Matriz unitaria

En álgebra lineal, una matriz cuadrada compleja invertible U es unitaria si su transposición conjugada < span class="texhtml">U^* es también su inversa, es decir, si

$${displaystyle U^{*}U=UU^{*}=UU^{-1}=I,}$$

donde I es la matriz de identidad.

En física, especialmente en mecánica cuántica, la transpuesta conjugada se conoce como el adjunto hermitiano de una matriz y se denota con una daga (†), por lo que la ecuación anterior se escribe

$${displaystyle U^{dagger }U=UU^{dagger - Sí.$$

El verdadero análogo de una matriz unitaria es una matriz ortogonal. Las matrices unitarias tienen una importancia significativa en la mecánica cuántica porque conservan normas y, por lo tanto, amplitudes de probabilidad.

Propiedades

Para cualquier matriz unitaria U de tamaño finito, se cumple lo siguiente:

• Dados dos vectores complejos x y Sí., multiplicación por U preserva su producto interior; es decir, .Ux, USí..x, Sí...
• U es normal (${displaystyle U^{*}U=UU^{*}$).
• U es diagonalizable; es decir, U es unitariamente similar a una matriz diagonal, como consecuencia del teorema espectral. Así, U tiene una descomposición de la forma ${displaystyle U=VDV^{*},}$ Donde V es unitario, y D es diagonal y unitario.
• ${displaystyle left durabledet(U)right sobrevivir=1}$.
• Sus eigenspaces son ortogonales.
• U puede ser escrito como U = e^iH, donde e indica la matriz exponencial, i es la unidad imaginaria, y H es una matriz hermitiana.

Para cualquier entero no negativo n, el conjunto de todos los n×< Las matrices unitarias i>n con multiplicación de matrices forman un grupo, denominado grupo unitario U(n).

Cualquier matriz cuadrada con norma euclidiana unitaria es el promedio de dos matrices unitarias.

Condiciones equivalentes

Si U es una matriz compleja cuadrada, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. ${displaystyle U}$ es unitario.
2. ${displaystyle U^{*}$ es unitario.
3. ${displaystyle U}$ es invertible con ${displaystyle U^{-1}=U^{*}$.
4. Las columnas de ${displaystyle U}$ forma una base ortonormal de ${displaystyle mathbb {C} {n}}$ con respecto al producto interior habitual. En otras palabras, ${displaystyle U^{*}U=I}$.
5. Las filas de ${displaystyle U}$ forma una base ortonormal de ${displaystyle mathbb {C} {n}}$ con respecto al producto interior habitual. En otras palabras, ${displaystyle UU.$.
6. ${displaystyle U}$ es una isometría con respecto a la norma habitual. Eso es, ${displaystyle ToddUxfnse_{2}=fnxfnse_{2}$ para todos ${displaystyle xin mathbb {C}$, donde ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft} {f} {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnK}f}=f}=fnf}fnfnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnKfnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnKfnKf}fnfnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn ¿Qué?$.
7. ${displaystyle U}$ es una matriz normal (equivalentemente, hay una base ortonormal formada por los eigenvectores de ${displaystyle U}$) con eigenvalues acostados en el círculo de la unidad.

Construcciones elementales

Matriz unitaria 2 × 2

La expresión general de una matriz unitaria 2 × 2 es

$${displaystyle U={begin{bmatrix}a golpeb\e^{ivarphi - ¿Qué? left sometidaaright WordPress^{2}+left arrestbright sometida^{2}=1,}$$

que depende de 4 parámetros reales (la fase de a, la fase de b, la magnitud relativa entre a y b, y el ángulo φ). El determinante de tal matriz es

$${displaystyle det(U)=e^{ivarphi }$$

El subgrupo de esos elementos ${displaystyle U}$ con ${displaystyle det(U)=1}$ se llama el grupo unitario especial SU(2).

La matriz U también se puede escribir en esta forma alternativa:

$${displaystyle U=e^{ivarphi /2}{begin{bmatrix}e^{ivarphi ¿Por qué? 'e^{-ivarphi ¿Por qué? ¿Qué?$$

que, al introducir φ₁ = ψ + Δ y φ₂ = ψ − Δ, toma la siguiente factorización:

$${displaystyle U=e^{ivarphi /2}{begin{bmatrix}e^{ipsi } {begin{bmatrix}cos} theta &sin theta \sin theta &cos theta {begin{bmatrix}e^{iDelta }end{bmatrix}}$$

Esta expresión resalta la relación entre 2 × 2 matrices unitarias y 2 × 2 matrices ortogonales de ángulo θ.

Otra factorización es

$${displaystyle U={begin{bmatrix}cos alpha &-sin alpha \sin alpha {begin{bmatrix}e^{ixi {begin{bmatrix}cos beta &sin beta\beta\beta > beta >sin beta >cos beta \betacos \beta\end{bmatrix}}}$$

Son posibles muchas otras factorizaciones de una matriz unitaria en matrices básicas.