Paraboloide

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Superficie cuádrica con un eje de simetría y sin centro de simetría

Paraboloide de la revolución

En geometría, un paraboloide es una superficie cuádrica que tiene exactamente un eje de simetría y ningún centro de simetría. El término "paraboloide" se deriva de parábola, que se refiere a una sección cónica que tiene una propiedad similar de simetría.

Toda sección plana de un paraboloide por un plano paralelo al eje de simetría es una parábola. El paraboloide es hiperbólico si cualquier otra sección del plano es una hipérbola o dos líneas que se cruzan (en el caso de una sección por un plano tangente). El paraboloide es elíptico si cualquier otra sección plana no vacía es una elipse o un solo punto (en el caso de una sección por un plano tangente). Un paraboloide es elíptico o hiperbólico.

De manera equivalente, un paraboloide se puede definir como una superficie cuádrica que no es un cilindro y tiene una ecuación implícita cuya parte de grado dos se puede factorizar sobre los números complejos en dos factores lineales diferentes. El paraboloide es hiperbólico si los factores son reales; elíptica si los factores son complejos conjugados.

Un paraboloide elíptico tiene forma de copa ovalada y tiene un punto máximo o mínimo cuando su eje es vertical. En un sistema de coordenadas adecuado con tres ejes $x$ , $y$ , y $z$ , se puede representar mediante la ecuación

{displaystyle z={frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}.}

donde $a$ y $b$ son constantes que dictan el nivel de curvatura en los planos $xz$ y $yz$ respectivamente. En esta posición, el paraboloide elíptico se abre hacia arriba.

Paraboloide hiperbólico

Un paraboloide hiperbólico (que no debe confundirse con un hiperboloide) es una superficie de doble regla con forma de silla de montar. En un sistema de coordenadas adecuado, un paraboloide hiperbólico se puede representar mediante la ecuación

{displaystyle z={frac {y^{2}}{b^{2}}}-{frac {x^{2}}{a^{2}}}.}

En esta posición, el paraboloide hiperbólico se abre hacia abajo a lo largo del eje $x$ y hacia arriba a lo largo del $y$ -eje (es decir, la parábola en el plano $x = 0$ se abre hacia arriba y la parábola en el plano $y = 0$ abre hacia abajo).

Todo paraboloide (elíptico o hiperbólico) es una superficie de traslación, ya que puede ser generado por una parábola en movimiento dirigida por una segunda parábola.

Propiedades y aplicaciones

Paraboloide elíptica

(feminine)

Malla poligona de un paraboloide circular

Paraboloide circular

En un sistema de coordenadas cartesiano adecuado, un paraboloide elíptico tiene la ecuación

{displaystyle z={frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}.}

Si $a = b$ , un paraboloide elíptico es un paraboloide circular o paraboloide de revolución. Es una superficie de revolución que se obtiene al hacer girar una parábola alrededor de su eje.

Obviamente, un paraboloide circular contiene círculos. Esto también es cierto en el caso general (ver sección Circular).

Desde el punto de vista de la geometría proyectiva, un paraboloide elíptico es un elipsoide que es tangente al plano en el infinito.

Secciones de planificación

Las secciones planas de un paraboloide elíptico pueden ser:

a parabola, si el avión es paralelo al eje,
a puntoSi el avión es un avión tangente.
an elipse o vacíoDe lo contrario.

Reflector parabólico

Sobre el eje de un paraboloide circular, hay un punto llamado foco (o punto focal), tal que, si el paraboloide es un espejo, la luz (u otras ondas) desde un punto fuente en el foco se refleja en un haz paralelo, paralelo al eje del paraboloide. Esto también funciona al revés: un haz de luz paralelo al eje del paraboloide se concentra en el punto focal. Para ver una prueba, consulte Parábola § Prueba de la propiedad reflectante.

Por lo tanto, la forma de un paraboloide circular se usa ampliamente en astronomía para reflectores parabólicos y antenas parabólicas.

La superficie de un líquido en rotación también es un paraboloide circular. Esto se usa en telescopios de espejo líquido y en la fabricación de espejos de telescopio sólidos (ver horno giratorio).

Los rayos paralelos que entran en un espejo circular paraboloidal se reflejan en el punto focal, $F$ , o viceversa
reflector parabólico
Agua rotativa en un vaso

Paraboloide hiperbólico

Un paraboloide hiperbólico con líneas contenidas en él

Los snacks fritos de pringles están en forma de un paraboloide hiperbólico.

El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada: contiene dos familias de líneas oblicuas entre sí. Las rectas de cada familia son paralelas a un plano común, pero no entre sí. Por lo tanto, el paraboloide hiperbólico es un conoide.

Estas propiedades caracterizan a los paraboloides hiperbólicos y se utilizan en una de las definiciones más antiguas de paraboloides hiperbólicos: un paraboloide hiperbólico es una superficie que puede ser generada por una línea en movimiento que es paralela a un plano fijo y cruza dos sesgos fijos lineas.

Esta propiedad simplifica la fabricación de un paraboloide hiperbólico a partir de una variedad de materiales y para una variedad de propósitos, desde techos de concreto hasta bocadillos. En particular, los bocadillos fritos Pringles se asemejan a un paraboloide hiperbólico truncado.

Un paraboloide hiperbólico es una superficie de silla de montar, ya que su curvatura de Gauss es negativa en todos los puntos. Por tanto, aunque es una superficie reglada, no es urbanizable.

Desde el punto de vista de la geometría proyectiva, un paraboloide hiperbólico es un hiperboloide de una hoja que es tangente al plano en el infinito.

Un paraboloide hiperbólico de la ecuación ${displaystyle z=axy}$ o ${displaystyle z={tfrac {a}{2}}(x^{2}-y^{2})}$ (esto es lo mismo hasta una rotación de los ejes) se puede llamar a paraboloide hiperbólico rectangular, por analogía con hiperbolas rectangulares.

Secciones de planificación

Un paraboloide hiperbólico con hiperbolas y parabolas

Una sección plana de un paraboloide hiperbólico con ecuación

{displaystyle z={frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}}

puede ser

a línea, si el avión es paralelo al $z$ -eje, y tiene una ecuación de la forma ${displaystyle bxpm ay+b=0}$ ,
a parabola, si el avión es paralelo al $z$ -eje, y la sección no es una línea,
un par de líneas de intersecciónSi el avión es un avión tangente,
a hiperbolaDe lo contrario.

Modelo paraboloide hiperbólico STL

Ejemplos en arquitectura

Los tejados a dos aguas suelen ser paraboloides hiperbólicos, ya que se construyen fácilmente a partir de secciones rectas de material. Algunos ejemplos:

IIT Delhi - Dogra Hall Roof
Catedral de Santa María, Tokio, Japón (1964)
Catedral de Santa María de la Asunción, San Francisco, California, USA (1971)
Saddledome in Calgary, Alberta, Canada (1983)
L'Oceanogràfic en Valencia, España (2003)
Londres Velopark, Inglaterra (2011)
Waterworld Leisure & Activity Centre, Wrexham, Wales (1970)
Markham Moor Service Station roof, A1(southbound), Nottinghamshire, Inglaterra

Estación ferroviaria Warszawa Ochota, un ejemplo de estructura parabólica hiperbólica
Superficie que ilustra un paraboloide hiperbólico
Restaurante Los Manantiales, Xochimilco, México
Techos paraboloides hiperbólicos en L'Oceanogràfic, Valencia, España (tomada 2019)
Tejado de la estación de servicio Markham Moor, Nottinghamshire (2009 foto)

Cilindro entre lápices de paraboloides elípticos e hiperbólicos

paraboloide elíptico, cilindro parabólico, paraboloide hiperbólico

El lápiz de paraboloides elípticos

0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">z=x2+Sí.2b2,b■0,{displaystyle. b]0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264da638f825a83bdbce5a186a5633d86ef9cd74" style="vertical-align: -2.171ex; width:19.982ex; height:6.009ex;"/>

y el lápiz de paraboloides hiperbólicos

0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">z=x2− − Sí.2b2,b■0,{displaystyle z=x^{2}-{frac} {y^{2}{b^{2}}}}, b]0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f47a88fd8e2e9b0fa37b78a938fa204b2260a7f" style="vertical-align: -2.171ex; width:19.982ex; height:6.009ex;"/>

aproximarse a la misma superficie

{displaystyle z=x^{2}}

para ${displaystyle brightarrow infty }$ , que es Cilindro parabólico (ver imagen).

Curvatura

El paraboloide elíptico, parametrizado simplemente como

{displaystyle {vec {sigma }}(u,v)=left(u,v,{frac {u^{2}}{a^{2}}}+{frac {v^{2}}{b^{2}}}right)}

tiene curvatura gaussiana

{displaystyle K(u,v)={frac {4}{a^{2}b^{2}left(1+{frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{frac {4v^{2}}{b^{4}}}right)^{2}}}}

y curvatura media

{displaystyle H(u,v)={frac {a^{2}+b^{2}+{frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{sqrt {left(1+{frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{frac {4v^{2}}{b^{4}}}right)^{3}}}}}}

que son siempre positivos, tienen su máximo en el origen, se hacen más pequeños a medida que un punto de la superficie se aleja del origen y tienden asintóticamente a cero a medida que dicho punto se aleja infinitamente del origen.

El paraboloide hiperbólico, cuando se parametriza como

{displaystyle {vec {sigma }}(u,v)=left(u,v,{frac {u^{2}}{a^{2}}}-{frac {v^{2}}{b^{2}}}right)}

tiene curvatura gaussiana

{displaystyle K(u,v)={frac {-4}{a^{2}b^{2}left(1+{frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{frac {4v^{2}}{b^{4}}}right)^{2}}}}

y curvatura media

{displaystyle H(u,v)={frac {-a^{2}+b^{2}-{frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{sqrt {left(1+{frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{frac {4v^{2}}{b^{4}}}right)^{3}}}}}.}

Representación geométrica de la tabla de multiplicar

Si el paraboloide hiperbólico

{displaystyle z={frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}}

se gira un ángulo de $π / 4$ en $+ z$ dirección (según la regla de la mano derecha), el resultado es la superficie

{displaystyle z=left({frac {x^{2}+y^{2}}{2}}right)left({frac {1}{a^{2}}}-{frac {1}{b^{2}}}right)+xyleft({frac {1}{a^{2}}}+{frac {1}{b^{2}}}right)}

y si $a = b$ entonces esto se simplifica a

{displaystyle z={frac {2xy}{a^{2}}}}

Finalmente, dejando $a = \sqrt 2$ , vemos que el paraboloide hiperbólico

{displaystyle z={frac {x^{2}-y^{2}}{2}}.}

es congruente con la superficie

{displaystyle z=xy}

que se puede considerar como la representación geométrica (un nomógrafo tridimensional, por así decirlo) de una tabla de multiplicar.

Las dos funciones paraboloidales $ℝ 2 \to ℝ$

{displaystyle z_{1}(x,y)={frac {x^{2}-y^{2}}{2}}}

{displaystyle z_{2}(x,y)=xy}

son conjugados armónicos y juntos forman la función analítica

{displaystyle f(z)={frac {z^{2}}{2}}=f(x+yi)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)}

que es la continuación analítica de la función parabólica $ℝ \to ℝ$ $f (x) = x 2 / 2$ .

Dimensiones de un plato paraboloide

Las dimensiones de un plato paraboloide simétrico están relacionadas por la ecuación

{displaystyle 4FD=R^{2},}

donde $F$ es la distancia focal, $D$ es la profundidad del plato (medida a lo largo del eje de simetría desde el vértice hasta el plano del borde), y $R$ es el radio del borde. Todos deben estar en la misma unidad de longitud. Si se conocen dos de estas tres longitudes, esta ecuación se puede usar para calcular la tercera.

Se necesita un cálculo más complejo para encontrar el diámetro del plato medido a lo largo de su superficie. Esto a veces se denomina "diámetro lineal" y es igual al diámetro de una lámina plana y circular de material, generalmente metal, que tiene el tamaño adecuado para cortarse y doblarse para hacer el plato. Dos resultados intermedios son útiles en el cálculo: $P = 2 F$ (o el equivalente: $P = R 2 / 2 D$ ) y $Q = \sqrt P 2 + R 2$ , donde $F$ , $D$ y $R$ se definen como arriba. El diámetro del plato, medido a lo largo de la superficie, viene dado por

{displaystyle {frac {RQ}{P}}+Pln left({frac {R+Q}{P}}right),}

donde $ln x$ significa el logaritmo natural de $x$ , es decir, su logaritmo en base $e$ .

El volumen del plato, la cantidad de líquido que podría contener si el borde fuera horizontal y el vértice en la parte inferior (por ejemplo, la capacidad de un wok paraboloidal), viene dado por

{displaystyle {frac {pi }{2}}R^{2}D,}

donde los símbolos se definen como arriba. Esto se puede comparar con las fórmulas para los volúmenes de un cilindro ( $π R 2 D$ ), un hemisferio ( $2π / 3 R 2 D$ , donde $D = R$ ), y un cono ( $π / 3 R 2 D$ ). $π R 2$ es el área de apertura del plato, el área encerrada por el borde, que es proporcional a la cantidad de luz solar que un plato reflector puede interceptar. El área de superficie de un plato parabólico se puede encontrar usando la fórmula del área para una superficie de revolución que da

{displaystyle A={frac {pi Rleft({sqrt {(R^{2}+4D^{2})^{3}}}-R^{3}right)}{6D^{2}}}.}

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