Grupo cuaternión

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Tabla de multiplicación de grupo de cuaternión (forma simplificada)
1ijk
11ijk
ii−1kj
jjk−1i
kkji−1
Diagrama del ciclo de Q8. Cada color especifica una serie de poderes de cualquier elemento conectado al elemento de identidad e = 1. Por ejemplo, el ciclo en rojo refleja el hecho de que yo2 = e, yo3 = i y yo4 = e. El ciclo rojo también refleja que i2 = e, i3 = i i4 = e.

En la teoría del grupo, quaternion group Q8 (a veces simplemente denotado por Q) es un grupo no-abeliano de orden ocho, isomorfo al subconjunto de ocho elementos de las quaternions bajo multiplicación. Es dada por la presentación del grupo

donde e es el elemento de identidad y e conmuta con los otros elementos del grupo.

Otra presentación de Q8 es

Comparado con el grupo diédrico

El grupo de cuaterniones Q8 tiene el mismo orden que el grupo diédrico D4, pero una estructura diferente, como lo muestran sus gráficos de Cayley y de ciclo:

Q8D4
Gráfico de Cayley Cayley graph Q8.svg
Las flechas rojas conectan g#, conexión verde ggj.
Dih 4 Cayley Graph; generators a, b.svg
Gráfico del ciclo GroupDiagramQ8.svgDih4 cycle graph.svg

En los diagramas para D4, los elementos del grupo están marcados con su acción en una letra F en la representación definitoria R2. No se puede hacer lo mismo con Q8, ya que no tiene una representación fiel en R2 o R3. D4 se puede realizar como un subconjunto de los cuaterniones divididos de la misma manera que Q8 se puede ver como un subconjunto de los cuaterniones.

Mesa Cayley

La tabla de Cayley (tabla de multiplicar) para Q8 viene dada por:

×eeiijjkk
e eeiijjkk
eeeiijjkk
i iieekkjj
iiieekkjj
j jjkkeeii
jjjkkeeii
k kkjjiiee
kkkjjiiee

Propiedades

Los elementos i, j y k tienen orden cuatro en Q8 y dos cualesquiera de ellos generan todo el grupo. Otra presentación de Q8 basada en solo dos elementos para evitar esta redundancia es:

Uno puede tomar, por ejemplo, y .

El grupo cuaternión tiene la propiedad inusual de ser hamiltoniano: Q8 no es abeliano, pero todos los subgrupos son normales. Cada grupo hamiltoniano contiene una copia de Q8.

El grupo cuaternión Q8 y el grupo diédrico D4 son los dos ejemplos más pequeños de un grupo nilpotente no abeliano.

El centro y el subgrupo de conmutadores de Q8 es el subgrupo . El grupo de automorfismo interno de Q8 es dado por el grupo modulo su centro, es decir, el grupo factor que es isomorfo para el grupo V de Klein. El grupo de automorfismo completo de Q8 es isomorfo a S4, el grupo simétrico sobre cuatro letras (ver Representaciones de matriz abajo), y el grupo de automorfismo externo de Q8 por lo tanto S4/V, que es isomorfo a S3.

Grupo de cuaternión Q8 tiene cinco clases de conjugación, y así cinco representaciones irreducibles sobre los números complejos, con dimensiones 1, 1, 1, 2,

Representación trivial.

Representaciones de signos con i, j, k-kernel: Q8 tiene tres subgrupos normales máximos: los subgrupos cíclicos generados por i, j y k respectivamente. Para cada subgrupo normal máximo N, obtenemos una representación unidimensional factorizando a través del grupo de cociente de 2 elementos G/N. La representación envía elementos de N a 1, y elementos fuera de N a −1.

Representación bidimensional: se describe a continuación en Representaciones matriciales.

La tabla de caracteres de Q8 resulta ser la misma que la de D4:

Representation(ρ)/Conjugacy class{ e }{} e }i i }j. j }{ k, k }
Representación tripartita11111
Representación de firma con i-kernel111−1−1
Representación de firma con j-kernel11−11−1
Representación de la firma con cuchilla11−1−11
2-dimensional representación2−2000

Desde los personajes irreducibles en las filas arriba tienen valores reales, esto da la descomposición del álgebra de grupo real en ideales mínimos de dos caras:

donde los idempotentes corresponden a los irreducibles:

para que

Cada uno de estos ideales irreducibles es isomorfo a un álgebra simple central real, los primeros cuatro al campo real . El último ideal es isomorfo para el campo de las picaduras por correspondencia:

Además, el homomorfismo de proyección dado por tiene el kernel ideal generado por el idempotent:

por lo que las cuaterniones también se pueden obtener como el anillo .

El álgebra de grupo complejo es así Donde es el álgebra de biquaternions.

Representaciones de matrices

Mesa de multiplicación del grupo de cuaternión como subgrupo de SL(2,C). Las entradas están representadas por sectores correspondientes a sus argumentos: 1 (verde), i (azul), −1 (rojo), −i (amarillo).

La representación compleja irreducible bidimensional descrita anteriormente da el grupo de cuaternión Q8 como subgrupo del grupo lineal general . El grupo de cuaternión es un subgrupo multiplicativo del álgebra de cuaternión:

que tiene una representación regular por multiplicación izquierda por sí misma considerada como un espacio vectorial complejo con base así corresponde a - Cartografía lineal La representación resultante

está dado por:

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