Homología (matemáticas)

En matemáticas, la homología es una forma general de asociar una secuencia de objetos algebraicos, como grupos o módulos abelianos, con otros objetos matemáticos, como espacios topológicos. Los grupos de homología se definieron originalmente en topología algebraica. Construcciones similares están disponibles en una amplia variedad de otros contextos, como álgebra abstracta, grupos, álgebras de Lie, teoría de Galois y geometría algebraica.

La motivación original para definir los grupos de homología fue la observación de que se pueden distinguir dos formas examinando sus agujeros. Por ejemplo, un círculo no es un disco porque el círculo tiene un agujero que lo atraviesa mientras que el disco es sólido, y la esfera ordinaria no es un círculo porque la esfera encierra un agujero bidimensional mientras que el círculo encierra un agujero unidimensional. Sin embargo, debido a que un agujero "no está ahí", no es inmediatamente obvio cómo definir un agujero o cómo distinguir diferentes tipos de agujeros. La homología fue originalmente un método matemático riguroso para definir y categorizar agujeros en una variedad. En términos generales, un ciclo es una subvariedad cerrada, un límite es un ciclo que también es el límite de una subvariedad y una clase de homología (que representa un agujero) es una clase de equivalencia de límites de módulo de ciclos. Una clase de homología está así representada por un ciclo que no es el límite de ninguna subvariedad: el ciclo representa un agujero, es decir, una variedad hipotética cuyo límite sería ese ciclo, pero que "no está allí".

Hay muchas teorías de homología diferentes. Un tipo particular de objeto matemático, como un espacio topológico o un grupo, puede tener una o más teorías de homología asociadas. Cuando el objeto subyacente tiene una interpretación geométrica como lo hacen los espacios topológicos, el grupo de homología nésimo representa el comportamiento en la dimensión n. La mayoría de los grupos o módulos de homología se pueden formular como funtores derivados en categorías abelianas apropiadas, midiendo la falla de un funtor para ser exacto. Desde esta perspectiva abstracta, los grupos de homología están determinados por objetos de una categoría derivada.

Antecedentes

Orígenes

Se puede decir que la teoría de la homología comienza con la fórmula del poliedro de Euler, o característica de Euler. Esto fue seguido por la definición de Riemann de género e invariantes numéricos de conectividad de n veces en 1857 y la prueba de Betti en 1871 de la independencia de los 'números de homología'. de la elección de la base.

La homología misma fue desarrollada como una manera de analizar y clasificar los múltiples de acuerdo a sus ciclos – bucles cerrados (o más generalmente submanifolds) que se pueden dibujar en un n Manifold dimensional pero no continuamente se deforman entre sí. Estos ciclos también se consideran a veces como cortes que pueden ser pegados de nuevo, o como cremalleras que pueden ser abrochados y desajustados. Los ciclos se clasifican por dimensión. Por ejemplo, una línea dibujada en una superficie representa un 1 ciclo, un bucle cerrado o S1{displaystyle S^{1} (1-manifold), mientras que una superficie cortada a través de un manifold tridimensional es un 2-ciclo.

Superficies

Ciclos en una esfera de 2 grados

Ciclos en un toro

Ciclos en una botella Klein

Ciclos en un plano proyector hemisférico

En la esfera ordinaria S2{displaystyle S^{2}, el ciclo b en el diagrama puede ser arrodillado al poste, e incluso el gran círculo ecuatorial a puede ser encogido de la misma manera. El teorema de curva de Jordania muestra que cualquier ciclo arbitrario, como c puede ser similarmente encogido a un punto. Por lo tanto, todos los ciclos en la esfera pueden transformarse continuamente en uno al otro y pertenecer a la misma clase de homología. Se dice que son homólogos a cero. Cortar un manifold a lo largo de un ciclo homologous a cero separa el manifold en dos o más componentes. Por ejemplo, cortando la esfera a produce dos hemisferios.

Esto no es generalmente cierto de ciclos en otras superficies. El toro T2{displaystyle T^{2} tiene ciclos que no pueden ser continuamente deformados entre sí, por ejemplo en el diagrama ninguno de los ciclos a, b o c se pueden deformar entre sí. En particular, ciclos a y b no puede ser arrugado a un punto, mientras que el ciclo c puede hacerlo homologoso a cero.

Si la superficie del toro se corta a lo largo de a y b, se puede abrir y aplanar en un rectángulo o, más convenientemente, en un cuadrado. Un par de lados opuestos representa el corte a lo largo de a, y el otro par opuesto representa el corte a lo largo de b.

Los bordes del cuadrado se pueden volver a pegar de diferentes maneras. El cuadrado se puede torcer para permitir que los bordes se unan en la dirección opuesta, como lo muestran las flechas en el diagrama. Hasta la simetría, hay cuatro formas distintas de pegar los lados, cada una creando una superficie diferente:

Las cuatro formas de pegar un cuadrado para hacer una superficie cerrada: pegar flechas individuales juntas y pegar flechas dobles juntas para que los puntales de flecha apuntan en la misma dirección.

K2{displaystyle K^{2} es la botella Klein, que es un torus con un giro en ella (El giro se puede ver en el diagrama cuadrado como la inversión de la flecha inferior). Es un teorema que la superficie re-encolada debe auto-intersectarse (cuando está inmersa en Euclidean 3-espacio). Como el toro, ciclos a y b no puede ser arrugado mientras c puede ser. Pero a diferencia del toro, siguiendo b hacia adelante derecha y vuelta revierte izquierda y derecha, porque b pasa a cruzar el giro dado a una unión. Si un equidistante se corta en un lado b se hace, vuelve en el otro lado y va alrededor de la superficie una segunda vez antes de regresar a su punto de partida, cortando una tira retorcida de Möbius. Debido a que la izquierda y la derecha locales pueden ser reordenadas arbitrariamente de esta manera, se dice que la superficie en su conjunto no es orientable.

El plano proyectivo P2{displaystyle P^{2} los dos se unen. La forma no cortada, generalmente representada como la superficie Boy, es visualmente compleja, por lo que una incrustación hemisférica se muestra en el diagrama, en el que el antipodal apunta alrededor del borde como A y A son identificados como el mismo punto. Otra vez, a y b son no rociables mientras c Lo es. Pero esta vez, ambos a y b a la izquierda y a la derecha.

Los ciclos se pueden unir o sumar, como a y b en el toroide cuando se abrió y aplanó. En el diagrama de la botella de Klein, a gira en una dirección y −a gira en la dirección opuesta. Si a se considera como un corte, entonces −a se puede considerar como una operación de encolado. Hacer un corte y volver a pegarlo no cambia la superficie, por lo que a + (−a) = 0.

Pero ahora considere dos ciclos a. Dado que la botella de Klein no es orientable, puede transportar uno de ellos alrededor de la botella (a lo largo del ciclo b), y regresará como −a. Esto se debe a que la botella de Klein está hecha de un cilindro, cuyos extremos del ciclo a están pegados con orientaciones opuestas. Por lo tanto 2a = a + a = a + (−a) = 0. Este fenómeno se llama torsión. De manera similar, en el plano proyectivo, dar dos vueltas al ciclo no encogible b crea notablemente un ciclo trivial que puede reducirse a un punto; es decir, b + b = 0. Debido a que b debe seguirse dos veces para lograr un ciclo cero, se dice que la superficie tiene un coeficiente de torsión de 2. Sin embargo, siguiendo un ciclo b alrededor de dos veces en la botella de Klein da simplemente b + b = 2b , ya que este ciclo vive en una clase de homología libre de torsión. Esto se corresponde con el hecho de que en el polígono fundamental de la botella de Klein, sólo un par de lados está pegado con torsión, mientras que en el plano proyectivo ambos lados están torcidos.

Un cuadrado es un espacio topológico contráctil, lo que implica que tiene una homología trivial. En consecuencia, los cortes adicionales lo desconectan. El cuadrado no es la única forma en el plano que se puede pegar en una superficie. Pegar lados opuestos de un octágono, por ejemplo, produce una superficie con dos agujeros. De hecho, todas las superficies cerradas se pueden producir pegando los lados de algún polígono y todos los polígonos de lados pares (2n-gons) se pueden pegar para hacer diferentes variedades. Por el contrario, una superficie cerrada con n clases distintas de cero se puede cortar en un 2n-gon. También son posibles variaciones, por ejemplo, también se puede pegar un hexágono para formar un toro.

La primera teoría reconocible de homología fue publicada por Henri Poincaré en su artículo seminal "Analysis situs", J. Ecole polytech. (2) 1. 1–121 (1895). El documento introdujo clases y relaciones de homología. Las posibles configuraciones de ciclos orientables se clasifican por los números de Betti de la variedad (los números de Betti son un refinamiento de la característica de Euler). La clasificación de los ciclos no orientables requiere información adicional sobre los coeficientes de torsión.

La clasificación completa de variedades de 1 y 2 se proporciona en la tabla.

Características topológicas de los dobles cerrados, sin límites 1 y 2

Manifold		Euler no, χ	Orientabilidad	Números de Betti			Coeficiente de torsión (1-dimensional)
Signatura	Nombre			b0	b1	b2
S1{displaystyle S^{1}	Círculo (1 doble)	0	Orientable	1	1	—	—
S2{displaystyle S^{2}	Sphere	2	Orientable	1	0	1	Ninguno
T2{displaystyle T^{2}	Torus	0	Orientable	1	2	1	Ninguno
P2{displaystyle P^{2}	Plano de proyecto	1	No conveniente	1	0	0	2
K2{displaystyle K^{2}	Klein bottle	0	No conveniente	1	1	0	2
	2 torus holed	−2	Orientable	1	4	1	Ninguno
	g- Toro coladog es el género)	2 - 2g	Orientable	1	2g	1	Ninguno
	Esfera con c cross-caps	2 - c	No conveniente	1	c − 1	0	2
	2-Manifold con gagujeros y ccross-capsc■0)	2−(22)g+c)	No conveniente	1	(22)g+c)−1	0	2

Notas

1. Para una superficie no orientable, un agujero equivale a dos travesías.
2. Cualquier doble es la suma conectada g tori y c aviones proyectivos. Para la esfera S2{displaystyle S^{2}, g = c = 0.

Generalización

Un manifold con borde o manifold abierto es topológicamente distinto de un manifold cerrado y se puede crear haciendo un corte en cualquier manifold cerrado adecuado. Por ejemplo el disco o 2-ball B2{displaystyle B^{2} está atado por un círculo S1{displaystyle S^{1}. Puede ser creado cortando un ciclo trivial en cualquier doble y manteniendo la pieza removida, perforando la esfera y estirando la punción ancha, o cortando el plano proyectivo. También se puede ver como llenando el círculo en el avión.

Cuando dos ciclos se pueden deformar continuamente entre sí, cortar a lo largo de uno produce la misma forma que cortar a lo largo del otro, con algunas flexiones y estiramientos. En este caso, se dice que los dos ciclos son homólogos o que pertenecen a la misma clase de homología. Además, si un ciclo se puede deformar continuamente en una combinación de otros ciclos, entonces cortar a lo largo del ciclo inicial es lo mismo que cortar a lo largo de la combinación de otros ciclos. Por ejemplo, cortar a lo largo de un 8 es equivalente a cortar a lo largo de sus dos lóbulos. En este caso, se dice que la figura 8 es homóloga a la suma de sus lóbulos.

Dos variedades abiertas con límites similares (salvo que se doblen y se estiren) se pueden unir para formar una nueva variedad que es su suma conectada.

Este análisis geométrico de variedades no es riguroso. En una búsqueda de mayor rigor, Poincaré desarrolló la homología simplicial de una variedad triangulada y creó lo que ahora se llama un complejo en cadena. Estos complejos de cadena (desde que se generalizaron mucho) forman la base de la mayoría de los tratamientos modernos de homología.

En tales tratamientos un ciclo no necesita ser continuo: un 0-ciclo es un conjunto de puntos, y el corte a lo largo de este ciclo corresponde a perforar el múltiple. Un ciclo de 1 corresponde a un conjunto de bucles cerrados (una imagen del doble de 1 S1{displaystyle S^{1}). Sobre una superficie, cortando a lo largo de un ciclo de rendimientos ya sea piezas desconectadas o una forma más simple. Un 2 ciclo corresponde a una colección de superficies incrustadas como una esfera o un torus, etc.

Emmy Noether e, independientemente, Leopold Vietoris y Walther Mayer desarrollaron aún más la teoría de los grupos de homología algebraica en el período 1925–28. La nueva topología combinatoria trató formalmente las clases topológicas como grupos abelianos. Los grupos de homología son grupos abelianos generados finitamente, y las clases de homología son elementos de estos grupos. Los números de Betti de la variedad son el rango de la parte libre del grupo de homología, y los ciclos no orientables son descritos por la parte de torsión.

La posterior difusión de los grupos de homología trajo un cambio de terminología y punto de vista desde la "topología combinatoria" a la "topología algebraica". La homología algebraica sigue siendo el método principal para clasificar variedades.

Ejemplos informales

La homología de un espacio topológico X es un conjunto de invariantes topológicos de X representados por sus grupos de homología

H0()X),H1()X),H2()X),...... {displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),ldots }

kth{displaystyle k^{rm {}}}

Hk()X){displaystyle H_{k}(X)}

H0()X){displaystyle H_{0}(X)}

El círculo o 1 esfera S1{displaystyle S^{1}

El 2-sphere S2{displaystyle S^{2} es la cáscara exterior, no el interior, de una bola

Una esfera unidimensional S1{displaystyle S^{1} es un círculo. Tiene un único componente conectado y un agujero unidimensional, pero no hay agujeros de mayor dimensión. Los grupos homólogos correspondientes se dan como

Hk()S1)={}Zk=0,1{}0}de otra manera{displaystyle H_{k}left(S^{1}right)={begin{cases}mathbb {Z}=0,1\\\\\\\fnMicrosoft Sans Serif}}}

Z{displaystyle mathbb {Z}

{}0}{displaystyle {0}}

H1()S1)=Z{displaystyle H_{1}left(S^{1}right)=mathbb {Z}

Una esfera bidimensional S2{displaystyle S^{2} tiene un único componente conectado, sin agujeros one-dimensional-boundary, un agujero bidimensional-boundary, y sin agujeros de mayor dimensión. Los grupos homólogos correspondientes

Hk()S2)={}Zk=0,2{}0}de otra manera{displaystyle H_{k}left(S^{2}right)={begin{cases}mathbb {Z} {Z}}end{cases}}

En general para un n- esfera dimensional Sn,{displaystyle S^{n}los grupos de homología

Hk()Sn)={}Zk=0,n{}0}de otra manera{displaystyle H_{k}left(S^{n}right)={begin{cases}mathbb {Z}fn\\\\\\fnMicrosoft Sans Serif}end{cases}}

El disco sólido o 2 bolas B2{displaystyle B^{2}

El toro T=S1× × S1{displaystyle T=S^{1}times S^{1}

Una bola bidimensional B2{displaystyle B^{2} es un disco sólido. Tiene un único componente conectado con el camino, pero en contraste con el círculo, no tiene agujeros de mayor dimensión. Los grupos de homología correspondientes son todos triviales excepto para H0()B2)=Z{displaystyle H_{0}left(B^{2}right)=mathbb {Z}. En general, para un n- bola dimensionada Bn,{displaystyle B^{n},}

Hk()Bn)={}Zk=0{}0}de otra manera{displaystyle H_{k}left(B^{n}right)={begin{cases}mathbb {Z}\\\\\\\\\fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicrosoft Sans Serif}

El toro se define como un producto de dos círculos T=S1× × S1{displaystyle T=S^{1}times S^{1}. El toro tiene un único componente conectado con el camino, dos agujeros independientes de una dimensión (indicados por círculos en rojo y azul) y un agujero bidimensional como el interior del toro. Los grupos homólogos correspondientes

Hk()T)={}Zk=0,2Z× × Zk=1{}0}de otra manera{displaystyle H_{k}(T)={begin{cases}mathbb {Z} &k=0,2\\\fnMithbb {Z} times mathbb {Z} &k=1\\\{0} {text{otherwise}end{cases}}}

Los dos agujeros independientes de 1 dimensión forman generadores independientes en un grupo abeliano de generación finita, expresado como grupo de productos Z× × Z.{displaystyle mathbb {Z} times mathbb {Z}

Para el plano proyectivo P, un simple cálculo muestra (donde Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2} es el grupo cíclico de orden 2):

Hk()P)={}Zk=0Z2k=1{}0}de otra manera{displaystyle H_{k}(P)={begin{cases}mathbb {Z} &k=0\\\\fnMithbb {Z} _{2} {0}\\\fnMicrosoft Sans Serif}end{cases}}

H0()P)=Z{displaystyle H_{0}(P)=mathbb {Z} corresponde, como en los ejemplos anteriores, al hecho de que hay un solo componente conectado. H1()P)=Z2{displaystyle H_{1}(P)=mathbb {Z} _{2} es un nuevo fenómeno: intuitivamente, se corresponde con el hecho de que hay un único "op" no contractual, pero si hacemos el bucle dos veces, se convierte en contractual a cero. Este fenómeno se llama torsión.

Construcción de grupos de homología

El siguiente texto describe un algoritmo general para construir los grupos de homología. Puede ser más fácil para el lector mirar primero algunos ejemplos simples: homología de grafos y homología simplicial.

La construcción general comienza con un objeto como un espacio topológico X, en que uno define primero a complejo de cadena C()X) información de codificación sobre X. Un complejo de cadena es una secuencia de grupos o módulos abelianos C0,C1,C2,...... {displaystyle C_{0},C_{1},C_{2},ldots }. conectado por homomorfismos ∂ ∂ n:Cn→ → Cn− − 1,{displaystyle partial _{n}:C_{n}to C_{n-1},} que se llaman operadores de fronteras. Eso es,

⋯ ⋯ restablecimiento restablecimiento ∂ ∂ n+1Cnrestablecimiento restablecimiento ∂ ∂ nCn− − 1restablecimiento restablecimiento ∂ ∂ n− − 1⋯ ⋯ restablecimiento restablecimiento ∂ ∂ 2C1restablecimiento restablecimiento ∂ ∂ 1C0restablecimiento restablecimiento ∂ ∂ 00{displaystyle dotsb {sigual {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMinMinMinMinMinMinMinMin\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {n+1}{longrightarrow {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn} {\fnfn}}} {\fn}}}}}}\\\\\\\n}n}n}n}\\n}\\\n}n}\nnn}n}n}n\\\n\\\\\n}n}n}n}n}n}n}n}\n}n}nn}n}n}n}n}n}nn}n}n}n}n}n}}n}n} {fn1} {fn1}{n-1}{n-1}{longrightarrow {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {2}{longrightarrow}}}C_{1}{overset {partial _{1}{longrightarrow {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué?

donde 0 denota el grupo trivial y Ci↑ ↑ 0{displaystyle C_{i}equiv 0} para i Se requiere también que la composición de los dos operadores de límites consecutivos sea trivial. Eso es, para todos n,

∂ ∂ n∘ ∘ ∂ ∂ n+1=0n+1,n− − 1,{displaystyle partial _{n}circ partial ¿Qué?

es decir, el mapa constante que envía cada elemento Cn+1{displaystyle C_{n+1} a la identidad del grupo en Cn− − 1.{displaystyle C_{n-1}.

La afirmación de que el límite de un límite es trivial equivale a la afirmación de que im()∂ ∂ n+1)⊆ ⊆ ker⁡ ⁡ ()∂ ∂ n){displaystyle mathrm {im} (partial _{n+1})subseteq ker(partial _{n})}, donde im()∂ ∂ n+1){displaystyle mathrm {im} (partial _{n+1})} denota la imagen del operador de límites y ker⁡ ⁡ ()∂ ∂ n){displaystyle ker(partial _{n})} su núcleo. Elementos de Bn()X)=im()∂ ∂ n+1){displaystyle B_{n}(X)=mathrm {im} (partial _{n+1})} se llaman límites y elementos de Zn()X)=ker⁡ ⁡ ()∂ ∂ n){displaystyle Z_{n}(X)=ker(partial _{n}} se llaman ciclos.

Desde cada grupo de cadena C_n es abeliano todos sus subgrupos son normales. Entonces porque ker⁡ ⁡ ()∂ ∂ n){displaystyle ker(partial _{n})} es un subgrupo C_n, ker⁡ ⁡ ()∂ ∂ n){displaystyle ker(partial _{n})} es abeliano, y desde im()∂ ∂ n+1)⊆ ⊆ ker⁡ ⁡ ()∂ ∂ n){displaystyle mathrm {im} (partial _{n+1})subseteq ker(partial _{n})} por lo tanto, im()∂ ∂ n+1){displaystyle mathrm {im} (partial _{n+1})} es un subgrupo normal de ker⁡ ⁡ ()∂ ∂ n){displaystyle ker(partial _{n})}. Entonces uno puede crear el grupo cociente

Hn()X):=ker⁡ ⁡ ()∂ ∂ n)/im()∂ ∂ n+1)=Zn()X)/Bn()X),{displaystyle H_{n}(X):=ker(partial _{n})/mathrm {im} (partial _{n+1})=Z_{n}(X)/B_{n}(X),}

llamado el nésimo grupo de homología de X. Los elementos de H_n(X) se denominan clases de homología. Cada clase de homología es una clase de equivalencia sobre ciclos y se dice que dos ciclos en la misma clase de homología son homólogos.

Se dice que una cadena compleja es exacta si la imagen del mapa (n+1) es siempre igual al núcleo del mapa n. Los grupos de homología de X por lo tanto miden "cuán lejos" el complejo de cadena asociado a X es de ser exacto.

Los grupos de homología reducida de un complejo de cadena C(X) se definen como homologías del complejo de cadena aumentado

⋯ ⋯ restablecimiento restablecimiento ∂ ∂ n+1Cnrestablecimiento restablecimiento ∂ ∂ nCn− − 1restablecimiento restablecimiento ∂ ∂ n− − 1⋯ ⋯ restablecimiento restablecimiento ∂ ∂ 2C1restablecimiento restablecimiento ∂ ∂ 1C0restablecimiento restablecimiento ε ε Zrestablecimiento restablecimiento 0{displaystyle dotsb {sigual {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMinMinMinMinMinMinMinMin\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {n+1}{longrightarrow {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn} {\fnfn}}} {\fn}}}}}}\\\\\\\n}n}n}n}\\n}\\\n}n}\nnn}n}n}n\\\n\\\\\n}n}n}n}n}n}n}n}\n}n}nn}n}n}n}n}n}nn}n}n}n}n}n}}n}n} {fn1} {fn1}{n-1}{n-1}{longrightarrow {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {}{2}{longrightarrow}}}C_{1}{overset {partial _{1}{longrightarrow {fnMicrosoft Sans Serif}mnMithbb {Z} {longrightarrow}0}

donde el operador de límites ε ε {displaystyle epsilon } es

ε ε ().. iniσ σ i)=.. ini{displaystyle epsilon left(sum) ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué?

para una combinación .. niσ σ i,{displaystyle sum n_{i}sigma _{i},} de puntos σ σ i,{displaystyle sigma _{i},} que son los generadores fijos de C₀. Los grupos reducidos de homología H~ ~ i()X){displaystyle {tilde {H}_{i}(X)} coincide con Hi()X){displaystyle H_{i}(X)} para iل ل 0.{displaystyle ineq 0} El extra Z{displaystyle mathbb {Z} en el complejo de cadena representa el mapa único [∅ ∅ ]restablecimiento restablecimiento X{displaystyle [emptyset]longrightarrow X} desde el simplex vacío X.

Computación del ciclo Zn()X){displaystyle Z_{n}(X)} y límites Bn()X){displaystyle B_{n}(X)} grupos suele ser bastante difícil ya que tienen un gran número de generadores. Por otro lado, hay herramientas que facilitan la tarea.

La homología simplicial agrupa H_n(X) de un complejo simplicial X se definen usando el complejo de cadena simplicial C(X), con C_n(X) el grupo abeliano libre generado por los n-simples de X. Ver homología simple para más detalles.

Los grupos de homología singular H_n(X) se definen para cualquier espacio topológico X , y está de acuerdo con los grupos de homología simplicial para un complejo simplicial.

Los grupos de cohomología son formalmente similares a los grupos de homología: uno comienza con un complejo de cocaína, que es el mismo que un complejo de cadena pero cuyas flechas, ahora denotadas dn,{displaystyle ♪♪ punto en la dirección del aumento n en lugar de disminuir n; luego los grupos ker⁡ ⁡ ()dn)=Zn()X){displaystyle ker left(d^{n}right)=Z^{n}(X)} de cociclos y im()dn− − 1)=Bn()X){displaystyle mathrm {im} left(d^{n-1}right)=B^{n}(X)} de cobotarios seguir de la misma descripción. El ngrupo de cohomología X es entonces el grupo cociente

Hn()X)=Zn()X)/Bn()X),{displaystyle H^{n}(X)=Z^{n}(X)/B^{n}(X),}

en analogía con el grupo de homología n.

Homología frente a homotopía

Los grupos de homoterapia son similares a los grupos de homología, ya que pueden representar "agujeros" en un espacio topológico. Hay una estrecha conexión entre el primer grupo de homotopy π π 1()X){displaystyle pi _{1}(X)} y el primer grupo de homología H1()X){displaystyle H_{1}(X)}: este último es la abelianización del primero. Por lo tanto, se dice que la "homología es una alternativa comunicativa al homotopy". Los grupos de homotopy más altos son abelios y están relacionados con grupos de homología por el teorema Hurewicz, pero puede ser mucho más complicado. Por ejemplo, los grupos homotopy de esferas son mal entendidos y no se conocen en general, a diferencia de la descripción directa dada anteriormente para los grupos de homología.

Como ejemplo, dejemos X sea la figura ocho. Su primer grupo de homotopy π π 1()X){displaystyle pi _{1}(X)} es el grupo de lazos dirigidos que comienzan y terminan en un punto predeterminado (por ejemplo, su centro). Es equivalente al grupo libre de rango 2, que no es conmutativo: bucle alrededor del ciclo más izquierdo y luego alrededor del ciclo más derecho es diferente que bucle alrededor del ciclo más derecho y luego bucle alrededor del ciclo más izquierdo. En contraste, su primer grupo de homología H1()X){displaystyle H_{1}(X)} es el grupo de cortes hechos en una superficie. Este grupo es comutativo, ya que (informalmente) cortar el ciclo más izquierdo y luego el ciclo más derecho conduce al mismo resultado que cortar el ciclo más derecho y luego el ciclo más izquierdo.

Tipos de homología

Los diferentes tipos de teoría de la homología surgen del mapeo de funtores de varias categorías de objetos matemáticos a la categoría de cadenas complejas. En cada caso, la composición del funtor de objetos a cadenas complejas y el funtor de cadenas complejas a grupos de homología define el funtor de homología general para la teoría.

Homología simplificada

El ejemplo motivador viene de la topología algebraica: la simplicial homology de un complejo simplicial X. Aquí el grupo de cadena C_n es el grupo o módulo libre abeliano cuyos generadores son los n- simplexes dimensionales orientados X. La orientación es capturada ordenando los vértices del complejo y expresando un simplex orientado σ σ {displaystyle sigma } como n-tuple ()σ σ [0],σ σ [1],...... ,σ σ [n]){displaystyle (sigma [0],sigma [1],dotssigma [n]} de sus vértices enumerados en orden creciente (es decir, <math alttext="{displaystyle sigma [0]<sigma [1]<cdots σ σ [0].σ σ [1].⋯ ⋯ .σ σ [n]{displaystyle sigma [0] [1]<img alt="{displaystyle sigma [0]<sigma [1]<cdots en la orden de vértice del complejo, donde σ σ [i]{displaystyle sigma [i]} es i{displaystyle i}v vértice apareciendo en el tuple). La asignación ∂ ∂ n{displaystyle partial _{n} desde C_n a C_n-1 se llama delimitación y envía el sencillo

σ σ =()σ σ [0],σ σ [1],...... ,σ σ [n]){displaystyle sigma =(sigma [0],sigma [1],dotssigma [n])}

a la suma formal

∂ ∂ n()σ σ )=.. i=0n()− − 1)i()σ σ [0],...... ,σ σ [i− − 1],σ σ [i+1],...... ,σ σ [n]),{displaystyle partial _{n}(sigma)=sum _{i=0}{n}(-1)^{i}left(sigma [0],dotssigma [i-1],sigma [i+1],dotssigma [n]right),}

que se considera 0 si n=0.{displaystyle n=0.} Este comportamiento en los generadores induce un homomorfismo en todo C_n como sigue. Dado un elemento c▪ ▪ Cn{displaystyle cin C_{n}, escríbalo como la suma de generadores c=.. σ σ i▪ ▪ Xnmiσ σ i,{textstyle c=sum _{sigma _{i}in X_{n}m_{i}sigma _{i},} Donde Xn{displaystyle X_{n} es el conjunto de n-simplexes en X y el m_i son coeficientes del anillo C_n se define sobre (generalmente enteros, a menos que se especifique lo contrario). Entonces defina

∂ ∂ n()c)=.. σ σ i▪ ▪ Xnmi∂ ∂ n()σ σ i).{displaystyle partial _{n}(c)=sum _{sigma _{i}in X_{n}m_{i}partial _{n}(sigma _{i}).

La dimensión de la n-ésima homología de X resulta ser el número de "agujeros" en X en la dimensión n. Puede calcularse poniendo las representaciones matriciales de estas asignaciones de límites en la forma normal de Smith.

Homología singular

Usando el ejemplo de homología simplicial como modelo, se puede definir una homología singular para cualquier espacio topológico X. Un complejo de cadena para X se define tomando C_n como el grupo abeliano libre (o módulo libre) cuyos generadores son mapas continuos de Simples n-dimensionales en X. Los homomorfismos ∂_n surgen de los mapas de frontera de simplexes.

Homología de grupo

En álgebra abstracta, se utiliza la homología para definir los functores derivados, por ejemplo los functores Tor. Aquí uno comienza con un divertidor aditivo covariante F y algún módulo X. El complejo de cadena para X se define como sigue: primero encontrar un módulo gratuito F1{displaystyle F_{1} y un homomorfismo subjetivo p1:F1→ → X.{displaystyle P_{1}:F_{1}to X.} Luego se encuentra un módulo gratis F2{displaystyle F_{2} y un homomorfismo subjetivo p2:F2→ → ker⁡ ⁡ ()p1).{displaystyle p_{2}:F_{2}to ker left(p_{1}right). } Continuando de esta manera, una secuencia de módulos libres Fn{displaystyle F_{n} y homomorfismos pn{displaystyle P_{n} se puede definir. Aplicando el functor F a esta secuencia, se obtiene un complejo de cadena; la homología Hn{displaystyle H_{n} de este complejo depende sólo de F y X y es, por definición, el n- el functor derivado de F, aplicada a X.

Un uso común del grupo (co)homología H2()G,M){displaystyle H^{2}(G,M)}es clasificar los posibles grupos de extensión E que contienen un G- Mobiliario M como subgrupo normal y tener un grupo de cociente dado GAsí que G=E/M.{displaystyle G=E/M.}

Otras teorías de homología

Funtores de homología

Los complejos de cadena forman una categoría: Morfismo del complejo de la cadena (dn:An→ → An− − 1{displaystyle A_{n} A_{n-1}) al complejo de cadena (en:Bn→ → Bn− − 1{displaystyle E_{n}:B_{n}to B_{n-1}) es una secuencia de homomorfismos fn:An→ → Bn{displaystyle A_{n} B_{n} tales que fn− − 1∘ ∘ dn=en∘ ∘ fn{displaystyle f_{n-1}circ D_{n}=e_{n}circ F_{n} para todos n. El n- la homología H_n se puede ver como un functor covariante de la categoría de complejos de cadena a la categoría de grupos abelianos (o módulos).

Si el complejo de cadena depende del objeto X de una manera covariante (que significa que cualquier morfismo X→ → Y{displaystyle Xto Y} induce un morfismo del complejo de cadena X al complejo de cadenas Y), entonces el H_n son functores covariantes de la categoría que X pertenece a la categoría de grupos abelianos (o módulos).

La única diferencia entre homología y cohomología es que en la cohomología los complejos de cadenas dependen de manera contravariante de X, y que por tanto los grupos de homología (que se denominan grupos de cohomología en este contexto y denotados por Hⁿ) forman funtores contravariantes de la categoría que X pertenece a la categoría de grupos o módulos abelianos.

Propiedades

Sidn:An→ → An− − 1{displaystyle A_{n} A_{n-1}) es un complejo de cadena tal que todos pero finitamente muchos A_n son cero, y los otros se generan finitamente grupos abelianos (o espacios vectoriales de dimensión finita), entonces podemos definir el Función de Euler

χ χ =.. ()− − 1)nrank()An){displaystyle chi =sum (-1)^{n},mathrm {rank} (A_{n})}

(utilizando el rango en el caso de grupos abelianos y la dimensión de Hamel en el caso de espacios vectoriales). Resulta que la característica de Euler también se puede calcular en el nivel de homología:

χ χ =.. ()− − 1)nrank()Hn){displaystyle chi =sum (-1)^{n},mathrm {rank} (H_{n})}

y, especialmente en la topología algebraica, esto proporciona dos maneras de calcular el invariante importante χ χ {displaystyle chi } para el objeto X que dio lugar al complejo de cadena.

Cada sucesión exacta corta

0→ → A→ → B→ → C→ → 0{displaystyle 0rightarrow Arightarrow Brightarrow Crightarrow 0}

de cadenas complejas da lugar a una larga secuencia exacta de grupos de homología

⋯ ⋯ → → Hn()A)→ → Hn()B)→ → Hn()C)→ → Hn− − 1()A)→ → Hn− − 1()B)→ → Hn− − 1()C)→ → Hn− − 2()A)→ → ⋯ ⋯ {displaystyle cdots to H_{n}(A)to H_{n}(B)to H_{n}(C)to H_{n-1}(A)to H_{n-1}(B)to H_{n-1}(C)to H_{n-2}(A)to cdots }

Todos los mapas en esta larga secuencia exacta son inducidos por los mapas entre los complejos de cadena, excepto por los mapas Hn()C)→ → Hn− − 1()A){displaystyle H_{n}(C)to H_{n-1}(A)} Estos últimos se llaman unión de homomorfismos y son proporcionados por el zig-zag lemma. Esta lema se puede aplicar a la homología de muchas maneras que ayudan a calcular los grupos de homología, como las teorías de la homología relativa Secuencias Mayer-Vietoris.

Aplicaciones

Aplicación en matemáticas puras

Los teoremas notables probados mediante homología incluyen los siguientes:

• El teorema de punto fijo Brouwer: Si f es cualquier mapa continuo de la bola Bⁿ a sí mismo, entonces hay un punto fijo a▪ ▪ Bn{displaystyle ain B^{n} con f()a)=a.{displaystyle f(a)=a.}
• Invariancia del dominio: Si U es un subconjunto abierto de Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} y f:U→ → Rn{displaystyle f:Uto mathbb {R} {fn} es un mapa continuo inyectable, entonces V=f()U){displaystyle V=f(U)} está abierto f es un homeomorfismo entre U y V.
• The Hairy ball theorem: cualquier campo vectorial continuo en la 2-sphere (o más generalmente, el 2k- Esfera para cualquier k≥ ≥ 1{displaystyle kgeq 1}) desaparece en algún momento.
• El teorema Borsuk-Ulam: cualquier función continua desde una esfera n a mapas n-espacio de Euclidean un par de puntos antipodal hasta el mismo punto. (Dos puntos en una esfera se llaman antipodal si están en direcciones exactamente opuestas desde el centro de la esfera.)
• Invariancia de la dimensión: si no hay subconjuntos abiertos U⊆ ⊆ Rm{displaystyle Usubseteq mathbb {R} {m} y V⊆ ⊆ Rn{displaystyle Vsubseteq mathbb {R} {fn} son homeomorfos, entonces m=n.{displaystyle m=n.}

Aplicación en ciencia e ingeniería

En el análisis de datos topológicos, los conjuntos de datos se consideran como una muestra de nube de puntos de una variedad múltiple o algebraica incrustada en el espacio euclidiano. Al vincular los puntos vecinos más cercanos en la nube en una triangulación, se crea una aproximación simplicial de la variedad y se puede calcular su homología simplicial. Encontrar técnicas para calcular de forma sólida la homología utilizando varias estrategias de triangulación en escalas de longitud múltiple es el tema de la homología persistente.

En las redes de sensores, los sensores pueden comunicar información a través de una red ad-hoc que cambia dinámicamente en el tiempo. Para comprender el contexto global de este conjunto de medidas locales y rutas de comunicación, es útil calcular la homología de la topología de la red para evaluar, por ejemplo, los agujeros en la cobertura.

En la teoría de sistemas dinámicos en física, Poincaré fue uno de los primeros en considerar la interacción entre la variedad invariante de un sistema dinámico y sus invariantes topológicos. La teoría de Morse relaciona la dinámica de un flujo de gradiente en una variedad, por ejemplo, con su homología. La homología de Floer extendió esto a variedades de dimensión infinita. El teorema KAM estableció que las órbitas periódicas pueden seguir trayectorias complejas; en particular, pueden formar trenzas que pueden investigarse utilizando la homología de Floer.

En una clase de métodos de elementos finitos, es posible que sea necesario resolver problemas de valores límite para ecuaciones diferenciales que involucran al operador de Hodge-Laplace en dominios topológicamente no triviales, por ejemplo, en simulaciones electromagnéticas. En estas simulaciones, la solución se ayuda al fijar la clase de cohomología de la solución en función de las condiciones de contorno elegidas y la homología del dominio. Los dominios FEM se pueden triangular, a partir de los cuales se puede calcular la homología simple.

Software

Se han desarrollado varios paquetes de software con el fin de calcular grupos de homología de complejos de células finitas. Linbox es una biblioteca de C++ para realizar operaciones matriciales rápidas, incluida la forma normal de Smith; interactúa con Gap y Maple. Chomp, CAPD::Redhom y Perseus también están escritos en C++. Los tres implementan algoritmos de preprocesamiento basados en la equivalencia de homotopía simple y la teoría discreta de Morse para realizar reducciones que conservan la homología de los complejos de celdas de entrada antes de recurrir al álgebra matricial. Kenzo está escrito en Lisp y, además de la homología, también se puede usar para generar presentaciones de grupos homotópicos de complejos simpliciales finitos. Gmsh incluye un solucionador de homología para mallas de elementos finitos, que puede generar bases de cohomología directamente utilizables por software de elementos finitos.