Teorema de Bolzano-Weierstrass
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En matemáticas, la intersección de dos conjuntos y denotado por es el conjunto que contiene todos los elementos de que también pertenecen o equivalentemente, todos los elementos de que también pertenecen
La intersección se escribe con el símbolo "" entre los términos; es decir, en notación infija. Por ejemplo:
La intersección de más de dos conjuntos (intersección generalizada) se puede escribir como:
que es similar a la notación mayúscula-sigma.
Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos.
La intersección de dos conjuntos. y denotado por , es el conjunto de todos los objetos que son miembros de ambos conjuntos y En símbolos:
Es decir, es un elemento de la intersección si y solo si es a la vez un elemento de y un elemento de
Por ejemplo:
Nosotros decimos eso si existe alguna eso es un elemento de ambos y en cuyo caso también decimos que . Equivalentemente, se cruza si su intersección es un conjunto habitado , es decir que existe algún tal que
Por ejemplo, los conjuntos y son disjuntos, mientras que el conjunto de los números pares corta al conjunto de los múltiplos de 3 en los múltiplos de 6.
La intersección binaria es una operación asociativa; es decir, para cualquier conjunto y uno tiene
Por lo tanto, los paréntesis se pueden omitir sin ambigüedad: cualquiera de los anteriores se puede escribir como . La intersección también es conmutativa. Es decir, para cualquier y uno tiene
La intersección de cualquier conjunto con el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío; es decir, que para cualquier conjunto ,
Además, la operación de intersección es idempotente; es decir, cualquier conjunto satisface que . Todas estas propiedades se derivan de hechos análogos sobre la conjunción lógica.
La intersección distribuye sobre la unión y la unión distribuye sobre la intersección. Es decir, para cualquier conjunto y uno tiene
Dentro de un universo se puede definir el complemento de ser el conjunto de todos los elementos de no en Además, la intersección de y puede escribirse como el complemento de la unión de sus complementos, derivado fácilmente de las leyes de De Morgan:
La noción más general es la intersección de una colección arbitraria de conjuntos no vacíos . Si es un conjunto no vacío cuyos elementos son a su vez conjuntos, entonces es un elemento de la intersección de si y solo si para cada elemento de es un elemento de En símbolos:
La notación de este último concepto puede variar considerablemente. Los teóricos de conjuntos a veces escriben "{\ estilo de visualización \ cap M}", mientras que otros en cambio escribirán "{\ estilo de visualización \ cap _ {A \ en M} A}". La última notación se puede generalizar a "{\displaystyle \cap _{i\in I}A_{i}}", que se refiere a la intersección de la colección Aquí es un conjunto no vacío y es un conjunto para cada
En el caso de que el índice establecido es el conjunto de los números naturales, se puede ver una notación análoga a la de un producto infinito:
Cuando el formateo es difícil, esto también se puede escribir "{\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }". Este último ejemplo, una intersección de muchos conjuntos numerables, es en realidad muy común; para ver un ejemplo, consulte el artículo sobre σ-álgebras.
Tenga en cuenta que en la sección anterior, excluimos el caso donde era el conjunto vacío ( ). La razón es la siguiente: La intersección de la colección se define como el conjunto (consulte la notación de creación de conjuntos)
Si está vacío, no hay conjuntos en por lo que la pregunta se convierte en "¿cuál satisface la condición establecida?" La respuesta parece ser todo lo posible . . Cuándo está vacía, la condición dada arriba es un ejemplo de una verdad vacía. Entonces, la intersección de la familia vacía debería ser el conjunto universal (el elemento de identidad para la operación de intersección), pero en la teoría de conjuntos estándar (ZF), el conjunto universal no existe.
Sin embargo, en la teoría de tipos, es de un tipo prescrito por lo que se entiende que la intersección es de tipo (el tipo de conjuntos cuyos elementos están en ), y podemos definir ser el conjunto universal de (el conjunto cuyos elementos son exactamente todos términos de tipo ).
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