Función parcial

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Función cuyo dominio real de definición puede ser menor que su dominio aparente

En matemáticas, una función parcial $f$ de un conjunto $X$ a un conjunto $Y$ es una función de un subconjunto $S$ de $X$ (posiblemente $X$ en sí mismo) a $Y. El subconjunto S, es decir, el dominio de f vista como una función, se llama el dominio de definición de f . Si S es igual a X, es decir, si f está definido en cada elemento de X, entonces f se dice que es total .$

Más técnicamente, una función parcial es una relación binaria sobre dos conjuntos que asocia cada elemento del primer conjunto a como máximo un elemento del segundo conjunto; por lo tanto, es una relación binaria funcional. Generaliza el concepto de una función (total) al no requerir que todos los elementos del primer conjunto estén asociados a exactamente un elemento del segundo conjunto.

Una función parcial se usa a menudo cuando su dominio de definición exacto no se conoce o es difícil de especificar. Este es el caso del cálculo, donde, por ejemplo, el cociente de dos funciones es una función parcial cuyo dominio de definición no puede contener los ceros del denominador. Por esta razón, en cálculo, y más generalmente en análisis matemático, una función parcial generalmente se llama simplemente una función. En la teoría de la computabilidad, una función recursiva general es una función parcial de enteros a enteros; no puede existir ningún algoritmo para decidir si una función arbitraria de este tipo es de hecho total.

Cuando la notación de flecha se utiliza para funciones, una función parcial $f$ desde $X$ a $Y$ a veces se escribe como ${displaystyle f:Xrightharpoonup Y,}$ ${displaystyle f:Xnrightarrow Y,}$ o ${displaystyle f:Xhookrightarrow Y.}$ Sin embargo, no hay convención general, y esta última notación es más comúnmente utilizada para mapas de inclusión o embeddings.

Específicamente, para una función parcial ${displaystyle f:Xrightharpoonup Y,}$ y cualquier ${displaystyle xin X,}$ uno tiene cualquiera:

${displaystyle f(x)=yin Y}$ (es un solo elemento en $Y$ ), o
$f(x)$ es indefinido.

Por ejemplo, si $f$ es la función de raíz cuadrada restringida a los enteros

{displaystyle f:mathbb {Z} to mathbb {N}}

definida por:

{displaystyle f(n)=m}

si, y sólo si,

{displaystyle m^{2}=n,}

{displaystyle min mathbb {N}nin mathbb {Z}}

entonces $f(n)$ sólo se define si $n$ es un cuadrado perfecto (es decir, ${displaystyle 0,1,4,9,16,ldots }$ ). Así que... ${displaystyle f(25)=5}$ pero ${displaystyle f(26)}$ es indefinido.

Conceptos básicos

Un ejemplo de una función parcial que es inyectable.

Un ejemplo de una función que no es inyectable.

Una función parcial surge de la consideración de mapas entre dos conjuntos $X$ y $Y$ que no se puede definir en todo el conjunto $X$ . Un ejemplo común es la operación de raíz cuadrada en los números reales $mathbb {R}$ : porque los números reales negativos no tienen raíces cuadradas reales, la operación se puede ver como una función parcial desde $mathbb {R}$ a ${displaystyle mathbb {R}.}$ El dominio de la definición de una función parcial es el subconjunto $S$ de $X$ sobre la cual se define la función parcial; en este caso, la función parcial también puede ser vista como una función desde $S$ a $Y$ . En el ejemplo de la operación de raíz cuadrada, el conjunto $S$ consiste en los números reales no negativos ${displaystyle [0,+infty).}$

La noción de función parcial es particularmente conveniente cuando el dominio exacto de definición es desconocido o incluso incognoscible. Para ver un ejemplo informático de esto último, consulte Problema de detención.

En caso de que el dominio de definición $S$ sea igual a todo el conjunto $X$ , se dice que la función parcial es total. Por lo tanto, funciones parciales totales de $X$ a $Y$ coincide con funciones desde $X$ hasta $Y$ .

Muchas propiedades de funciones pueden extenderse en un sentido apropiado de funciones parciales. Se dice que una función parcial es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva cuando la función dada por la restricción de la función parcial a su dominio de definición es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva respectivamente.

Debido a que una función es trivialmente sobreyectiva cuando se restringe a su imagen, el término biyección parcial denota una función parcial que es inyectiva.

Una función parcial inyectiva puede invertirse en una función parcial inyectiva, y una función parcial que es tanto inyectiva como sobreyectiva tiene una función inyectiva como inversa. Además, una función que es inyectiva puede invertirse en una función parcial inyectiva.

La noción de transformación también se puede generalizar a funciones parciales. A transformación parcial es una función ${displaystyle f:Arightharpoonup B,}$ donde ambos $A$ y $B$ son subconjuntos de algunos conjuntos $X.$

Espacios de funciones

Para mayor comodidad, denota el conjunto de todas las funciones parciales ${displaystyle f:Xrightharpoonup Y}$ de un conjunto $X$ a un conjunto $Y$ por ${displaystyle [Xrightharpoonup Y].}$ Este conjunto es la unión de los conjuntos de funciones definidas en subconjuntos de $X$ con el mismo codomain $Y$ :

{displaystyle [Xrightharpoonup Y]=bigcup _{Dsubseteq X}[Dto Y],}

este último también escrito como ${textstyle bigcup _{Dsubseteq {X}}Y^{D}.}$ En caso finito, su cardenalidad es

{displaystyle |[Xrightharpoonup Y]|=(|Y|+1)^{|X|},}

porque cualquier función parcial puede ser extendida a una función por cualquier valor fijo $c$ no contenidos en $Y,$ para que el codominio sea ${displaystyle Ycup {c},}$ una operación que es inyectable (unique e invertible por restricción).

Discusión y ejemplos

El primer diagrama en la parte superior del artículo representa una función parcial que no es una función ya que el elemento 1 en el conjunto de la izquierda no está asociado con nada en el conjunto de la derecha. Mientras que el segundo diagrama representa una función ya que cada elemento del conjunto de la izquierda está asociado con exactamente un elemento del conjunto de la derecha.

Logaritmo natural

Considere la función de logaritmo natural que asigna los números reales a sí mismos. El logaritmo de un real no positivo no es un número real, por lo que la función de logaritmo natural no asocia ningún número real en el codominio con ningún número real no positivo en el dominio. Por lo tanto, la función de logaritmo natural no es una función cuando se ve como una función de los reales a sí mismos, sino que es una función parcial. Si el dominio está restringido para incluir solo los reales positivos (es decir, si la función de logaritmo natural se ve como una función de reales positivos a reales), entonces el logaritmo natural es una función.

Resta de números naturales

La resta de números naturales (enteros no negativos) puede verse como una función parcial:

{displaystyle f:mathbb {N} times mathbb {N} rightharpoonup mathbb {N} }

f(x,y)=x-y.

Sólo se define cuando ${displaystyle xgeq y.}$

Elemento inferior

En la semántica denotacional, se considera que una función parcial devuelve el elemento inferior cuando no está definido.

En informática, una función parcial corresponde a una subrutina que genera una excepción o realiza un ciclo indefinido. El estándar de punto flotante IEEE define un valor que no es un número que se devuelve cuando una operación de punto flotante no está definida y se suprimen las excepciones, p. cuando se pide la raíz cuadrada de un número negativo.

En un lenguaje de programación en el que los parámetros de función se tipifican estáticamente, una función puede definirse como una función parcial porque el sistema de tipos del lenguaje no puede expresar el dominio exacto de la función, por lo que el programador le da el dominio más pequeño. que es expresable como un tipo y contiene el dominio de definición de la función.

En teoría de categorías

En la teoría de la categoría, al considerar el funcionamiento de la composición del morfismo en categorías concretas, la operación de composición ${displaystyle circ ;:;hom(C)times hom(C)to hom(C)}$ es una función si y sólo si $operatorname {ob} (C)$ tiene un elemento. La razón de esto es que dos morfismos $f:Xto Y$ y ${displaystyle g:Uto V}$ sólo se puede componer como $gcirc f$ si ${displaystyle Y=U,}$ es decir, el codominio de $f$ debe igualar el dominio de $g.$

La categoría de conjuntos y funciones parciales es equivalente, pero no isomorfa, a la categoría de conjuntos puntiagudos y mapas que conservan puntos. Un libro de texto señala que "Esta finalización formal de conjuntos y mapas parciales mediante la adición de elementos "impropios" e "infinitos" se reinventó muchas veces, en particular, en topología (compactación de un punto) y en informática teórica. 34;

La categoría de conjuntos y biyecciones parciales es equivalente a su dual. Es la categoría inversa prototípica.

En álgebra abstracta

El álgebra parcial generaliza la noción de álgebra universal a operaciones parciales. Un ejemplo sería un campo en el que la inversión multiplicativa es la única operación parcial propia (porque la división por cero no está definida).

El conjunto de todas las funciones parciales (transformaciones parciales) en un conjunto de base dado, $X,$ forma un semigrupo regular llamado semigrupo de todas las transformaciones parciales (o el semigrupo de transformación parcial en $X$ ), típicamente denotado por ${displaystyle {mathcal {PT}}_{X}.}$ El conjunto de todas las parcialidades en $X$ forma el semigrupo inverso simétrico.

Gráficos y atlas de variedades y haces de fibras

Los gráficos en los atlas que especifican la estructura de variedades y haces de fibras son funciones parciales. En el caso de las variedades, el dominio es el conjunto puntual de la variedad. En el caso de haces de fibras, el dominio es el espacio del haz de fibras. En estas aplicaciones, la construcción más importante es el mapa de transición, que es la combinación de un gráfico con el inverso de otro. La clasificación inicial de variedades y haces de fibras se expresa en gran medida en términos de restricciones en estos mapas de transición.

La razón para el uso de funciones parciales en lugar de funciones es permitir que las topologías globales generales se representen uniendo parches locales para describir la estructura global. Los "parches" son los dominios donde se definen los gráficos.

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