Intersección de conjuntos

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En matemáticas, la intersección de dos conjuntos Ay B,denotado por {\displaystyle A\cap B,} es el conjunto que contiene todos los elementos de Aque también pertenecen Bo equivalentemente, todos los elementos de Bque también pertenecen UN.

Notación y terminología

La intersección se escribe con el símbolo "\gorra" entre los términos; es decir, en notación infija. Por ejemplo:

{\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}

{\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnada}

{\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }

{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}La intersección de más de dos conjuntos (intersección generalizada) se puede escribir como:

{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}que es similar a la notación mayúscula-sigma.

Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos.

Definición

La intersección de dos conjuntos. Ay B,denotado por A\cap B, es el conjunto de todos los objetos que son miembros de ambos conjuntos Ay B. En símbolos:

{\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ y }}x\in B\}.}

Es decir, Xes un elemento de la intersección A\cap Bsi y solo si Xes a la vez un elemento de Ay un elemento de B.

Por ejemplo:

Conjuntos intersecantes y disjuntos

Nosotros decimos eso si existe alguna Xeso es un elemento de ambos Ay B,en cuyo caso también decimos que . Equivalentemente, Ase cruza Bsi su intersección A\cap Bes un conjunto habitado , es decir que existe algún Xtal que {\displaystyle x\in A\cap B.}

Por ejemplo, los conjuntos \{1, 2\}y {\ estilo de visualización \ {3,4 \}}son disjuntos, mientras que el conjunto de los números pares corta al conjunto de los múltiplos de 3 en los múltiplos de 6.

Propiedades algebraicas

La intersección binaria es una operación asociativa; es decir, para cualquier conjunto un, b,y {\ estilo de visualización C,}uno tiene

{\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.}Por lo tanto, los paréntesis se pueden omitir sin ambigüedad: cualquiera de los anteriores se puede escribir como {\displaystyle A\cap B\cap C}. La intersección también es conmutativa. Es decir, para cualquier Ay B,uno tiene

{\displaystyle A\cap B=B\cap A.}La intersección de cualquier conjunto con el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío; es decir, que para cualquier conjunto A,

{\displaystyle A\cap \varnada =\varnada}Además, la operación de intersección es idempotente; es decir, cualquier conjunto Asatisface que {\displaystyle A\cap A=A}. Todas estas propiedades se derivan de hechos análogos sobre la conjunción lógica.

La intersección distribuye sobre la unión y la unión distribuye sobre la intersección. Es decir, para cualquier conjunto un, b,y {\ estilo de visualización C,}uno tiene

{\displaystyle {\begin{alineado}A\tapa (B\taza C)=(A\tapa B)\taza (A\tapa C)\\A\taza (B\tapa C)=(A\taza B )\cap (A\cup C)\end{alineado}}}Dentro de un universo {\ estilo de visualización U,}se puede definir el complemento A^{c}de Aser el conjunto de todos los elementos de tuno en UN.Además, la intersección de Ay Bpuede escribirse como el complemento de la unión de sus complementos, derivado fácilmente de las leyes de De Morgan:

{\displaystyle A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}}

Intersecciones arbitrarias

La noción más general es la intersección de una colección arbitraria de conjuntos no vacíos . Si METROes un conjunto no vacío cuyos elementos son a su vez conjuntos, entonces Xes un elemento de la intersección de METROsi y solo si para cada elemento Ade {\ estilo de visualización M,}  Xes un elemento de UN. En símbolos:

{\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).}

La notación de este último concepto puede variar considerablemente. Los teóricos de conjuntos a veces escriben "{\ estilo de visualización \ cap M}{\ estilo de visualización \ cap M}", mientras que otros en cambio escribirán "{\ estilo de visualización \ cap _ {A \ en M} A}{\ estilo de visualización \ cap _ {A \ en M} A}". La última notación se puede generalizar a "{\displaystyle \cap _{i\in I}A_{i}}{\displaystyle \cap _{i\in I}A_{i}}", que se refiere a la intersección de la colección {\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}.} Aquí Ies un conjunto no vacío y Ai}es un conjunto para cada {\ estilo de visualización i \ en I.}

En el caso de que el índice establecido Ies el conjunto de los números naturales, se puede ver una notación análoga a la de un producto infinito:

{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty}A_{i}.}

Cuando el formateo es difícil, esto también se puede escribir "{\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }{\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }". Este último ejemplo, una intersección de muchos conjuntos numerables, es en realidad muy común; para ver un ejemplo, consulte el artículo sobre σ-álgebras.

Intersección nula

Tenga en cuenta que en la sección anterior, excluimos el caso donde METROera el conjunto vacío ( \varnada). La razón es la siguiente: La intersección de la colección METROse define como el conjunto (consulte la notación de creación de conjuntos)

{\displaystyle \bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ para todos}}A\in M,x\in A\}.}Si METROestá vacío, no hay conjuntos Aen {\ estilo de visualización M,}por lo que la pregunta se convierte en "¿cuál Xsatisface la condición establecida?" La respuesta parece ser todo lo posible . X. Cuándo METROestá vacía, la condición dada arriba es un ejemplo de una verdad vacía. Entonces, la intersección de la familia vacía debería ser el conjunto universal (el elemento de identidad para la operación de intersección), pero en la teoría de conjuntos estándar (ZF), el conjunto universal no existe.

Sin embargo, en la teoría de tipos, Xes de un tipo prescrito \tau,por lo que se entiende que la intersección es de tipo {\displaystyle \mathrm {conjunto} \\tau}(el tipo de conjuntos cuyos elementos están en \tau), y podemos definir {\displaystyle \bigcap _{A\in\emptyset}A}ser el conjunto universal de {\displaystyle \mathrm {conjunto} \\tau}(el conjunto cuyos elementos son exactamente todos términos de tipo \tau).