Identidad Brahmagupta-Fibonacci

En álgebra, la identidad Brahmagupta-Fibonacci expresa el producto de dos sumas de dos cuadrados por una suma de dos cuadrados de dos maneras diferentes. Por lo tanto, el conjunto de todas las sumas de dos cuadrados se cierra con la multiplicación. Específicamente, la identidad dice

()a2+b2)()c2+d2)=()ac− − bd)2+()ad+bc)2()1)=()ac+bd)2+()ad− − bc)2.()2){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft ] {b}b}c}c}c}c}ccccccccccccccccccccccccccH0ccccccccccccccccccccccccccccccH0}ccH0ccH0ccH0ccccc

Por ejemplo,

()12+42)()22+72)=262+152=302+12.{displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}}

La identidad también se conoce como la identidad de Diofanto, ya que fue probada por primera vez por Diofanto de Alejandría. Es un caso especial de la identidad de cuatro cuadrados de Euler, y también de la identidad de Lagrange.

Brahmagupta probó y usó una identidad Brahmagupta más general, afirmando

()a2+nb2)()c2+nd2)=()ac− − nbd)2+n()ad+bc)2()3)=()ac+nbd)2+n()ad− − bc)2.()4){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {c}c}c}c}ccH0} {cH0}ccH0} {b}cH0}cccH0}cH0}cH0b}cH0cH0cH0cH0}ccH00ccccH0}cH00cH00}ccH00cccH0}ccH0}cH00cccccH00cccH00cH0}cccH00cH00cH00ccH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00cH00}c}ccH

Esto muestra que, para cualquier A fijo, el conjunto de todos los números de la forma x² + Ay² se cierra bajo la multiplicación.

Estas identidades son válidas para todos los números enteros, así como para todos los números racionales; de manera más general, son verdaderas en cualquier anillo conmutativo. Las cuatro formas de la identidad se pueden verificar expandiendo cada lado de la ecuación. Además, (2) se puede obtener de (1), o (1) de (2), cambiando b a −b, y lo mismo con (3) y (4).

Historia

La identidad apareció por primera vez en Diofanto' Arithmetica (III, 19), del siglo III d.C. Fue redescubierto por Brahmagupta (598–668), un matemático y astrónomo indio, quien lo generalizó a la identidad de Brahmagupta y lo usó en su estudio de lo que ahora se llama la ecuación de Pell. Su Brahmasphutasiddhanta fue traducido del sánscrito al árabe por Mohammad al-Fazari, y posteriormente fue traducido al latín en 1126. La identidad fue introducida en Europa occidental en 1225 por Fibonacci, en El libro de los cuadrados y, por lo tanto, a menudo se le ha atribuido la identidad.

Identidades relacionadas

Identidades análogas son el cuadrado de cuatro de Euler relacionado con los cuaterniones, y el cuadrado de ocho de Degen derivado de los octoniones que tiene conexiones con la periodicidad de Bott. También existe la identidad de dieciséis cuadrados de Pfister, aunque ya no es bilineal.

These identities are strongly related with Hurwitz 's classification of composition algebras.

Multiplicación de números complejos

Si a, b, c y d son números reales, la identidad de Brahmagupta-Fibonacci es equivalente a la propiedad de multiplicatividad para valores absolutos de números complejos:

Silencioa+biSilencio⋅ ⋅ Silencioc+diSilencio=Silencio()a+bi)()c+di)Silencio.{displaystyle tencióna+bi sometidacdot Silencioc+di tolera= soporte(a+bi)(c+di) permanente.}

Esto se puede ver de la siguiente manera: expandiendo el lado derecho y elevando al cuadrado ambos lados, la propiedad de la multiplicación es equivalente a

Silencioa+biSilencio2⋅ ⋅ Silencioc+diSilencio2=Silencio()ac− − bd)+i()ad+bc)Silencio2,{displaystyle Silencioa+bi sometida}cdot Silencioc+di soportar^{2}= sufrimiento(ac-bd)+i(ad+bc)

y por la definición de valor absoluto esto es a su vez equivalente a

()a2+b2)⋅ ⋅ ()c2+d2)=()ac− − bd)2+()ad+bc)2.{displaystyle (a^{2}+b^{2})cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)}}

Un cálculo equivalente en el caso de que las variables a, b, c y d sean racionales números muestra la identidad puede interpretarse como la afirmación de que la norma en el campo Q(i) es multiplicativa: la norma está dada por

N()a+bi)=a2+b2,{displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2}

y el cálculo de la multiplicatividad es el mismo que el anterior.

Application to Peel 's equation

En su contexto original, Brahmagupta aplicó su descubrimiento de esta identidad a la solución de la ecuación de Pell x² − Ay ² = 1. Usar la identidad en la forma más general

()x12− − ASí.12)()x22− − ASí.22)=()x1x2+ASí.1Sí.2)2− − A()x1Sí.2+x2Sí.1)2,{displaystyle (x_{1}{2}-Ay_{1}{2} (x_{2}{2}-Ay_{2})=(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}

pudo "componer" triples (x₁, y₁, k₁) y (x₂, y₂, k ₂) que eran soluciones de x² − Ay² = k, para generar el nuevo triple

()x1x2+ASí.1Sí.2,x1Sí.2+x2Sí.1,k1k2).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif},,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},,, k_{1}k_{2}}}}}}}

Esto no solo permitió generar infinitas soluciones para x² − Ay² = 1 comenzando con una solución, pero también, dividiendo tal composición por k₁k₂, entero o "casi entero" a menudo se podían obtener soluciones. El método general para resolver la ecuación de Pell dado por Bhaskara II en 1150, a saber, el método chakravala (cíclico), también se basó en esta identidad.

Escribir números enteros como suma de dos cuadrados

Cuando se usa junto con uno de los teoremas de Fermat, la identidad de Brahmagupta-Fibonacci demuestra que el producto de un cuadrado y cualquier número de primos de la forma 4n + 1 es un suma de dos cuadrados.