejemplo:

$\{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}$

$\{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnada$

$\mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N}$

$\{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}$ La intersección de más de dos conjuntos (intersección generalizada) se puede escribir como:

$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$ que es similar a la notación mayúscula-sigma.

Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos.

Definición

La intersección de dos conjuntos. $A$ y $B,$ denotado por $A\cap B$ , es el conjunto de todos los objetos que son miembros de ambos conjuntos $A$ y $B.$ En símbolos:

$A\cap B=\{x:x\in A{\text{ y }}x\in B\}.$

Es decir, $X$ es un elemento de la intersección $A\cap B$ si y solo si $X$ es a la vez un elemento de $A$ y un elemento de $B.$

Por ejemplo:

La intersección de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {2, 3}.
El número 9 no está en la intersección del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números impares {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, porque 9 no es primo.

Conjuntos intersecantes y disjuntos

Nosotros decimos eso si existe alguna $X$ eso es un elemento de ambos $A$ y $B,$ en cuyo caso también decimos que . Equivalentemente, $A$ se cruza $B$ si su intersección $A\cap B$ es un conjunto habitado , es decir que existe algún $X$ tal que $x\in A\cap B.$

Por ejemplo, los conjuntos $\{1, 2\}$ y ${\ estilo de visualización \ {3,4 \}}$ son disjuntos, mientras que el conjunto de los números pares corta al conjunto de los múltiplos de 3 en los múltiplos de 6.

Propiedades algebraicas

La intersección binaria es una operación asociativa; es decir, para cualquier conjunto $un, b,$ y ${\ estilo de visualización C,}$ uno tiene

$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.$ Por lo tanto, los paréntesis se pueden omitir sin ambigüedad: cualquiera de los anteriores se puede escribir como $A\cap B\cap C$ . La intersección también es conmutativa. Es decir, para cualquier $A$ y $B,$ uno tiene

$A\cap B=B\cap A.$ La intersección de cualquier conjunto con el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío; es decir, que para cualquier conjunto $A$ ,

$A\cap \varnada =\varnada$ Además, la operación de intersección es idempotente; es decir, cualquier conjunto $A$ satisface que $A\cap A=A$ . Todas estas propiedades se derivan de hechos análogos sobre la conjunción lógica.

La intersección distribuye sobre la unión y la unión distribuye sobre la intersección. Es decir, para cualquier conjunto $un, b,$ y ${\ estilo de visualización C,}$ uno tiene

${\begin{alineado}A\tapa (B\taza C)=(A\tapa B)\taza (A\tapa C)\\A\taza (B\tapa C)=(A\taza B )\cap (A\cup C)\end{alineado}}$ Dentro de un universo ${\ estilo de visualización U,}$ se puede definir el complemento $A^{c}$ de $A$ ser el conjunto de todos los elementos de $tu$ no en $UN.$ Además, la intersección de $A$ y $B$ puede escribirse como el complemento de la unión de sus complementos, derivado fácilmente de las leyes de De Morgan:

$A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}$

Intersecciones arbitrarias

La noción más general es la intersección de una colección arbitraria de conjuntos no vacíos . Si $METRO$ es un conjunto no vacío cuyos elementos son a su vez conjuntos, entonces $X$ es un elemento de la intersección de $METRO$ si y solo si para cada elemento $A$ de ${\ estilo de visualización M,}$ $X$ es un elemento de $UN.$ En símbolos:

$\left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).$

La notación de este último concepto puede variar considerablemente. Los teóricos de conjuntos a veces escriben "{\ estilo de visualización \ cap M} ${\ estilo de visualización \ cap M}$ ", mientras que otros en cambio escribirán "{\ estilo de visualización \ cap _ {A \ en M} A} ${\ estilo de visualización \ cap _ {A \ en M} A}$ ". La última notación se puede generalizar a "{\displaystyle \cap _{i\in I}A_{i}} $\cap _{i\in I}A_{i}$ ", que se refiere a la intersección de la colección $\left\{A_{i}:i\in I\right\}.$ Aquí $I$ es un conjunto no vacío y $Ai}$ es un conjunto para cada ${\ estilo de visualización i \ en I.}$

En el caso de que el índice establecido $I$ es el conjunto de los números naturales, se puede ver una notación análoga a la de un producto infinito:

$\bigcap _{i=1}^{\infty}A_{i}.$

Cuando el formateo es difícil, esto también se puede escribir "{\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots } $A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots$ ". Este último ejemplo, una intersección de muchos conjuntos numerables, es en realidad muy común; para ver un ejemplo, consulte el artículo sobre σ-álgebras.

Intersección nula

Tenga en cuenta que en la sección anterior, excluimos el caso donde $METRO$ era el conjunto vacío ( $\varnada$ ). La razón es la siguiente: La intersección de la colección $METRO$ se define como el conjunto (consulte la notación de creación de conjuntos)

$\bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ para todos}}A\in M,x\in A\}.$ Si $METRO$ está vacío, no hay conjuntos $A$ en ${\ estilo de visualización M,}$ por lo que la pregunta se convierte en "¿cuál $X$ satisface la condición establecida?" La respuesta parece ser todo lo posible . $X$ . Cuándo $METRO$ está vacía, la condición dada arriba es un ejemplo de una verdad vacía. Entonces, la intersección de la familia vacía debería ser el conjunto universal (el elemento de identidad para la operación de intersección), pero en la teoría de conjuntos estándar (ZF), el conjunto universal no existe.

Sin embargo, en la teoría de tipos, $X$ es de un tipo prescrito $\tau,$ por lo que se entiende que la intersección es de tipo $\mathrm {conjunto} \\tau$ (el tipo de conjuntos cuyos elementos están en $\tau$ ), y podemos definir $\bigcap _{A\in\emptyset}A$ ser el conjunto universal de $\mathrm {conjunto} \\tau$ (el conjunto cuyos elementos son exactamente todos términos de tipo $\tau$ ).

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