Hipercubo mágico

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

En matemáticas, un hipercubo mágico es la generalización k-dimensional de cuadrados mágicos y cubos mágicos, es decir, un n × n × n ×... × n conjunto de números enteros tal que las sumas de los números en cada pilar (a lo largo de cualquier eje), así como en las diagonales del espacio principal, sean todas lo mismo. La suma común se llama constante mágica del hipercubo y, a veces, se denota M_k(n). Si un hipercubo mágico consta de los números 1, 2,..., n^k, entonces tiene un número mágico.

M_k(n) = frac{n(n^k+1)}{2}

Para k = 4, un hipercubo mágico puede llamarse teseracto mágico, con una secuencia de números mágicos dada por OEIS: A021003.

La longitud del lado n del hipercubo mágico se llama orden. J. R. Hendricks ha construido hipercubos mágicos de cuatro, cinco, seis, siete y ocho dimensiones de orden tres.

Marian Trenkler demostró el siguiente teorema: Un hipercubo mágico p-dimensional de orden n existe si y sólo si p > 1 y n es diferente de 2 o p = 1. De la demostración se desprende la construcción de un hipercubo mágico.

El lenguaje de programación R incluye un módulo, library(magic), que creará hipercubos mágicos de cualquier dimensión con n un múltiplo de 4.

Hipercubos mágicos perfectos

Si, además, los números en cada sección transversal diagonal también suman el número mágico del hipercubo, el hipercubo se llama hipercubo mágico perfecto; de lo contrario, se llama hipercubo mágico semiperfecto. El número n se llama orden del hipercubo mágico.

Esta definición de "perfecto" Se supone que se utiliza una de las definiciones más antiguas de cubos mágicos perfectos. El Sistema de Clasificación Universal para Hipercubos (John R. Hendricks) requiere que para cualquier hipercubo de dimensión, todas las líneas posibles se sumen correctamente para que el hipercubo sea considerada magia perfecta. Debido a la confusión con el término perfecto, nasik es ahora el término preferido para cualquier hipercubo mágico donde todas las líneas posibles suman S. Nasik fue definido de esta manera por C. Planck en 1905. Un hipercubo mágico nasik tiene 1/2(3ⁿ − 1) líneas de m números que pasan por cada una de las celdas mⁿ.

Hipercubos mágicos de Nasik

Un hipercubo mágico Nasik es un hipercubo mágico con la restricción adicional de que todas las líneas posibles a través de cada celda suman correctamente para S = m(mⁿ+1/2 donde S es la constante mágica, m el orden y n la dimensión del hipercubo.

O, para decirlo de manera más concisa, todas las pan-r-agonales se suman correctamente para r = 1...n. Esta definición es la misma que la definición de Hendricks de perfecto, pero diferente de la definición de Boyer/Trump.

El término nasik se aplicaría a todas las dimensiones de los hipercubos mágicos en los que el número de caminos (líneas) que se suman correctamente a través de cualquier celda del hipercubo es P = 3ⁿ − 1/2.

Un cuadrado mágico pandiagonal entonces sería un cuadrado nasik porque 4 líneas mágicas pasan por cada una de las m² celdas. Esta era la definición original de nasik de A.H. Frost. Un cubo mágico nasik tendría 13 líneas mágicas que pasan por cada una de sus m³ celdas. (Este cubo también contiene 9m cuadrados mágicos pandiagonales de orden m.) Un teseracto mágico nasik tendría 40 líneas que pasan por cada uno de sus < tengo⁴ celdas, y así sucesivamente.

Historia

En 1866 y 1878, el reverendo A. H. Frost acuñó el término Nasik para el tipo de cuadrado mágico que comúnmente llamamos pandiagonal y que a menudo llamamos perfecto. Luego demostró el concepto con un cubo de orden 7 que ahora clasificamos como pandiagonal y un cubo de orden 8 que clasificamos como pantriagonal. En otro artículo de 1878 mostró otro cubo mágico pandiagonal y un cubo donde las 13 líneas m se suman correctamente, es decir, Hendricks perfecto. Se refirió a todos estos cubos como nasik como respeto al gran matemático indio DR Kaprekar, oriundo de Deolali en el distrito de Nasik en Maharashtra, India. En 1905, el Dr. Planck amplió la idea nasik en su Teoría de los caminos Nasik. En la introducción a su artículo, escribió;

Analogía sugiere que en las dimensiones superiores debemos emplear el término nasik como implicar la existencia de sumas mágicas paralelas a cualquier diagonal, y no restringirlo a diagonales en secciones paralelas a las caras del plano. El término se utiliza en este sentido más amplio a lo largo del presente documento.
—C. Planck, M.A.,M.R.C.S., The The The The The Theory of Paths Nasik, 1905

En 1917, el Dr. Planck volvió a escribir sobre este tema.

No es difícil percibir que si empujamos la analogía Nasik a dimensiones superiores el número de direcciones mágicas a través de cualquier célula de un k-fold debe ser 1⁄2(3^k-1).
—W. S. Andrews, Magic Squares and Cubes, Dover Publ., 1917, pág. 366

En 1939, B. Rosser y R. J. Walker publicaron una serie de artículos sobre cuadrados y cubos mágicos diabólicos (perfectos). Mencionaron específicamente que estos cubos contenían 13m² líneas que sumaban correctamente. También tenían cuadrados mágicos pandiagonales de 3m paralelos a las caras del cubo, y cuadrados mágicos pandiagonales de 6m paralelos a los planos diagonales del espacio.

Notaciones

Para tener todo a mano se desarrolló una notación especial:

${displaystyle left[{}_{k}i; kin {0,cdotsn-1}; iin {0,cdotsm-1}right]}$ : posiciones dentro del hipercubo
${displaystyle leftlangle {}_{k}i; kin {0,cdotsn-1}; iin {0,cdotsm-1}rightrangle }$ : vector a través de la hipercubina

Nota: La notación de posición también se puede utilizar para el valor de esa posición. Luego, cuando sea apropiado, se le puede agregar dimensión y orden, formando así: ⁿ[_k i]_m

Como se indica k recorre las dimensiones, mientras que la coordenada i recorre todos los valores posibles, cuando los valores i están fuera del rango simplemente se regresa al rango sumando o restando múltiplos apropiados de m, ya que el hipercubo mágico reside en un espacio modular de n dimensiones.

Puede haber múltiples k entre paréntesis, estos no pueden tener el mismo valor, aunque en orden indeterminado, lo que explica la igualdad de:

${displaystyle left[{}_{1}i,{}_{k}jright]=left[{}_{k}j,{}_{1}iright]}$

Por supuesto, dado k también se hace referencia a un valor i.

Did you mean:

When a specific coordinate value is mentioned the other values can be taken as 0, which is especially the case when the amount of ''s are limited using pe. #k = 1 as in:

${displaystyle left[{}_{k}1; #k=1right]=left[{}_{k}1 {}_{j}0; #k=1; #j=n-1right]}$ "extraño" vecino de ${displaystyle left[{}_{k}0right]}$ )

(#j=n-1 se puede dejar sin especificar) j ahora recorre todos los valores en [0..k-1,k+1..n-1].

Además: sin restricciones se especifica 'k' así como 'i' recorra todos los valores posibles, en combinaciones las mismas letras asumen los mismos valores. Por lo tanto, es posible especificar una línea particular dentro del hipercubo (ver r-agonal en la sección Pathfinder)

Nota: hasta donde yo sé, esta notación aún no se usa de manera general (?), los hipercubos generalmente no se analizan de esta manera particular.

Además: "perm(0..n-1)" especifica una permutación de los n números 0..n-1.

Construcción

Además de las construcciones más específicas, se destacan dos métodos de construcción más generales:

Did you mean:

Knight Jump construction

Esta construcción generaliza el movimiento de los caballos de ajedrez (vectores ${displaystyle langle 1,2ranglelangle 1,-2ranglelangle -1,2ranglelangle -1,-2rangle }$ ) a movimientos más generales (vectores ${displaystyle langle {}_{k}irangle }$ ). El método comienza en la posición P₀ y otros números se colocan secuencialmente en puestos $V_{0}$ más allá hasta (después de m pasos) se alcanza una posición que ya está ocupada, se necesita un vector más para encontrar la siguiente posición libre. Así el método es especificado por la matriz n+1:

{displaystyle [P_{0},V_{0}dots V_{n-1}]}

Did you mean:

This positions the number '' at position:

{displaystyle P_{k}=P_{0}+sum _{l=0}^{n-1}((kbackslash m^{l}) % m)V_{l};quad k=0dots m^{n}-1.}

Did you mean:

C. Planck gives in his 1905 article "The theory of Path Nasik " conditions to create with this method "Path Nasik#34; (or modern {perfect}) hypercubes.

Construcción de prescripción latina

(ecuaciones modulares). Este método también se especifica mediante una matriz n por n+1. Sin embargo, esta vez multiplica el vector n+1 [x₀,..,x_n-1,1]. Después de esta multiplicación, el resultado se toma como módulo m para lograr los n (latinos) hipercubos:

LP_k =_l=0.^n-1 LP_k,l x_l + LP_k,n) % m

de números de base m (también llamados "dígitos"). En estos LP_k's "cambio de dígitos" (?es decir, manipulación básica) generalmente se aplican antes de que estos LP_k's se combinen en el hipercubo:

ⁿH_m = _k=0.^n-1 LP_k m^k

J.R.Hendricks a menudo usa ecuaciones modulares; las condiciones para crear hipercubos de diversa calidad se pueden encontrar en http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia en varios lugares (especialmente en la sección p)

Ambos métodos llenan el hipercubo con números, el salto de caballero garantiza (dados los vectores apropiados) que todos los números estén presentes. La prescripción latina solo si los componentes son ortogonales (no hay dos dígitos que ocupen la misma posición)

Multiplicación

Entre las diversas formas de capitalización, la multiplicación puede considerarse como el más básico de estos métodos. La multiplicación básica viene dada por:

ⁿH_m₁ * ⁿH_m₂: ⁿ[_ki)_m₁m₂ = ⁿ[_ki  m₂]_m₁m₁ⁿ]_m₂ +_ki % m₂]_m₂]_m₁m₂

La mayoría de los métodos de composición pueden verse como variaciones de los anteriores. Como la mayoría de los calificadores son invariantes en la multiplicación, se puede, por ejemplo, colocar cualquier variante de aspecto de ⁿH_m₂ en la ecuación anterior, además de que en el resultado se puede aplicar una manipulación para mejorar la calidad. Por lo tanto, se puede especificar la duplicación de J. R. Hendricks / M. Trenklar. Estas cosas van más allá del alcance de este artículo.

Aspectos

¡Un hipercubo conoce n! 2ⁿ Variantes aspectoles, que se obtienen por reflexión de coordenadas ([_ki] --> [_k(-i)]) y permutaciones de coordenadas ([_ki] --> [_perm[k]i]) dando efectivamente la variante Aspectial:

ⁿH_m^{~R perm(0.n-1)}; R = _k=0.^n-1 (reflect(k))) ? 2^k: 0); perm(0.n-1) una permutación de 0.n-1

Donde se refleja la coordenada k de reflect(k) verdadera si se refleja, solo entonces se agrega 2^k a R. Como es fácil ver, sólo se pueden reflejar n coordenadas explicando 2ⁿ, las n! ¡La permutación de n coordenadas explica el otro factor de la cantidad total de "variantes aspectos"!

Did you mean:

Aspectial variants are generally seen as being equal. Thus any hypercube can be represented shown in "normal position or#34; by:

[_k0] = min([_kθ; θ ε {-1,0}) (por reflexión)
[_k1; #k=1]_k+11; #k=1]; k = 0.n-2 (por permutación coordinada)

(aquí se indica explícitamente: [_k0] el mínimo de todos los puntos de las esquinas. El vecino axial secuencialmente según el número axial)

Manipulaciones básicas

Además de manipulaciones más específicas, las siguientes son de naturaleza más general

#[perm(0.n-1)]: permutación del componente
^[perm(0.n-1)]: coordinación de permutación (n == 2: transpose)
_2^axis[perm(0..m-1)]: permutación monagonal (eje ε [0.n-1])
=[perm(0..m-1)]: cambio de dígitos

Nota: '#', '^', '_' y '=' son parte esencial de la notación y se utilizan como selectores de manipulación.

Permutación de componentes

Definido como el intercambio de componentes, variando así el factor m^k en m^perm(k), debido a que hay n hipercubos componentes, la permutación se realiza sobre estos n componentes

Permutación de coordenadas

El intercambio de coordenadas [_ki] en [_perm(k)i], debido a n coordenadas se requiere una permutación sobre estas n direcciones. El término transposición (normalmente denotado por ^t) se utiliza con matrices bidimensionales, aunque en general tal vez se trate de una "permutación de coordenadas" podría ser preferible.

Permutación monogonal

Definido como el cambio de [_ki] a [_kperm(i)] junto con el dada la dirección "axial". Se puede combinar una permutación igual a lo largo de varios ejes sumando los factores 2^eje. Definiendo así todo tipo de permutaciones r-agonales para cualquier r. Es fácil ver que todas las posibilidades están dadas por la correspondiente permutación de m números.

Obsérvese que la reflexión es el caso especial:

~R = _R[n-1,..,0]

Did you mean:

Further when all the axes undergo the same;permutation (R = 2ⁿ-1) an <bn-agonal permutation is achieved, In this special case the '' is usually omitted so:

_[perm(0.n-1)] = _(2)ⁿ-1) [perm(0.n-1)]

Cambio de dígitos

Normalmente se aplica a nivel de componente y puede verse como dado por [_ki] en perm([_ki ]) dado que un componente está lleno de m dígitos de base, una permutación sobre m números es una manera apropiada de indicarlos.

Conquistadores

Did you mean:

J. R. Hendricks called the directions within a hypercubes and#34;pathfinders", these directions are simplest denoted in a ternary number system as:

Pf_p Donde: p = _k=0.^n-1 ()_ki + 1) 3^k Identificado==conferencia_ki i ε {-1,0,1}

Did you mean:

This gives 3^{and directions. since every direction is traversed both ways one can limit to the upper half [(3ⁿ-1)/2,..,3ⁿ-1)] of the full range.}

Con estos buscadores de ruta se puede especificar cualquier línea que se vaya a sumar (o r-agonal):

[ _j0 _kp _lq; #j=1 #k=r-1; k c) _j1 _kSilencio _l[0, m-1]

Did you mean:

which specifies all (broken) are-diagonals, p and q ranges could be omitted from this description. The main (unbroken) r-diagonals are thus given by the slight modification of the above:

[ _j0 _k0 _l-1 _sp; #j=1 #k+#l=r-1; k,l но j ] _j1 _k1 _l-1 _s0

Calificaciones

Did you mean:

A hypercube ^andH_m with numbers in the analytical numberrange [0mⁿ-1] has the magic sum:

ⁿS_m = mⁿ - 1) / 2.

Did you mean:

Besides more specific qualifications the following are the most important, "summing " of course stands for "summing correctly to the magic sum#34;

{}r-agonal}: todos los r-agonals principales (no rotos) están resumiendo.
{}pan r-agonal}: todos los r-agonals (no rotos y rotos) están summing.
{}magia} {1-agonal n-agonal}
{}perfecto} {pan r-agonal; R = 1..n}

Nota: Esta serie no comienza con 0 ya que no existe un agonal nulo, los números se corresponden con los insultos habituales: 1-agonal = monogonal, 2-agonal = diagonal, 3 -agonal = triagonal, etc. Aparte de esto, el número corresponde a la cantidad de "-1" y "1" en el buscador de ruta correspondiente.

En caso de que el hipercubo también sume cuando todos los números se elevan a la potencia p, se obtienen p-hipercubos multimágicos. Los calificadores anteriores simplemente se anteponen al calificador p-multimagic. Esto define las calificaciones como {r-agonal 2-magic}. Aquí también "2-" generalmente se reemplaza por "bi", "3-" por "tri" etc. ("1-magic" sería "monomagic" pero "mono" generalmente se omite). La suma de los hipercubos p-Multimagic se puede encontrar usando la fórmula de Faulhaber y dividiéndola por m^n-1.

También "mágico" (es decir, {1-agonal n-agonal}), el cubo Trump/Boyer {diagonal} se ve técnicamente {1-agonal 2-agonal 3-agonal}.

El hipercubo mágico Nasik ofrece argumentos para usar {nasik} como sinónimo de {perfecto}. La extraña generalización del cuadrado 'perfecto' Sin embargo, usarlo como sinónimo de {diagonal} en cubos también se resuelve colocando llaves alrededor de los calificadores, por lo que {perfect} significa {pan r-agonal; r = 1..n} (como se mencionó anteriormente).

algunas calificaciones menores son:

{}ⁿcompacto} {all order 2 subhyper cubes sum to 2ⁿ ⁿS_m / m}
{}ⁿcompleto} {todos los pares azotan una suma separada n-agonal igual (a (mⁿ - 1)

{ⁿcompacto} podría ponerse en notación como: _(k)Σ [_ji + _k1] = 2ⁿ ⁿS_m / m. {ⁿcompleto} se puede escribir simplemente como: [_ji] + [_ji + _k(m/2); #k=n ] = mⁿ - 1 donde:

_k)La enigma es simbólica para resumir todos los k's posibles, hay 2ⁿ posibilidades de _k1.

[_ji + _k1] expresa [_ji) y todos sus vecinos r-agonales.

Did you mean:

for {complete} the complement of [_xi] is at position [_ji + _k(m/2); #k=n ].

para cuadrados: {²compacto ²completo} es la "calificación moderna/alternativa" de lo que Dame Kathleen Ollerenshaw llamó el cuadrado mágico más perfecto, {ⁿcompacto ⁿcompleto} es el calificador de la característica en más de 2 dimensiones.

Precaución: algunas personas parecen equiparar {compact} con {²compact} en lugar de {ⁿcompact}. Dado que este artículo introductorio no es el lugar para discutir este tipo de cuestiones, puse el pre-superíndice dimensional ⁿ para ambos calificadores (que se definen como se muestra) consecuencias de {ⁿcompact} es que varias figuras también suman ya que se pueden formar sumando/restando 2 subhipercubos de orden. Cuestiones como estas van más allá del alcance de este artículo.

Hiperrayo mágico

Un hiperrayo mágico (rectángulo mágico de n dimensiones) es una variación de un hipercubo mágico donde los órdenes a lo largo de cada dirección pueden ser diferentes. Como tal, un hiperrayo mágico generaliza el rectángulo mágico bidimensional y el rayo mágico tridimensional, una serie que imita la serie del cuadrado mágico, el cubo mágico. y el hipercubo mágico. Este artículo imitará detalladamente el artículo sobre hipercubos mágicos y, al igual que ese artículo, sirve simplemente como una introducción al tema.

Convenciones

Es costumbre indicar la dimensión con la letra 'n' y las órdenes de un hiperrayo con la letra 'm' (adjunto con el número subíndice de la dirección a la que se aplica).

()n) Dimension: la cantidad de direcciones dentro de un hiperbeam.
()m_k) Orden: la cantidad de números a lo largo de kmonagonal k = 0,... n− 1.

Además: en este artículo, el rango de números analíticos [0.._k=0Π^n-1m_k-1] es siendo utilizado.

Notaciones

Para tener todo a mano se desarrolló una notación especial:

[ _ki; k=[0.n-1]; i=[0.m_k-1]: posiciones dentro del hiperbeam
.: vectores a través del hiperbeam

Nota: La notación de posición también se puede utilizar para el valor de esa posición. Allí donde tiene la dimensión apropiada y se le pueden agregar órdenes formando así: ⁿ[_ki]_{m₀,..,m_n-1}

Construcción

Básico

Se podría incluir aquí una descripción de métodos más generales. No suelo crear hiperrayos, por lo que no sé si Knightjump o Latin Prescription funcionan aquí. Otros métodos más ad hoc son suficientes. En ocasiones necesito un hiperrayo.

Multiplicación

Entre las diversas formas de capitalización, la multiplicación puede considerarse como el más básico de estos métodos. La multiplicación básica viene dada por:

ⁿB_(m.)₁ * ⁿB_(m.)₂: ⁿ[_ki)_{(m.)₁(m.)₂} = ⁿ[_ki m_k2]]_(m.)₁k=0▪^n-1m_k1]_(m.)₂ +_ki % m_k2]_(m.)₂]_{(m.)₁(m.)₂}

(m..) abrevia: m₀,..,m_n-1. (m..)₁(m..)₂ abrevia: m_0₁m_{0 ₂},..,m_n-1₁m_n-1₂.

Curiosidades

Todas las órdenes son pares o impares

Un hecho que se puede ver fácilmente ya que las sumas mágicas son:

S_k =_k ()_j=0▪^n-1m_j - 1) / 2

Cuando cualquiera de los pedidos m_k es par, el producto es par y, por lo tanto, la única forma en que S_k resulta ser un número entero es cuando todos los m_k son pares. Por tanto, basta: todos los m_k son pares o impares.

Esto es con la excepción de m_k=1, por supuesto, que permite identidades generales como:

N_m^t N_m,1 * N_1,m
N_m N_1,m * N_m,1

Lo cual va más allá del alcance de este artículo introductorio

Solo una dirección con orden = 2

dado que cualquier número tiene un solo complemento, sólo una de las direcciones puede tener m_k = 2.

Aspectos

Un hiperrayo conoce 2ⁿ variantes aspectoles, que se obtienen mediante reflexión coordinada ([_ki] → [_k(-i)]) dando efectivamente la variante Aspectol:

ⁿB_{(m₀.._n-1)}^~R; R = _k=0.^n-1 (reflect(k))) ? 2^k: 0);

Donde reflect(k) es verdadero si y solo si se refleja la coordenada k, solo entonces se agrega 2^k a R.

En caso de que uno vea diferentes orientaciones del haz como iguales, podría ver el número de aspectos n! 2ⁿ al igual que con los hipercubos mágicos, las direcciones con órdenes iguales contribuyen factores dependiendo de las órdenes del hiperrayo. Esto va más allá del alcance de este artículo.

Manipulaciones básicas

Además de manipulaciones más específicas, las siguientes son de naturaleza más general

^[perm(0.n-1)]: permutación coordinada (n == 2: transpose)
_2^axis[perm(0..m-1)]: permutación monagonal (eje ε [0.n-1])

Nota: '^' y '_' son parte esencial de la notación y se utilizan como selectores de manipulación.

Permutación de coordenadas

El intercambio de coördinaat [_ki] en [_perm(k)i], debido a n coordenadas Se requiere una permutación sobre estas n direcciones. El término transposición (normalmente denotado por ^t) se utiliza con matrices bidimensionales, aunque en general tal vez se trate de una "coördinaatpermutation" podría ser preferible.

Permutación monogonal

Definido como el cambio de [_ki] a [_kperm(i)] junto con el dada la dirección "axial". Se puede combinar una permutación igual a lo largo de varios ejes con órdenes iguales sumando los factores 2^eje. Definiendo así todo tipo de permutaciones r-agonales para cualquier r. Es fácil ver que todas las posibilidades están dadas por la correspondiente permutación de m números.

Posición normal

Did you mean:

In case no restrictions are considered on the n-agonals a magic hyperbeam can be represented shown in "normal position#34; by:

[_ki)_k(i+1)]; i = 0.m_k-2 (por permutación monagonal)

Calificación

Calificar que el hiperrayo está menos desarrollado que en los hipercubos mágicos; de hecho, solo la k'ésima dirección monogonal debe sumar:

S_k =_k ()_j=0▪^n-1m_j - 1) / 2

para todo k = 0..n-1 para que el hiperrayo sea calificado como {magia}

Cuando los órdenes no son primos relativos, la suma n-agonal se puede restringir a:

S = lcm(m)_i; i = 0.n-1) (_j=0▪^n-1m_j - 1) / 2

con todos los pedidos relativamente primos, esto alcanza su máximo:

S_max = _j=0▪^n-1m_j ()_j=0▪^n-1m_j - 1) / 2

Did you mean:

Special hyperbeam

Los siguientes hiperrayos tienen propósitos especiales:

Did you mean:

The "normal hyperbeam#34;

ⁿN_{m₀,.._n-1}[_ki) = _k=0.^n-1 _kI_k^k

Este hiperrayo puede verse como la fuente de todos los números. Un procedimiento llamado "Numeración dinámica" hace uso del isomorfismo de cada hiperhaz con esta normal, cambiando la fuente, cambia el hiperhaz. Las multiplicaciones básicas de hiperrayos normales desempeñan un papel especial con la "numeración dinámica" de hipercubos mágicos de orden _k=0Π^n-1 m^k.

La "constante 1"

ⁿ1_{m₀,.._n-1}[_ki) = 1

El hiperrayo que generalmente se agrega para cambiar el método "analítico" rango de números en el rango "normal" rango de números. Otros hiperrayos constantes son, por supuesto, múltiplos de éste.

Contenido relacionado

Más resultados...