Grupo unitario especial

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Grupo de matrices unitarias con determinante de 1

En matemáticas, el grupo unitario especial de grado $n$ , denominado $SU (n)$ , es el grupo de Mentira de $n \times n$ unitarios matrices con determinante 1.

Las matrices del grupo unitario más general pueden tener determinantes complejos con valor absoluto 1, en lugar de 1 real en el caso especial.

La operación del grupo es multiplicación de matriz. El grupo unitario especial es un subgrupo normal del grupo unitario $U(n)$ , que consiste en todos $n \times n$ matrices unitarias. Como grupo clásico compacto, $U(n)$ es el grupo que preserva el producto interno estándar en $mathbb {C} ^{n}$ . Es en sí mismo un subgrupo del grupo lineal general, ${displaystyle operatorname {SU} (n)subset operatorname {U} (n)subset operatorname {GL} (n,mathbb {C})}$ .

El $SU n)$ grupos encuentran amplia aplicación en el Modelo Estándar de la física de partículas, especialmente $SU(2)$ en la interacción electroweak y $SU(3)$ en cromodinámica cuántica. Los grupos $SU(2) n)$ son importantes en la computación cuántica, ya que representan las posibles operaciones de la lógica cuántica en un circuito cuántico con $n$ y así $2^{n}$ Estados de base. (Alternatively, the more general unitary group ${displaystyle U(2^{n})}$ se puede utilizar, ya que multiplicado por un factor de fase global ${displaystyle e^{ivarphi }}$ no cambia los valores de expectativa de un operador cuántico.)

El caso más simple, $SU(1)$ , es el grupo trivial, que tiene un solo elemento. El grupo $SU(2)$ es isomorfo al grupo de cuaterniones de la norma 1 y, por lo tanto, es difeomorfo a la 3-esfera. Dado que los cuaterniones unitarios se pueden usar para representar rotaciones en un espacio tridimensional (hasta el signo), existe un homomorfismo sobreyectivo de $SU(2)$ al grupo de rotación SO(3) cuyo kernel es ${+ I, - I}$ . $SU(2)$ también es idéntico a uno de los grupos de simetría de espinores, Spin(3), que permite una presentación espinora de rotaciones.

Propiedades

El grupo unitario especial $SU(n)$ es un grupo de Lie estrictamente real (frente a un grupo de Lie complejo más general). Su dimensión como variedad real es $n 2 - 1$ . Topológicamente, es compacto y simplemente conectado. Algebraicamente, es un grupo de Lie simple (lo que significa que su álgebra de Lie es simple; ver más abajo).

El centro de $SU n)$ es isomorfo al grupo cíclico $mathbb {Z} /nmathbb {Z}$ , y se compone de las matrices diagonales $I$ para $Especificaciones$ an $n$ ‐a raíz de la unidad y $I$ el $n \times n$ matriz de identidad.

Su grupo de automorfismo externo $n \geq 3$ es ${displaystyle ,mathbb {Z} /2mathbb {Z} ,,}$ mientras que el grupo de automorfismo externo $SU(2)$ es el grupo trivial.

Un toro máximo de rango $n - 1$ viene dado por el conjunto de matrices diagonales con determinante 1. El grupo de Weyl de SU(n) es el grupo simétrico $S n$ , que está representado por matrices de permutación con signo (los signos siendo necesario asegurar que el determinante sea 1).

El álgebra de Lie de $SU n)$ , denotado por ${mathfrak {su}}(n)$ , se puede identificar con el conjunto de anti-Hermitian sin trazos $n \times n$ matrices complejas, con el conmutador regular como soporte de Lie. Los físicos de partículas utilizan a menudo una representación diferente, equivalente: El conjunto de Hermitian sin trazas $n \times n$ matrices complejas con soporte de Lie $- i$ veces el conmutador.

Álgebra de mentira

El álgebra de Lie ${mathfrak {su}}(n)$ de $operatorname {SU} (n)$ consta de $ntimes n$ matrices hermitianas con rastro cero. Este (real) Álgebra de Lie tiene dimensión ${displaystyle n^{2}-1}$ . Más información sobre la estructura de este álgebra de Lie se puede encontrar abajo en la sección "Estructura de álgebra de Lie."

Representación fundamental

En la literatura física, es común identificar el álgebra de Lie con el espacio de traza-cero Hermitian (en vez de las matrices de los skew-Hermitian). Es decir, los físicos Álgebra de mentira difiere por un factor de $i$ de los matemáticos. Con esta convención, se puede elegir generadores $T a$ que son complejo Hermitian sin trazas $n \times n$ matrices, donde:

{displaystyle T_{a},T_{b}={tfrac {1}{,2n,}},delta _{ab},I_{n}+{tfrac {1}{2}},sum _{c=1}^{n^{2}-1}left(if_{abc}+d_{abc}right),T_{c}}

donde las $f$ son las constantes de estructura y son antisimétricas en todos los índices, mientras que las $d Los coeficientes$ son simétricos en todos los índices.

Como consecuencia, el conmutador es:

{displaystyle ~left[T_{a},,T_{b}right]~=~isum _{c=1}^{n^{2}-1},f_{abc},T_{c};,}

y el anticonmutador correspondiente es:

{displaystyle left{T_{a},,T_{b}right}~=~{tfrac {1}{n}},delta _{ab},I_{n}+sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc},T_{c}}~.}

El factor de $i$ en la relación de conmutación surge de la convención de física y no está presente al utilizar la convención de los matemáticos.

La condición de normalización convencional es

{displaystyle sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace},d_{bce}={tfrac {,n^{2}-4,}{n}},delta _{ab}~.}

Representación adjunta

En el $(n 2 - 1)$ - representación adjunta dimensional, los generadores están representados por $(n 2 - 1)$ × $(n 2 - 1)$ matrices, cuyos elementos están definidos por las propias constantes de estructura:

{displaystyle left(T_{a}right)_{jk}=-if_{ajk}.}

El grupo SU(2)

Usando la multiplicación de matrices para la operación binaria, $SU(2)$ forma un grupo,

{displaystyle operatorname {SU} (2)=left{{begin{pmatrix}alpha &-{overline {beta }}\beta &{overline {alpha }}end{pmatrix}}: alphabeta in mathbb {C}|alpha |^{2}+|beta |^{2}=1right}~,}

donde la línea superior denota una conjugación compleja.

Difeomorfismo con el S3 de 3 esferas

Si lo consideramos $alphabeta$ como un par en $mathbb{C}^2$ Donde ${displaystyle alpha =a+bi}$ y ${displaystyle beta =c+di}$ , entonces la ecuación ${displaystyle |alpha |^{2}+|beta |^{2}=1}$ se convierte en

{displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}

Esta es la ecuación del S3 de 3 esferas. Esto también se puede ver usando una incrustación: el mapa

{displaystyle {begin{aligned}varphi colon mathbb {C} ^{2}to {}&operatorname {M} (2,mathbb {C})\[5pt]varphi (alphabeta)={}&{begin{pmatrix}alpha &-{overline {beta }}\beta &{overline {alpha }}end{pmatrix}},end{aligned}}}

Donde ${displaystyle operatorname {M} (2,mathbb {C})}$ denota el conjunto de 2 por 2 matrices complejas, es un mapa lineal inyectable real (por considerar $mathbb{C}^2$ diffeomorfo a $mathbb {R} ^{4}$ y ${displaystyle operatorname {M} (2,mathbb {C})}$ diffeomorfo a ${mathbb {R}}^{8}$ ). Por consiguiente, la restricción $φ$ al 3-sfere (since modulus es 1), denotado $S 3$ , es una incrustación de la 3-sfera en un submanifold compacto de ${displaystyle operatorname {M} (2,mathbb {C})}$ , a saber $φ () S 3) = SU(2)$ .

Por lo tanto, como variedad, $S 3$ es difeomorfa a $SU(2)$ , que muestra que $SU(2)$ simplemente está conectado y que $S 3$ puede dotarse de la estructura de un grupo de Lie compacto y conectado.

Isomorfismo con grupo de versores

Los cuaterniones de la norma 1 se denominan versores ya que generan el grupo de rotación SO(3): La matriz $SU(2)$ :

{displaystyle {begin{pmatrix}a+bi&c+di\-c+di&a-biend{pmatrix}}quad (a,b,c,din mathbb {R})}

se puede asignar al cuaternión

{displaystyle a,{hat {1}}+b,{hat {i}}+c,{hat {j}}+d,{hat {k}}}

Este mapa es, de hecho, un isomorfismo de grupo. Además, el determinante de la matriz es la norma al cuadrado del cuaternión correspondiente. Claramente, cualquier matriz en $SU(2)$ tiene esta forma y, dado que tiene determinante 1, el cuaternión correspondiente tiene norma 1. Por lo tanto, $SU(2)$ es isomorfo al grupo de versores.

Relación con las rotaciones espaciales

Cada versor está naturalmente asociado a una rotación espacial en 3 dimensiones, y el producto de versores está asociado a la composición de las rotaciones asociadas. Además, cada rotación surge de exactamente dos versores de esta manera. En resumen: hay un homomorfismo sobreyectivo 2:1 de SU(2) a SO(3); en consecuencia, SO(3) es isomorfo al grupo cociente SU(2)/{±I}, la variedad subyacente SO(3) se obtiene identificando los puntos antípodas de las 3 esferas $S 3$ y SU(2) es la cubierta universal de SO(3).

Álgebra de mentira

El álgebra de Lie de $SU(2)$ consta de $2times 2$ matrices hermitianas con rastro cero. Explícitamente, esto significa

{displaystyle {mathfrak {su}}(2)=left{{begin{pmatrix}i a&-{overline {z}}\z&-i aend{pmatrix}}: ain mathbb {R}zin mathbb {C} right}~.}

El álgebra de Lie se genera luego mediante las siguientes matrices,

{displaystyle u_{1}={begin{pmatrix}0&i\i&0end{pmatrix}},quad u_{2}={begin{pmatrix}0&-1\1&0end{pmatrix}},quad u_{3}={begin{pmatrix}i&0\0&-iend{pmatrix}}~,}

que tienen la forma del elemento general especificado anteriormente.

Esto también puede ser escrito como ${displaystyle {mathfrak {su}}(2)=operatorname {span} left{isigma _{1},isigma _{2},isigma _{3}right}}$ usando las matrices Pauli.

Estos satisfacen las relaciones de la cuaternión ${displaystyle u_{2} u_{3}=-u_{3} u_{2}=u_{1}~,}$ ${displaystyle u_{3} u_{1}=-u_{1} u_{3}=u_{2}~,}$ y ${displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2} u_{1}=u_{3}~.}$ Por lo tanto, el corchete del conmutador se especifica por

{displaystyle left[u_{3},u_{1}right]=2 u_{2},quad left[u_{1},u_{2}right]=2 u_{3},quad left[u_{2},u_{3}right]=2 u_{1}~.}

Los generadores anteriores están relacionados con las matrices Pauli por ${displaystyle u_{1}=i sigma _{1}~,,u_{2}=-i sigma _{2}}$ y ${displaystyle u_{3}=+i sigma _{3}~.}$ Esta representación se utiliza rutinariamente en la mecánica cuántica para representar el giro de partículas fundamentales como electrones. También sirven como vectores de unidad para la descripción de nuestras 3 dimensiones espaciales en la gravedad cuántica de bucle. También corresponden a las puertas de Pauli X, Y y Z, que son generadores estándar para las puertas de cubito individuales, correspondientes a las rotaciónes de 3d sobre los ejes de la esfera Bloch.

El álgebra de Lie sirve para resolver las representaciones de SU(2).

El grupo SU(3)

$SU(3)$ es un simple de 8 dimensiones Grupo de mentiras compuesto por todos $3 \times 3$ matrices unitarias con determinantes 1.

Topología

El grupo $SU(3)$ es un grupo Lie simplemente conectado, compacto. Su estructura topológica puede entenderse notando que SU(3) actúa transitivamente en la esfera unitaria $S^{5}$ dentro ${displaystyle mathbb {C} ^{3}cong mathbb {R} ^{6}}$ . El estabilizador de un punto arbitrario en la esfera es isomorfo a SU(2), que topológicamente es un 3-sfere. Luego sigue que SU(3) es un paquete de fibra sobre la base $S^{5}$ con fibra $S^{3}$ . Dado que las fibras y la base están simplemente conectadas, la simple conexión de SU(3) entonces sigue por medio de un resultado topológico estándar (la larga secuencia exacta de grupos de homotopy para paquetes de fibra).

El $SU(2)$ - Sobresaltos $S^{5}$ clasificadas por ${displaystyle pi _{4}{mathord {left(S^{3}right)}}=mathbb {Z} _{2}}$ ya que tal paquete se puede construir mirando paquetes triviales en los dos hemisferios ${displaystyle S_{N}^{5},S_{S}^{5}}$ y mirando la función de transición en su intersección, que es homotopy equivalente a $S^4$ Así que

{displaystyle S_{N}^{5}cap S_{S}^{5}simeq S^{4}}

Entonces, todas esas funciones de transición se clasifican por clases de mapas de homotopía

{displaystyle left[S^{4},SU(2)right]cong left[S^{4},S^{3}right]=pi _{4}{mathord {left(S^{3}right)}}cong mathbb {Z} /2}

y como ${displaystyle pi _{4}(SU(3))={0}}$ en lugar de $mathbb {Z} /2$ , $SU(3)$ no puede ser el paquete trivial ${displaystyle SU(2)times S^{5}cong S^{3}times S^{5}}$ , y por lo tanto debe ser el único paquete notrivial (twisted). Esto se puede mostrar mirando la secuencia exacta inducida en grupos de homotopy.

Teoría de la representación

La teoría de la representación $SU(3)$ está bien entendido. Descripción de estas representaciones, desde el punto de vista de su álgebra Lie compleja ${displaystyle {mathfrak {sl}}(3;mathbb {C})}$ , puede encontrarse en los artículos sobre las representaciones de álgebra Lie o los coeficientes Clebsch–Gordan para SU(3).

Álgebra de mentira

Los generadores, $T$ , del álgebra de Lie ${displaystyle {mathfrak {su}}(3)}$ de $SU(3)$ en la definición (física de partículas, Hermitian) representación, son

{displaystyle T_{a}={frac {lambda _{a}}{2}}~,}

donde $λ a$ , las matrices de Gell-Mann, son las $SU (3)$ análogo de las matrices de Pauli para $SU(2)$ :

{displaystyle {begin{aligned}lambda _{1}={}&{begin{pmatrix}0&1&0\1&0&0\0&0&0end{pmatrix}},&lambda _{2}={}&{begin{pmatrix}0&-i&0\i&0&0\0&0&0end{pmatrix}},&lambda _{3}={}&{begin{pmatrix}1&0&0\0&-1&0\0&0&0end{pmatrix}},\[6pt]lambda _{4}={}&{begin{pmatrix}0&0&1\0&0&0\1&0&0end{pmatrix}},&lambda _{5}={}&{begin{pmatrix}0&0&-i\0&0&0\i&0&0end{pmatrix}},\[6pt]lambda _{6}={}&{begin{pmatrix}0&0&0\0&0&1\0&1&0end{pmatrix}},&lambda _{7}={}&{begin{pmatrix}0&0&0\0&0&-i\0&i&0end{pmatrix}},&lambda _{8}={frac {1}{sqrt {3}}}&{begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&-2end{pmatrix}}.end{aligned}}}

Estos $λ a$ abarcan todas las matrices hermitianas sin rastro $H$ del álgebra de Lie, según se requiera. Tenga en cuenta que $λ 2, λ 5, λ 7$ son antisimétricos.

Obedecen las relaciones

{displaystyle {begin{aligned}left[T_{a},T_{b}right]&=isum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\left{T_{a},T_{b}right}&={frac {1}{3}}delta _{ab}I_{3}+sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},end{aligned}}}

o, de manera equivalente,

{displaystyle {lambda _{a},lambda _{b}}={frac {4}{3}}delta _{ab}I_{3}+2sum _{c=1}^{8}{d_{abc}lambda _{c}}}

Las $f$ son las constantes de estructura del álgebra de Lie, dadas por

{displaystyle {begin{aligned}f_{123}&=1,\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={frac {1}{2}},\f_{458}=f_{678}&={frac {sqrt {3}}{2}},end{aligned}}}

mientras que todos los demás $f abc$ no relacionados con estos por permutación son cero. En general, desaparecen a menos que contengan un número impar de índices del conjunto {2, 5, 7}.

Los coeficientes simétricos $d$ toman los valores

{displaystyle {begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={frac {1}{sqrt {3}}}\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{frac {1}{2{sqrt {3}}}}\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={frac {1}{2}}~.end{aligned}}}

Desaparecen si el número de índices del conjunto {2, 5, 7} es impar.

Un elemento de grupo genérico $SU(3)$ generado por una matriz hermitiana de 3×3 sin trazas $H$ , normalizado como $tr(H 2) = 2$ , se puede expresar como segundo orden en $H$ :

{displaystyle {begin{aligned}exp(itheta H)={}&left[-{frac {1}{3}}Isin left(varphi +{frac {2pi }{3}}right)sin left(varphi -{frac {2pi }{3}}right)-{frac {1}{2{sqrt {3}}}}~Hsin(varphi)-{frac {1}{4}}~H^{2}right]{frac {exp left({frac {2}{sqrt {3}}}~itheta sin(varphi)right)}{cos left(varphi +{frac {2pi }{3}}right)cos left(varphi -{frac {2pi }{3}}right)}}\[6pt]&{}+left[-{frac {1}{3}}~Isin(varphi)sin left(varphi -{frac {2pi }{3}}right)-{frac {1}{2{sqrt {3}}}}~Hsin left(varphi +{frac {2pi }{3}}right)-{frac {1}{4}}~H^{2}right]{frac {exp left({frac {2}{sqrt {3}}}~itheta sin left(varphi +{frac {2pi }{3}}right)right)}{cos(varphi)cos left(varphi -{frac {2pi }{3}}right)}}\[6pt]&{}+left[-{frac {1}{3}}~Isin(varphi)sin left(varphi +{frac {2pi }{3}}right)-{frac {1}{2{sqrt {3}}}}~Hsin left(varphi -{frac {2pi }{3}}right)-{frac {1}{4}}~H^{2}right]{frac {exp left({frac {2}{sqrt {3}}}~itheta sin left(varphi -{frac {2pi }{3}}right)right)}{cos(varphi)cos left(varphi +{frac {2pi }{3}}right)}}end{aligned}}}

dónde

{displaystyle varphi equiv {frac {1}{3}}left[arccos left({frac {3{sqrt {3}}}{2}}det Hright)-{frac {pi }{2}}right].}

Estructura del álgebra de mentiras

Como se señaló anteriormente, el álgebra de Lie ${mathfrak {su}}(n)$ de $operatorname {SU} (n)$ consta de $ntimes n$ matrices hermitianas con rastro cero.

La complejidad del álgebra de Lie ${mathfrak {su}}(n)$ es ${displaystyle {mathfrak {sl}}(n;mathbb {C})}$ , el espacio de todos $ntimes n$ matrices complejas con traza cero. A Cartan subalgebra entonces consta de las matrices diagonales con traza cero, que identificamos con vectores en ${mathbb C}^{n}$ cuyas entradas son cero. Las raíces entonces consisten en todas las $n () n -1)$ permutaciones de $(1 -1, 0,... 0)$ .

Una elección de raíces simples es

{displaystyle {begin{aligned}(&1,-1,0,dots0,0),\(&0,1,-1,dots0,0),\&vdots \(&0,0,0,dots1,-1).end{aligned}}}

Entonces, $SU n)$ es de rango $n - 1$ y su diagrama de Dynkin es dado por $A n -1$ , una cadena de $n - 1$ nodos: .... Su matriz de Cartan

{displaystyle {begin{pmatrix}2&-1&0&dots &0\-1&2&-1&dots &0\0&-1&2&dots &0\vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \0&0&0&dots &2end{pmatrix}}.}

Su grupo de Weyl o grupo de Coxeter es el grupo simétrico $S n$ , el grupo de simetría del $(n - 1)$ -simplex.

Grupo unitario especial generalizado

Para un campo $F$ , el grupo unitario especial generalizado sobre F, $SU(p, q; F)$ , es el grupo de todas las transformaciones lineales de determinante 1 de un espacio vectorial de rango $n = p + q$ sobre $F$ que dejan invariable una forma de firma hermitiana no degenerada $(p, q)$ . Este grupo a menudo se conoce como el grupo unitario especial de firma $p q$ sobre $F$ . El campo $F$ se puede reemplazar por un anillo conmutativo, en cuyo caso el espacio vectorial se reemplaza por un módulo libre.

Específicamente, fijar una matriz hermitiana $A$ de firma $p q$ dentro ${displaystyle operatorname {GL} (n,mathbb {R})}$ , entonces todo

{displaystyle Min operatorname {SU} (p,q,mathbb {R})}

satisfacer

{begin{aligned}M^{*}AM&=A\det M&=1.end{aligned}}

A menudo uno verá la notación $SU p, q)$ sin referencia a un anillo o campo; en este caso, el anillo o campo a que se refiere es $mathbb {C}$ y esto da uno de los grupos clásicos de Lie. La opción estándar para $A$ cuando ${displaystyle operatorname {F} =mathbb {C} }$ es

{displaystyle A={begin{bmatrix}0&0&i\0&I_{n-2}&0\-i&0&0end{bmatrix}}.}

Sin embargo, puede haber mejores opciones para $A$ para ciertas dimensiones que muestran un comportamiento más restringido a subrings de $mathbb {C}$ .

Ejemplo

Un ejemplo importante de este tipo de grupo es el grupo modular Picard ${displaystyle operatorname {SU} (2,1;mathbb {Z} [i])}$ que actúa (propuestamente) en complejo espacio hiperbólico del grado dos, de la misma manera que ${displaystyle operatorname {SL} (2,9;mathbb {Z})}$ actúa (propuestamente) en el espacio hiperbólico real de la dimensión dos. En 2005 Gábor Francsics y Peter Lax computieron un dominio fundamental explícito para la acción de este grupo sobre $HC 2$ .

Otro ejemplo es: ${displaystyle operatorname {SU} (1,1;mathbb {C})}$ , que es isomorfo a ${displaystyle operatorname {SL} (2,mathbb {R})}$ .

Subgrupos importantes

En física, el grupo unitario especial se usa para representar simetrías bosónicas. En las teorías de ruptura de simetría es importante poder encontrar los subgrupos del grupo unitario especial. Los subgrupos de $SU(n)$ que son importantes en la física GUT son, para $p > 1, n - p > 1$ ,

{displaystyle operatorname {SU} (n)supset operatorname {SU} (p)times operatorname {SU} (n-p)times operatorname {U} (1),}

donde × denota el producto directo y $U(1)$ , conocido como grupo circular, es el grupo multiplicativo de todos los números complejos con valor absoluto 1.

Para completar, también existen los subgrupos ortogonales y simplécticos,

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {SU} (n)&supset operatorname {SO} (n),\operatorname {SU} (2n)&supset operatorname {Sp} (n).end{aligned}}}

Dado que el rango de $SU(n)$ es $n - 1$ y de $U(1)$ es 1, una comprobación útil es que la suma de los rangos de los subgrupos es menor o igual que el rango del grupo original. $SU(n)$ es un subgrupo de varios otros grupos de Lie,

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {SO} (2n)&supset operatorname {SU} (n)\operatorname {Sp} (n)&supset operatorname {SU} (n)\operatorname {Spin} (4)&=operatorname {SU} (2)times operatorname {SU} (2)\operatorname {E} _{6}&supset operatorname {SU} (6)\operatorname {E} _{7}&supset operatorname {SU} (8)\operatorname {G} _{2}&supset operatorname {SU} (3)end{aligned}}}

Vea grupos de espín y grupos de Lie simples para E₆, E₇ y G₂.

También están los isomorfismos accidentales: $SU(4) = Spin(6)$ , $SU(2) = Spin(3) = Sp(1)$ , y $U(1) = Giro(2) = SO(2)$ .

Finalmente, se puede mencionar que $SU(2)$ es el grupo de cobertura doble de $SO(3)$ , una relación que juega un papel importante en la teoría de rotaciones de 2 espinores en la mecánica cuántica no relativista.

El grupo SU(1,1)

${displaystyle SU(1,1)=left{{begin{pmatrix}u&v\v^{*}&u^{*}end{pmatrix}}in M(2,mathbb {C}):uu^{*}-vv^{*}=1right}~,~}$ Donde ${displaystyle ~u^{*}~}$ denota el complejo conjugado del complejo número $u$ .

Este grupo es isomorfo a $SL(2,R)$ y $Spin(2,1)$ donde los números separados por una coma se refieren a la firma de la forma cuadrática preservada por el grupo. La expresión ${displaystyle ~uu^{*}-vv^{*}~}$ en la definición de $SU(1,1)$ es una forma hermitiana que se convierte en una forma cuadrática isotrópica cuando $u$ y $v$ se expanden con sus componentes reales.

Una aparición temprana de este grupo fue como la "esfera unitaria" de cocuaterniones, introducido por James Cockle en 1852.

{displaystyle j={begin{bmatrix}0&1\1&0end{bmatrix}},,quad k={begin{bmatrix}1&;~0\0&-1end{bmatrix}},,quad i={begin{bmatrix};~0&1\-1&0end{bmatrix}}~.}

Entonces... ${displaystyle ~j,k={begin{bmatrix}0&-1\1&;~0end{bmatrix}}=-i~,~}$ ${displaystyle ~i,j,k=I_{2}equiv {begin{bmatrix}1&0\0&1end{bmatrix}}~,~}$ la matriz de identidad 2×2, ${displaystyle ~k,i=j~,}$ y ${displaystyle ;i,j=k;,}$ y los elementos $i, j,$ y $k$ todo anticomunicador, como en las quaterniones. También $i$ es todavía una raíz cuadrada $- I 2$ (negativo de la matriz de identidad), mientras ${displaystyle ~j^{2}=k^{2}=+I_{2}~}$ no son, a diferencia de las quaterniones. Para las cuaterniones y coquaternions, todas las cantidades escalar se tratan como múltiplos implícitos de $I$ ₂notated as $1$ .

La cocuaternión ${displaystyle ~q=w+x,i+y,j+z,k~}$ con escalar $w$ , ha conjugado ${displaystyle ~q=w-x,i-y,j-z,k~}$ similar a las quaternions de Hamilton. La forma cuadrática es ${displaystyle ~q,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}~.}$

Tenga en cuenta que el hiperboloide de 2 hojas ${displaystyle left{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1right}}$ corresponde a las unidades imaginarias en el álgebra para que cualquier punto $p$ en este hiperboloide se puede utilizar como polo de una ola sinusoidal según la fórmula de Euler.

El hiperboloide está estable bajo $SU(1,1)$ , ilustrando el isomorfismo con $Spin(2,1)$ . La variabilidad del polo de una ola, como se observa en estudios de polarización, podría ver la polarización elíptica como una muestra de la forma elíptica de una ola con polo ${displaystyle ~pneq pm i~}$ . El modelo de esfera Poincaré utilizado desde 1892 se ha comparado con un modelo hiperboloide de 2 hojas.

Cuando un elemento de $SU(1,1)$ se interpreta como una transformación de Möbius, deja estable el disco unitario, por lo que este grupo representa los movimientos del modelo de disco de Poincaré de la geometría del plano hiperbólico. De hecho, para un punto $[z, 1]$ en la recta proyectiva compleja, la acción de $SU(1,1)$ viene dado por

{displaystyle {bigl [};z,;1;{bigr ]},{begin{pmatrix}u&v\v^{*}&u^{*}end{pmatrix}}=[;u,z+v^{*},,v,z+u^{*};],=,left[;{frac {uz+v^{*}}{vz+u^{*}}},,1;right]}

desde las coordenadas proyectivas ${displaystyle (;u,z+v^{*},;v,z+u^{*};)thicksim left(;{frac {,u,z+v^{*},}{v,z+u^{*}}},;1;right)~.}$

Escritura ${displaystyle ;suv+{overline {suv}}=2,Re {mathord {bigl (}},suv,{bigr)};,}$ serie de números aritméticos complejos

{displaystyle {bigl |}u,z+v^{*}{bigr |}^{2}=S+z,z^{*}quad {text{ and }}quad {bigl |}v,z+u^{*}{bigr |}^{2}=S+1~,}

Donde ${displaystyle ~S=v,v^{*}left(z,z^{*}+1right)+2,Re {mathord {bigl (}},uvz,{bigr)}~.}$ Por lo tanto, $<math alttext="{displaystyle ~z,z^{*}<1implies {bigl |}uz+v^{*}{bigr |}zzAlternativa Alternativa .1⟹ ⟹ Silenciouz+vAlternativa Alternativa Silencio.Silenciovz+uAlternativa Alternativa Silencio{fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif},v,z+u^{*},{bigr.<img alt="{displaystyle ~z,z^{*}<1implies {bigl |}uz+v^{*}{bigr |}$ para que su relación esté en el disco abierto.

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