Interferómetro Fabry-Pérot

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Dispositivo óptico con espejos paralelos

fringes de interferencia, mostrando una estructura fina, desde un etalón Fabry-Pérot. La fuente es una lámpara de deuterio refrigerada.

En óptica, un interferómetro Fabry-Pérot (FPI) o etalon es una cavidad óptica formada por dos superficies reflectantes paralelas (es decir: espejos delgados). Las ondas ópticas pueden pasar a través de la cavidad óptica solo cuando están en resonancia con ella. Lleva el nombre de Charles Fabry y Alfred Perot, quienes desarrollaron el instrumento en 1899. Etalon proviene del francés étalon, que significa "calibre de medición" o "estándar".

Los etalones se utilizan ampliamente en telecomunicaciones, láseres y espectroscopia para controlar y medir las longitudes de onda de la luz. Los avances recientes en la técnica de fabricación permiten la creación de interferómetros sintonizables Fabry-Pérot muy precisos. El dispositivo es técnicamente un interferómetro cuando la distancia entre las dos superficies (y con ella la longitud de resonancia) se puede cambiar, y un etalón cuando la distancia es fija (sin embargo, los dos términos a menudo se usan indistintamente).

Descripción básica

Interferómetro Fabry-Pérot, utilizando un par de planos ópticos parcialmente reflexivos y ligeramente mojados. El ángulo de cuña es altamente exagerado en esta ilustración; sólo una fracción de un grado es realmente necesario para evitar fringes fantasma. Las imágenes de baja fina versus alta fina corresponden a las reflectividades de espejo del 4% (bare glass) y el 95%.

El corazón del interferómetro Fabry-Pérot es un par de planos ópticos de vidrio parcialmente reflectante separados entre micrómetros y centímetros, con las superficies reflectantes una frente a la otra. (Alternativamente, un Fabry-Pérot etalon usa una sola placa con dos superficies reflectantes paralelas). Los planos en un interferómetro a menudo se hacen en forma de cuña para evitar que las superficies traseras produzcan franjas de interferencia; las superficies traseras a menudo también tienen un revestimiento antirreflectante.

En un sistema típico, la iluminación la proporciona una fuente difusa colocada en el plano focal de una lente colimadora. Una lente de enfoque después del par de planos produciría una imagen invertida de la fuente si los planos no estuvieran presentes; toda la luz emitida desde un punto de la fuente se enfoca en un solo punto en el plano de la imagen del sistema. En la ilustración adjunta, solo se traza un rayo emitido desde el punto A de la fuente. A medida que el rayo pasa a través de los pares planos, se refleja de forma múltiple para producir múltiples rayos transmitidos que son recogidos por la lente de enfoque y llevados al punto A&39; en la pantalla. El patrón de interferencia completo toma la apariencia de un conjunto de anillos concéntricos. La nitidez de los anillos depende de la reflectividad de los planos. Si la reflectividad es alta, lo que da como resultado un factor Q alto, la luz monocromática produce un conjunto de anillos estrechos y brillantes sobre un fondo oscuro. Se dice que un interferómetro de Fabry-Pérot con alto Q tiene una alta finura.

Aplicaciones

Un dispositivo comercial Fabry-Pérot

Telecomunicaciones

Las redes de telecomunicaciones que emplean multiplexación por división de longitud de onda tienen multiplexores de adición y caída con bancos de sílice fundida sintonizada en miniatura o etalones de diamante. Se trata de pequeños cubos iridiscentes de unos 2 mm de lado, montados en pequeños bastidores de alta precisión. Los materiales se eligen para mantener distancias estables de espejo a espejo y para mantener frecuencias estables incluso cuando la temperatura varía. Se prefiere el diamante porque tiene una mayor conducción de calor y todavía tiene un bajo coeficiente de expansión. En 2005, algunas empresas de equipos de telecomunicaciones comenzaron a utilizar estatones sólidos que son en sí mismos fibras ópticas. Esto elimina la mayoría de las dificultades de montaje, alineación y enfriamiento.

Instrumentos ópticos

Los filtros dicroicos se fabrican depositando una serie de capas etalónicas sobre una superficie óptica por deposición de vapor. Estos filtros ópticos suelen tener bandas reflectantes y de paso más exactas que los filtros absorbentes. Cuando están diseñados correctamente, funcionan más fríos que los filtros absorbentes porque reflejan longitudes de onda no deseadas en lugar de absorberlas. Los filtros dicroicos se utilizan ampliamente en equipos ópticos como fuentes de luz, cámaras, equipos astronómicos y sistemas láser.

Los medidores de onda ópticos y algunos analizadores de espectro óptico utilizan interferómetros Fabry-Pérot con diferentes rangos espectrales libres para determinar la longitud de onda de la luz con gran precisión.

Los resonadores láser a menudo se describen como resonadores Fabry-Pérot, aunque para muchos tipos de láser la reflectividad de un espejo es cercana al 100 %, lo que lo hace más similar a un interferómetro Gires-Tournois. Los láseres de diodo semiconductor a veces usan una verdadera geometría Fabry-Pérot, debido a la dificultad de recubrir las caras finales del chip. Los láseres de cascada cuántica a menudo emplean cavidades de Fabry-Pérot para sostener el láser sin necesidad de recubrimientos de facetas, debido a la alta ganancia de la región activa.

Los etalones suelen colocarse dentro del resonador láser cuando se construyen láseres monomodo. Sin un etalon, un láser generalmente producirá luz en un rango de longitud de onda correspondiente a varios modos de cavidad, que son similares a los modos Fabry-Pérot. La inserción de un etalon en la cavidad del láser, con delicadeza y rango espectral libre bien elegidos, puede suprimir todos los modos de la cavidad excepto uno, cambiando así la operación del láser de multimodo a monomodo.

Espectroscopía

Los etalones de Fabry-Pérot se pueden utilizar para prolongar la longitud de la interacción en la espectrometría de absorción láser, en particular, las técnicas de reducción de cavidades.

Se puede usar un etalon Fabry-Pérot para hacer un espectrómetro capaz de observar el efecto Zeeman, donde las líneas espectrales están demasiado juntas para distinguirlas con un espectrómetro normal.

Astronomía

En astronomía, se utiliza un etalón para seleccionar una única transición atómica para obtener imágenes. La más común es la línea H-alfa del sol. La línea Ca-K del sol también se refleja comúnmente usando etalones.

El sensor de metano para Marte (MSM) a bordo del Mangalyaan de la India es un ejemplo de un instrumento Fabry-Pérot. Fue el primer instrumento Fabry-Pérot en el espacio cuando se lanzó Mangalyaan. Como no distinguía la radiación absorbida por el metano de la radiación absorbida por el dióxido de carbono y otros gases, más tarde se le denominó mapeador de albedo.

En la detección de ondas gravitacionales, se utiliza una cavidad de Fabry-Pérot para almacenar fotones durante casi un milisegundo mientras rebotan entre los espejos. Esto aumenta el tiempo que una onda gravitacional puede interactuar con la luz, lo que resulta en una mejor sensibilidad a bajas frecuencias. Este principio es utilizado por detectores como LIGO y Virgo, que consisten en un interferómetro de Michelson con una cavidad de Fabry-Pérot con una longitud de varios kilómetros en ambos brazos. Las cavidades más pequeñas, generalmente llamadas limpiadores de modo, se utilizan para el filtrado espacial y la estabilización de frecuencia del láser principal.

Teoría

Pérdidas de resonador y luz desacoplada

La respuesta espectral de un resonador Fabry-Pérot se basa en la interferencia entre la luz que recibe y la luz que circula por el resonador. La interferencia constructiva ocurre si los dos haces están en fase, lo que lleva a un aumento resonante de la luz dentro del resonador. Si los dos haces están desfasados, solo una pequeña parte de la luz emitida se almacena dentro del resonador. La luz almacenada, transmitida y reflejada se modifica espectralmente en comparación con la luz incidente.

Suponga un resonador de dos espejos Fabry-Pérot de longitud geométrica $ell$ , de forma homogénea con un medio de índice refractivo $n$ . La luz se lanza en el resonador bajo incidencia normal. El tiempo de ida y vuelta ${displaystyle t_{rm {RT}}}$ de luz viajando en el resonador con velocidad ${displaystyle c=c_{0}/n}$ , donde $c_{0}$ es la velocidad de la luz en el vacío, y la gama espectral libre ${displaystyle Delta nu _{rm {FSR}}}$ son dados por

{displaystyle t_{rm {RT}}={frac {1}{Delta nu _{rm {FSR}}}}={frac {2ell }{c}}.}

El campo eléctrico y las reflectividades de intensidad $r_{i}$ y $R_{i}$ , respectivamente, en el espejo $i$ son

{displaystyle |r_{i}|^{2}=R_{i}.}

Si no hay otras pérdidas de resonador, la desintegración de la intensidad de la luz por viaje redondo es cuantificada por la constante de descomposición ${displaystyle 1/tau _{rm {out}},}$

{displaystyle R_{1}R_{2}=e^{-t_{rm {RT}}/tau _{rm {out}}},}

y el tiempo del foton-decay $tau_c$ del resonador es entonces dado por

{displaystyle {frac {1}{tau _{c}}}={frac {1}{tau _{rm {out}}}}={frac {-ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{rm {RT}}}}.}

Frecuencias de resonancia y formas de líneas espectrales

Con ${displaystyle phi (nu)}$ cuantificando el cambio de fase de paso único que muestra la luz al propagarse de un espejo a otro, el cambio de fase de ida y vuelta a la frecuencia $nu$ acumulaciones a

{displaystyle 2phi (nu)=2pi nu t_{rm {RT}}.}

Las resonancias ocurren en frecuencias en las que la luz exhibe interferencia constructiva después de un viaje redondo. Cada modo resonador con su índice de modo $q$ , donde $q$ es un entero en el intervalo ${displaystyle [-inftyinfty ]}$ , se asocia con una frecuencia de resonancia ${displaystyle nu _{q}}$ y número de onda ${displaystyle k_{q}}$ ,

{displaystyle nu _{q}=qDelta nu _{rm {FSR}}Rightarrow k_{q}={frac {2pi qDelta nu _{rm {FSR}}}{c}}.}

Dos modos con valores opuestos ${displaystyle pm q}$ y ${displaystyle pm k}$ de índice modal y número de onda, respectivamente, representando físicamente direcciones de propagación opuestas, ocurren al mismo valor absoluto ${displaystyle left|nu _{q}right|}$ de frecuencia.

El campo eléctrico decadente a frecuencia ${displaystyle nu _{q}}$ está representado por una oscilación armónica amortiguada con una amplitud inicial ${displaystyle E_{q,s}}$ y una constante de tiempo de decadencia ${displaystyle 2tau _{c}}$ . En notación de phasor, se puede expresar como

{displaystyle E_{q}(t)=E_{q,s}e^{i2pi nu _{q}t}e^{-{frac {t}{2tau _{c}}}}.}

La transformación de Fourier del campo eléctrico en el tiempo proporciona el campo eléctrico por unidad de intervalo de frecuencia,

{displaystyle {tilde {E}}_{q}(nu)=int _{-infty }^{+infty }E_{q}(t)e^{-i2pi nu t},dt=E_{q,s}{frac {1}{(2tau _{c})^{-1}+i2pi (nu -nu _{q})}}.}

Cada modo tiene una forma de línea espectral normalizada por unidad de intervalo de frecuencia dada por

{displaystyle {tilde {gamma }}_{q}(nu)={frac {1}{tau _{c}}}left|{frac {{tilde {E}}_{q}(nu)}{E_{q,s}}}right|^{2}={frac {1}{tau _{c}}}{frac {1}{(2tau _{c})^{-2}+4pi ^{2}(nu -nu _{q})^{2}}},}

cuya frecuencia integral es la unidad. Introduciendo el ancho completo a medio máximo (FWHM) ${displaystyle Delta nu _{c}}$ de la forma espectral Lorentziana, obtenemos

{displaystyle Delta nu _{c}={frac {1}{2pi tau _{c}}}Rightarrow {tilde {gamma }}_{q}(nu)={frac {1}{pi }}{frac {Delta nu _{c}/2}{(Delta nu _{c}/2)^{2}+(nu -nu _{q})^{2}}}={frac {2}{pi }}{frac {Delta nu _{c}}{(Delta nu _{c})^{2}+4(nu -nu _{q})^{2}}},}

expresado en términos de la mitad de ancho a medio máximo (HWHM) ${displaystyle Delta nu _{c}/2}$ o el ancho de línea FWHM ${displaystyle Delta nu _{c}}$ . Calibrado a una altura máxima de unidad, obtenemos las líneas Lorentzianas:

{displaystyle gamma _{q,L}(nu)={frac {pi }{2}}Delta nu _{c}{tilde {gamma }}_{q}(nu)={frac {(Delta nu _{c}/2)^{2}}{(Delta nu _{c}/2)^{2}+(nu -nu _{q})^{2}}}={frac {(Delta nu _{c})^{2}}{(Delta nu _{c})^{2}+4(nu -nu _{q})^{2}}}.}

Al repetir la transformación de Fourier anterior para todos los modos con índice de modo $q$ en el resonador, se obtiene el espectro de modo completo del resonador.

Desde el ancho de línea ${displaystyle Delta nu _{c}}$ y la libre gama espectral ${displaystyle Delta nu _{rm {FSR}}}$ son independientes de la frecuencia, mientras que en el espacio de longitud de onda el ancho de línea no se puede definir correctamente y el rango espectral libre depende de longitud de onda, y desde las frecuencias de resonancia ${displaystyle nu _{q}}$ escala proporcional a la frecuencia, la respuesta espectral de un resonador Fabry-Pérot se analiza naturalmente y se muestra en el espacio de frecuencia.

Distribución genérica de Airy: el factor de mejora de la resonancia interna

Campos eléctricos en un resonador Fabry-Pérot. Las reflectividades del espejo de campo eléctrico son

r_1

r_2

. Indicados son los campos eléctricos característicos producidos por un campo eléctrico

{displaystyle E_{rm {inc}}}

incidente en el espejo 1:

{displaystyle E_{rm {refl,1}}}

inicialmente reflejado en el espejo 1,

{displaystyle E_{rm {laun}}}

lanzado a través del espejo 1,

{displaystyle E_{rm {circ}}}

{displaystyle E_{text{b-circ}}}

circulando dentro del resonador en dirección de propagación hacia adelante y hacia atrás, respectivamente,

{displaystyle E_{rm {RT}}}

propagando dentro del resonador después de un viaje redondo,

{displaystyle E_{rm {trans}}}

transmitido a través del espejo 2,

{displaystyle E_{rm {back}}}

transmitido a través del espejo 1, y el campo total

{displaystyle E_{rm {refl}}}

propagando hacia atrás. La interferencia ocurre en los lados izquierdo y derecho del espejo 1 entre

{displaystyle E_{rm {refl,1}}}

{displaystyle E_{rm {back}}}

, resultando en

{displaystyle E_{rm {refl}}}

, y entre

{displaystyle E_{rm {laun}}}

{displaystyle E_{rm {RT}}}

, resultando en

{displaystyle E_{rm {circ}}}

, respectivamente.

La respuesta del resonador Fabry-Pérot a un campo eléctrico que incide sobre el espejo 1 se describe mediante varias distribuciones de Airy (llamadas así por el matemático y astrónomo George Biddell Airy) que cuantifican la intensidad de la luz en la dirección de propagación hacia adelante o hacia atrás en diferentes posiciones dentro o fuera del resonador con respecto a la intensidad de la luz emitida o incidente. La respuesta del resonador Fabry-Pérot se deriva más fácilmente mediante el uso del enfoque de campo circulante. Este enfoque supone un estado estacionario y relaciona los diversos campos eléctricos entre sí (consulte la figura "Campos eléctricos en un resonador Fabry-Pérot").

El campo ${displaystyle E_{rm {circ}}}$ puede estar relacionado con el campo ${displaystyle E_{rm {laun}}}$ que es lanzado al resonador por

{displaystyle E_{rm {circ}}=E_{rm {laun}}+E_{rm {RT}}=E_{rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-i2phi }E_{rm {circ}}Rightarrow {frac {E_{rm {circ}}}{E_{rm {laun}}}}={frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2phi }}}.}

La distribución genérica de Airy, que considera únicamente los procesos físicos exhibidos por la luz dentro del resonador, luego se deriva como la intensidad que circula en el resonador en relación con la intensidad emitida,

{displaystyle A_{rm {circ}}={frac {I_{rm {circ}}}{I_{rm {laun}}}}={frac {left|E_{rm {circ}}right|^{2}}{left|E_{rm {laun}}right|^{2}}}={frac {1}{left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2phi }right|^{2}}}={frac {1}{left({1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}}right)^{2}+4{sqrt {R_{1}R_{2}}}sin ^{2}(phi)}}.}

${displaystyle A_{rm {circ}}}$ representa la mejora de resonancia interna dependiente espectralmente que el resonador proporciona a la luz lanzada en ella (ver figura "Resonancia mejora en un resonador Fabry-Pérot"). En las frecuencias de resonancia ${displaystyle nu _{q}}$ , donde ${displaystyle sin(phi)}$ equivale a cero, el factor de mejora de la resonancia interna es

{displaystyle A_{rm {circ}}(nu _{q})={frac {1}{left(1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}right)^{2}}}.}

Otras distribuciones de Airy

Mejora de la resonancia en un resonador Fabry-Pérot. (top) Mejora de la resonancia interna dependiente espectralmente, igualando la distribución genérica de Airy

{displaystyle A_{text{circ}}}

. La luz lanzada en el resonador es resonantemente potenciada por este factor. Para la curva con

{displaystyle R_{1}=R_{2}=0.9}

, el valor máximo está en

{displaystyle A_{text{circ}}(nu _{q})=100}

, fuera de la escala del ordenado. (abajo) Mejora de la resonancia externa dependiente espectralmente, igualando la distribución Airy

{displaystyle A_{text{circ}}^{prime }}

. El incidente ligero sobre el resonador se ve resonantemente mejorado por este factor.

Una vez que se establece la mejora de la resonancia interna, la distribución genérica de Airy, todas las demás distribuciones de Airy se pueden deducir mediante simples factores de escala. Dado que la intensidad lanzada al resonador es igual a la fracción transmitida de la intensidad incidente en el espejo 1,

{displaystyle I_{text{laun}}=left(1-R_{1}right)I_{text{inc}},}

y las intensidades transmitidas a través del espejo 2, reflejadas en el espejo 2 y transmitidas a través del espejo 1 son las fracciones transmitida y reflejada/transmitida de la intensidad que circula dentro del resonador,

{displaystyle {begin{aligned}I_{text{trans}}&=left(1-R_{2}right)I_{text{circ}},\I_{text{b-circ}}&=R_{2}I_{text{circ}},\I_{text{back}}&=left(1-R_{1}right)I_{text{b-circ}},end{aligned}}}

respectivamente, las otras distribuciones Airy $A$ con respecto a la intensidad lanzada ${displaystyle I_{text{laun}}}$ y ${displaystyle A^{prime }}$ con respecto a la intensidad de los incidentes ${displaystyle I_{text{inc}}}$ son

{displaystyle {begin{aligned}A_{text{circ}}&={frac {1}{R_{2}}}A_{text{b-circ}}={frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{text{RT}}={frac {1}{1-R_{2}}}A_{text{trans}}={frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{text{back}}={frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{text{emit}},\A_{text{circ}}'&={frac {1}{R_{2}}}A_{text{b-circ}}'={frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{text{RT}}'={frac {1}{1-R_{2}}}A_{text{trans}}'={frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{text{back}}'={frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{text{emit}}',\A_{text{circ}}'&=left(1-R_{1}right)A_{text{circ}}.end{aligned}}}

El índice "emitir" denota distribuciones de Airy que consideran la suma de intensidades emitidas en ambos lados del resonador.

La intensidad retransmitida ${displaystyle I_{text{back}}}$ no se puede medir, porque también la luz reflejada inicialmente se añade a la señal de retropropagación. El caso mensurable de la intensidad resultante de la interferencia de los dos campos eléctricos atrasados provoca la distribución Airy

{displaystyle A_{text{refl}}^{prime }={frac {I_{text{refl}}}{I_{text{inc}}}}={frac {left|E_{text{refl}}right|^{2}}{left|E_{text{inc}}right|^{2}}}={frac {left({{sqrt {R_{1}}}-{sqrt {R_{2}}}}right)^{2}+4{sqrt {R_{1}R_{2}}}sin ^{2}(phi)}{left({1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}}right)^{2}+4{sqrt {R_{1}R_{2}}}sin ^{2}(phi)}}.}

Se puede demostrar fácilmente que en un resonador Fabry-Pérot, a pesar de que se produzcan interferencias constructivas y destructivas, la energía se conserva en todas las frecuencias:

{displaystyle A_{text{trans}}^{prime }+A_{text{refl}}^{prime }={frac {I_{text{trans}}+I_{text{refl}}}{I_{text{inc}}}}=1.}

El factor de mejora de la resonancia externa (consulte la figura "Mejora de la resonancia en un resonador Fabry–Pérot") es

{displaystyle A_{text{circ}}^{prime }={frac {I_{text{circ}}}{I_{text{inc}}}}=(1-R_{1})A_{text{circ}}={frac {1-R_{1}}{left({1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}}right)^{2}+4{sqrt {R_{1}R_{2}}}sin ^{2}(phi)}}.}

En las frecuencias de resonancia ${displaystyle nu _{q}}$ , donde ${displaystyle sin(phi)}$ equivale a cero, el factor de mejora de la resonancia externa es

{displaystyle A_{text{circ}}^{prime }(nu _{q})={frac {1-R_{1}}{left(1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}right)^{2}}}.}

Distribución aérea

{displaystyle A_{text{trans}}^{prime }}

(líneas sólidas), correspondiente a la luz transmitida a través de un resonador Fabry-Pérot, calculado para diferentes valores de las reflectividades

{displaystyle R_{1}=R_{2}}

, y comparación con una sola línea Lorentziana (líneas desgastadas) calculada para la misma

{displaystyle R_{1}=R_{2}}

. A medio máximo (línea negra), con la disminución de las reflectividades del ancho de línea FWHM

{displaystyle Delta nu _{text{Airy}}}

de la distribución Airy se amplía en comparación con el ancho de línea FWHM

{displaystyle Delta nu _{c}}

de su línea Lorentziana correspondiente:

{displaystyle R_{1}=R_{2}=0.9,0.6,0.32,0.172}

resultados en

{displaystyle Delta nu _{text{Airy}}/Delta nu _{c}=1.001,1.022,1.132,1.717}

, respectivamente.

Por lo general, la luz se transmite a través de un resonador Fabry-Pérot. Por lo tanto, una distribución de Airy aplicada a menudo es

{displaystyle A_{text{trans}}^{prime }={frac {I_{text{trans}}}{I_{text{inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})A_{text{circ}}={frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{left({1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}}right)^{2}+4{sqrt {R_{1}R_{2}}}sin ^{2}(phi)}}.}

Describe la fracción ${displaystyle I_{text{trans}}}$ de la intensidad ${displaystyle I_{text{inc}}}$ de un incidente de fuente de luz sobre el espejo 1 que se transmite a través del espejo 2 (véase la figura "Distribución área ${displaystyle A_{text{trans}}^{prime }}$ "). Su valor máximo en las frecuencias de resonancia ${displaystyle nu _{q}}$ es

{displaystyle A_{text{trans}}^{prime }(nu _{q})={frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{left({1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}}right)^{2}}}.}

Para ${displaystyle R_{1}=R_{2}}$ el valor máximo equivale a unidad; es decir, todo incidente de luz sobre el resonador es transmitido. En consecuencia, no se refleja ninguna luz, ${displaystyle A_{text{refl}}^{prime }=0}$ , como resultado de la interferencia destructiva entre los campos ${displaystyle E_{{text{refl}},1}}$ y ${displaystyle E_{text{back}}}$ .

${displaystyle A_{text{trans}}^{prime }}$ ha sido derivado en el enfoque de campo circulante considerando un cambio de fase adicional ${displaystyle e^{ipi /2}}$ durante cada transmisión a través de un espejo,

{displaystyle {begin{aligned}E_{text{circ}}=it_{1}E_{text{inc}}+r_{1}r_{2}e^{-i2phi }E_{text{circ}}&Rightarrow {frac {E_{text{circ}}}{E_{text{inc}}}}={frac {it_{1}}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2phi }}},\E_{text{trans}}=it_{2}E_{text{circ}}e^{-iphi }&Rightarrow {frac {E_{text{trans}}}{E_{text{inc}}}}={frac {-t_{1}t_{2}e^{-iphi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2phi }}},end{aligned}}}

resultando en

{displaystyle A_{text{trans}}^{prime }={frac {I_{text{trans}}}{I_{text{inc}}}}={frac {left|E_{text{trans}}right|^{2}}{left|E_{text{inc}}right|^{2}}}={frac {left|-t_{1}t_{2}e^{-iphi }right|^{2}}{left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2phi }right|^{2}}}={frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{left({1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}}right)^{2}+4{sqrt {R_{1}R_{2}}}sin ^{2}(phi)}}.}

Alternativamente, ${displaystyle A_{text{trans}}^{prime }}$ se puede obtener a través del enfoque de la ida y vuelta de la ida, rastreando el número infinito de viajes redondos que el campo eléctrico incidente ${displaystyle E_{text{inc}}}$ exposiciones después de entrar en el resonador y acumular el campo eléctrico ${displaystyle E_{text{trans}}}$ transmitido en todos los viajes redondos. El campo transmitido después de la primera propagación y los campos más pequeños y pequeños transmitidos después de cada propagación consecutiva a través del resonador son

{displaystyle {begin{aligned}E_{text{trans,1}}&=E_{text{inc}}it_{1}it_{2}e^{-iphi }=-E_{text{inc}}t_{1}t_{2}e^{-iphi },\E_{{text{trans}},m+1}&=E_{{text{trans}},m}r_{1}r_{2}e^{-i2phi },end{aligned}}}

respectivamente. explotando

{displaystyle sum _{m=0}^{infty }x^{m}={frac {1}{1-x}}Rightarrow E_{text{trans}}=sum _{m=1}^{infty }E_{{text{trans}},m}=E_{text{inc}}{frac {-t_{1}t_{2}e^{-iphi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2phi }}}}

resultados en el mismo ${displaystyle E_{text{trans}}/E_{text{inc}}}$ por lo tanto, la misma distribución Airy ${displaystyle A_{text{trans}}^{prime }}$ deriva. Sin embargo, este enfoque es físicamente engañoso, porque supone que la interferencia tiene lugar entre las vigas superpuestas después del espejo 2, fuera del resonador, en lugar de las vigas lanzadas y circulantes después del espejo 1, dentro del resonador. Como es la interferencia que modifica el contenido espectral, la distribución de intensidad espectral dentro del resonador sería la misma que la distribución de intensidad espectral del incidente, y ninguna mejora de resonancia ocurriría dentro del resonador.

Distribución aireada como suma de perfiles de modo

Físicamente, la distribución Airy es la suma de perfiles de modo de los modos de resonador longitudinal. Partiendo del campo eléctrico ${displaystyle E_{circ}}$ circulando dentro del resonador, se considera la decadencia exponencial en el tiempo de este campo a través de ambos espejos del resonador, Fourier lo transforma en espacio de frecuencia para obtener las formas de línea espectral normalizadas ${displaystyle {tilde {gamma }}_{q}(nu)}$ , lo divide por el tiempo de ida y vuelta ${displaystyle t_{rm {RT}}}$ para explicar cómo la intensidad total del campo eléctrico circulante se distribuye longitudinalmente en el resonador y se une por unidad de tiempo, dando lugar a los perfiles de modo emitido,

{displaystyle gamma _{q,{rm {emit}}}(nu)={frac {1}{t_{rm {RT}}}}{tilde {gamma }}_{q}(nu),}

y luego suma los perfiles de modo emitidos de todos los modos longitudinales

{displaystyle sum _{q=-infty }^{infty }gamma _{q,{rm {emit}}}(nu)={frac {1-R_{1}R_{2}}{left({1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}}right)^{2}+4{sqrt {R_{1}R_{2}}}sin ^{2}(phi)}}=A_{rm {emit}},}

por lo tanto igual a la distribución Airy ${displaystyle A_{rm {emit}}}$ .

Los mismos simples factores de escalado que proporcionan las relaciones entre las distribuciones individuales Airy también proporcionan las relaciones entre ${displaystyle gamma _{q,{rm {emit}}}(nu)}$ y los otros perfiles de modo:

{displaystyle gamma _{q,{rm {circ}}}={frac {1}{R_{2}}}gamma _{q,{text{b-circ}}}={frac {1}{R_{1}R_{2}}}gamma _{q,{rm {RT}}}={frac {1}{1-R_{2}}}gamma _{q,{rm {trans}}}={frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}gamma _{q,{rm {back}}}={frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}gamma _{q,{rm {emit}}},}

{displaystyle gamma _{q,{rm {circ}}}^{prime }={frac {1}{R_{2}}}gamma _{q,{text{b-circ}}}^{prime }={frac {1}{R_{1}R_{2}}}gamma _{q,{rm {RT}}}^{prime }={frac {1}{1-R_{2}}}gamma _{q,{rm {trans}}}^{prime }={frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}gamma _{q,{rm {back}}}^{prime }={frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}gamma _{q,{rm {emit}}}^{prime },}

{displaystyle gamma _{q,{rm {circ}}}^{prime }=(1-R_{1})gamma _{q,{rm {circ}}}.}

Caracterización del resonador Fabry-Pérot: finura y anchura de línea lorentziana

El criterio de Taylor de resolución espectral propone que se puedan resolver dos líneas espectrales si las líneas individuales se cruzan a media intensidad. Al lanzar luz en el resonador Fabry-Pérot, midiendo la distribución Airy, se puede derivar la pérdida total del resonador Fabry-Pérot a través de la recalculación del ancho de línea Lorentzian ${displaystyle Delta nu _{c}}$ , mostrado (línea azul) en relación con la gama espectral gratuita en la figura "Lorentzian linewidth y finese versus Airy linewidth y fineza de un resonador Fabry-Pérot".

Lorentzian linewidth and finesse versus Airy linewidth y finese de un resonador Fabry-Pérot. [Izquierda] Ancho de línea relativo Lorentziano

{displaystyle Delta nu _{c}/Delta nu _{rm {FSR}}}

(curva azul), relativa ancho de línea Airy

{displaystyle Delta nu _{rm {Airy}}/Delta nu _{rm {FSR}}}

(curva verde), y su aproximación (curva roja). Lorentzian Finese

{displaystyle {mathcal {F}}_{c}}

(curva azul), Airy finese

{displaystyle {mathcal {F}}_{rm {Airy}}}

(curva verde), y su aproximación (curva roja) como función de valor de reflectividad

{displaystyle R_{1}R_{2}}

. Las soluciones exactas del ancho de línea Airy y la finura (líneas verdes) se descomponen correctamente

{displaystyle Delta nu _{rm {Airy}}=Delta nu _{rm {FSR}}}

, equivalente a

{displaystyle {mathcal {F}}_{rm {Airy}}=1}

, mientras que sus aproximaciones (líneas rojas) incorrectamente no se descomponen. Insets: Region

<math alttext="{displaystyle R_{1}R_{2}R1R2.0.1{displaystyle R_{1}R_{2}<img alt="{displaystyle R_{1}R_{2}

El significado físico de la finura Lorentziana

{displaystyle {mathcal {F}}_{c}}

de un resonador Fabry-Pérot. Visualizado es la situación para

{displaystyle R_{1}=R_{2}approx 4.32%}

, en que

{displaystyle Delta nu _{c}=Delta nu _{rm {FSR}}}

{displaystyle {mathcal {F}}_{c}=1}

, es decir, dos líneas Lorentzianas adyacentes (líneas coloreadas, sólo 5 líneas se muestran para la claridad de cada frecuencia de resonancia,

{displaystyle nu _{q}}

) cruce a medio máximo (línea negra sólida) y el criterio de Taylor para resolver espectralmente dos picos en la distribución Airy resultante (línea púrpura sólida, la suma de 5 líneas que se ha normalizado a la intensidad máxima de sí misma) se alcanza.

Las líneas lorentzianas subyacentes se pueden resolver siempre que se obedezca el criterio de Taylor (consulte la figura "El significado físico de la delicadeza lorentziana"). En consecuencia, se puede definir la delicadeza lorentziana de un resonador Fabry-Pérot:

{displaystyle {mathcal {F}}_{c}={frac {Delta nu _{rm {FSR}}}{Delta nu _{c}}}={frac {2pi }{-ln(R_{1}R_{2})}}.}

Se muestra como la línea azul en la figura "El significado físico de la finura Lorentziana". La fina Lorentziana ${displaystyle {mathcal {F}}_{c}}$ tiene un significado físico fundamental: describe lo bien que las líneas Lorentzianas que subyacen a la distribución Airy pueden resolverse al medir la distribución Airy. En el punto donde

{displaystyle Delta nu _{c}=Delta nu _{rm {FSR}}Rightarrow R_{1}R_{2}=e^{-2pi }approx 0.001867,}

equivalente ${displaystyle {mathcal {F}}_{c}=1}$ , se alcanza el criterio de Taylor para la resolución espectral de una sola distribución Airy. Bajo este punto, $<math alttext="{displaystyle {mathcal {F}}_{c}Fc.1{displaystyle {mathcal {}_{c}traducido1}<img alt="{displaystyle {mathcal {F}}_{c}$ , dos líneas espectrales no pueden distinguirse. Para las reflectividades de espejo iguales, este punto ocurre cuando ${displaystyle R_{1}=R_{2}approx 4.32%}$ . Por lo tanto, el ancho de línea de las líneas Lorentzianas que subyacen a la distribución Airy de un resonador Fabry-Pérot puede resolverse midiendo la distribución Airy, por lo que sus pérdidas resonadoras pueden ser determinadas espectroscópicamente, hasta este punto.

Exploración del resonador Fabry-Pérot: finura y anchura de línea aireada

El significado físico de la finura Airy

{displaystyle {mathcal {F}}_{rm {Airy}}}

de un resonador Fabry-Pérot. Al escanear la longitud Fabry-Pérot (o el ángulo de la luz del incidente), las distribuciones Airy (líneas sólidas coloreadas) son creadas por señales en frecuencias individuales. El resultado experimental de la medición es la suma de las distribuciones individuales Airy (línea negra desgarrada). Si las señales ocurren en frecuencias

{displaystyle nu _{m}=nu _{q}+mDelta nu _{rm {Airy}}}

, donde

m

es un entero empezando en

q

, las distribuciones Airy en frecuencias adyacentes se separan entre sí por el ancho de línea

{displaystyle Delta nu _{rm {Airy}}}

, cumpliendo así el criterio de Taylor para la resolución espectroscópica de dos picos adyacentes. El número máximo de señales que pueden resolverse es

{displaystyle {mathcal {F}}_{rm {Airy}}}

. Desde este ejemplo específico las reflectividades

{displaystyle R_{1}=R_{2}=0.59928}

han sido elegidos tal

{displaystyle {mathcal {F}}_{rm {Airy}}=6}

es un entero, la señal para

{displaystyle m={mathcal {F}}_{rm {Airy}}}

a la frecuencia

{displaystyle nu _{q}+{mathcal {F}}_{rm {Airy}}Delta nu _{rm {Airy}}=nu _{q}+Delta nu _{rm {FSR}}}

coincide con la señal para

{displaystyle m=q}

{displaystyle nu _{q}}

. En este ejemplo, un máximo

{displaystyle {mathcal {F}}_{rm {Airy}}=6}

Los picos se pueden resolver al aplicar el criterio de Taylor.

Ejemplo de un resonador Fabry-Pérot con (top) reflectividad espejo dependiente de frecuencia y (abajo) los perfiles de modo distorsionado resultantes

{displaystyle gamma _{q,{rm {trans}}}^{prime }}

de los modos con índices

{displaystyle q=2000,2001,2002}

, la suma de 6 millones de perfiles de modo (puntos de horquilla, mostrados sólo para algunas frecuencias), y la distribución Airy

{displaystyle A_{rm {trans}}^{prime }}

. Las líneas dashed verticales denotan el máximo de la curva de reflectividad (negro) y las frecuencias de resonancia de los modos individuales (colorado).

Cuando el resonador Fabry-Pérot se utiliza como interferómetro de escaneo, es decir, a una longitud de resonador variable (o ángulo de incidencia), se puede distinguir espectroscópicamente líneas espectrales en diferentes frecuencias dentro de un rango espectral libre. Varias distribuciones Airy ${displaystyle A_{rm {trans}}^{prime }(nu)}$ , cada uno creado por una línea espectral individual, debe ser resuelto. Por lo tanto, la distribución Airy se convierte en la función fundamental subyacente y la medición ofrece una suma de distribuciones Airy. Los parámetros que cuantifican adecuadamente esta situación son el ancho de línea Airy ${displaystyle Delta nu _{rm {Airy}}}$ y la multa Airy ${displaystyle {mathcal {F}}_{rm {Airy}}}$ . El ancho de línea FWHM ${displaystyle Delta nu _{rm {Airy}}}$ de la distribución Airy ${displaystyle A_{rm {trans}}^{prime }(nu)}$ es

{displaystyle Delta nu _{rm {Airy}}=Delta nu _{rm {FSR}}{frac {2}{pi }}arcsin left({frac {1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}right).}

El ancho de línea Airy ${displaystyle Delta nu _{rm {Airy}}}$ se muestra como la curva verde en la figura "Lorentzian linewidth and finesse versus Airy linewidth y fineza de un resonador Fabry-Pérot".

El concepto de definir el ancho de línea de los picos Airy mientras FWHM se descompone en ${displaystyle Delta nu _{rm {Airy}}=Delta nu _{rm {FSR}}}$ (línea roja sólida en la figura "Distribución de la cara ${displaystyle A_{rm {trans}}^{prime }}$ "), porque en este punto el ancho de línea Airy salta instantáneamente a un valor infinito para ${displaystyle arcsin }$ función. Para valores de menor reflectividad ${displaystyle R_{1}R_{2}}$ , el ancho de línea FWHM de los picos Airy no está definido. El caso límite ocurre en

{displaystyle Delta nu _{rm {Airy}}=Delta nu _{rm {FSR}}Rightarrow {frac {1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}=1Rightarrow R_{1}R_{2}approx 0.02944.}

Para las mismas reflectividades espejo, este punto se alcanza cuando ${displaystyle R_{1}=R_{2}approx 17.2%}$ (línea roja sólida en la figura "Distribución de la cara ${displaystyle A_{rm {trans}}^{prime }}$ ").

La finura de la distribución Airy de un resonador Fabry-Pérot, que se muestra como la curva verde en la figura "Lorentzian linewidth y finese versus Airy linewidth y finura de un resonador Fabry-Pérot" en comparación directa con la finura de Lorentzian ${displaystyle {mathcal {F}}_{c}}$ , se define como

{displaystyle {mathcal {F}}_{rm {Airy}}={frac {Delta nu _{rm {FSR}}}{Delta nu _{rm {Airy}}}}={frac {pi }{2}}left[arcsin left({frac {1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}right)right]^{-1}.}

Al escanear la longitud del resonador Fabry-Pérot (o el ángulo de la luz del incidente), la finura Airy cuantifica el número máximo de distribuciones Airy creadas por la luz en frecuencias individuales ${displaystyle nu _{m}}$ dentro de la gama espectral gratuita del resonador Fabry-Pérot, cuyos picos adyacentes pueden ser distinguidos espectroscópicamente, es decir, no superponen en su FWHM (ver figura "El significado físico de la finura Airy"). Esta definición de la finura Airy es consistente con el criterio de Taylor de la resolución de un espectrómetro. Desde que el concepto del ancho de línea FWHM se descompone ${displaystyle Delta nu _{rm {Airy}}=Delta nu _{rm {FSR}}}$ , por consiguiente la finura Airy se define sólo hasta ${displaystyle {mathcal {F}}_{rm {Airy}}=1}$ , ver la figura "Lorentzian linewidth and finesse versus Airy linewidth y fineza de un resonador Fabry-Pérot".

A menudo la aproximación innecesaria ${displaystyle sin {(phi)}approx phi }$ se hace cuando se deriva ${displaystyle A_{rm {trans}}^{prime }}$ el ancho de línea Airy ${displaystyle Delta nu _{rm {Airy}}}$ . En contraste con la solución exacta anterior, conduce a

{displaystyle Delta nu _{rm {Airy}}approx Delta nu _{rm {FSR}}{frac {1}{pi }}{frac {1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}}{sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}Rightarrow {mathcal {F}}_{rm {Airy}}={frac {Delta nu _{rm {FSR}}}{Delta nu _{rm {Airy}}}}approx pi {frac {sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}{1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}}}.}

Esta aproximación del ancho de línea Airy, mostrada como la curva roja en la figura "Lorentzian linewidth and finesse versus Airy linewidth y fineza de un resonador Fabry-Pérot", se desvía de la curva correcta en las reflectividades bajas y incorrectamente no se descompone cuando $Delta nu _{rm {FSR}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Δ Δ .. AirSí.■Δ Δ .. FSR{displaystyle Delta nu _{rm {Airy}} título Delta nu _{rm {FSR}}Delta nu _{rm {FSR}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf61083cd38a7b5ea1c81e58ecab835e9ca4d57" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.131ex; height:2.843ex;"/>$ . Esta aproximación se utiliza entonces normalmente también para calcular la finura Airy.

Reflectancias del espejo dependientes de la frecuencia

El caso más general de un resonador Fabry-Pérot con reflectividades espejo dependientes de frecuencia se puede tratar con las mismas ecuaciones que anteriormente, excepto que el tiempo de desintegración fotones ${displaystyle tau _{c}(nu)}$ y ancho de línea ${displaystyle Delta nu _{c}(nu)}$ ahora se convierten en funciones locales de frecuencia. Mientras que el tiempo de decadencia de fotones sigue siendo una cantidad bien definida, el ancho de línea pierde su significado, porque se asemeja a un ancho de banda espectral, cuyo valor ahora cambia dentro de ese mismo ancho de banda. También en este caso cada distribución Airy es la suma de todos los perfiles de modo subyacentes que pueden ser fuertemente distorsionados. Un ejemplo de la distribución Airy ${displaystyle A_{rm {trans}}^{prime }}$ y algunos de los perfiles de modo subyacente ${displaystyle gamma _{q,{rm {trans}}}^{prime }(nu)}$ se da en la figura "Ejemplo de un resonador Fabry-Pérot con reflectividad espejo dependiente de frecuencia".

Resonador Fabry-Pérot con pérdidas ópticas intrínsecas

Las pérdidas de propagación intrínseca dentro del resonador pueden cuantificarse por un coeficiente de pérdida de intensidad ${displaystyle alpha _{rm {loss}}}$ por longitud unidad o, equivalentemente, por la pérdida intrínseca de ida y vuelta ${displaystyle L_{rm {RT}},}$ tales que

{displaystyle 1-L_{rm {RT}}=e^{-alpha _{rm {loss}}2ell }=e^{-t_{rm {RT}}/tau _{rm {loss}}}.}

La pérdida adicional acorta el tiempo foton-decay $tau_c$ del resonador:

{displaystyle {frac {1}{tau _{c}}}={frac {1}{tau _{rm {out}}}}+{frac {1}{tau _{rm {loss}}}}={frac {-ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{rm {RT}})]}}{t_{rm {RT}}}}={frac {-ln {[R_{1}R_{2}]}}{t_{rm {RT}}}}+calpha _{rm {loss}}.}

Donde $c$ es la velocidad de luz en la cavidad. El factor genérico de distribución del aire o mejora de la resonancia interna ${displaystyle A_{rm {circ}}}$ entonces se deriva como arriba incluyendo las pérdidas de propagación a través del coeficiente de amplitud-pérdida ${displaystyle alpha _{rm {loss}}/2}$ :

{displaystyle E_{rm {circ}}=E_{rm {laun}}+E_{rm {RT}}=E_{rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-(alpha _{rm {loss}}/2)2ell }e^{-i2phi }E_{rm {circ}}Rightarrow {frac {E_{rm {circ}}}{E_{rm {laun}}}}={frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-alpha _{rm {loss}}ell }e^{-i2phi }}}Rightarrow }

{displaystyle A_{rm {circ}}={frac {I_{rm {circ}}}{I_{rm {laun}}}}={frac {left|E_{rm {circ}}right|^{2}}{left|E_{rm {laun}}right|^{2}}}={frac {1}{left|1-r_{1}r_{2}e^{-alpha _{rm {loss}}ell }e^{-i2phi }right|^{2}}}={frac {1}{left({1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-alpha _{rm {loss}}ell }}right)^{2}+4{sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-alpha _{rm {loss}}ell }sin ^{2}(phi)}}.}

Las otras distribuciones de Airy se pueden derivar como se indicó anteriormente teniendo en cuenta además las pérdidas de propagación. En particular, la función de transferencia con pérdida se convierte en

{displaystyle A_{text{trans}}^{prime }={frac {I_{rm {trans}}}{I_{rm {inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-alpha _{rm {loss}}ell }A_{rm {circ}}={frac {(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-alpha _{rm {loss}}ell }}{left({1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-alpha _{rm {loss}}ell }}right)^{2}+4{sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-alpha _{rm {loss}}ell }sin ^{2}(phi)}}.}

Descripción del resonador Fabry-Pérot en el espacio de longitud de onda

Un etalón Fabry-Pérot. La luz entra en el etalón y sufre múltiples reflexiones internas.

La transmisión de un etalón como función de longitud de onda. Un etalón de alta altura (línea roja) muestra picos más agudos y minima de transmisión inferior que un etalón de baja altura (azul).

Finesse como función de la reflectividad. Los factores de finura muy altos requieren espejos altamente reflectantes.

Análisis transitorio de un silicio (n = 3.4) Etalón Fabry-Pérot a la incidencia normal. La animación superior es para el espesor del etalón elegido para dar la máxima transmisión mientras que la animación inferior es para el espesor elegido para dar la transmisión mínima.

Transiente de color falso para un alto índice de refracción, losa dieléctrica en el aire. El espesor/frecuencias han sido seleccionados de tal manera que la transmisión máxima de color rojo (top) y azul (bottom), mientras que el verde (medio) experimenta la transmisión mínima.

La función de transmisión variable de un etalón se debe a la interferencia entre los múltiples reflejos de la luz entre las dos superficies reflectantes. La interferencia constructiva ocurre si los haces transmitidos están en fase, y esto corresponde a un pico de alta transmisión del etalon. Si los haces transmitidos están desfasados, se produce una interferencia destructiva y esto corresponde a un mínimo de transmisión. Si los haces reflejados de forma múltiple están en fase o no, depende de la longitud de onda (λ) de la luz (en el vacío), el ángulo que la luz viaja a través del etalon (θ), el grosor del etalon (ℓ) y el índice de refracción del material entre las superficies reflectantes (n).

La diferencia de fase entre cada par transmitido sucesivo (es decir, T₂ y T₁ en el diagrama) viene dada por

{displaystyle delta =left({frac {2pi }{lambda }}right)2nell cos theta.}

Si ambas superficies tienen una reflectancia R, la función de transmitancia del etalón viene dada por

T_e = frac{(1 - R)^2}{1 - 2Rcosdelta + R^2} = frac{1}{1 + Fsin^2left(frac{delta}{2}right)},

dónde

{displaystyle F={frac {4R}{(1-R)^{2}}}}

es el coeficiente de delicadeza.

Transmisión máxima $T_e = 1$ ) ocurre cuando la diferencia de longitud de la trayectoria óptica ( $2 n l costheta$ ) entre cada haz transmitido es un número entero de la longitud de onda. En ausencia de absorción, la reflexión del etalón R_e es el complemento de la transmisión, tal que $T_e + R_e = 1$ . La reflectividad máxima es dada por

{displaystyle R_{max }=1-{frac {1}{1+F}}={frac {4R}{(1+R)^{2}}},}

y esto ocurre cuando la diferencia de longitud de la trayectoria es igual a la mitad de un múltiplo impar de la longitud de onda.

La separación de longitudes de onda entre picos de transmisión adyacentes se denomina rango espectral libre (FSR) del etalon, Δλ, y viene dada por:

{displaystyle Delta lambda ={frac {lambda _{0}^{2}}{2n_{mathrm {g} }ell cos theta +lambda _{0}}}approx {frac {lambda _{0}^{2}}{2n_{mathrm {g} }ell cos theta }},}

Donde λ₀ es la longitud central de onda del pico de transmisión más cercano y $n_{{mathrm {g}}}$ es el índice refractivo del grupo. El FSR está relacionado con el medio máximo ancho completo, δλ, de cualquier banda de transmisión por una cantidad conocida como el Finese:

{displaystyle {mathcal {F}}={frac {Delta lambda }{delta lambda }}={frac {pi }{2arcsin left({frac {1}{sqrt {F}}}right)}}.}

Esto suele aproximarse (para R > 0.5) por

{displaystyle {mathcal {F}}approx {frac {pi {sqrt {F}}}{2}}={frac {pi R^{frac {1}{2}}}{1-R}}.}

Si los dos espejos no son iguales, la delicadeza se vuelve

{displaystyle {mathcal {F}}approx {frac {pi left(R_{1}R_{2}right)^{frac {1}{4}}}{1-left(R_{1}R_{2}right)^{frac {1}{2}}}}.}

Etalons con mucha delicadeza muestran picos de transmisión más nítidos con coeficientes de transmisión mínimos más bajos. En el caso de incidencia oblicua, la finura dependerá del estado de polarización del haz, ya que el valor de R, dado por las ecuaciones de Fresnel, es generalmente diferente para las polarizaciones p y s.

Dos vigas se muestran en el diagrama a la derecha, uno de los cuales (T₀) se transmite a través del etalón, y el otro de los cuales (T₁) se refleja dos veces antes de ser transmitido. En cada reflexión, la amplitud se reduce por $sqrt{R}$ , mientras que en cada transmisión a través de una interfaz la amplitud se reduce por ${sqrt {T}}$ . Suponiendo que no haya absorción, la conservación de la energía requiere T+R1. En la derivación siguiente, n es el índice de refracción dentro del etalón, y n₀ es eso fuera del etalón. Se presume que n ■ n₀. La amplitud del incidente en el punto a se toma para ser uno, y los faasores se utilizan para representar la amplitud de la radiación. La amplitud transmitida en el punto b será entonces

{displaystyle t_{0}=T,e^{ikell /cos theta },}

Donde ${displaystyle k=2pi n/lambda }$ es el número de onda dentro del etalón, y λ es la longitud de onda de vacío. En el punto c la amplitud transmitida será

{displaystyle t'_{1}=TR,e^{3ikell /cos theta }.}

La amplitud total de ambas vigas será la suma de las amplitudes de las dos vigas medida a lo largo de una línea perpendicular a la dirección de la viga. La amplitud t₀ en el punto b se puede añadir t'₁ retraso en la fase por un monto $k_0 ell_0$ , donde ${displaystyle k_{0}=2pi n_{0}/lambda }$ es el número de onda fuera del etalón. Así

{displaystyle t_{1}=TR,e^{left(3ikell /cos theta right)-ik_{0}ell _{0}},}

donde ℓ₀ es

{displaystyle ell _{0}=2ell tan theta sin theta _{0}.}

La diferencia de fase entre los dos haces es

{displaystyle delta ={2kell over cos theta }-k_{0}ell _{0}.}

La relación entre θ y θ₀ viene dada por la ley de Snell:

{displaystyle nsin theta =n_{0}sin theta _{0},}

para que la diferencia de fase se pueda escribir como

{displaystyle delta =2kell ,cos theta.}

Dentro de un factor de fase multiplicativo constante, la amplitud del mésimo haz transmitido se puede escribir como

{displaystyle t_{m}=TR^{m}e^{imdelta }.}

La amplitud total transmitida es la suma de todos los haces individuales' amplitudes:

{displaystyle t=sum _{m=0}^{infty }t_{m}=Tsum _{m=0}^{infty }R^{m},e^{imdelta }.}

La serie es una serie geométrica, cuya suma puede expresarse analíticamente. La amplitud se puede reescribir como

{displaystyle t={frac {T}{1-Re^{idelta }}}.}

La intensidad del rayo será justo t veces su complejo conjugado. Dado que se supuso que el haz incidente tenía una intensidad de uno, esto también dará la función de transmisión:

{displaystyle T_{e}=tt^{*}={frac {T^{2}}{1+R^{2}-2Rcos delta }}.}

Para una cavidad asimétrica, es decir, con dos espejos diferentes, la forma general de la función de transmisión es

{displaystyle T_{e}={frac {T_{1}T_{2}}{1+R_{1}R_{2}-2{sqrt {R_{1}R_{2}}}cos delta }}.}

Un interferómetro Fabry-Pérot difiere de un Fabry-Pérot etalon en el hecho de que la distancia ℓ entre las placas se puede ajustar para cambiar las longitudes de onda en las que se producen los picos de transmisión en el interferómetro. Debido a la dependencia del ángulo de la transmisión, los picos también se pueden desplazar girando el etalón con respecto al haz.

Otra expresión para la función de transmisión ya se derivaba en la descripción en el espacio de frecuencia como la suma infinita de todos los perfiles de modo longitudinal. Definición $gamma = lnleft(frac{1}{R}right)$ la expresión anterior puede ser escrita como

{displaystyle T_{e}={frac {T^{2}}{1-R^{2}}}left({frac {sinh gamma }{cosh gamma -cos delta }}right).}

El segundo término es proporcional a una distribución lorentziana envuelta, por lo que la función de transmisión puede escribirse como una serie de funciones lorentzianas:

{displaystyle T_{e}={frac {2pi ,T^{2}}{1-R^{2}}},sum _{ell =-infty }^{infty }L(delta -2pi ell;gamma),}

dónde

{displaystyle L(x;gamma)={frac {gamma }{pi left(x^{2}+gamma ^{2}right)}}.}

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