Geometría egipcia

La geometría egipcia se refiere a la geometría tal como fue desarrollada y utilizada en el Antiguo Egipto. Su geometría fue una consecuencia necesaria de la agrimensura para preservar el diseño y la propiedad de las tierras de cultivo, que se inundaba anualmente por el río Nilo.

Solo tenemos un número limitado de problemas del antiguo Egipto relacionados con la geometría. Los problemas geométricos aparecen tanto en el Papiro Matemático de Moscú (MMP) como en el Papiro Matemático de Rhind (RMP). Los ejemplos demuestran que los antiguos egipcios sabían cómo calcular áreas de varias formas geométricas y los volúmenes de cilindros y pirámides.

Área

Los antiguos egipcios escribieron sus problemas en múltiples partes. Dieron el título y los datos para el problema dado, en algunos de los textos mostrarían cómo resolver el problema, y ​​como último paso verificaron que el problema era correcto. Los escribas no usaron ninguna variable y los problemas fueron escritos en forma de prosa. Las soluciones se escribieron en pasos, delineando el proceso.

Las unidades egipcias de longitud están atestiguadas desde el Período Dinástico Temprano. Aunque data de la quinta dinastía, la piedra de Palermo registró el nivel del río Nilo durante el reinado del faraón Djer de la dinastía temprana, cuando la altura del Nilo se registró en 6 codos y 1 palma (alrededor de 3,217 mo 10 pies 6,7 en). Un diagrama de la Tercera Dinastía muestra cómo construir una bóveda circular utilizando medidas corporales a lo largo de un arco. Si el área del cuadrado es de 434 unidades. El área del círculo es 433,7.

El ostracón que representa este diagrama se encontró cerca de la pirámide escalonada de Saqqara. Una curva se divide en cinco secciones y la altura de la curva se da en codos, palmas y dígitos en cada una de las secciones.

En algún momento, las longitudes se estandarizaron con varillas de codo. Se han encontrado ejemplos en las tumbas de funcionarios, anotando longitudes hasta remen. Los codos reales se utilizaron para medidas de terreno como caminos y campos. Lepsius describió y comparó catorce barras, incluida una barra de doble codo. Se conocen dos ejemplos de la tumba de Saqqara de Maya, el tesorero de Tutankamón.

Otro fue encontrado en la tumba de Kha (TT8) en Tebas. Estos codos miden 52,5 cm (20,7 pulgadas) de largo y se dividen en palmas y manos: cada palma se divide en cuatro dedos de izquierda a derecha y los dedos se subdividen en ro de derecha a izquierda. Las reglas también se dividen en manos, de modo que, por ejemplo, un pie se da como tres manos y quince dedos y también como cuatro palmas y dieciséis dedos. [

Varilla de codo del Museo de Turín.

El levantamiento topográfico y la medición itinerante se llevaron a cabo utilizando varillas, postes y cuerdas anudadas. Una escena en la tumba de Menna en Tebas muestra a los agrimensores midiendo una parcela de tierra usando una cuerda con nudos atados a intervalos regulares. Se pueden encontrar escenas similares en las tumbas de Amenhotep-Sesi, Khaemhat y Djeserkareseneb. Los ovillos de cuerda también se muestran en las estatuas del Reino Nuevo de funcionarios como Senenmut, Amenemhet-Surer y Penanhor.

Objeto	Fuente	Fórmula (usando notación moderna)
triángulo	Problema 51 en RMP y problemas 4, 7 y 17 en MMP	{displaystyle A={frac{1}{2}}bh} b = base, h = altura
rectángulos	Problema 49 en RMP y problemas 6 en MMP y Lahun LV.4. problema 1	{ estilo de visualización A = bh} b = base, h = altura
círculo	Problemas 51 en RMP y problemas 4, 7 y 17 en MMP	{displaystyle A={frac {1}{4}}({frac {256}{81}})d^{2}} d= diámetro. Esto usa el valor 256/81 = 3.16049... para{ estilo de visualización pi = 3,14159...}
hemisferio	Problema 10 en MMP

Triángulos:
Los antiguos egipcios sabían que el área de un triángulo es{displaystyle A={frac{1}{2}}bh}donde b = base y h = altura. Los cálculos del área de un triángulo aparecen tanto en el RMP como en el MMP.

Rectángulos:
el problema 49 del RMP encuentra el área de un terreno rectangular. El problema 6 del MMP encuentra las longitudes de los lados de un área rectangular dada la razón de las longitudes de los lados. Este problema parece ser idéntico a uno de los papiros matemáticos de Lahun en Londres. El problema también es interesante porque está claro que los egipcios estaban familiarizados con las raíces cuadradas. Incluso tenían un jeroglífico especial para encontrar una raíz cuadrada. Parece una esquina y aparece en la quinta línea del problema. Sospechamos que tenían tablas que daban las raíces cuadradas de algunos números de uso frecuente. Sin embargo, no se han encontrado tales tablas. El problema 18 del MMP calcula el área de un trozo de tela.

El Problema 1 del Papiro Lahun en LV.4 se da como: Un área de 40 "mH" por 3 "mH" se dividirá en 10 áreas, cada una de las cuales tendrá un ancho de 1/2 1/4 de su longitud. En el sitio web mantenido por University College London se ofrece una traducción del problema y su solución tal como aparece en el fragmento.

Círculos:
el problema 48 del RMP compara el área de un círculo (aproximado por un octágono) y su cuadrado que lo circunscribe. El resultado de este problema se usa en el problema 50.Trisecta cada lado. Retire los triángulos de las esquinas. La figura octogonal resultante se aproxima al círculo. El área de la figura octogonal es:

{displaystyle 9^{2}-4{frac{1}{2}}(3)(3)=63} A continuación, aproximamos 63 a 64 y observamos que{ estilo de visualización 64 = 8 ^ {2}}Así el número{displaystyle 4({frac {8}{9}})^{2}=3,16049...}juega el papel de π = 3.14159....

Que esta figura octogonal, cuya área se calcula fácilmente, se aproxime con tanta precisión al área del círculo es simplemente buena suerte. Obtener una mejor aproximación al área utilizando divisiones más finas de un cuadrado y un argumento similar no es sencillo.

El problema 50 del RMP encuentra el área de un campo redondo de diámetro 9 khet. Esto se resuelve usando la aproximación de que el campo circular de diámetro 9 tiene la misma área que un cuadrado de lado 8. El problema 52 encuentra el área de un trapecio con lados (aparentemente) igualmente inclinados. Las longitudes de los lados paralelos y la distancia entre ellos son los números dados.

Hemisferio:
el problema 10 del MMP calcula el área de un hemisferio.

Volúmenes

Imagen del Problema 14 del Papiro Matemático de Moscú. El problema incluye un diagrama que indica las dimensiones de la pirámide truncada.

Varios problemas calculan el volumen de graneros cilíndricos (41, 42 y 43 del RMP), mientras que el problema 60 RMP parece referirse a un pilar o un cono en lugar de una pirámide. Es más bien pequeño y empinado, con un seked (pendiente) de cuatro palmos (por codo).

Un problema que aparece en la sección IV.3 de Lahun Mathematical Papyri calcula el volumen de un granero con una base circular. Un problema y un procedimiento similares se pueden encontrar en el papiro de Rhind (problema 43). Varios problemas en el papiro matemático de Moscú (problema 14) y en el papiro matemático de Rhind (números 44, 45, 46) calculan el volumen de un granero rectangular.

El problema 14 del papiro matemático de Moscú calcula el volumen de una pirámide truncada, también conocida como tronco de pirámide.

Objeto	Fuente	Fórmula (usando notación moderna)
Hórreos cilíndricos	precio de venta al público 41	{displaystyle V={frac{256}{81}}r^{2}h}medido en codos cúbicos
Hórreos cilíndricos	RMP 42, Lahun IV.3	{displaystyle V={frac {32}{27}}d^{2} h={frac {128}{27}}r^{2} h}(medido en khar).
Hórreos rectangulares	RMP 44-46 y MMP 14	{ estilo de visualización V = w l h} w = ancho, l = largo, h = alto
Pirámide truncada (truncado)	PMM 14	{displaystyle V={frac{1}{3}}(a^{2}+ab+b^{2})h}

Secuenciado

El problema 56 del RMP indica una comprensión de la idea de similitud geométrica. Este problema analiza la relación run/rise, también conocida como seqed. Tal fórmula sería necesaria para construir pirámides. En el siguiente problema (Problema 57), la altura de una pirámide se calcula a partir de la longitud de la base y la seqed (pendiente en egipcio), mientras que el problema 58 da la longitud de la base y la altura y usa estas medidas para calcular la seqed.

En el problema 59, la parte 1 calcula la secuencia, mientras que la segunda parte puede ser un cálculo para verificar la respuesta: si construye una pirámide con un lado de la base de 12 [codos] y una secuencia de 5 palmas 1 dedo; ¿cuál es su altitud?