Identidad de polarización

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Fórmula relativa a la norma y el producto interior en un espacio de producto interior

En álgebra lineal, una rama de las matemáticas, la identidad de polarización es cualquiera de una familia de fórmulas que expresan el producto interno de dos vectores en términos de la norma de un espacio vectorial normado. Si una norma surge de un producto interno, entonces la identidad de polarización puede usarse para expresar este producto interno completamente en términos de la norma. La identidad de polarización muestra que una norma puede surgir como máximo de un producto interno; sin embargo, existen normas que no surgen de ningún producto interno.

La norma asociada a cualquier espacio interior del producto satisface la ley paralelograma: ${displaystyle |x+y|^{2}+|x-y|^{2}=2|x|^{2}+2|y|^{2}.}$ De hecho, como observó John von Neumann, la ley paralelograma caracteriza las normas que surgen de los productos internos. Dado un espacio normal ${displaystyle (H,|cdot |)}$ , la ley para el paralelismo ${displaystyle |cdot |}$ si y sólo si existe un producto interior ${displaystyle langle cdotcdot rangle }$ on ${displaystyle H}$ tales que ${displaystyle |x|^{2}=langle x, xrangle }$ para todos ${displaystyle xin H,}$ en cuyo caso este producto interior está determinado únicamente por la norma a través de la identidad de polarización.

Identidades de polarización

Cualquier producto interno en un espacio vectorial induce una norma mediante la ecuación

{displaystyle |x|={sqrt {langle x,xrangle }}.}

{displaystyle |x+y|^{2}=|x|^{2}+|y|^{2}+2operatorname {Re} langle x,yrangle qquad {text{ for all vectors }}x,y.}

Solving for ${displaystyle operatorname {Re} langle x,yrangle }$ da la fórmula ${displaystyle operatorname {Re} langle x,yrangle ={frac {1}{2}}left(|x+y|^{2}-|x|^{2}-|y|^{2}right).}$ Si el producto interno es real entonces ${displaystyle operatorname {Re} langle x,yrangle =langle x,yrangle }$ y esta fórmula se convierte en una identidad de polarización para productos internos reales.

Espacios vectoriales reales

Si el espacio vectorial está sobre los números reales, entonces las identidades de polarización son:

{displaystyle {begin{alignedat}{4}langle x,yrangle &={frac {1}{4}}left(|x+y|^{2}-|x-y|^{2}right)\[3pt]&={frac {1}{2}}left(|x+y|^{2}-|x|^{2}-|y|^{2}right)\[3pt]&={frac {1}{2}}left(|x|^{2}+|y|^{2}-|x-y|^{2}right).\[3pt]end{alignedat}}}

Estas diversas formas son todas equivalentes según la ley del paralelogramo:

{displaystyle 2|x|^{2}+2|y|^{2}=|x+y|^{2}+|x-y|^{2}.}

Esto implica además que ${displaystyle L^{p}}$ la clase no es un espacio de Hilbert ${displaystyle pneq 2}$ , ya que la ley paralela no está satisfecha. Por el contrario, considere ${displaystyle x=1_{A}}$ y ${displaystyle y=1_{B}}$ para cualquier dos subconjuntos descomunales ${displaystyle A,B}$ de dominio general ${displaystyle Omega subset mathbb {R} ^{n}}$ y computar la medida de ambos conjuntos bajo ley paralela.

Espacios vectoriales complejos

Para los espacios vectoriales sobre los números complejos, las fórmulas anteriores no son bastante correctas porque no describen la parte imaginaria del producto interior (complejo). Sin embargo, una expresión análoga garantiza que se mantengan partes reales e imaginarias. La parte compleja del producto interior depende de si es antilinear en el primer o segundo argumento. La notación ${displaystyle langle x|yrangle}$ que se utiliza comúnmente en la física se supone que es antilineal en el primero argumentación ${displaystyle langle x,,yrangle}$ que se utiliza comúnmente en las matemáticas, se supone que es antilinear su segundo argumento. Están relacionados por la fórmula:

{displaystyle langle x,,yrangle =langle y,|,xrangle quad {text{ for all }}x,yin H.}

La parte real de cualquier producto interno (no importa qué argumento es antilinear y no importa si es real o complejo) es un mapa bilineal simétrico que para cualquier otro ${displaystyle x,yin H}$ es siempre igual a:

{displaystyle {begin{alignedat}{4}R(x,y):&=operatorname {Re} langle xmid yrangle =operatorname {Re} langle x,yrangle \&={frac {1}{4}}left(|x+y|^{2}-|x-y|^{2}right)\&={frac {1}{2}}left(|x+y|^{2}-|x|^{2}-|y|^{2}right)\[3pt]&={frac {1}{2}}left(|x|^{2}+|y|^{2}-|x-y|^{2}right).\[3pt]end{alignedat}}}

Siempre es un mapa simétrico, lo que significa que

{displaystyle R(x,y)=R(y,x)quad {text{ for all }}x,yin H,}

{displaystyle R(y,ix)=-R(x,iy)quad {text{ for all }}x,yin H.}

{displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy),}

{displaystyle i}

Prueba de propiedades ${displaystyle R}$
Vamos. ${displaystyle R(x,y):={frac {1}{4}}left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}right).}$ Entonces... ${displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}}$ implicación ${displaystyle R(x,y)={frac {1}{4}}left(left(2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}right)-\|x-y\|^{2}right)={frac {1}{2}}left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}right)}$ y ${displaystyle R(x,y)={frac {1}{4}}left(\|x+y\|^{2}-left(2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}-\|x+y\|^{2}right)right)={frac {1}{2}}left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}right).}$ Además, ${displaystyle 4R(x,y)=\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}=\|y+x\|^{2}-\|y-x\|^{2}=4R(y,x),}$ que demuestra que ${displaystyle R(x,y)=R(y,x).}$ Desde ${displaystyle 1=i(-i)}$ sigue que ${displaystyle y-ix=i(-iy-x)=-i(x+iy)}$ y ${displaystyle y+ix=i(-iy+x)=i(x-iy)}$ así ${displaystyle -4R(y,ix)=\|y-ix\|^{2}-\|y+ix\|^{2}=\|(-i)(x+iy)\|^{2}-\|i(x-iy)\|^{2}=\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}=4R(x,iy),}$ que demuestra que ${displaystyle R(y,ix)=-R(x,iy).}$ ${displaystyle blacksquare }$

Prueba de propiedades

{displaystyle R}

Vamos.

{displaystyle R(x,y):={frac {1}{4}}left(|x+y|^{2}-|x-y|^{2}right).}

Entonces...

{displaystyle 2|x|^{2}+2|y|^{2}=|x+y|^{2}+|x-y|^{2}}

implicación

{displaystyle R(x,y)={frac {1}{4}}left(left(2|x|^{2}+2|y|^{2}-|x-y|^{2}right)-|x-y|^{2}right)={frac {1}{2}}left(|x|^{2}+|y|^{2}-|x-y|^{2}right)}

{displaystyle R(x,y)={frac {1}{4}}left(|x+y|^{2}-left(2|x|^{2}+2|y|^{2}-|x+y|^{2}right)right)={frac {1}{2}}left(|x+y|^{2}-|x|^{2}-|y|^{2}right).}

Además,

{displaystyle 4R(x,y)=|x+y|^{2}-|x-y|^{2}=|y+x|^{2}-|y-x|^{2}=4R(y,x),}

que demuestra que

{displaystyle R(x,y)=R(y,x).}

Desde ${displaystyle 1=i(-i)}$ sigue que ${displaystyle y-ix=i(-iy-x)=-i(x+iy)}$ y ${displaystyle y+ix=i(-iy+x)=i(x-iy)}$ así

{displaystyle -4R(y,ix)=|y-ix|^{2}-|y+ix|^{2}=|(-i)(x+iy)|^{2}-|i(x-iy)|^{2}=|x+iy|^{2}-|x-iy|^{2}=4R(x,iy),}

que demuestra que

{displaystyle R(y,ix)=-R(x,iy).}

{displaystyle blacksquare }

A diferencia de su parte real, la parte imaginaria de un producto interno complejo depende de qué argumento es antilineal.

Antilineal en el primer argumento

Las identidades de polarización para el producto interior ${displaystyle langle x,|,yrangle}$ que es antilinear en primero argumentación, son

{displaystyle {begin{alignedat}{4}langle x,|,yrangle &={frac {1}{4}}left(|x+y|^{2}-|x-y|^{2}-i|x+iy|^{2}+i|x-iy|^{2}right)\&=R(x,y)-iR(x,iy)\&=R(x,y)+iR(ix,y)\end{alignedat}}}

Donde ${displaystyle x,yin H.}$ La segunda a la última igualdad es similar a la fórmula que expresa un funcional lineal ${displaystyle varphi }$ en términos de su parte real: ${displaystyle varphi (y)=operatorname {Re} varphi (y)-i(operatorname {Re} varphi)(iy).}$

Antilinear en segundo argumento

Las identidades de polarización para el producto interior ${displaystyle langle x, yrangle}$ que es antilinear en segundo argumentación, de la ${displaystyle langle x,|,yrangle }$ por la relación: ${displaystyle langle x, yrangle:=langle y,|,xrangle ={overline {langle x,|,yrangle }}quad {text{ for all }}x,yin H.}$ Así que para cualquier ${displaystyle x,yin H,}$

{displaystyle {begin{alignedat}{4}langle x,,yrangle &={frac {1}{4}}left(|x+y|^{2}-|x-y|^{2}+i|x+iy|^{2}-i|x-iy|^{2}right)\&=R(x,y)+iR(x,iy)\&=R(x,y)-iR(ix,y).\end{alignedat}}}

Esta expresión puede ser expresada simétricamente como:

{displaystyle langle x,yrangle ={frac {1}{4}}sum _{k=0}^{3}i^{k}left|x+i^{k}yright|^{2}.}

Resumen de ambos casos

Así si ${displaystyle R(x,y)+iI(x,y)}$ denota las partes reales e imaginarias del valor de algún producto interno en el punto ${displaystyle (x,y)in Htimes H}$ de su dominio, entonces su parte imaginaria será:

{displaystyle I(x,y)~=~{begin{cases}~R({color {red}i}x,y)&qquad {text{ if antilinear in the }}{color {red}1}{text{st argument}}\~R(x,{color {blue}i}y)&qquad {text{ if antilinear in the }}{color {blue}2}{text{nd argument}}\end{cases}}}

{displaystyle i}

Uso ${displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy),}$ la fórmula anterior para la parte imaginaria se convierte:

{displaystyle I(x,y)~=~{begin{cases}-R(x,{color {black}i}y)&qquad {text{ if antilinear in the }}{color {black}1}{text{st argument}}\-R({color {black}i}x,y)&qquad {text{ if antilinear in the }}{color {black}2}{text{nd argument}}\end{cases}}}

Reconstruyendo el producto interior

En un espacio normal ${displaystyle (H,|cdot |),}$ si la ley paralela

{displaystyle |x+y|^{2}~+~|x-y|^{2}~=~2|x|^{2}+2|y|^{2}}

{displaystyle langle cdot cdot rangle }

{displaystyle H}

{displaystyle |x|^{2}=langle x, xrangle }

{displaystyle xin H.}

Prueba

Sólo daremos el caso real aquí; la prueba de espacios vectoriales complejos es análoga.

Por las fórmulas anteriores, si la norma es descrita por un producto interno (como esperamos), entonces debe satisfacer

{displaystyle langle x, yrangle ={frac {1}{4}}left(|x+y|^{2}-|x-y|^{2}right)quad {text{ for all }}x,yin H,}

que puede servir como una definición del candidato único ${displaystyle langle cdotcdot rangle }$ para el papel de un producto interior adecuado. Así, la singularidad está garantizada.

Queda por demostrar que esta fórmula de hecho define un producto interior y que este producto interior induce la norma ${displaystyle |cdot |.}$ Explicitly, the following will be shown:

${displaystyle langle x,xrangle =|x|^{2},quad xin H}$
${displaystyle langle x,yrangle =langle y,xranglequad x,yin H}$
${displaystyle langle x+z,yrangle =langle x,yrangle +langle z,yrangle quad {text{ for all }}x,y,zin H,}$
${displaystyle langle alpha x,yrangle =alpha langle x,yrangle quad {text{ for all }}x,yin H{text{ and all }}alpha in mathbb {R} }$

(Esta axiomatización omite positividad, que está implícita por (1) y el hecho de que ${displaystyle |cdot |}$ es una norma.)

Para propiedades (1) y (2), sustituya: ${textstyle langle x,xrangle ={frac {1}{4}}left(|x+x|^{2}-|x-x|^{2}right)=|x|^{2},}$ y ${displaystyle |x-y|^{2}=|y-x|^{2}.}$

Para la propiedad (3), es conveniente trabajar al revés. Queda por demostrar que

{displaystyle |x+z+y|^{2}-|x+z-y|^{2}{overset {?}{=}}|x+y|^{2}-|x-y|^{2}+|z+y|^{2}-|z-y|^{2}}

o equivalentemente,

{displaystyle 2left(|x+z+y|^{2}+|x-y|^{2}right)-2left(|x+z-y|^{2}+|x+y|^{2}right){overset {?}{=}}2|z+y|^{2}-2|z-y|^{2}.}

Ahora aplicar la identidad paralelograma:

{displaystyle 2|x+z+y|^{2}+2|x-y|^{2}=|2x+z|^{2}+|2y+z|^{2}}

{displaystyle 2|x+z-y|^{2}+2|x+y|^{2}=|2x+z|^{2}+|z-2y|^{2}}

Así queda para verificar:

{displaystyle {cancel {|2x+z|^{2}}}+|2y+z|^{2}-({cancel {|2x+z|^{2}}}+|z-2y|^{2}){overset {?}{{}={}}}2|z+y|^{2}-2|z-y|^{2}}

{displaystyle |2y+z|^{2}-|z-2y|^{2}{overset {?}{=}}2|z+y|^{2}-2|z-y|^{2}}

Pero esta última reclamación puede verificarse restando las dos siguientes aplicaciones adicionales de la identidad paralelograma:

{displaystyle |2y+z|^{2}+|z|^{2}=2|z+y|^{2}+2|y|^{2}}

{displaystyle |z-2y|^{2}+|z|^{2}=2|z-y|^{2}+2|y|^{2}}

Así (3) sostiene.

Puede verificarse por inducción que (3) implica (4), siempre y cuando ${displaystyle alpha in mathbb {Z}.}$ Pero "(4) cuando ${displaystyle alpha in mathbb {Z} }$ " implica "(4) cuando ${displaystyle alpha in mathbb {Q} }$ ". Y cualquier dato positivo, valor real, ${displaystyle mathbb {Q} }$ - la forma bilineal satisface la desigualdad Cauchy-Schwarz, para que ${displaystyle langle cdotcdot rangle }$ es continuo. Así ${displaystyle langle cdotcdot rangle }$ Debe ser ${displaystyle mathbb {R} }$ - También lineal.

Otra condición necesaria y suficiente para que exista un producto interno que induzca una norma dada ${displaystyle |cdot |}$ es para la norma para satisfacer La desigualdad de Ptolomeo, que es:

{displaystyle |x-y|,|z|~+~|y-z|,|x|~geq ~|x-z|,|y|qquad {text{ for all vectors }}x,y,z.}

Aplicaciones y consecuencias

Si ${displaystyle H}$ es un espacio complejo Hilbert entonces ${displaystyle langle xmid yrangle }$ es real si y sólo si su parte imaginaria es ${displaystyle 0=R(x,iy)={frac {1}{4}}left(|x+iy|^{2}-|x-iy|^{2}right),}$ que sucede si ${displaystyle |x+iy|=|x-iy|.}$ Análogamente, ${displaystyle langle xmid yrangle }$ es (puramente) imaginario si ${displaystyle |x+y|=|x-y|.}$ Por ejemplo, de ${displaystyle |x+ix|=|1+i||x|={sqrt {2}}|x|=|1-i||x|=|x-ix|}$ se puede concluir que ${displaystyle langle x|xrangle }$ es real y eso ${displaystyle langle x|ixrangle }$ es puramente imaginario.

Isometrías

Si ${displaystyle A:Hto Z}$ es una isometría lineal entre dos espacios Hilbert (so ${displaystyle |Ah|=|h|}$ para todos ${displaystyle hin H}$ entonces

{displaystyle langle Ah,Akrangle _{Z}=langle h,krangle _{H}quad {text{ for all }}h,kin H;}

Si ${displaystyle A:Hto Z}$ es en lugar de una isometría antilinear entonces

{displaystyle langle Ah,Akrangle _{Z}={overline {langle h,krangle _{H}}}=langle k,hrangle _{H}quad {text{ for all }}h,kin H.}

Relación con la ley de los cosenos

La segunda forma de la identidad de polarización se puede escribir como

{displaystyle |{textbf {u}}-{textbf {v}}|^{2}=|{textbf {u}}|^{2}+|{textbf {v}}|^{2}-2({textbf {u}}cdot {textbf {v}}).}

Esto es esencialmente una forma vectorial de la ley de cosines para el triángulo formado por los vectores ${displaystyle {textbf {u}},{textbf {v}},}$ y ${displaystyle {textbf {u}}-{textbf {v}}.}$ En particular,

{displaystyle {textbf {u}}cdot {textbf {v}}=|{textbf {u}}|,|{textbf {v}}|cos theta}

{displaystyle theta }

{displaystyle {textbf {u}}}

{displaystyle {textbf {v}}.}

La ecuación es numéricamente inestable si u y v son similares debido a una cancelación catastrófica y debe evitarse para el cálculo numérico.

Derivación

La relación básica entre la norma y el producto escalar viene dada por la ecuación

{displaystyle |{textbf {v}}|^{2}={textbf {v}}cdot {textbf {v}}.}

Entonces

{displaystyle {begin{aligned}|{textbf {u}}+{textbf {v}}|^{2}&=({textbf {u}}+{textbf {v}})cdot ({textbf {u}}+{textbf {v}})\[3pt]&=({textbf {u}}cdot {textbf {u}})+({textbf {u}}cdot {textbf {v}})+({textbf {v}}cdot {textbf {u}})+({textbf {v}}cdot {textbf {v}})\[3pt]&=|{textbf {u}}|^{2}+|{textbf {v}}|^{2}+2({textbf {u}}cdot {textbf {v}}),end{aligned}}}

{displaystyle |{textbf {u}}-{textbf {v}}|^{2}=|{textbf {u}}|^{2}+|{textbf {v}}|^{2}-2({textbf {u}}cdot {textbf {v}}).}

Formas (1) y (2) de la identidad de polarización ahora siguen resolviendo estas ecuaciones para ${displaystyle {textbf {u}}cdot {textbf {v}},}$ mientras que la forma (3) se debe a la subcontratación de estas dos ecuaciones. (Añadiendo estas dos ecuaciones juntos da la ley paralelograma.)

Generalizaciones

Formas bilineales simétricas

Las identidades de polarización no se limitan a los productos internos. Si ${displaystyle B}$ es cualquier forma bilineal simétrica en un espacio vectorial, y ${displaystyle Q}$ es la forma cuadrática definida

{displaystyle Q(v)=B(v,v),}

{displaystyle {begin{aligned}2B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\2B(u,v)&=Q(u)+Q(v)-Q(u-v),\4B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u-v).end{aligned}}}

El llamado mapa de simetría generaliza la última fórmula, reemplazando ${displaystyle Q}$ por un polinomio homogéneo de grado ${displaystyle k}$ definidas por ${displaystyle Q(v)=B(v,ldotsv),}$ Donde ${displaystyle B}$ es un simétrico ${displaystyle k}$ - mapa lineal.

Las fórmulas anteriores incluso se aplican en el caso en que el campo de los escalares tiene dos características, aunque los lados izquierdos son cero en este caso. En consecuencia, en la característica dos no hay fórmula para una forma bilineal simétrica en términos de forma cuadrática, y de hecho son nociones distintas, un hecho que tiene importantes consecuencias en la teoría L; para la brevedad, en este contexto "formas bilineales simétricas" a menudo se denominan "formas simétricas".

Estas fórmulas también se aplican a formas bilineales en módulos sobre un anillo conmutativo, aunque de nuevo sólo se puede resolver para ${displaystyle B(u,v)}$ si 2 es invertible en el anillo, y de lo contrario estas son nociones distintas. Por ejemplo, sobre los enteros, se distinguen las formas cuadráticas integrales de los enteros simétrica formas, que son una noción más estrecha.

Más generalmente, en presencia de una involución del anillo o donde 2 no es invertible, se distingue ${displaystyle varepsilon }$ - Formas cuadradas y ${displaystyle varepsilon }$ - Formas simétricas; una forma simétrica define una forma cuadrática, y la identidad de polarización (sin un factor de 2) de una forma cuadrática a una forma simétrica se llama el " mapeo de simetrización", y no es en general un isomorfismo. Esto ha sido históricamente una distinción sutil: sobre los enteros no fue hasta la década de 1950 la relación entre "dos fuera" (integral quadratic y "dos en" (integral) simétrica forma) se entendía – ver la discusión en forma cuadrática integral; y en la algebraización de la teoría de la cirugía, Mishchenko originalmente utilizado simétrica L- grupos, en lugar de los correctos quadratic L-grupos (como en Wall y Ranicki) – ver la discusión en L-teoría.

Polinomios homogéneos de grado superior

Finalmente, en cualquiera de estos contextos estas identidades pueden extenderse a polinomios homogéneos (es decir, formas algebraicas) de grado arbitrario, donde se conoce como fórmula de polarización, y se revisa con mayor detalle en el artículo sobre la polarización. de forma algebraica.

Notas y referencias

^ a b Lax 2002, pág. 53. sfn error: no target: CITEREFLax2002 (help)
^ Philippe Blanchard, Erwin Brüning (2003). "Proposición 14.1.2 (Fréchet-von Neumann-Jordania)". Métodos matemáticos en física: distribuciones, operadores espaciales Hilbert y métodos de variación. Birkhäuser. p. 192. ISBN 0817642285.
^ Gerald Teschl (2009). "Teorema 0.19 (Jordan-von Neumann)". Métodos matemáticos en mecánica cuántica: con aplicaciones a operadores de Schrödinger. American Mathematical Society Bookstore. p. 19. ISBN 978-0-8218-4660-5.
^ a b c d Schechter 1996, págs. 601 a 603.
^ Butler, Jon (20 de junio de 2013). "norm - Derivación de las identidades de polarización?". Mathematics Stack Exchange. Archivado desde el original el 14 de octubre de 2020. Retrieved 2020-10-14. Vea la respuesta de Harald Hanche-Olson.
^ Apostol, Tom M. (1967). "Ptolemy's Inequality and the Chordal Metric". Revista Matemática. 40 (5): 233–235. doi:10.2307/2688275. JSTOR 2688275.
^ Butler 2013. Vea la respuesta de Keith Conrad (KCd).

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