Historia del álgebra

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Esencialmente, se puede considerar que el álgebra realiza cálculos similares a los de la aritmética pero con objetos matemáticos no numéricos. Sin embargo, hasta el siglo XIX, el álgebra consistía esencialmente en la teoría de ecuaciones. Por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra pertenece a la teoría de las ecuaciones y no se considera, hoy en día, como perteneciente al álgebra (de hecho, toda demostración debe utilizar la completitud de los números reales, que no es una propiedad algebraica).

Este artículo describe la historia de la teoría de ecuaciones, llamada aquí "álgebra", desde los orígenes hasta el surgimiento del álgebra como un área separada de las matemáticas.

La palabra "álgebra" se deriva de la palabra árabe الجبر al-jabr, y esta proviene del tratado escrito en el año 830 por el matemático persa medieval, Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, cuyo título árabe, Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala, se puede traducir como El libro compendio sobre el cálculo por finalización y equilibrio. El tratado preveía la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Según una historia, "[i] n no es seguro qué significan los términos al-jabr y muqabalahdecir, pero la interpretación habitual es similar a la implícita en la traducción anterior. La palabra 'al-jabr' presumiblemente significaba algo así como 'restauración' o 'finalización' y parece referirse a la transposición de términos sustraídos al otro lado de una ecuación; se dice que la palabra 'muqabalah' se refiere a 'reducción' o 'equilibrio', es decir, la cancelación de términos similares en lados opuestos de la ecuación. La influencia árabe en España mucho después de la época de al-Khwarizmi se encuentra en Don Quijote, donde la palabra 'algebrista' se usa para un engastador de huesos, es decir, un 'restaurador'".El término es utilizado por al-Khwarizmi para describir las operaciones que introdujo, "reducción" y "equilibrio", refiriéndose a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos similares en lados opuestos. de la ecuación

Historia antigua del álgebra

Las raíces del álgebra se remontan a los antiguos babilonios, quienes desarrollaron un sistema aritmético avanzado con el que podían hacer cálculos de forma algorítmica. Los babilonios desarrollaron fórmulas para calcular soluciones para problemas que normalmente se resuelven hoy mediante el uso de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas y ecuaciones lineales indeterminadas. Por el contrario, la mayoría de los egipcios de esta era, así como las matemáticas griegas y chinas en el primer milenio antes de Cristo, generalmente resolvían tales ecuaciones mediante métodos geométricos, como los descritos en el Papiro matemático de Rhind, los Elementos de Euclides y Los nueve capítulos sobre las matemáticas. arte _ El trabajo geométrico de los griegos, tipificado en los Elementos, proporcionó el marco para generalizar fórmulas más allá de la solución de problemas particulares en sistemas más generales de enunciar y resolver ecuaciones, aunque esto no se realizaría hasta que las matemáticas se desarrollaran en el Islam medieval.

En la época de Platón, las matemáticas griegas habían sufrido un cambio drástico. Los griegos crearon un álgebra geométrica en la que los términos se representaban por los lados de objetos geométricos, generalmente líneas, que tenían letras asociadas. Diofanto (siglo III d. C.) fue un matemático griego alejandrino y autor de una serie de libros llamada Aritmética. Estos textos tratan de resolver ecuaciones algebraicas y han llevado, en teoría de números, a la noción moderna de ecuación diofántica.

Las tradiciones anteriores discutidas anteriormente tuvieron una influencia directa en el matemático persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (c. 780–850). Más tarde escribió The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing, que estableció el álgebra como una disciplina matemática independiente de la geometría y la aritmética.

Los matemáticos helenísticos Héroe de Alejandría y Diofanto, así como matemáticos indios como Brahmagupta, continuaron las tradiciones de Egipto y Babilonia, aunque la Arithmetica de Diofanto y el Brāhmasphutasiddhānta de Brahmagupta están en un nivel superior. Por ejemplo, Brahmagupta describió la primera solución aritmética completa escrita en palabras en lugar de símbolos, incluidas soluciones cero y negativas, para ecuaciones cuadráticas en su libro Brahmasphutasiddhanta, publicado en 628 d.C. Más tarde, los matemáticos persas y árabes desarrollaron métodos algebraicos con un grado de sofisticación mucho mayor. Aunque Diofanto y los babilonios usaron en su mayoría ad hoc especialesmétodos para resolver ecuaciones, la contribución de Al-Khwarizmi fue fundamental. Resolvió ecuaciones lineales y cuadráticas sin simbolismo algebraico, números negativos o cero, por lo que tuvo que distinguir varios tipos de ecuaciones.

En el contexto donde se identifica el álgebra con la teoría de ecuaciones, el matemático griego Diofanto ha sido tradicionalmente conocido como el "padre del álgebra" y en el contexto donde se identifica con las reglas para manipular y resolver ecuaciones, el matemático persa al-Khwarizmi es considerado como "el padre del álgebra". Está abierto a debate si Diofanto o al-Khwarizmi tienen más derecho a ser conocido, en el sentido general, como "el padre del álgebra". Aquellos que apoyan a Diofanto señalan el hecho de que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es un poco más elemental que el álgebra que se encuentra en Arithmetica y que Arithmetica es sincopada mientras que Al-Jabr es completamente retórica.Quienes apoyan a Al-Khwarizmi señalan el hecho de que introdujo los métodos de "reducción" y "equilibrio" (la transposición de términos sustraídos al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos similares en lados opuestos de la misma). ecuación) a la que originalmente se refería el término al-jabr, y que dio una explicación exhaustiva de la resolución de ecuaciones cuadráticas, respaldada por pruebas geométricas mientras trataba el álgebra como una disciplina independiente por derecho propio.Su álgebra ya no se ocupaba "de una serie de problemas a resolver, sino de una exposición que parte de términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles de ecuaciones, que en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio". También estudió una ecuación por sí misma y "de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la resolución de un problema, sino que está específicamente llamada a definir una clase infinita de problemas".

A otro matemático persa, Omar Khayyam, se le atribuye la identificación de los fundamentos de la geometría algebraica y encontró la solución geométrica general de la ecuación cúbica. Su libro Tratado sobre demostraciones de problemas de álgebra (1070), que estableció los principios del álgebra, es parte del cuerpo de matemáticas persas que finalmente se transmitió a Europa. Otro matemático persa, Sharaf al-Dīn al-Tūsī, encontró soluciones algebraicas y numéricas para varios casos de ecuaciones cúbicas. También desarrolló el concepto de función. Los matemáticos indios Mahavira y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji,y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de ecuaciones polinómicas cúbicas, quárticas, quínticas y de orden superior utilizando métodos numéricos. En el siglo XIII, la solución de una ecuación cúbica de Fibonacci es representativa del comienzo de un renacimiento en el álgebra europea. Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412-1486) dio "los primeros pasos hacia la introducción del simbolismo algebraico". También calculó Σ n, Σ n y utilizó el método de aproximación sucesiva para determinar las raíces cuadradas.

Babilonia

Los orígenes del álgebra se remontan a los antiguos babilonios, quienes desarrollaron un sistema numérico posicional que les ayudó mucho a resolver sus ecuaciones algebraicas retóricas. Los babilonios no estaban interesados en soluciones exactas, sino en aproximaciones, por lo que comúnmente usaban la interpolación lineal para aproximar valores intermedios. Una de las tabletas más famosas es la tableta Plimpton 322, creada alrededor de 1900-1600 a. C., que proporciona una tabla de triples pitagóricos y representa algunas de las matemáticas más avanzadas anteriores a las matemáticas griegas.

El álgebra babilónica era mucho más avanzada que el álgebra egipcia de la época; mientras que los egipcios estaban principalmente preocupados por las ecuaciones lineales, los babilonios estaban más preocupados por las ecuaciones cuadráticas y cúbicas. Los babilonios habían desarrollado operaciones algebraicas flexibles con las que podían sumar iguales a iguales y multiplicar ambos lados de una ecuación por cantidades similares para eliminar fracciones y factores. Estaban familiarizados con muchas formas simples de factorización, ecuaciones cuadráticas de tres términos con raíces positivas y muchas ecuaciones cúbicas, aunque no se sabe si pudieron reducir la ecuación cúbica general.

Antiguo Egipto

El álgebra del antiguo Egipto se ocupaba principalmente de ecuaciones lineales, mientras que los babilonios consideraban que estas ecuaciones eran demasiado elementales y desarrollaron las matemáticas a un nivel superior al de los egipcios.

El Papiro Rhind, también conocido como Papiro Ahmes, es un papiro egipcio antiguo escrito c. 1650 a. C. por Ahmes, quien lo transcribió de un trabajo anterior que fechó entre 2000 y 1800 a. Es el documento matemático egipcio antiguo más extenso conocido por los historiadores. El papiro de Rhind contiene problemas en los que se resuelven ecuaciones lineales de la forma $x+ax=b$ y, en los que se conocen y y a los que se hace referencia como "aha" o montón, es la incógnita. Posiblemente, pero no probable, se llegó a las soluciones utilizando el "método de la posición falsa", o regula falsi $x+ax+bx=c$ $un, b,$ $C$ $X,$ , donde primero se sustituye un valor específico en el lado izquierdo de la ecuación, luego se realizan los cálculos aritméticos requeridos, en tercer lugar, el resultado se compara con el lado derecho de la ecuación y, finalmente, se encuentra la respuesta correcta mediante el uso de dimensiones. En algunos de los problemas, el autor "comprueba" su solución, escribiendo así una de las primeras demostraciones simples conocidas.

Matemáticas griegas

A veces se alega que los griegos no tenían álgebra, pero esto es inexacto. En la época de Platón, las matemáticas griegas habían sufrido un cambio drástico. Los griegos crearon un álgebra geométrica en la que los términos se representaban por los lados de objetos geométricos, generalmente líneas, que tenían letras asociadas, y con esta nueva forma de álgebra pudieron encontrar soluciones a las ecuaciones mediante un proceso que inventaron, conocido como "la aplicación de áreas". "La aplicación de áreas" es solo una parte del álgebra geométrica y se cubre a fondo en los Elementos de Euclides.

Un ejemplo de álgebra geométrica sería resolver la ecuación lineal. ${displaystyle ax=bc.}$ Los antiguos griegos resolverían esta ecuación viéndola como una igualdad de áreas en lugar de como una igualdad entre las proporciones $a:b$ y ${ estilo de visualización c: x.}$ Los griegos construían un rectángulo con lados de longitud $b$ y $C,$ luego extendían un lado del rectángulo a la longitud $un,$ y finalmente completarían el rectángulo extendido para encontrar el lado del rectángulo que es la solución.

Floración de Thymaridas

Jámblico en Introductio arithmatica dice que Thymaridas (c. 400 a. C. - c. 350 a. C.) trabajó con ecuaciones lineales simultáneas. En particular, creó la entonces famosa regla que se conocía como la "floración de Thymaridas" o como la "flor de Thymaridas", que establece que:

Si $norte$ se da la suma de cantidades, y también la suma de cada par que contiene una cantidad particular, entonces esta cantidad particular es igual a ${ estilo de visualización 1/(n-2)}$ la diferencia entre las sumas de estos pares y la primera suma dada.

o usando notación moderna, la solución del siguiente sistema de $norte$ ecuaciones lineales en $norte$ incógnitas,

{displaystyle x+x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n-1}=s}

es,

{displaystyle x={cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1})-s}{n-2}}={cfrac {(sum_ i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}.}

Iamblichus continúa describiendo cómo algunos sistemas de ecuaciones lineales que no están en esta forma pueden colocarse en esta forma.

Euclides de Alejandría

Euclides (griego: Εὐκλείδης) fue un matemático griego que floreció en Alejandría, Egipto, casi con seguridad durante el reinado de Ptolomeo I (323–283 a. C.). No se han establecido el año ni el lugar de su nacimiento, ni las circunstancias de su muerte.

Euclides es considerado como el "padre de la geometría". His Elements es el libro de texto de mayor éxito en la historia de las matemáticas. Aunque es uno de los matemáticos más famosos de la historia no se le atribuyen nuevos descubrimientos; más bien se le recuerda por su gran capacidad explicativa. Los Elementos no es, como a veces se piensa, una colección de todo el conocimiento matemático griego hasta la fecha; más bien, es una introducción elemental a la misma.

Elementos

El trabajo geométrico de los griegos, tipificado en los Elementos de Euclides, proporcionó el marco para generalizar fórmulas más allá de la solución de problemas particulares en sistemas más generales para enunciar y resolver ecuaciones.

El Libro II de los Elementos contiene catorce proposiciones, que en la época de Euclides eran extremadamente significativas para hacer álgebra geométrica. Estas proposiciones y sus resultados son los equivalentes geométricos de nuestra trigonometría y álgebra simbólica moderna. Hoy, usando el álgebra simbólica moderna, dejamos que los símbolos representen magnitudes conocidas y desconocidas (es decir, números) y luego aplicamos operaciones algebraicas sobre ellos, mientras que en la época de Euclides las magnitudes se veían como segmentos de línea y luego los resultados se deducían usando los axiomas o teoremas de la geometría.

Muchas leyes básicas de suma y multiplicación están incluidas o probadas geométricamente en los Elementos. Por ejemplo, la proposición 1 del Libro II dice:Si hay dos rectas, y una de ellas está cortada en cualquier número de segmentos, el rectángulo contenido por las dos rectas es igual a los rectángulos contenidos por la recta entera y cada uno de los segmentos.

Pero esto no es más que la versión geométrica de la ley distributiva (izquierda), $a(b+c+d)=ab+ac+ad$ ; y en los Libros V y VII de los Elementos se demuestran las leyes conmutativas y asociativas de la multiplicación.

Muchas ecuaciones básicas también se probaron geométricamente. Por ejemplo, la proposición 5 del Libro II prueba que ${displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab),}$ y la proposición 4 del Libro II prueba que ${displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}$

Además, también hay soluciones geométricas dadas a muchas ecuaciones. Por ejemplo, la proposición 6 del Libro II da la solución a la ecuación cuadrática ${displaystyle hacha+x^{2}=b^{2},}$ y la proposición 11 del Libro II da la solución a ${displaystyle hacha+x^{2}=a^{2}.}$

Datos

Data es un trabajo escrito por Euclid para uso en las escuelas de Alejandría y estaba destinado a ser utilizado como un volumen complementario a los primeros seis libros de los Elementos. El libro contiene unas quince definiciones y noventa y cinco enunciados, de los cuales hay unas dos docenas de enunciados que sirven como reglas o fórmulas algebraicas. Algunas de estas declaraciones son equivalentes geométricos a soluciones de ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, Data contiene las soluciones de las ecuaciones ${displaystyle dx^{2}-adx+b^{2}c=0}$ y la conocida ecuación babilónica ${displaystyle xy=a^{2},xpm y=b.}$

Secciones cónicas

Una sección cónica es una curva que resulta de la intersección de un cono con un plano. Hay tres tipos principales de secciones cónicas: elipses (incluyendo círculos), parábolas e hipérbolas. Se dice que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menaechmus (c. 380 a. C. - c. 320 a. C.) y dado que tratar con secciones cónicas es equivalente a tratar con sus respectivas ecuaciones, desempeñaron funciones geométricas equivalentes a las ecuaciones cúbicas y otras ecuaciones de orden superior..

Menaechmus sabía que en una parábola se ${ estilo de visualización y ^ {2} = lx}$ cumple la ecuación, donde $yo$ es una constante llamada latus rectum, aunque no era consciente del hecho de que cualquier ecuación en dos incógnitas determina una curva. Aparentemente derivó estas propiedades de las secciones cónicas y otras también. Usando esta información, ahora era posible encontrar una solución al problema de la duplicación del cubo resolviendo los puntos en los que se cruzan dos parábolas, una solución equivalente a resolver una ecuación cúbica.

Eutocius nos informa que el método que utilizó para resolver la ecuación cúbica se debió a Dionisodoro (250 a. C. - 190 a. C.). Dionysodorus resolvió la cúbica mediante la intersección de una hipérbola rectangular y una parábola. Esto estaba relacionado con un problema en Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes. Las secciones cónicas serían estudiadas y utilizadas durante miles de años por matemáticos griegos, y luego islámicos y europeos. En particular, las famosas cónicas de Apolonio de Perga se ocupan de las secciones cónicas, entre otros temas.

China

Las matemáticas chinas datan de al menos el año 300 a. C. con el Zhoubi Suanjing, generalmente considerado como uno de los documentos matemáticos chinos más antiguos.

Nueve capítulos sobre el arte matemático

Chiu-chang suan-shu o Los nueve capítulos sobre el arte matemático, escrito alrededor del año 250 a. C., es uno de los libros de matemáticas chinos más influyentes y está compuesto por unos 246 problemas. El capítulo ocho trata sobre la resolución de ecuaciones lineales simultáneas determinadas e indeterminadas utilizando números positivos y negativos, con un problema relacionado con la resolución de cuatro ecuaciones con cinco incógnitas.

Medidas del espejo marino del círculo

Ts'e-yuan hai-ching, o Espejo marino de las medidas circulares, es una colección de unos 170 problemas escritos por Li Zhi (o Li Ye) (1192 - 1279 EC). Usó fan fa, o el método de Horner, para resolver ecuaciones de grado tan alto como seis, aunque no describió su método para resolver ecuaciones.

Tratado de Matemáticas en Nueve Secciones

Shu-shu chiu-chang, o Tratado matemático en nueve secciones, fue escrito por el rico gobernador y ministro Ch'in Chiu-shao (c. 1202 - c. 1261) y con la invención de un método para resolver congruencias simultáneas, ahora llamado teorema del resto chino, marca el punto más alto en el análisis indeterminado chino.

Cuadrados mágicos

Los primeros cuadrados mágicos conocidos aparecieron en China. En Nueve capítulos, el autor resuelve un sistema de ecuaciones lineales simultáneas colocando los coeficientes y los términos constantes de las ecuaciones lineales en un cuadrado mágico (es decir, una matriz) y realizando operaciones de reducción de columnas en el cuadrado mágico. Los primeros cuadrados mágicos conocidos de orden superior a tres se atribuyen a Yang Hui (fl. c. 1261-1275), quien trabajó con cuadrados mágicos de orden tan alto como diez.

Espejo Precioso de los Cuatro Elementos

Ssy-yüan yü-chien《四元玉鑒》, o Espejo Precioso de los Cuatro Elementos, fue escrito por Chu Shih-chieh en 1303 y marca el apogeo en el desarrollo del álgebra china. Los cuatro elementos, llamados cielo, tierra, hombre y materia, representaban las cuatro incógnitas en sus ecuaciones algebraicas. El Ssy-yüan yü-chien trata con ecuaciones simultáneas y con ecuaciones de grados tan altos como catorce. El autor utiliza el método de fan fa, hoy llamado método de Horner, para resolver estas ecuaciones.

The Precious Mirror comienza con un diagrama del triángulo aritmético (triángulo de Pascal) usando un símbolo de cero redondo, pero Chu Shih-chieh niega el crédito por ello. Un triángulo similar aparece en el trabajo de Yang Hui, pero sin el símbolo del cero.

Hay muchas ecuaciones de suma dadas sin prueba en el espejo Precioso. Algunas de las sumas son: $1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + n^2 = {n(n + 1)(2n + 1)sobre 3!}$ $1 + 8 + 30 + 80 + cdots + {n^2(n + 1)(n + 2)over 3!} = {n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(4n + 1)más de 5!}$

Diofanto

Diofanto fue un matemático helenístico que vivió c. 250 EC, pero la incertidumbre de esta fecha es tan grande que puede estar desfasada por más de un siglo. Es conocido por haber escrito Arithmetica, un tratado que originalmente constaba de trece libros pero de los cuales solo han sobrevivido los primeros seis. La aritmética tiene muy poco en común con las matemáticas griegas tradicionales, ya que está divorciada de los métodos geométricos, y se diferencia de las matemáticas babilónicas en que Diofanto se ocupa principalmente de soluciones exactas, tanto determinadas como indeterminadas, en lugar de aproximaciones simples.

Por lo general, es bastante difícil saber si una ecuación diofántica dada es solucionable. No hay evidencia que sugiera que Diofanto se dio cuenta de que podría haber dos soluciones para una ecuación cuadrática. También consideró ecuaciones cuadráticas simultáneas. Además, no se puede abstraer ningún método general de todas las soluciones de Diofanto.

En Aritmética, Diofanto es el primero en utilizar símbolos para números desconocidos, así como abreviaturas para potencias de números, relaciones y operaciones; por lo tanto, utilizó lo que ahora se conoce como álgebra sincopada. La principal diferencia entre el álgebra sincopada diofántica y la notación algebraica moderna es que la primera carecía de símbolos especiales para operaciones, relaciones y exponenciales. Entonces, por ejemplo, lo que escribiríamos como ${displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,}$

que se puede reescribir como ${displaystyle left({x^{3}}1+{x}10right)-left({x^{2}}2+{x^{0}}1right)={x^ {0}}5,}$

se escribiría en la notación sincopada de Diofanto como ${displaystyle mathrm {K} ^{upsilon }{overline {alpha }};zeta {overline {iota }};,pitchfork;,Delta ^{upsilon } {overline {beta }};mathrm {M} {overline {alpha }},;}$ ἴ ${displaystyle sigma;,mathrm {M} {overline {varepsilon}}}$

donde los símbolos representan lo siguiente:

Símbolo	lo que representa
$overline {alfa}$	1
$overline {beta}$	2
${displaystyle {overline {varepsilon}}}$	5
${displaystyle {overline {iota}}}$	10
ἴσ	"igual" (abreviatura de ἴσος)
$horca$	representa la resta de todo lo que sigue $horca$ hasta ἴσ
$mathrm{M}$	la potencia cero (es decir, un término constante)
$zeta$	la cantidad desconocida (porque un número $X$ elevado a la primera potencia es simplemente $X,$ esto puede considerarse como "la primera potencia")
${ estilo de visualización Delta ^ { upsilon}}$	el segundo poder, del griego δύναμις, que significa fuerza o poder
${displaystyle mathrm {K} ^{upsilon}}$	la tercera potencia, del griego κύβος, que significa cubo
${ estilo de visualización Delta ^ { upsilon} Delta}$	el cuarto poder
${displaystyle Delta mathrm {K} ^{upsilon}}$	el quinto poder
${displaystyle mathrm {K} ^{upsilon}mathrm {K} }$	el sexto poder

A diferencia de la notación moderna, los coeficientes vienen después de las variables y esa suma está representada por la yuxtaposición de términos. Una traducción literal símbolo por símbolo de la ecuación sincopada de Diofanto en una ecuación simbólica moderna sería la siguiente: ${displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5}$

donde para aclarar, si se usan los paréntesis modernos y más, entonces la ecuación anterior se puede reescribir como: ${displaystyle left({x^{3}}1+{x}10right)-left({x^{2}}2+{x^{0}}1right)={x^ {0}}5}$

Arithmetica es una colección de unos 150 problemas resueltos con números específicos y no hay un desarrollo postulacional ni se explica explícitamente un método general, aunque es posible que se haya pretendido generalidad del método y no se intenta encontrar todas las soluciones a las ecuaciones. Arithmetica contiene problemas resueltos que involucran varias cantidades desconocidas, que se resuelven, si es posible, expresando las cantidades desconocidas en términos de una sola de ellas. Arithmetica también hace uso de las identidades:

India

Los matemáticos indios participaron activamente en el estudio de los sistemas numéricos. Los documentos matemáticos indios más antiguos que se conocen datan de mediados del primer milenio a. C. (alrededor del siglo VI a. C.).

Los temas recurrentes en las matemáticas indias son, entre otros, las ecuaciones lineales y cuadráticas determinadas e indeterminadas, la medición simple y las ternas pitagóricas.

Aryabhata

Aryabhata (476–550) fue un matemático indio autor de Aryabhatiya. En él dio las reglas, $1^2 + 2^2 + cdots + n^2 = {n(n + 1)(2n + 1) sobre 6}$

y $1^3 + 2^3 + cdots + n^3 = (1 + 2 + cdots + n)^2$

Brahma Sphuta Siddhanta

Brahmagupta (fl. 628) fue un matemático indio autor de Brahma Sphuta Siddhanta. En su trabajo, Brahmagupta resuelve la ecuación cuadrática general para raíces positivas y negativas. En el análisis indeterminado, Brahmagupta da las tríadas pitagóricas, pero esta es una forma modificada de una antigua regla babilónica con la que Brahmagupta puede haber estado familiarizado. Fue el primero en dar una solución general a la ecuación diofántica lineal donde y son números enteros. A diferencia de Diofanto, que solo dio una solución a una ecuación indeterminada, Brahmagupta dio todas ${displaystyle m,{frac {1}{2}}left({m^{2} over n}-nright),}$ ${displaystyle {frac {1}{2}}left({m^{2} over n}+nright),}$ ${displaystyle hacha+por=c,}$ $un, b,$ $C$ soluciones enteras; pero que Brahmagupta usó algunos de los mismos ejemplos que Diofanto ha llevado a algunos historiadores a considerar la posibilidad de una influencia griega en el trabajo de Brahmagupta, o al menos una fuente babilónica común.

Como el álgebra de Diofanto, el álgebra de Brahmagupta era sincopada. La suma se indicaba colocando los números uno al lado del otro, la resta colocando un punto sobre el sustraendo y la división colocando el divisor debajo del dividendo, similar a nuestra notación moderna pero sin la barra. La multiplicación, la evolución y las cantidades desconocidas se representaron mediante abreviaturas de términos apropiados. Se desconoce el alcance de la influencia griega en esta síncopa, si es que la hubo, y es posible que tanto la síncopa griega como la india se deriven de una fuente babilónica común.

Bhaskara II

Bhāskara II (1114 - c. 1185) fue el principal matemático del siglo XII. En álgebra, dio la solución general de la ecuación de Pell. Es el autor de Lilavati y Vija-Ganita, que contienen problemas relacionados con ecuaciones lineales y cuadráticas determinadas e indeterminadas, y ternas pitagóricas y no logra distinguir entre enunciados exactos y aproximados. Muchos de los problemas en Lilavati y Vija-Ganita se derivan de otras fuentes hindúes, por lo que Bhaskara se encuentra en su mejor momento al tratar con análisis indeterminados.

Bhaskara usa los símbolos iniciales de los nombres de los colores como símbolos de variables desconocidas. Entonces, por ejemplo, lo que escribiríamos hoy como $(-x-1)+(2x-8)=x-9$

Bhaskara habría escrito como. _.ya 1 en 1.ya 2 ru 8.Sum ya 1 ru 9

donde ya indica la primera sílaba de la palabra para negro, y ru se toma de la palabra especie. Los puntos sobre los números indican resta.

Mundo islámico

El primer siglo del Imperio Árabe Islámico casi no vio logros científicos o matemáticos ya que los árabes, con su imperio recién conquistado, aún no habían ganado ningún impulso intelectual y la investigación en otras partes del mundo se había desvanecido. En la segunda mitad del siglo VIII, el Islam tuvo un despertar cultural y aumentó la investigación en matemáticas y ciencias. Se dice que el califa musulmán abasí al-Mamun (809-833) tuvo un sueño en el que se le apareció Aristóteles y, como consecuencia, al-Mamun ordenó que se tradujeran al árabe tantas obras griegas como fuera posible, incluido el Almagesto de Ptolomeo y Elementos de Euclides. El Imperio bizantino entregaría obras griegas a los musulmanes a cambio de tratados, ya que los dos imperios mantenían una paz inestable.Muchas de estas obras griegas fueron traducidas por Thabit ibn Qurra (826–901), quien tradujo libros escritos por Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo y Eutocio.

Los matemáticos árabes establecieron el álgebra como una disciplina independiente y le dieron el nombre de "álgebra" (al-jabr). Fueron los primeros en enseñar álgebra de forma elemental y por sí misma. Hay tres teorías sobre los orígenes del álgebra árabe. El primero enfatiza la influencia hindú, el segundo enfatiza la influencia mesopotámica o persa-siríaca y el tercero enfatiza la influencia griega. Muchos estudiosos creen que es el resultado de una combinación de las tres fuentes.

A lo largo de su tiempo en el poder, los árabes utilizaron un álgebra completamente retórica, donde a menudo incluso los números se deletreaban con palabras. Los árabes eventualmente reemplazarían los números deletreados (por ejemplo, veintidós) con números arábigos (por ejemplo, 22), pero los árabes no adoptaron ni desarrollaron un álgebra sincopada o simbólica hasta el trabajo de Ibn al-Banna, quien desarrolló un álgebra simbólica en el siglo XIII, seguido por Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī en el siglo XV.

Al-jabr wa'l muqabalah

El matemático persa musulmán Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī fue miembro de la facultad de la "Casa de la Sabiduría" (Bait al-Hikma) en Bagdad, que fue establecida por Al-Mamun. Al-Khwarizmi, que murió alrededor del año 850 d. C., escribió más de media docena de obras matemáticas y astronómicas, algunas de las cuales se basaron en el sindhind indio. Uno de los libros más famosos de al-Khwarizmi se titula Al-jabr wa'l muqabalah o The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing, y ofrece una descripción exhaustiva de la resolución de polinomios hasta el segundo grado.El libro también introdujo el concepto fundamental de "reducción" y "equilibrio", refiriéndose a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos similares en lados opuestos de la ecuación. Esta es la operación que Al-Khwarizmi describió originalmente como al-jabr. El nombre "álgebra" proviene de " al-jabr " en el título de su libro.

R. Rashed y Angela Armstrong escriben:

"El texto de Al-Khwarizmi se distingue no sólo de las tablillas babilónicas, sino también de la Aritmética de Diofanto. Ya no se trata de una serie de problemas a resolver, sino de una exposición que parte de términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles de las ecuaciones, que en lo sucesivo constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio.Por otra parte, la idea de ecuación en sí misma aparece desde el principio y, se podría decir, de manera genérica, en la medida en que no no emerge simplemente en el curso de la resolución de un problema, sino que está llamado específicamente a definir una clase infinita de problemas”.

Al-Jabr se divide en seis capítulos, cada uno de los cuales trata de un tipo diferente de fórmula. El primer capítulo de Al-Jabr trata de ecuaciones cuyos cuadrados son iguales a sus raíces ${ estilo de visualización izquierda (ax ^ {2} = bx derecha),}$ . El segundo capítulo trata de cuadrados iguales a un número ${displaystyle left(ax^{2}=cright),}$ . El tercer capítulo trata de raíces iguales a un número ${ estilo de visualización izquierda (bx = c derecha),}$ . El cuarto capítulo trata de cuadrados y raíces iguales a un número ${displaystyle left(ax^{2}+bx=cright),}$ . El quinto capítulo trata de cuadrados y números iguales a raíces ${displaystyle left(ax^{2}+c=bxright),}$ y el sexto y último capítulo trata de raíces y números iguales a cuadrados ${displaystyle left(bx+c=ax^{2}right).}$

En Al-Jabr, al-Khwarizmi usa pruebas geométricas, no reconoce la raíz ${ estilo de visualización x = 0,}$ y solo trata con raíces positivas. También reconoce que el discriminante debe ser positivo y describe el método para completar el cuadrado, aunque no justifica el procedimiento. La influencia griega se muestra en los fundamentos geométricos de Al-Jabr y en un problema tomado de Heron. Hace uso de diagramas con letras, pero todos los coeficientes en todas sus ecuaciones son números específicos ya que no tenía forma de expresar con parámetros lo que podía expresar geométricamente; aunque se pretende la generalidad del método.

Al-Khwarizmi probablemente no conocía la Aritmética de Diofanto, que los árabes conocieron en algún momento antes del siglo X. Y aunque al-Khwarizmi probablemente conocía el trabajo de Brahmagupta, Al-Jabr es completamente retórico con los números incluso explicados con palabras. Entonces, por ejemplo, lo que escribiríamos como $x^{2}+10x=39$

Diofanto habría escrito como ${displaystyle Delta ^{Upsilon }{overline {alpha }}varsigma {overline {iota }},;}$ ἴ ${displaystyle sigma;,mathrm {M} lambda {overline {theta }}}$

Y al-Khwarizmi habría escrito comoUn cuadrado y diez raíces de la misma cantidad a treinta y nueve dirhems; es decir, ¿cuál debe ser el cuadrado que, aumentado en diez de sus propias raíces, da treinta y nueve?

Necesidades lógicas en ecuaciones mixtas

'Abd al-Hamīd ibn Turk escribió un manuscrito titulado Necesidades lógicas en ecuaciones mixtas, que es muy similar al Al-Jabr de al-Khwarzimi y se publicó aproximadamente al mismo tiempo que, o incluso posiblemente antes, que Al-Jabr. El manuscrito da exactamente la misma demostración geométrica que se encuentra en Al-Jabr, y en un caso el mismo ejemplo que se encuentra en Al-Jabr, e incluso va más allá de Al-Jabr al dar una prueba geométrica de que si el discriminante es negativo, entonces el ecuación cuadrática no tiene solución.La similitud entre estas dos obras ha llevado a algunos historiadores a concluir que el álgebra árabe puede haber estado bien desarrollada en la época de al-Khwarizmi y 'Abd al-Hamid.

Abu Kamil y al-Karkhi

Los matemáticos árabes trataron los números irracionales como objetos algebraicos. El matemático egipcio Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850–930) fue el primero en aceptar números irracionales (a menudo en forma de raíz cuadrada, raíz cúbica o raíz cuarta) como soluciones a ecuaciones cuadráticas o como coeficientes en una ecuación. También fue el primero en resolver tres ecuaciones simultáneas no lineales con tres variables desconocidas.

Al-Karkhi (953–1029), también conocido como Al-Karaji, fue el sucesor de Abū al-Wafā' al-Būzjānī (940–998) y descubrió la primera solución numérica a ecuaciones de la forma ${displaystyle hacha^{2n}+bx^{n}=c.}$ Al-Karkhi solo consideró raíces positivas. Al-Karkhi también es considerado como la primera persona en liberar el álgebra de las operaciones geométricas y reemplazarlas con el tipo de operaciones aritméticas que son el núcleo del álgebra actual. Su trabajo sobre álgebra y polinomios dio las reglas para las operaciones aritméticas para manipular polinomios. El historiador de las matemáticas F. Woepcke, en Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi(París, 1853), elogió a Al-Karaji por ser "el primero que introdujo la teoría del cálculo algebraico". A partir de esto, Al-Karaji investigó los coeficientes binomiales y el triángulo de Pascal.

Omar Khayyám, Sharaf al-Din y al-Kashi

Omar Khayyám (c. 1050 - 1123) escribió un libro sobre álgebra que fue más allá de Al-Jabr para incluir ecuaciones de tercer grado. Omar Khayyám proporcionó soluciones aritméticas y geométricas para ecuaciones cuadráticas, pero solo dio soluciones geométricas para ecuaciones cúbicas generales, ya que creía erróneamente que las soluciones aritméticas eran imposibles. Menaechmus, Arquímedes e Ibn al-Haytham (Alhazen) habían utilizado su método para resolver ecuaciones cúbicas mediante el uso de cónicas que se cruzan, pero Omar Khayyám generalizó el método para cubrir todas las ecuaciones cúbicas con raíces positivas. Solo consideró raíces positivas y no pasó del tercer grado. También vio una fuerte relación entre la geometría y el álgebra.

En el siglo XII, Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135–1213) escribió el Al-Mu'adalat (Tratado de ecuaciones), que trataba de ocho tipos de ecuaciones cúbicas con soluciones positivas y cinco tipos de ecuaciones cúbicas que pueden no serlo. tener soluciones positivas. Usó lo que más tarde se conocería como el "método de Ruffini-Horner" para aproximar numéricamente la raíz de una ecuación cúbica. También desarrolló los conceptos de máximos y mínimos de curvas para resolver ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas.Entendió la importancia del discriminante de la ecuación cúbica y utilizó una versión temprana de la fórmula de Cardano para encontrar soluciones algebraicas a ciertos tipos de ecuaciones cúbicas. Algunos eruditos, como Roshdi Rashed, argumentan que Sharaf al-Din descubrió la derivada de los polinomios cúbicos y se dio cuenta de su importancia, mientras que otros eruditos relacionan su solución con las ideas de Euclides y Arquímedes.

Sharaf al-Din también desarrolló el concepto de función. En su análisis de la ecuación ${displaystyle x^{3}+d=bx^{2}}$ , por ejemplo, comienza cambiando la forma de la ecuación a ${ estilo de visualización x ^ {2} (bx) = d}$ . Luego afirma que la cuestión de si la ecuación tiene solución depende de si la “función” del lado izquierdo alcanza o no el valor $d$ . Para determinar esto, encuentra un valor máximo para la función. Demuestra que el valor máximo ocurre cuando $x={ fracción {2b}{3}}$ , lo que da el valor funcional ${ fracción {4b^{3}}{27}}$ . Sharaf al-Din luego afirma que si este valor es menor que $d$ , no hay soluciones positivas; si es igual a $d$ , entonces hay una solución en $x={ fracción {2b}{3}}$ ; y si es mayor que $d$ , entonces hay dos soluciones, una entre ${ estilo de visualización 0}$ y ${ fracción {2b}{3}}$ y otra entre ${ fracción {2b}{3}}$ y $b$ .

A principios del siglo XV, Jamshīd al-Kāshī desarrolló una forma temprana del método de Newton para resolver numéricamente la ecuación $x^{P}-N=0$ para encontrar las raíces de $norte$ . Al-Kāshī también desarrolló fracciones decimales y afirmó haberlo descubierto él mismo. Sin embargo, J. Lennart Berggrenn señala que estaba equivocado, ya que las fracciones decimales fueron utilizadas por primera vez cinco siglos antes que él por el matemático bagdadí Abu'l-Hasan al-Uqlidisi ya en el siglo X.

Al-Hassar, Ibn al-Banna y al-Qalasadi

Al-Hassār, un matemático de Marruecos especializado en jurisprudencia islámica sobre herencias durante el siglo XII, desarrolló la notación matemática simbólica moderna para fracciones, donde el numerador y el denominador están separados por una barra horizontal. Esta misma notación fraccionaria apareció poco después en la obra de Fibonacci en el siglo XIII.

Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī (1412-1486) fue el último gran algebrista árabe medieval, que hizo el primer intento de crear una notación algebraica desde Ibn al-Banna dos siglos antes, quien fue el primero en hacer tal intento desde Diofanto y Brahmagupta en la antigüedad. Las notaciones sincopadas de sus predecesores, sin embargo, carecían de símbolos para operaciones matemáticas. Al-Qalasadi "dio los primeros pasos hacia la introducción del simbolismo algebraico al usar letras en lugar de números" y al "usar palabras árabes cortas, o solo sus letras iniciales, como símbolos matemáticos".

Europa y la región mediterránea

Así como la muerte de Hipatia señala el cierre de la Biblioteca de Alejandría como centro matemático, la muerte de Boecio señala el fin de las matemáticas en el Imperio Romano Occidental. Aunque se estaba haciendo algo en Atenas, llegó a su fin cuando en 529 el emperador bizantino Justiniano cerró las escuelas filosóficas paganas. El año 529 se considera ahora como el comienzo del período medieval. Los eruditos huyeron del Oeste hacia el Este más hospitalario, particularmente hacia Persia, donde encontraron refugio bajo el rey Chosroes y establecieron lo que podría denominarse una "Academia ateniense en el exilio".Según un tratado con Justiniano, Chosroes finalmente devolvería a los eruditos al Imperio de Oriente. Durante la Edad Media, las matemáticas europeas estaban en su punto más bajo con la investigación matemática que consistía principalmente en comentarios sobre tratados antiguos; y la mayor parte de esta investigación se centró en el Imperio bizantino. El final del período medieval se establece como la caída de Constantinopla ante los turcos en 1453.

Baja Edad Media

El siglo XII vio una avalancha de traducciones del árabe al latín y para el siglo XIII, las matemáticas europeas comenzaban a rivalizar con las matemáticas de otras tierras. En el siglo XIII, la solución de una ecuación cúbica de Fibonacci es representativa del comienzo de un renacimiento en el álgebra europea.

A medida que el mundo islámico declinaba después del siglo XV, el mundo europeo ascendía. Y es aquí donde se desarrolló aún más el álgebra.

Álgebra simbólica

La notación moderna para operaciones aritméticas fue introducida entre finales del siglo XV y principios del siglo XVI por Johannes Widmann y Michael Stifel. A finales del siglo XVI, François Viète introdujo símbolos, ahora llamados variables, para representar números indeterminados o desconocidos. Esto creó una nueva álgebra consistente en calcular con expresiones simbólicas como si fueran números.

Otro evento clave en el desarrollo posterior del álgebra fue la solución algebraica general de las ecuaciones cúbicas y cuárticas, desarrollada a mediados del siglo XVI. La idea de un determinante fue desarrollada por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años después, con el propósito de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas usando matrices. Gabriel Cramer también realizó algunos trabajos sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII.

El simbolo x

Por tradición, la primera variable desconocida en un problema algebraico hoy en día se representa con el símbolo ${ matemáticas {x}}$ y si hay una segunda o tercera incógnita, entonces estas se etiquetan ${ matemáticas {y}}$ y $mathit{z}$ respectivamente. El algebraico $X$ se imprime convencionalmente en letra cursiva para distinguirlo del signo de multiplicación.

Los historiadores matemáticos generalmente están de acuerdo en que el uso de $X$ en álgebra fue introducido por René Descartes y se publicó por primera vez en su tratado La Géométrie (1637). En ese trabajo, usó letras del principio del alfabeto ${ estilo de visualización (a, b, c, puntos)}$ para cantidades conocidas y letras del final del alfabeto ${ estilo de visualización (z, y, x, puntos)}$ para incógnitas. Se ha sugerido que más tarde se decidió por $X$ (en lugar de $z$ ) por el primer desconocido debido a su abundancia relativamente mayor en las fuentes tipográficas francesas y latinas de la época.

$X$ En el siglo XIX se sugirieron tres teorías alternativas sobre el origen del algebraico: (1) un símbolo utilizado por los algebristas alemanes y que se pensaba que se derivaba de una letra cursiva $r,$ confundida con $X$ ; (2) el número 1 con tachado oblicuo; y (3) una fuente en árabe/español (ver más abajo). Pero el historiador suizo-estadounidense de las matemáticas Florian Cajori los examinó y encontró que los tres carecían de evidencia concreta; Cajori acreditó a Descartes como el creador y describió su ${ estilo de visualización x, y,}$ y $z$ como "libres de tradición [,] y su elección puramente arbitraria".

Sin embargo, la hipótesis hispano-árabe sigue estando presente en la cultura popular actual. Es la afirmación de que algebraico $X$ es la abreviatura de un supuesto préstamo del árabe en español antiguo. La teoría se originó en 1884 con el orientalista alemán Paul de Lagarde, poco después de que publicara su edición de un glosario bilingüe español/árabe de 1505 en el que el español cosa ("cosa") se emparejaba con su equivalente árabe, شىء (shay), transcrito como xei. (El sonido "sh" en español antiguo se deletreaba rutinariamente $X.$ ) Evidentemente, Lagarde sabía que los matemáticos árabes, en la etapa "retórica" del desarrollo del álgebra, usaban a menudo esa palabra para representar la cantidad desconocida. Supuso que "nada podría ser más natural" ("Nichts war also natürlicher...") que la inicial de la palabra árabe, romanizada como el español antiguo $X$ , se adoptara para su uso en álgebra. Un lector posterior reinterpretó la conjetura de Lagarde como si hubiera "probado" el punto. Lagarde desconocía que los primeros matemáticos españoles no usaban una transcripción de la palabra árabe, sino su traducción en su propio idioma, "cosa".

Gottfried leibniz

Aunque la noción matemática de función estaba implícita en las tablas trigonométricas y logarítmicas, que existían en su época, Gottfried Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en emplearla explícitamente para denotar cualquiera de varios conceptos geométricos derivados de una curva, como abscisa, ordenada, tangente, cuerda y la perpendicular. En el siglo XVIII, "función" perdió estas asociaciones geométricas.

Leibniz se dio cuenta de que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales se podían organizar en una matriz, ahora llamada matriz, que se puede manipular para encontrar la solución del sistema, si la hay. Este método se denominó más tarde eliminación gaussiana. Leibniz también descubrió el álgebra booleana y la lógica simbólica, también relevantes para el álgebra.

Álgebra abstracta

La habilidad para hacer álgebra es una habilidad cultivada en la educación matemática. Como explicó Andrew Warwick, los estudiantes de la Universidad de Cambridge a principios del siglo XIX practicaban "matemáticas mixtas", haciendo ejercicios basados en variables físicas como el espacio, el tiempo y el peso. Con el tiempo, la asociación de variables con cantidades físicas se desvaneció a medida que crecía la técnica matemática. Con el tiempo, las matemáticas se ocuparon por completo de los polinomios abstractos, los números complejos, los números hipercomplejos y otros conceptos. La aplicación a situaciones físicas se denominó entonces matemáticas aplicadas o física matemática, y el campo de las matemáticas se expandió para incluir el álgebra abstracta. Por ejemplo, el tema de los números construibles mostró algunas limitaciones matemáticas y se desarrolló el campo de la teoría de Galois.

El padre del álgebra

El título de "el padre del álgebra" se atribuye con frecuencia al matemático persa Al-Khwarizmi, respaldado por historiadores de las matemáticas, como Carl Benjamin Boyer, Solomon Gandz y Bartel Leendert van der Waerden. Sin embargo, el punto es discutible y el título a veces se atribuye al matemático helenístico Diofanto. Aquellos que apoyan a Diofanto señalan que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es más elemental que el álgebra que se encuentra en Arithmetica, y que Arithmetica está sincopada mientras que Al-Jabr es completamente retórica. Sin embargo, el historiador de las matemáticas Kurt Vogel argumenta en contra de que Diofanto tenga este título,ya que sus matemáticas no eran mucho más algebraicas que las de los antiguos babilonios.

Quienes apoyan a Al-Khwarizmi señalan el hecho de que dio una explicación exhaustiva de la solución algebraica de ecuaciones cuadráticas con raíces positivas, y fue el primero en enseñar álgebra en una forma elemental y por sí misma, mientras que Diofanto se preocupaba principalmente por la teoría de los números. Al-Khwarizmi también introdujo el concepto fundamental de "reducción" y "equilibrio" (al que originalmente usó el término al-jabr para referirse), refiriéndose a la transposición de términos sustraídos al otro lado de una ecuación, es decir, el cancelación de términos semejantes en lados opuestos de la ecuación.Otros partidarios de Al-Khwarizmi señalan que su álgebra ya no se ocupa "de una serie de problemas a resolver, sino de una exposición que comienza con términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles de ecuaciones, que en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio". También señalan su tratamiento de una ecuación por sí misma y "de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la resolución de un problema, sino que está específicamente llamada a definir una clase infinita de problemas". Victor J. Katz considera a Al-Jabr como el primer texto de álgebra verdadera que aún existe.

Historia moderna del álgebra

El trabajo de François Viète sobre el álgebra nueva a fines del siglo XVI fue un paso importante hacia el álgebra moderna. En 1637, René Descartes publicó La Géométrie, inventando la geometría analítica e introduciendo la notación algebraica moderna. Otro evento clave en el desarrollo posterior del álgebra fue la solución algebraica general de las ecuaciones cúbicas y cuárticas, desarrollada a mediados del siglo XVI. La idea de un determinante fue desarrollada por el matemático japonés Seki Kōwa en el siglo XVII, seguida de forma independiente por Gottfried Leibniz diez años después, con el propósito de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Gabriel Cramer también realizó algunos trabajos sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. Las permutaciones fueron estudiadas por Joseph-Louis Lagrange en su artículo de 1770 "Réflexions sur la résolution algébrique des équations " dedicado a las soluciones de ecuaciones algebraicas, en el que introdujo los resolventes de Lagrange. Paolo Ruffini fue la primera persona en desarrollar la teoría de los grupos de permutación y, como sus predecesores, también en el contexto de la resolución de ecuaciones algebraicas.

El álgebra abstracta se desarrolló en el siglo XIX, derivado del interés por la resolución de ecuaciones, centrándose inicialmente en lo que ahora se denomina teoría de Galois, y en cuestiones de constructibilidad. George Peacock fue el fundador del pensamiento axiomático en aritmética y álgebra. Augustus De Morgan descubrió el álgebra de relaciones en su Syllabus of a Proposed System of Logic. Josiah Willard Gibbs desarrolló un álgebra de vectores en el espacio tridimensional y Arthur Cayley desarrolló un álgebra de matrices (esta es un álgebra no conmutativa).