Indeterminación cuántica

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La aparente falta de estado definido antes de la medición de sistemas cuánticos

indeterminación cuántica es la aparente incompletitud necesaria en la descripción de un sistema físico, que se ha convertido en una de las características de la descripción estándar de la física cuántica. Antes de la física cuántica, se pensaba que

un sistema físico tenía un estado determinante que determinaba singularmente todos los valores de sus propiedades mensurables, y
Por el contrario, los valores de sus propiedades mensurables determinan el estado.

La indeterminación cuántica se puede caracterizar cuantitativamente por una distribución de probabilidad en el conjunto de resultados de las mediciones de un observable. La distribución está determinada únicamente por el estado del sistema y, además, la mecánica cuántica proporciona una receta para calcular esta distribución de probabilidad.

La indeterminación en la medición no fue una innovación de la mecánica cuántica, ya que los experimentadores habían establecido desde el principio que los errores en la medición pueden conducir a resultados indeterminados. Hacia la segunda mitad del siglo XVIII, los errores de medición se entendían bien y se sabía que podían reducirse con mejores equipos o explicarse mediante modelos estadísticos de errores. Sin embargo, en la mecánica cuántica, la indeterminación es de una naturaleza mucho más fundamental y no tiene nada que ver con errores o perturbaciones.

Medición

Una descripción adecuada de la indeterminación cuántica requiere una teoría de la medición. Se han propuesto muchas teorías desde el comienzo de la mecánica cuántica y la medición cuántica sigue siendo un área de investigación activa tanto en física teórica como experimental. Posiblemente, el primer intento sistemático de una teoría matemática fue desarrollado por John von Neumann. Los tipos de medidas que investigó ahora se llaman medidas proyectivas. Esa teoría se basó a su vez en la teoría de las medidas con valor de proyección para operadores autoadjuntos que había sido desarrollada recientemente (por von Neumann e independientemente por Marshall Stone) y la formulación espacial de Hilbert de la mecánica cuántica (atribuida por von Neumann a Paul Dirac).).

En esta formulación, el estado de un sistema físico corresponde a un vector de longitud 1 en un espacio de Hilbert H sobre los números complejos. Un observable está representado por un operador autoadjunto (es decir, hermitiano) A en H. Si H es de dimensión finita, según el teorema espectral, A tiene una base ortonormal de vectores propios. Si el sistema está en el estado ψ, inmediatamente después de la medición, el sistema ocupará un estado que es un vector propio e de A y el valor observado λ será el valor propio correspondiente de la ecuación A e = λ e. Es inmediato de esto que la medición en general será no determinista. Además, la mecánica cuántica ofrece una receta para calcular una distribución de probabilidad Pr sobre los posibles resultados dado que el estado inicial del sistema es ψ. la probabilidad es

{displaystyle operatorname {Pr} (lambda)=langle operatorname {E} (lambda)psi mid psi rangle }

EλAλ

Ejemplo

esfera Bloch mostrando eigenvectores para matrices Pauli Spin. La esfera Bloch es una superficie bidimensional cuyos puntos corresponden al espacio estatal de una partícula 1/2. En el estado ↑ los valores de σ₁ son +1 mientras que los valores de σ₂ y σ₃ tomar los valores +1, −1 con probabilidad 1/2.

En este ejemplo, consideramos una sola partícula de 1/2 espín (como un electrón) en la que solo consideramos el grado de libertad del espín. El espacio de Hilbert correspondiente es el espacio de Hilbert complejo bidimensional C², con cada estado cuántico correspondiente a un vector unitario en C² (único hasta fase). En este caso, el espacio de estados se puede representar geométricamente como la superficie de una esfera, como se muestra en la figura de la derecha.

Las matrices de espín de Pauli

{displaystyle sigma _{1}={begin{pmatrix}0&1\1&0end{pmatrix}},quad sigma _{2}={begin{pmatrix}0&-i\i&0end{pmatrix}},quad sigma _{3}={begin{pmatrix}1&0\0&-1end{pmatrix}}}

Todas las matrices de Pauli tienen los valores propios +1, −1.

Para σ₁, estos eigenvalues corresponden a los eigenvectores ${displaystyle {frac {1}{sqrt {2}}}(1,1),{frac {1}{sqrt {2}}}(1,-1)}$
Para σ₃, corresponden a los eigenvectores ${displaystyle (1,0),(0,1)}$

Así en el estado

{displaystyle psi ={frac {1}{sqrt {2}}}(1,1),}

₁₃₁₃

Hay varias preguntas que se pueden hacer sobre la afirmación de indeterminación anterior.

¿Se puede interpretar la indeterminación aparente como de hecho determinista, pero dependiente de cantidades no modeladas en la teoría actual, que por lo tanto sería incompleta? Más precisamente, ¿hay variables ocultas que podría dar cuenta de la indeterminación estadística de una manera completamente clásica?
¿Se puede entender la indeterminación como una perturbación del sistema que se mide?

Von Neumann formuló la pregunta 1) y proporcionó un argumento de por qué la respuesta tenía que ser no, si uno aceptaba el formalismo que proponía. Sin embargo, según Bell, la prueba formal de von Neumann no justificaba su conclusión informal. Se ha establecido experimentalmente una respuesta negativa definitiva pero parcial a 1): debido a que se violan las desigualdades de Bell, ninguna de estas variables ocultas puede ser local (consulte Experimentos de prueba de Bell).

La respuesta a 2) depende de cómo se entienda la perturbación, particularmente porque la medición implica perturbación (sin embargo, tenga en cuenta que este es el efecto del observador, que es distinto del principio de incertidumbre). Aún así, en la interpretación más natural, la respuesta también es no. Para ver esto, considere dos secuencias de medidas: (A) que mide exclusivamente σ₁ y (B) que mide solo σ₃ de un sistema de espín en el estado ψ. Los resultados de la medición de (A) son todos +1, mientras que la distribución estadística de las mediciones (B) aún se divide entre +1, −1 con igual probabilidad.

Otros ejemplos de indeterminación

La indeterminación cuántica también se puede ilustrar en términos de una partícula con un momento definitivamente medido para el cual debe haber un límite fundamental a la precisión con la que se puede especificar su ubicación. Este principio de incertidumbre cuántica se puede expresar en términos de otras variables, por ejemplo, una partícula con una energía definida definidamente tiene un límite fundamental en cuanto a la precisión con la que se puede especificar cuánto tiempo tendrá esa energía. Las unidades involucradas en la incertidumbre cuántica están en el orden de la constante de Planck (definida como 6.62607015×10⁻³⁴ J⋅Hz⁻¹).

Indeterminación e incompletitud

La indeterminación cuántica es la afirmación de que el estado de un sistema no determina una colección única de valores para todas sus propiedades medibles. En efecto, según el teorema de Kochen-Specker, en el formalismo de la mecánica cuántica es imposible que, para un estado cuántico dado, cada una de estas propiedades medibles (observables) tenga un valor determinado (agudo). Los valores de un observable se obtendrán de forma no determinista de acuerdo con una distribución de probabilidad que está determinada únicamente por el estado del sistema. Tenga en cuenta que el estado se destruye con la medición, por lo que cuando nos referimos a una colección de valores, cada valor medido en esta colección debe obtenerse utilizando un estado recién preparado.

Esta indeterminación podría considerarse como una especie de incompletud esencial en nuestra descripción de un sistema físico. Tenga en cuenta, sin embargo, que la indeterminación como se indicó anteriormente solo se aplica a los valores de las mediciones, no al estado cuántico. Por ejemplo, en el ejemplo de espín 1/2 discutido anteriormente, el sistema se puede preparar en el estado ψ usando la medición de σ₁ como un filtro que retiene solo aquellas partículas tal que σ₁ produce +1. Por los (así llamados) postulados de von Neumann, inmediatamente después de la medición, el sistema seguramente se encuentra en el estado ψ.

Sin embargo, Einstein creía que el estado cuántico no puede ser una descripción completa de un sistema físico y, comúnmente se piensa, nunca llegó a un acuerdo con la mecánica cuántica. De hecho, Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen demostraron que si la mecánica cuántica es correcta, entonces la visión clásica de cómo funciona el mundo real (al menos después de la relatividad especial) ya no es sostenible. Esta vista incluía las siguientes dos ideas:

Una propiedad mensurable de un sistema físico cuyo valor se puede predecir con certeza es en realidad un elemento de la realidad (local) (esta era la terminología utilizada por EPR).
Los efectos de las acciones locales tienen una velocidad finita de propagación.

Este fracaso de la visión clásica fue una de las conclusiones del experimento mental EPR en el que dos observadores ubicados en lugares remotos, ahora comúnmente conocidos como Alice y Bob, realizan mediciones independientes del espín de un par de electrones, preparados en una fuente. en un estado especial llamado estado singlete de espín. Fue una conclusión de EPR, usando el aparato formal de la teoría cuántica, que una vez que Alice midió el espín en la dirección x, la medida de Bob en la dirección x fue determinado con certeza, mientras que inmediatamente antes de la medición de Alice, el resultado de Bob solo se determinó estadísticamente. De esto se deduce que el valor del espín en la dirección x no es un elemento de la realidad o que el efecto de la medición de Alice tiene una velocidad de propagación infinita.

Indeterminación para estados mixtos

Hemos descrito la indeterminación de un sistema cuántico que se encuentra en estado puro. Los estados mixtos son un tipo más general de estado obtenido por una mezcla estadística de estados puros. Para estados mixtos la "receta cuántica" para determinar la distribución de probabilidad de una medición se determina de la siguiente manera:

Sea A un observable de un sistema mecánico cuántico. A está dada por una densamente operador autoadjunto definido en H. La medida espectral de A es una medida con valor de proyección definida por la condición

{displaystyle operatorname {E} _{A}(U)=int _{U}lambda ,doperatorname {E} (lambda),}

para cada subconjunto de Borel U de R. Dado un estado mixto S, presentamos la distribución de A bajo S de la siguiente manera:

operatorname{D}_A(U) = operatorname{Tr}(operatorname{E}_A(U) S).

Esta es una medida de probabilidad definida en los subconjuntos de Borel de R que es la distribución de probabilidad obtenida al medir A en S.

Independencia lógica y aleatoriedad cuántica

La indeterminación cuántica a menudo se entiende como información (o falta de ella) cuya existencia inferimos, que ocurre en sistemas cuánticos individuales, antes de la medición. La aleatoriedad cuántica es la manifestación estadística de esa indeterminación, observable en los resultados de experimentos repetidos muchas veces. Sin embargo, la relación entre la indeterminación cuántica y la aleatoriedad es sutil y puede considerarse de manera diferente.

En la física clásica, los experimentos de azar, como el lanzamiento de monedas y dados, son deterministas, en el sentido de que el conocimiento perfecto de las condiciones iniciales haría que los resultados fueran perfectamente predecibles. La "aleatoriedad" se deriva de la ignorancia de la información física en el lanzamiento inicial. En contraste diametral, en el caso de la física cuántica, los teoremas de Kochen y Specker, las desigualdades de John Bell y la evidencia experimental de Alain Aspect, todos indican que la aleatoriedad cuántica no surge de tal información física.

En 2008, Tomasz Paterek et al. proporcionó una explicación en información matemática. Demostraron que la aleatoriedad cuántica es, exclusivamente, el resultado de experimentos de medición cuyas configuraciones de entrada introducen independencia lógica en los sistemas cuánticos.

La independencia lógica es un fenómeno bien conocido en la lógica matemática. Se refiere a la nula conectividad lógica que existe entre proposiciones matemáticas (en el mismo lenguaje) que ni se prueban ni se refutan entre sí.

En el trabajo de Paterek et al., los investigadores demuestran un vínculo que conecta la aleatoriedad cuántica y la independencia lógica en un sistema formal de proposiciones booleanas. En experimentos que miden la polarización de fotones, Paterek et al. demostrar estadísticas que correlacionan resultados predecibles con proposiciones matemáticas lógicamente dependientes y resultados aleatorios con proposiciones que son lógicamente independientes.

En 2020, Steve Faulkner informó sobre el trabajo de seguimiento de los hallazgos de Tomasz Paterek et al; mostrando lo que significa la independencia lógica en las proposiciones booleanas de Paterek, en el dominio de la Mecánica de Matrices propiamente dicha. Mostró cómo la indefinición de la indeterminación surge en operadores de densidad evolucionados que representan estados mixtos, donde los procesos de medición se encuentran con una 'historia perdida' irreversible; y entrada de ambigüedad.

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