Geometría algebraica

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Rama de las matemáticas

Esta superficie Togliatti es una superficie algebraica del grado cinco. La imagen representa una parte de su verdadero locus.

La geometría algebraica es una rama de las matemáticas que estudia clásicamente los ceros de polinomios multivariantes. La geometría algebraica moderna se basa en el uso de técnicas algebraicas abstractas, principalmente del álgebra conmutativa, para resolver problemas geométricos sobre estos conjuntos de ceros.

Los objetos fundamentales de estudio de la geometría algebraica son las variedades algebraicas, que son manifestaciones geométricas de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas. Ejemplos de las clases de variedades algebraicas más estudiadas son: curvas algebraicas planas, que incluyen líneas, círculos, parábolas, elipses, hipérbolas, curvas cúbicas como curvas elípticas y curvas cuárticas como lemniscatas y óvalos de Cassini. Un punto del plano pertenece a una curva algebraica si sus coordenadas satisfacen una ecuación polinomial dada. Las preguntas básicas involucran el estudio de los puntos de especial interés como los puntos singulares, los puntos de inflexión y los puntos en el infinito. Preguntas más avanzadas involucran la topología de la curva y las relaciones entre las curvas dadas por diferentes ecuaciones.

La geometría algebraica ocupa un lugar central en las matemáticas modernas y tiene múltiples conexiones conceptuales con campos tan diversos como el análisis complejo, la topología y la teoría de números. Inicialmente un estudio de sistemas de ecuaciones polinómicas en varias variables, el tema de la geometría algebraica comienza donde termina la resolución de ecuaciones, y se vuelve aún más importante comprender las propiedades intrínsecas de la totalidad de las soluciones de un sistema de ecuaciones, que encontrar un solución específica; esto conduce a algunas de las áreas más profundas de todas las matemáticas, tanto conceptualmente como en términos de técnica.

En el siglo XX, la geometría algebraica se dividió en varias subáreas.

La corriente principal de geometría algebraica se dedica al estudio de los puntos complejos de las variedades algebraicas y más generalmente a los puntos con coordenadas en un campo algebraicamente cerrado.
Geometría algebraica real es el estudio de los puntos reales de una variedad algebraica.
Geometría diofantina y, más generalmente, geometría aritmética es el estudio de los puntos de una variedad algebraica con coordenadas en campos que no se cierran algebraicamente y ocurren en la teoría del número algebraico, como el campo de números racionales, campos de números, campos finitos, campos de función, y campos p-adic.
Una gran parte de la teoría de la singularidad está dedicada a las singularidades de las variedades algebraicas.
Geometría algebraica computacional es un área que ha surgido en la intersección de geometría algebraica y álgebra computarizada, con el surgimiento de las computadoras. Consiste principalmente en el diseño de algoritmos y el desarrollo de software para el estudio de propiedades de variedades algebraicas explícitamente dadas.

Gran parte del desarrollo de la corriente principal de la geometría algebraica en el siglo XX ocurrió dentro de un marco algebraico abstracto, con un énfasis cada vez mayor en la geometría "intrínseca" propiedades de variedades algebraicas que no dependen de ninguna forma particular de incrustar la variedad en un espacio de coordenadas ambientales; esto es paralelo a los desarrollos en topología, geometría diferencial y compleja. Un logro clave de esta geometría algebraica abstracta es la teoría de esquemas de Grothendieck, que permite usar la teoría de haces para estudiar variedades algebraicas de una manera muy similar a su uso en el estudio de variedades diferenciales y analíticas. Esto se obtiene extendiendo la noción de punto: en la geometría algebraica clásica, un punto de una variedad afín puede identificarse, a través de la Nullstellensatz de Hilbert, con un ideal maximal del anillo de coordenadas, mientras que los puntos del esquema afín correspondiente son todos ideales primordiales de este anillo. Esto significa que un punto de dicho esquema puede ser un punto habitual o una subvariedad. Este enfoque también permite una unificación del lenguaje y las herramientas de la geometría algebraica clásica, principalmente relacionada con puntos complejos, y de la teoría algebraica de números. Artimañas' la prueba de la conjetura de larga data llamada último teorema de Fermat es un ejemplo del poder de este enfoque.

Nociones básicas

Ceros de polinomios simultáneos

Esfera y círculo inclinado

En la geometría algebraica clásica, los principales objetos de interés son los conjuntos de colecciones de polinomios que desaparecen, es decir, el conjunto de todos los puntos que satisfacen simultáneamente una o más ecuaciones polinómicas. Por ejemplo, la esfera bidimensional de radio 1 en el espacio euclidiano tridimensional R³ podría definirse como el conjunto de todos los puntos (x,y,z) con

x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.,

Un "inclinado" círculo en R³ se puede definir como el conjunto de todos los puntos (x,y,z ) que satisfacen las dos ecuaciones polinómicas

x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0,,

x+y+z=0.,

Variedades afines

Primero comenzamos con un campo k. En la geometría algebraica clásica, este campo siempre fueron los números complejos C, pero muchos de los mismos resultados son ciertos si asumimos que k es algebraicamente cerrado. Consideramos el espacio afín de dimensión n sobre k, denotado Aⁿ(k) (o más simplemente Aⁿ, cuando k está claro en el contexto). Cuando uno fija un sistema de coordenadas, uno puede identificar Aⁿ(k) con kⁿ. El propósito de no trabajar con kⁿ es enfatizar que uno "olvida" la estructura de espacio vectorial que lleva kⁿ.

Una función f: Aⁿ → A¹ se dice que es polinomio (o regular) si se puede escribir como un polinomio, es decir, si existe un polinomio p en k[x₁,...,x_n] tal que f(M) = p(t₁,...,t_n) para todo punto M de coordenadas (t ₁,...,t_n) en A ⁿ. La propiedad de una función de ser polinomial (o regular) no depende de la elección de un sistema de coordenadas en Aⁿ.

Cuando se elige un sistema de coordenadas, las funciones regulares en el espacio n afín pueden identificarse con el anillo de funciones polinómicas en variables n sobre k . Por lo tanto, el conjunto de funciones regulares sobre Aⁿ es un anillo, que se denota k[Aⁿ].

Decimos que un polinomio se anula en un punto si al evaluarlo en ese punto da cero. Sea S un conjunto de polinomios en k[Aⁿ]. El conjunto de fuga de S (o lugar geométrico de fuga o conjunto cero) es el conjunto V(S ) de todos los puntos en Aⁿ donde todo polinomio en S desaparece. Simbólicamente,

{displaystyle V(S)={(t_{1},dotst_{n})mid p(t_{1},dotst_{n})=0{text{ for all }}pin S}.,}

Un subconjunto de Aⁿ que es V(S), para algunos S, se llama conjunto algebraico. La V representa variedad (un tipo específico de conjunto algebraico que se definirá a continuación).

Dado un subconjunto U de Aⁿ, ¿se puede recuperar el conjunto de polinomios que lo generan? Si U es cualquier subconjunto de Aⁿ, defina I(U) para ser el conjunto de todos los polinomios cuyo conjunto de fuga contiene U. La I representa ideal: si dos polinomios f y g desaparecen en U, entonces f +g desaparece en U, y si h es cualquier polinomio, entonces hf desaparece en U, entonces I(U) es siempre un ideal del anillo polinomial k[Aⁿ].

Dos preguntas naturales que hacer son:

Dado un subconjunto U de Aⁿ, cuando es U = V()I()U)?
Dado un conjunto S de polinomios, cuando es S = I()V()S)?

La respuesta a la primera pregunta se obtiene introduciendo la topología de Zariski, una topología sobre Aⁿ cuyos conjuntos cerrados son los conjuntos algebraicos, y que refleja directamente la estructura algebraica de k[Aⁿ]. Entonces U = V(I(U)) si y solo si U es un conjunto algebraico o, de manera equivalente, un conjunto cerrado de Zariski. La respuesta a la segunda pregunta la da Hilbert's Nullstellensatz. En una de sus formas dice que I(V(S)) es el radical del ideal generado por S. En un lenguaje más abstracto, hay una conexión de Galois que da lugar a dos operadores de cierre; pueden identificarse y, naturalmente, juegan un papel básico en la teoría; el ejemplo se elabora en la conexión de Galois.

Por varias razones, es posible que no siempre queramos trabajar con el ideal completo correspondiente a un conjunto algebraico U. El teorema de la base de Hilbert implica que los ideales en k[Aⁿ] siempre se generan finitamente.

Un conjunto algebraico se llama irreducible si no se puede escribir como la unión de dos conjuntos algebraicos más pequeños. Cualquier conjunto algebraico es una unión finita de conjuntos algebraicos irreducibles y esta descomposición es única. Por lo tanto, sus elementos se denominan componentes irreducibles del conjunto algebraico. Un conjunto algebraico irreducible también se llama variedad. Resulta que un conjunto algebraico es una variedad si y solo si puede definirse como el conjunto nulo de un ideal primo del anillo polinomial.

Algunos autores no hacen una distinción clara entre conjuntos algebraicos y variedades y usan variedad irreducible para hacer la distinción cuando es necesario.

Funciones regulares

Así como las funciones continuas son las aplicaciones naturales sobre espacios topológicos y las funciones suaves son las funciones naturales sobre variedades diferenciables, existe una clase natural de funciones sobre un conjunto algebraico, llamadas funciones regulares o funciones polinómicas. Una función regular sobre un conjunto algebraico V contenido en Aⁿ es la restricción a V de una función regular en Aⁿ. Para un conjunto algebraico definido sobre el campo de los números complejos, las funciones regulares son suaves e incluso analíticas.

Puede parecer antinaturalmente restrictivo exigir que una función regular siempre se extienda al espacio ambiental, pero es muy similar a la situación en un espacio topológico normal, donde el teorema de extensión de Tietze garantiza que una función continua en un subconjunto cerrado siempre se extiende al espacio topológico ambiental.

Al igual que con las funciones regulares en el espacio afín, las funciones regulares en V forman un anillo, que denotamos por k[V ]. Este anillo se llama anillo de coordenadas de V.

Dado que las funciones regulares en V provienen de funciones regulares en Aⁿ, existe una relación entre los anillos de coordenadas. Específicamente, si una función regular en V es la restricción de dos funciones f y g en k[Aⁿ], entonces f − g es una función polinomial que es nula en V y por lo tanto pertenece a I(V). Así, k[V] puede identificarse con k[Aⁿ]/I(V).

Morfismo de variedades afines

Usando funciones regulares de una variedad afín a A¹, podemos definir mapas regulares de una variedad afín a otra. Primero definiremos un mapa regular de una variedad en un espacio afín: Sea V una variedad contenida en Aⁿ. Elija m funciones regulares en V, y llámelas f₁,..., f_m. Definimos un mapa regular f de V a A^m dejando f = (f₁,..., f_m). En otras palabras, cada f_i determina una coordenada del rango de f.

Si V′ es una variedad contenida en A^m, decimos que f es un mapa regular de V a V′ si el rango de f está contenido en V′.

La definición de mapas regulares se aplica también a conjuntos algebraicos. Los mapas regulares también se denominan morfismos, ya que hacen que la colección de todos los conjuntos algebraicos afines se convierta en una categoría, donde los objetos son los conjuntos algebraicos afines y los morfismos son los mapas regulares. Las variedades afines es una subcategoría de la categoría de los conjuntos algebraicos.

Dado un mapa regular g de V a V′ y una función regular f de k[V′], luego f ∘ g ∈ k[V]. El mapa f → f ∘ g es un homomorfismo de anillos de k[V′] a k[V]. Por el contrario, cada homomorfismo de anillo de k[V′] a k[V] define un mapa regular de V a V′. Esto define una equivalencia de categorías entre la categoría de conjuntos algebraicos y la categoría opuesta de las k-álgebras reducidas finitamente generadas. Esta equivalencia es uno de los puntos de partida de la teoría de esquemas.

Función racional y equivalencia biracional

A diferencia de las secciones anteriores, esta sección trata solo de variedades y no de conjuntos algebraicos. Por otro lado, las definiciones se extienden naturalmente a las variedades proyectivas (siguiente sección), ya que una variedad afín y su terminación proyectiva tienen el mismo campo de funciones.

Si V es una variedad afín, su anillo de coordenadas es un dominio integral y por lo tanto tiene un campo de fracciones que se denota k(V) y llamado el campo de las funciones racionales en V o, abreviadamente, el campo de funciones de V. Sus elementos son las restricciones a V de las funciones racionales sobre el espacio afín que contiene a V. El dominio de una función racional f no es V sino el complemento de la subvariedad (una hipersuperficie) donde el denominador de f desaparece.

Al igual que con los mapas regulares, uno puede definir un mapa racional desde una variedad V a una variedad V'. Al igual que con los mapas regulares, los mapas racionales de V a V' pueden identificarse con los homomorfismos de campo de k(V') a k(V).

Dos variedades afines son biracionalmente equivalentes si hay dos funciones racionales entre ellas que son inversas entre sí en las regiones donde ambas están definidas. De manera equivalente, son biracionalmente equivalentes si sus campos de función son isomorfos.

Una variedad affine es un variedad racional si es biracionalmente equivalente a un espacio de afinidad. Esto significa que la variedad admite a parametrización racional, que es una parametrización con funciones racionales. Por ejemplo, el círculo de la ecuación $x^{2}+y^{2}-1=0$ es una curva racional, ya que tiene la ecuación paramétrica

x={frac {2,t}{1+t^{2}}}

y={frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},,

que también puede verse como un mapa racional de la línea al círculo.

El problema de resolución de singularidades es saber si toda variedad algebraica es biracionalmente equivalente a una variedad cuya terminación proyectiva no es singular (ver también terminación suave). Fue resuelto afirmativamente en característica 0 por Heisuke Hironaka en 1964 y aún no está resuelto en característica finita.

Variedad proyectiva

ParabolaSí. = x², rojo) y cúbicoSí. = x³, azul) en el espacio proyector

Así como las fórmulas para las raíces de los polinomios de segundo, tercer y cuarto grado sugieren extender los números reales al entorno más algebraicamente completo de los números complejos, muchas propiedades de las variedades algebraicas sugieren extender el espacio afín a un espacio proyectivo más geométricamente completo. Mientras que los números complejos se obtienen sumando el número i, raíz del polinomio x² + 1 , el espacio proyectivo se obtiene agregando puntos apropiados 'en el infinito', puntos donde las líneas paralelas pueden encontrarse.

Para ver cómo podría suceder esto, considere la variedad V(y − x²). Si lo dibujamos, obtenemos una parábola. Como x tiende a infinito positivo, la pendiente de la línea desde el origen hasta el punto (x, x²) también va a infinito positivo. Como x tiende a infinito negativo, la pendiente de la misma línea tiende a infinito negativo.

Compare esto con la variedad V(y − x³). Esta es una curva cúbica. Como x tiende a infinito positivo, la pendiente de la línea desde el origen hasta el punto (x, x³) va a infinito positivo como antes. Pero a diferencia de antes, como x tiende a infinito negativo, la pendiente de la misma línea también tiende a infinito positivo; exactamente lo contrario de la parábola. Entonces el comportamiento "en el infinito" de V(y − x³) es diferente del comportamiento "en el infinito" de V(y − x²).

La consideración de la completación proyectiva de las dos curvas, que es su prolongación "en el infinito" en el plano proyectivo, nos permite cuantificar esta diferencia: el punto en el infinito de la parábola es un punto regular, cuya tangente es la recta en el infinito, mientras que el punto en el infinito de la curva cúbica es una cúspide. Además, ambas curvas son racionales, ya que están parametrizadas por x, y el teorema de Riemann-Roch implica que la curva cúbica debe tener una singularidad, que debe estar en el infinito, ya que todos sus puntos en el afín el espacio es regular.

Así, muchas de las propiedades de las variedades algebraicas, incluida la equivalencia birracional y todas las propiedades topológicas, dependen del comportamiento "en el infinito" y así es natural estudiar las variedades en el espacio proyectivo. Además, la introducción de técnicas proyectivas hizo que muchos teoremas en geometría algebraica fueran más simples y definidos: por ejemplo, el teorema de Bézout sobre el número de puntos de intersección entre dos variedades puede expresarse en su forma más definida solo en el espacio proyectivo. Por estas razones, el espacio proyectivo juega un papel fundamental en la geometría algebraica.

Hoy en día, el espacio proyectivo Pⁿ de dimensión n suele ser definida como el conjunto de las rectas que pasan por un punto, considerado como origen, en el espacio afín de dimensión n + 1, o de forma equivalente a la conjunto de líneas vectoriales en un espacio vectorial de dimensión n + 1. Cuando se ha elegido un sistema de coordenadas en el espacio de dimensión n + 1, todos los puntos de una recta tienen el mismo conjunto de coordenadas, hasta la multiplicación por un elemento de k. Esto define las coordenadas homogéneas de un punto de Pⁿ como una secuencia de n + 1 elementos del campo base k, definidos hasta la multiplicación por un elemento distinto de cero de k (lo mismo para toda la secuencia).

Un polinomio en n + 1 variables se anula en todos los puntos de una línea que pasa por el origen si y solo si es homogénea. En este caso, se dice que el polinomio se anula en el punto correspondiente de Pⁿ. Esto nos permite definir un conjunto algebraico proyectivo en Pⁿ como el conjunto V(f₁,..., f_k), donde un conjunto finito de polinomios homogéneos {f₁,..., f_k} desaparece. Al igual que para los conjuntos algebraicos afines, existe una biyección entre los conjuntos algebraicos proyectivos y los ideales homogéneos reducidos que los definen. Las variedades proyectivas son los conjuntos algebraicos proyectivos cuyo ideal definitorio es primo. En otras palabras, una variedad proyectiva es un conjunto algebraico proyectivo, cuyo anillo de coordenadas homogéneo es un dominio integral, definiéndose el anillo de coordenadas proyectivas como el cociente del anillo graduado o los polinomios en n + 1 variables por el ideal homogéneo (reducido) que define la variedad. Todo conjunto algebraico proyectivo puede descomponerse de forma única en una unión finita de variedades proyectivas.

Las únicas funciones regulares que pueden definirse correctamente en una variedad proyectiva son las funciones constantes. Por lo tanto, esta noción no se usa en situaciones proyectivas. Por otro lado, el campo de las funciones racionales o campo de funciones es una noción útil, que, de manera similar al caso afín, se define como el conjunto de los cocientes de dos elementos homogéneos del mismo grado en el anillo de coordenadas homogéneo.

Geometría algebraica real

La geometría algebraica real es el estudio de los puntos reales de las variedades algebraicas.

El hecho de que el campo de los números reales es un campo ordenado no puede ser ignorado en tal estudio. Por ejemplo, la curva de la ecuación $x^{2}+y^{2}-a=0$ es un círculo si $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{displaystyle a confía0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;"/>$ , pero no tiene ningún punto real si $<math alttext="{displaystyle aa.0{displaystyle a won0} <img alt="a$ . Se sigue que la geometría algebraica real no es sólo el estudio de las variedades algebraicas reales, sino que se ha generalizado al estudio del conjuntos semialgebraicos, que son las soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas y desigualdades polinómicas. Por ejemplo, una rama de la hiperbola de la ecuación $xy-1=0$ no es una variedad algebraica, pero es un conjunto semi-algebraico definido por $xy-1=0$ y $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x■0{displaystyle x confianza0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;"/>$ o por $xy-1=0$ y $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x+Sí.■0{displaystyle x+y confianza0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715be5e4451f1cf6cd7b78a30b6dd7299f938f61" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.586ex; height:2.509ex;"/>$ .

Uno de los problemas desafiantes de la geometría algebraica real es el decimosexto problema no resuelto de Hilbert: decidir qué posiciones respectivas son posibles para los óvalos de una curva plana no singular de grado 8.

Geometría algebraica computacional

Se puede fechar el origen de la geometría algebraica computacional en la reunión EUROSAM'79 (Simposio internacional sobre manipulación simbólica y algebraica) celebrada en Marsella, Francia, en junio de 1979. En esta reunión,

Dennis S. Arnon mostró que la descomposición algebraica cilíndrica de George E. Collins (CAD) permite la computación de la topología de conjuntos semi-algebraicos,
Bruno Buchberger presentó las bases de Gröbner y su algoritmo para computarlas,
Daniel Lazard presentó un nuevo algoritmo para la solución de sistemas de ecuaciones polinomiales homogéneas con una complejidad computacional que es esencialmente polinomio en el número esperado de soluciones y por lo tanto simplemente exponencial en el número de desconocidos. Este algoritmo está fuertemente relacionado con el resultado multivariado de Macaulay.

Desde entonces, la mayoría de los resultados en esta área están relacionados con uno o varios de estos elementos, ya sea usando o mejorando uno de estos algoritmos, o encontrando algoritmos cuya complejidad es simplemente exponencial en el número de variables.

En las últimas décadas se ha desarrollado un cuerpo de teoría matemática complementario a los métodos simbólicos denominado geometría algebraica numérica. El método computacional principal es la continuación de la homotopía. Esto soporta, por ejemplo, un modelo de cálculo de coma flotante para resolver problemas de geometría algebraica.

Base de Gröbner

Una base de Gröbner es un sistema de generadores de un polinomio ideal cuyo cálculo permite deducir muchas propiedades de la variedad algebraica afín definida por el ideal.

Dado un I ideal que define un conjunto algebraico V:

V está vacío (sobre una extensión algebraicamente cerrada del campo base), si y sólo si la base Gröbner para cualquier orden monomial se reduce a {1}.
Mediante la serie Hilbert se puede calcular la dimensión y el grado de V de cualquier base de Gröbner I para una orden monomial refinando el grado total.
Si la dimensión de V es 0, se puede calcular los puntos (finito en número) de V de cualquier base de Gröbner I (ver Sistemas de ecuaciones polinómicas).
Un cálculo de base Gröbner permite que uno se retire de V todos los componentes irreducibles que están contenidos en una hipersuperficie dada.
Un cálculo de base Gröbner permite calcular el cierre de Zariski de la imagen V por la proyección en k primeras coordenadas, y el subconjunto de la imagen donde la proyección no es apropiada.
Más generalmente los cálculos de base Gröbner permiten calcular el cierre de Zariski de la imagen y los puntos críticos de una función racional V en otra variedad de afines.

Los cálculos de la base de Gröbner no permiten calcular directamente la descomposición primaria de I ni los ideales primos que definen los componentes irreducibles de V, pero la mayoría de los algoritmos para esto involucran a Gröbner cómputo base. Los algoritmos que no están basados en bases de Gröbner usan cadenas regulares pero pueden necesitar bases de Gröbner en algunas situaciones excepcionales.

Se considera que las bases de Gröbner son difíciles de calcular. De hecho pueden contener, en el peor de los casos, polinomios cuyo grado sea doblemente exponencial en el número de variables y un número de polinomios también doblemente exponencial. Sin embargo, esta es solo la complejidad del peor de los casos, y el límite de complejidad del algoritmo de Lazard de 1979 puede aplicarse con frecuencia. El algoritmo Faugère F5 se da cuenta de esta complejidad, ya que puede verse como una mejora del algoritmo de Lazard de 1979. De ello se deduce que las mejores implementaciones permiten calcular casi de forma rutinaria con conjuntos algebraicos de grado superior a 100. Esto significa que, actualmente, la dificultad de calcular una base de Gröbner está fuertemente relacionada con la dificultad intrínseca del problema.

Descomposición algebraica cilíndrica (CAD)

CAD es un algoritmo que fue introducido en 1973 por G. Collins para implementar con una complejidad aceptable el teorema de Tarski-Seidenberg sobre la eliminación de cuantificadores sobre los números reales.

Este teorema se refiere a las fórmulas de la lógica de primer orden cuyas fórmulas atómicas son igualdades polinómicas o desigualdades entre polinomios con coeficientes reales. Estas fórmulas son, por lo tanto, las fórmulas que pueden construirse a partir de las fórmulas atómicas mediante los operadores lógicos y (∧), o (∨), no (¬), para todos (∀) y existe (∃). El teorema de Tarski afirma que, a partir de dicha fórmula, se puede calcular una fórmula equivalente sin cuantificador (∀, ∃).

La complejidad de CAD es doblemente exponencial en el número de variables. Esto significa que CAD permite, en teoría, resolver todos los problemas de geometría algebraica real que pueden expresarse mediante una fórmula de este tipo, es decir, casi todos los problemas relacionados con variedades dadas explícitamente y conjuntos semialgebraicos.

Mientras que el cálculo de la base de Gröbner tiene una complejidad doblemente exponencial solo en casos excepcionales, CAD tiene casi siempre esta alta complejidad. Esto implica que, a menos que la mayoría de los polinomios que aparecen en la entrada sean lineales, es posible que no resuelva problemas con más de cuatro variables.

Desde 1973, la mayor parte de la investigación sobre este tema se dedica a mejorar CAD o encontrar algoritmos alternativos en casos especiales de interés general.

Como ejemplo del estado del arte, existen algoritmos eficientes para encontrar al menos un punto en cada componente conexa de un conjunto semialgebraico y, por lo tanto, probar si un conjunto semialgebraico está vacío. Por otro lado, CAD es todavía, en la práctica, el mejor algoritmo para contar el número de componentes conectados.

Complejidad asintótica versus eficiencia práctica

Los algoritmos generales básicos de la geometría computacional tienen una doble complejidad de caso exponencial peor. Más precisamente, si d es el grado máximo de los polinomios de entrada y n el número de variables, su complejidad es en la mayoría $d^{2^{cn}}$ para alguna constante c, y, para algunos insumos, la complejidad es al menos $d^{2^{c'n}}$ para otra constante c′.

Durante los últimos 20 años del siglo XX, se han introducido varios algoritmos para resolver subproblemas específicos con una mejor complejidad. La mayoría de estos algoritmos tienen una complejidad $d^{O(n^{2})}$ .

Entre estos algoritmos que resuelven un subproblema de los problemas resueltos por las bases de Gröbner, se pueden citar comprobar si una variedad afín está vacía y resolver sistemas polinómicos no homogéneos que tienen un número finito de soluciones. Dichos algoritmos rara vez se implementan porque, en la mayoría de las entradas, los algoritmos F4 y F5 de Faugère tienen una mejor eficiencia práctica y probablemente una complejidad similar o mejor (probablemente porque la evaluación de la complejidad de los algoritmos de base de Gröbner en una clase particular de entradas es una tarea difícil que se ha realizado solo en algunos casos especiales).

Los principales algoritmos de geometría algebraica real que resuelven un problema resuelto por CAD están relacionados con la topología de conjuntos semi-algebraicos. Uno puede citar contando el número de componentes conectados, pruebas si dos puntos están en los mismos componentes o computar una estratificación Whitney de un conjunto algebraico real. Tienen una complejidad $d^{O(n^{2})}$ , pero la constante involucrada O notación es tan alta que el uso de ellos para resolver cualquier problema notrivial efectivamente resuelto por CAD, es imposible incluso si se puede utilizar todo el poder informático existente en el mundo. Por lo tanto, estos algoritmos nunca se han implementado y este es un área de investigación activa para buscar algoritmos con tener juntos una buena complejidad asintotica y una buena eficiencia práctica.

Punto de vista moderno abstracto

Los enfoques modernos de la geometría algebraica redefinen y amplían efectivamente la gama de objetos básicos en varios niveles de generalidad a esquemas, esquemas formales, esquemas ind, espacios algebraicos, pilas algebraicas, etc. La necesidad de esto surge ya de las ideas útiles dentro de la teoría de variedades, p. las funciones formales de Zariski se pueden acomodar introduciendo elementos nilpotentes en anillos de estructura; la consideración de espacios de bucles y arcos, la construcción de cocientes mediante acciones grupales y el desarrollo de fundamentos formales para la teoría de la intersección natural y la teoría de la deformación conducen a algunas de las extensiones adicionales.

Lo más notable es que, a fines de la década de 1950, las variedades algebraicas se incluyeron en el concepto de esquema de Alexander Grothendieck. Sus objetos locales son esquemas afines o espectros primos que son espacios localmente anillados que forman una categoría antiequivalente a la categoría de anillos unitarios conmutativos, extendiendo la dualidad entre la categoría de variedades algebraicas afines sobre un campo k, y la categoría de álgebras reducidas k generadas finitamente. El encolado sigue la topología de Zariski; uno puede adherirse dentro de la categoría de espacios localmente anillados, pero también, utilizando la incrustación de Yoneda, dentro de la categoría más abstracta de pregavillas de conjuntos sobre la categoría de esquemas afines. La topología de Zariski en el sentido teórico de conjuntos se reemplaza luego por una topología de Grothendieck. Grothendieck introdujo las topologías de Grothendieck teniendo en mente ejemplos más exóticos pero geométricamente más finos y más sensibles que la tosca topología de Zariski, a saber, la topología étale y las dos topologías planas de Grothendieck: fppf y fpqc; hoy en día, algunos otros ejemplos se hicieron prominentes, incluida la topología de Nisnevich. Las poleas se pueden generalizar además a pilas en el sentido de Grothendieck, generalmente con algunas condiciones de representabilidad adicionales que conducen a pilas de Artin y, aún más finas, pilas de Deligne-Mumford, ambas a menudo llamadas pilas algebraicas.

A veces, otros sitios algebraicos reemplazan la categoría de esquemas afines. Por ejemplo, Nikolai Durov ha introducido mónadas algebraicas conmutativas como una generalización de objetos locales en una geometría algebraica generalizada. En esta configuración se realizaron versiones de una geometría tropical, de una geometría absoluta sobre un campo de un elemento y un análogo algebraico de la geometría de Arakelov.

Otra generalización formal es posible para la geometría algebraica universal en la que cada variedad de álgebra tiene su propia geometría algebraica. El término variedad de álgebras no debe confundirse con variedad algebraica.

El lenguaje de esquemas, pilas y generalizaciones ha demostrado ser una forma valiosa de tratar los conceptos geométricos y se convirtió en la piedra angular de la geometría algebraica moderna.

Las pilas algebraicas se pueden generalizar aún más y, para muchas preguntas prácticas, como la teoría de la deformación y la teoría de la intersección, este suele ser el enfoque más natural. Uno puede extender el sitio de Grothendieck de esquemas afines a un sitio categórico superior de esquemas afines derivados, reemplazando los anillos conmutativos con una categoría infinita de álgebras conmutativas graduadas diferenciales, o de anillos conmutativos simpliciales o una categoría similar con una variante apropiada de un Grothendieck topología También se pueden reemplazar pregavillas de conjuntos por pregavillas de conjuntos simpliciales (o de groupoides infinitos). Entonces, en presencia de una maquinaria homotópica apropiada, se puede desarrollar una noción de pila derivada como tal pregavilla en la categoría infinita de esquemas afines derivados, que satisface cierta versión categórica infinita de un axioma de gavilla (y para ser algebraico, inductivamente una secuencia de las condiciones de representabilidad). Las categorías del modelo de Quillen, las categorías de Segal y las cuasicategorías son algunas de las herramientas más utilizadas para formalizar esto, lo que produce la geometría algebraica derivada, introducida por la escuela de Carlos Simpson, incluidos Andre Hirschowitz, Bertrand Toën, Gabrielle Vezzosi, Michel Vaquié y otros; y desarrollado aún más por Jacob Lurie, Bertrand Toën y Gabriele Vezzosi. Maxim Kontsevich y sus seguidores desarrollaron otra versión (no conmutativa) de geometría algebraica derivada, que utiliza categorías A-infinito desde principios de la década de 1990.

Historia

Antes del siglo XVI

Algunas de las raíces de la geometría algebraica se remontan al trabajo de los griegos helenísticos del siglo V a. El problema de Delian, por ejemplo, era construir una longitud x de modo que el cubo de lado x tuviera el mismo volumen que la caja rectangular a ²b para los lados a y b dados. Menaechmus (c. 350 AC) consideró el problema geométricamente intersecando el par de cónicas planas ay = x² y xy = ab. En el siglo III a. C., Arquímedes y Apolonio estudiaron sistemáticamente problemas adicionales sobre secciones cónicas utilizando coordenadas. Apolonio en las Cónicas desarrolló un método que es tan similar a la geometría analítica que a veces se piensa que su trabajo se anticipó al trabajo de Descartes en unos 1800 años. Su aplicación de líneas de referencia, un diámetro y una tangente esencialmente no es diferente de nuestro uso moderno de un marco de coordenadas, donde las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e interceptados entre el eje y la curva son las ordenadas. Desarrolló aún más las relaciones entre las abscisas y las correspondientes coordenadas utilizando métodos geométricos como el uso de parábolas y curvas. Los matemáticos medievales, incluidos Omar Khayyam, Leonardo de Pisa, Gersonides y Nicole Oresme en el período medieval resolvieron ciertas ecuaciones cúbicas y cuadráticas por medios puramente algebraicos y luego interpretaron los resultados geométricamente. El matemático persa Omar Khayyám (nacido en 1048 dC) creía que existía una relación entre la aritmética, el álgebra y la geometría. Esto fue criticado por Jeffrey Oaks, quien afirma que el estudio de las curvas por medio de ecuaciones se originó con Descartes en el siglo XVII.

Renacimiento

Tales técnicas de aplicar construcciones geométricas a problemas algebraicos también fueron adoptadas por varios matemáticos del Renacimiento como Gerolamo Cardano y Niccolò Fontana "Tartaglia" en sus estudios de la ecuación cúbica. El enfoque geométrico de los problemas de construcción, en lugar del algebraico, fue favorecido por la mayoría de los matemáticos de los siglos XVI y XVII, en particular Blaise Pascal, quien argumentó en contra del uso de métodos algebraicos y analíticos en geometría. Los matemáticos franceses Franciscus Vieta y más tarde René Descartes y Pierre de Fermat revolucionaron la forma convencional de pensar sobre los problemas de construcción mediante la introducción de la geometría de coordenadas. Estaban interesados principalmente en las propiedades de las curvas algebraicas, como las definidas por las ecuaciones diofánticas (en el caso de Fermat), y la reformulación algebraica de las obras griegas clásicas sobre cónicas y cúbicas (en el caso de Descartes).

Durante el mismo período, Blaise Pascal y Gérard Desargues abordaron la geometría desde una perspectiva diferente, desarrollando las nociones sintéticas de geometría proyectiva. Pascal y Desargues también estudiaron las curvas, pero desde el punto de vista puramente geométrico: el análogo de la construcción griega con regla y compás. En última instancia, ganó la geometría analítica de Descartes y Fermat, ya que suministró a los matemáticos del siglo XVIII las herramientas cuantitativas concretas necesarias para estudiar problemas físicos utilizando el nuevo cálculo de Newton y Leibniz. Sin embargo, a finales del siglo XVIII, la mayor parte del carácter algebraico de la geometría de coordenadas fue subsumido por el cálculo de infinitesimales de Lagrange y Euler.

Siglo XIX y principios del XX

Se necesitaron los desarrollos simultáneos del siglo XIX de la geometría no euclidiana y las integrales abelianas para traer de vuelta las viejas ideas algebraicas al pliegue geométrico. El primero de estos nuevos desarrollos fue aprovechado por Edmond Laguerre y Arthur Cayley, quienes intentaron determinar las propiedades métricas generalizadas del espacio proyectivo. Cayley introdujo la idea de formas polinómicas homogéneas, y más específicamente formas cuadráticas, en el espacio proyectivo. Posteriormente, Felix Klein estudió la geometría proyectiva (junto con otros tipos de geometría) desde el punto de vista de que la geometría sobre un espacio está codificada en una cierta clase de transformaciones sobre el espacio. A fines del siglo XIX, los geómetras proyectivos estaban estudiando tipos más generales de transformaciones de figuras en el espacio proyectivo. En lugar de las transformaciones lineales proyectivas que normalmente se consideraba que proporcionaban la geometría kleiniana fundamental en el espacio proyectivo, también se ocuparon de las transformaciones birracionales de grado superior. Esta noción más débil de congruencia llevaría más tarde a los miembros de la escuela italiana de geometría algebraica del siglo XX a clasificar las superficies algebraicas hasta el isomorfismo birracional.

El segundo desarrollo de principios del siglo XIX, el de las integrales abelianas, llevaría a Bernhard Riemann al desarrollo de las superficies de Riemann.

En el mismo período comenzó la algebrización de la geometría algebraica a través del álgebra conmutativa. Los resultados destacados en esta dirección son el teorema de la base de Hilbert y el Nullstellensatz de Hilbert, que son la base de la conexión entre la geometría algebraica y el álgebra conmutativa, y la resultante multivariante de Macaulay, que es la base de teoría de la eliminación. Probablemente debido al tamaño del cálculo que implican las resultantes multivariadas, la teoría de la eliminación fue olvidada a mediados del siglo XX hasta que fue renovada por la teoría de la singularidad y la geometría algebraica computacional.

Siglo XX

B. L. van der Waerden, Oscar Zariski y André Weil desarrollaron una base para la geometría algebraica basada en el álgebra conmutativa contemporánea, incluida la teoría de la valoración y la teoría de los ideales. Uno de los objetivos era dar un marco riguroso para probar los resultados de la escuela italiana de geometría algebraica. En particular, esta escuela utilizó sistemáticamente la noción de punto genérico sin una definición precisa, que fue dada por primera vez por estos autores durante la década de 1930.

En las décadas de 1950 y 1960, Jean-Pierre Serre y Alexander Grothendieck reformularon los cimientos haciendo uso de la teoría de la gavilla. Más tarde, alrededor de 1960, y en gran parte dirigido por Grothendieck, se elaboró la idea de los esquemas, junto con un aparato muy refinado de técnicas homológicas. Después de una década de rápido desarrollo, el campo se estabilizó en la década de 1970 y se hicieron nuevas aplicaciones, tanto a la teoría de números como a preguntas geométricas más clásicas sobre variedades algebraicas, singularidades, módulos y módulos formales.

Una clase importante de variedades, que no se entiende fácilmente directamente a partir de sus ecuaciones definitorias, son las variedades abelianas, que son las variedades proyectivas cuyos puntos forman un grupo abeliano. Los ejemplos prototípicos son las curvas elípticas, que tienen una rica teoría. Fueron fundamentales en la demostración del último teorema de Fermat y también se utilizan en la criptografía de curva elíptica.

Paralelamente a la tendencia abstracta de la geometría algebraica, que se ocupa de enunciados generales sobre variedades, también se han desarrollado métodos para el cálculo eficaz con variedades dadas concretamente, que conducen a la nueva área de la geometría algebraica computacional. Uno de los métodos fundacionales de esta área es la teoría de las bases de Gröbner, introducida por Bruno Buchberger en 1965. Otro método fundacional, más especialmente dedicado a la geometría algebraica real, es la descomposición algebraica cilíndrica, introducida por George E. Collins en 1973.

Ver también: geometría algebraica derivada.

Geometría analítica

Una variedad analítica se define localmente como el conjunto de soluciones comunes de varias ecuaciones que involucran funciones analíticas. Es análogo al concepto incluido de variedad algebraica real o compleja. Toda variedad compleja es una variedad analítica. Dado que las variedades analíticas pueden tener puntos singulares, no todas las variedades analíticas son variedades.

La geometría analítica moderna es esencialmente equivalente a la geometría algebraica real y compleja, como ha demostrado Jean-Pierre Serre en su artículo GAGA, cuyo nombre en francés significa Geometría algebraica y geometría analítica. Sin embargo, los dos campos siguen siendo distintos, ya que los métodos de prueba son bastante diferentes y la geometría algebraica incluye también geometría en característica finita.

Aplicaciones

La geometría algebraica ahora encuentra aplicaciones en estadística, teoría de control, robótica, códigos de corrección de errores, filogenética y modelado geométrico. También hay conexiones con la teoría de cuerdas, la teoría de juegos, las coincidencias de gráficos, los solitones y la programación de enteros.

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