Hosoedro

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Poliedro esférico compuesto de lunes
Esta bola de playa sería un hosohedro con 6 caras de lune esféricas, si las 2 gorras blancas en los extremos fueron quitadas y el lunes extendido para encontrarse en los polos.

En geometría esférica, un hosoedro n-gonal es un mosaico de lunes sobre una superficie esférica, de modo que cada luna comparte los mismos dos vértices polares opuestos.

A regular n- Hosohedron tiene el símbolo Schläfli {2}n} con cada luno esférico que tiene ángulo interno 2π/nradiantes360/n grados).

Hosoedros como poliedros regulares

Para un poliedro regular cuyo símbolo de Schläfli es {m, n}, el número de caras poligonales es:

N2=4n2m+2n− − mn.{displaystyle N_{2}={frac {4n}{2m+2n-mn}.}

Los sólidos platónicos conocidos en la antigüedad son las únicas soluciones enteras para m ≥ 3 y n ≥ 3. La restricción m ≥ 3 impone que las caras poligonales deben tener al menos tres lados.

Al considerar los poliedros como mosaicos esféricos, esta restricción se puede relajar, ya que los digones (2 gónos) se pueden representar como lunes esféricos, con un área distinta de cero.

Permitir m = 2 hace

N2=4n2× × 2+2n− − 2n=n,{displaystyle N_{2}={frac {4n}{2times 2+2n-2n}=n,}

y admite una nueva clase infinita de poliedros regulares, que son los hosoedros. En una superficie esférica, el poliedro {2, n} se representa como n contiguo al lunes, con ángulos interiores de 2π /n. Todos estos lunes esféricos comparten dos vértices comunes.


Un hosohedro trigono regular, {2,3}, representado como una tessellación de 3 lunes esféricos en una esfera.

Un hosohedro tetragonal regular, {2,4}, representado como una tessellación de 4 lunes esféricos en una esfera.
Familia de hosohedra regular · *n22 mutaciones de simetría de los revestimientos hosohedral regulares: n
Espacio SphericalEuclidean
Tiling
Nombre
Henagonal hosohedron Digonal hosohedron Trigonal hosohedron Square hosohedron Pentagonal hosohedron ... Apeirogonal hosohedron
Tiling
imagen
...
Símbolo Schläfli {2,1}{2,2}{2,3}{2,4}{2,5}...- ¿Qué?
Coxeter diagrama ...
Caras y
bordes
12345...JUEGO
Vertices 22222...2
Config de Vertex. 22.2232425...2JUEGO

Simetría caleidoscópica

El 2n{displaystyle 2n} caras de luno esférico digonal de un 2n{displaystyle 2n}- Josohedron, {}2,2n}{displaystyle {2,2n}}, representan los dominios fundamentales de la simetría dihedral en tres dimensiones: la simetría cíclica Cnv{displaystyle C_{nv}, [n]{displaystyle [n]}, ()Alternativa Alternativa nn){displaystyle (*nn)}, orden 2n{displaystyle 2n}. Los dominios de reflexión pueden ser mostrados por lunes de colores alternativos como imágenes de espejo.

Bisecting each lune into two spherical triángulos creates an n{displaystyle n}- bipirámide gonal, que representa la simetría dihedral Dnh{displaystyle D_{nh}, orden 4n{displaystyle 4n}.

Diferentes representaciones de la simetría caleidoscópica de cierta pequeña hosohedra
Simetría (orden) 2n{displaystyle 2n}) Schönflies notation Cnv{displaystyle C_{nv}C1v{displaystyle C_{1v}C2v{displaystyle C_{2v}C3v{displaystyle C_{3v}C4v{displaystyle C_{4v}C5v{displaystyle C_{5v}C6v{displaystyle C_{6v}
Notación oral ()Alternativa Alternativa nn){displaystyle (*nn)}()Alternativa Alternativa 11){displaystyle (*11)()Alternativa Alternativa 22){displaystyle (*22)}()Alternativa Alternativa 33){displaystyle (*33)}()Alternativa Alternativa 44){displaystyle (*44)}()Alternativa Alternativa 55){displaystyle (*55)}()Alternativa Alternativa 66){displaystyle (*66)}
Coxeter diagrama
[n]{displaystyle [n]}[]{displaystyle [,,,]}[2]{displaystyle [2][3]{displaystyle [3][4]{displaystyle [4]}[5]{displaystyle [5][6]{displaystyle [6]
2n{displaystyle 2n}- Hosohedron Símbolo Schläfli {}2,2n}{displaystyle {2,2n}}{}2,2}{displaystyle {2,2}}{}2,4}{displaystyle {2,4}}{}2,6}{displaystyle {2,6}}{}2,8}{displaystyle{2,8}}{}2,10}{displaystyle{2,10}}{}2,12}{displaystyle {2,12}}
Dominios fundamentales de colores alternativos

Relación con el sólido Steinmetz

El hosoedro tetragonal es topológicamente equivalente al bicilindro sólido de Steinmetz, la intersección de dos cilindros en ángulo recto.

Poliedros derivados

El dual del hosoedro n-gonal {2, n} es el dipedro n-gonal, {n, 2}. El poliedro {2,2} es autodual y es a la vez un hosoedro y un dipedro.

Un hosoedro se puede modificar de la misma manera que los otros poliedros para producir una variación truncada. El hosoedro n-gonal truncado es el prisma n-gonal.

Hosoedro apeirogonal

En el límite, el hosoedro se convierte en un hosoedro apeirogonal como una teselación bidimensional:

Hosótopos

Los análogos multidimensionales en general se denominan hosótopos. Un hosótopo regular con símbolo de Schläfli {2,p,...,q} tiene dos vértices, cada uno con una figura de vértice {p, ...,q}.

El hosótopo bidimensional, {2}, es un digon.

Etimología

El término “hosoedro” parece derivar del griego ὅσος (hosos) “tantos”, siendo la idea que un hosoedro puede tener “tantas caras como deseado”. Fue introducido por Vito Caravelli en el siglo XVIII.

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