Grupo de monstruos

En el área del álgebra abstracta conocida como teoría de grupos, el grupo de monstruos M (también conocido como el monstruo de Fischer-Griess, o el gigante amistoso< /b>) es el grupo simple esporádico más grande, teniendo orden
  2⁴⁶ · 3²⁰ · 5⁹ · 7⁶ · 11² · 13³ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
  = 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000
  ≈ 8×10^{< /span>53}.

Los grupos simples finitos han sido completamente clasificados. Cada uno de estos grupos pertenece a una de las 18 familias numerables infinitas, o es uno de los 26 grupos esporádicos que no siguen un patrón tan sistemático. El grupo de monstruos contiene 20 grupos esporádicos (incluido él mismo) como subcocientes. Robert Griess, que demostró la existencia del monstruo en 1982, ha llamado a esos 20 grupos la familia feliz, ya las seis excepciones restantes parias.

Es difícil dar una buena definición constructiva del monstruo debido a su complejidad. Martin Gardner escribió un relato popular del grupo de monstruos en su columna de juegos matemáticos de junio de 1980 en Scientific American.

Historia

El monstruo fue predicho por Bernd Fischer (inédito, alrededor de 1973) y Robert Griess como un grupo simple que contenía una doble cubierta del grupo de monstruos bebés de Fischer como centralizador de una involución. En unos pocos meses, Griess encontró el orden de M usando la fórmula del orden de Thompson, y Fischer, Conway, Norton y Thompson descubrieron otros grupos como subcocientes, incluidos muchos de los grupos esporádicos conocidos, y dos nuevos: el grupo de Thompson y el grupo Harada-Norton. La tabla de caracteres del monstruo, una matriz de 194 por 194, fue calculada en 1979 por Fischer y Donald Livingstone usando programas de computadora escritos por Michael Thorne. En la década de 1970 no estaba claro si el monstruo realmente existía. Griess construyó M como el grupo de automorfismos del álgebra de Griess, un álgebra no asociativa conmutativa de 196.884 dimensiones sobre los números reales; anunció por primera vez su construcción en Ann Arbor el 14 de enero de 1980. En su artículo de 1982, se refirió al monstruo como el Gigante Amigable, pero este nombre no ha sido generalmente adoptado. Posteriormente, John Conway y Jacques Tits simplificaron esta construcción.

La construcción de Griess mostró que el monstruo existe. Thompson mostró que su unicidad (como un grupo simple que satisface ciertas condiciones provenientes de la clasificación de grupos simples finitos) se derivaría de la existencia de una representación fiel de 196.883 dimensiones. Norton anunció una prueba de la existencia de tal representación, aunque nunca publicó los detalles. Griess, Meierfrankenfeld y Segev dieron la primera prueba completa publicada de la singularidad del monstruo (más precisamente, demostraron que un grupo con los mismos centralizadores de involuciones que el monstruo es isomorfo al monstruo).

El monstruo fue la culminación del desarrollo de grupos simples esporádicos y se puede construir a partir de dos de tres subcocientes: el grupo de Fischer Fi₂₄, el monstruo bebé y el grupo de Conway Co₁.

El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismo externo del monstruo son triviales.

Representaciones

El grado mínimo de una representación compleja fiel es 47 × 59 × 71 = 196,883, por lo que es el producto de los tres mayores divisores primos del orden de M. La representación lineal fiel más pequeña sobre cualquier campo tiene una dimensión de 196.882 sobre el campo con dos elementos, solo uno menos que la dimensión de la representación compleja fiel más pequeña.

La representación de permutación fiel más pequeña del monstruo está en 2⁴ · 3⁷ · 5³ · 7⁴ · 11 · 13² · 29 · 41 · 59 · 71 (alrededor de 10²⁰) puntos.

El monstruo se puede realizar como un grupo de Galois sobre los números racionales y como un grupo de Hurwitz.

El monstruo es inusual entre los grupos simples en el sentido de que no se conoce una manera fácil de representar sus elementos. Esto no se debe tanto a su tamaño como a la ausencia de "pequeños" representaciones. Por ejemplo, los grupos simples A₁₀₀ y SL₂₀(2) son mucho más grandes, pero fáciles de calcular ya que tienen "pequeños" permutaciones o representaciones lineales. Los grupos alternos, como A₁₀₀, tienen representaciones de permutación que son "pequeñas" en comparación con el tamaño del grupo, y todos los grupos simples finitos de tipo Lie, como SL₂₀(2), tienen representaciones lineales que son "pequeñas" en comparación con el tamaño del grupo. Todos los grupos esporádicos que no sean el monstruo también tienen representaciones lineales lo suficientemente pequeñas como para que sea fácil trabajar con ellas en una computadora (el siguiente caso más difícil después del monstruo es el bebé monstruo, con una representación de dimensión 4370).

Una construcción de computadora

Robert A. Wilson ha encontrado explícitamente (con la ayuda de una computadora) dos matrices invertibles de 196 882 por 196 882 (con elementos en el campo de orden 2) que juntas generan el grupo monstruo por multiplicación de matrices; esta es una dimensión más baja que la representación de 196.883 dimensiones en la característica 0. Es posible realizar cálculos con estas matrices, pero es demasiado costoso en términos de tiempo y espacio de almacenamiento para ser útil, ya que cada matriz ocupa más de cuatro gigabytes y medio.

Wilson afirma que la mejor descripción del monstruo es decir: "Es el grupo de automorfismos del álgebra de vértice del monstruo". Sin embargo, esto no es de mucha ayuda, porque nadie ha encontrado una "construcción realmente simple y natural del álgebra de vértice monstruo".

Wilson con sus colaboradores ha encontrado un método para realizar cálculos con el monstruo que es considerablemente más rápido. Sea V un espacio vectorial de 196.882 dimensiones sobre el campo con 2 elementos. Se selecciona un gran subgrupo H (preferiblemente un subgrupo máximo) del Monstruo en el que es fácil realizar cálculos. El subgrupo H elegido es 3¹⁺¹².2.Suz.2, donde Suz es el grupo Suzuki. Los elementos del monstruo se almacenan como palabras en los elementos de H y un generador extra T. Es razonablemente rápido calcular la acción de una de estas palabras sobre un vector en V. Usando esta acción, es posible realizar cálculos (como el orden de un elemento del monstruo). Wilson ha exhibido vectores u y v cuyo estabilizador conjunto es el grupo trivial. Así (por ejemplo) uno puede calcular el orden de un elemento g del monstruo encontrando el menor i > 0 tal que gⁱu = u y gⁱv = v.

Esta y otras construcciones similares (en diferentes características) se han utilizado para encontrar algunos de sus subgrupos máximos no locales.

Martin Seysen ha implementado un paquete de Python rápido llamado mmgroup, que afirma ser la primera implementación del grupo monstruo donde se pueden realizar operaciones arbitrarias de manera efectiva. La documentación establece que la multiplicación de elementos de grupo toma menos de 40 milisegundos en una PC moderna típica, que es cinco órdenes de magnitud más rápido que lo estimado por Robert A. Wilson en 2013.

Aguardiente de luna

El grupo de monstruos es uno de los dos componentes principales de la monstruosa conjetura de la luz de la luna de Conway y Norton, que relaciona las matemáticas discretas y no discretas y que finalmente fue demostrada por Richard Borcherds en 1992.

En esta configuración, el grupo de monstruos es visible como el grupo de automorfismos del módulo de monstruos, un álgebra de operador de vértice, un álgebra de dimensión infinita que contiene el álgebra de Griess, y actúa sobre el álgebra de Lie de monstruos, un álgebra de Kac-Moody generalizada.

Muchos matemáticos, incluido Conway, han visto al monstruo como un objeto hermoso y misterioso. Conway dijo sobre el grupo de monstruos: "Nunca ha habido ningún tipo de explicación de por qué está allí, y obviamente no está allí solo por coincidencia". Tiene demasiadas propiedades intrigantes para que todo sea solo un accidente." Se cita a Simon P. Norton, un experto en las propiedades del grupo de monstruos, diciendo: "Puedo explicar lo que es Monstrous Moonshine en una oración, es la voz de Dios".

Observación E8 de McKay

También hay conexiones entre el monstruo y los diagramas de Dynkin extendidos ${displaystyle {tilde {}_{8}}$ específicamente entre los nodos del diagrama y ciertas clases de conjugación en el monstruo, conocido como McKay's E₈ observación. Esto se extiende luego a una relación entre los diagramas extendidos ${fnMicrosoft Sans Serif}, {fnMicrosoft Sans Serif} {E}_{8}$ y los grupos 3. Fi₂₄′, 2.B, y M, donde estos son (3/2/1 extensiones centrales) del grupo Fischer, grupo de monstruos bebés, y monstruo. Estos son los grupos esporádicos asociados con los centralizadores de elementos del tipo 1A, 2A y 3A en el monstruo, y el orden de la extensión corresponde a las simetrías del diagrama. Ver clasificación ADE: trinidades para nuevas conexiones (del tipo de correspondencia McKay), incluyendo (para el monstruo) con el grupo simple más pequeño PSL(2,11) y con los 120 planos tritangentes de una curva sensual canónica del género 4 conocida como la curva de Bring.

Subgrupos máximos

Diagrama de los 26 grupos simples esporádicos, mostrando relaciones subcocientes.

El monstruo tiene al menos 44 clases de conjugación de subgrupos máximos. Los grupos simples no abelianos de unos 60 tipos de isomorfismos se encuentran como subgrupos o como cocientes de subgrupos. El grupo alterno más grande representado es A₁₂. El monstruo contiene 20 de los 26 grupos esporádicos como subcocientes. Este diagrama, basado en uno del libro Symmetry and the Monster de Mark Ronan, muestra cómo encajan. Las líneas significan inclusión, como subcociente, del grupo inferior por el superior. Los símbolos dentro de un círculo denotan grupos que no participan en grupos esporádicos más grandes. En aras de la claridad, no se muestran las inclusiones redundantes.

Cuarenta y cuatro de las clases de subgrupos máximos del monstruo están dadas por la siguiente lista, que (a partir de 2016) se cree que está completa excepto posiblemente por subgrupos casi simples con zócalos simples no abelianos de la forma L< sub>2(13), U₃(4) o U₃(8). Sin embargo, a menudo se ha encontrado que las tablas de subgrupos máximos contienen errores sutiles y, en particular, al menos dos de los subgrupos en la lista a continuación se omitieron incorrectamente de algunas listas anteriores.