Función integral logarítmica

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Función especial definida por una
Plot of the logarithmic integral function li(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
Parcela de la función integral logarítmica li(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con Mathematica 13.1 función ComplejoPlot3D

En matemáticas, la función integral logarítmica o logaritmo integral li(x) es una función especial. Es relevante en los problemas de la física y tiene significado teórico número. En particular, según el número principal teorema, es una muy buena aproximación a la función de contabilidad principal, que se define como el número de números primo menos o igual a un valor dado x{displaystyle x}.

Logaritmic integral function plot

Representación integral

La integral logarítmica tiene una representación integral definida para todos los números reales positivos x ≠ 1 por la integral definida

li⁡ ⁡ ()x)=∫ ∫ 0xdtIn⁡ ⁡ t.{displaystyle operatorname {li} (x)=int _{0}{x}{frac {dt}{ln }

Aquí, ln denota el logaritmo natural. La función 1/(ln t) tiene una singularidad en t = 1, y la integral para x > 1 se interpreta como un valor principal de Cauchy,

li⁡ ⁡ ()x)=limε ε → → 0+()∫ ∫ 01− − ε ε dtIn⁡ ⁡ t+∫ ∫ 1+ε ε xdtIn⁡ ⁡ t).{displaystyle operatorname {li} (x)=lim _{varepsilon to 0+}left(int) _{0}{1-varepsilon }{frac {dt}{ln t}+int _{1+varepsilon }{x}{x}{frac {dt}{ln t}right).}

Integral logarítmica compensada

La integral logarítmica desplazada o integral logarítmica euleriana se define como

Li⁡ ⁡ ()x)=∫ ∫ 2xdtIn⁡ ⁡ t=li⁡ ⁡ ()x)− − li⁡ ⁡ ()2).{displaystyle operatorname {Li} (x)=int _{2}{x}{frac {dt}{ln t}=operatorname {li} (x)-operatorname {li} (2).}

Como tal, la representación integral tiene la ventaja de evitar la singularidad en el dominio de la integración.

Equivalentemente,

li⁡ ⁡ ()x)=∫ ∫ 0xdtIn⁡ ⁡ t=Li⁡ ⁡ ()x)+li⁡ ⁡ ()2).{displaystyle operatorname {li} (x)=int _{0}{x}{frac {dt}{ln t}=operatorname {Li} (x)+operatorname {li} (2).}

Valores especiales

La función li(x) tiene un solo cero positivo; ocurre en x ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEIS: A070769; este número se conoce como la constante de Ramanujan-Soldner.

−Li(0) = li(2) ≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... OEIS: A069284

Esto es − − ().. ()0,− − In⁡ ⁡ 2)+iπ π ){displaystyle -(Gamma left(0,-ln 2right)+i,pi)} Donde .. ()a,x){displaystyle Gamma left(a,xright)} es la función gamma incompleta. Debe entenderse como el valor principal de la función Cauchy.

Representación en serie

La función li(x) está relacionada con la integral exponencial Ei(x) a través de la ecuación

li()x)=Ei()In⁡ ⁡ x),{displaystyle {hbox{li}(x)={hbox{Ei}(ln x),,!}

que es válido para x > 0. Esta identidad proporciona una representación en serie de li(x) como

li⁡ ⁡ ()eu)=Ei()u)=γ γ +In⁡ ⁡ SilenciouSilencio+.. n=1JUEGO JUEGO unn⋅ ⋅ n!parauل ل 0,{displaystyle operatorname {li} (e^{u})={hbox{Ei}(u)=gamma +ln peruu habit+sum _{n=1}{infty }{u^{n} {n} {}} {}} {}} {c}} {c}}}} {c}}}}} {c}}}}}}}} {c}}}}}}}} {c}}}} {c}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}c}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c} {c}} {c}}}}} {cc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}} {text{ for }uneq 0;,}

donde γ ≈ 0,57721 56649 01532... OEIS: A001620 es la constante de Euler-Mascheroni. Una serie más rápidamente convergente de Ramanujan es

li⁡ ⁡ ()x)=γ γ +In⁡ ⁡ In⁡ ⁡ x+x.. n=1JUEGO JUEGO ()− − 1)n− − 1()In⁡ ⁡ x)nn!2n− − 1.. k=0⌊ ⌊ ()n− − 1)/2⌋ ⌋ 12k+1.{displaystyle operatorname {li} (x)=gamma # +lnln x+{sqrt {x}sum _{n=1}{infty }{frac {(-1)^{n-1}(n x)}{n}{n}{n},2^{n-1}}sum ¿Por qué?

Expansión asintótica

El comportamiento asintótico de x → ∞ es

li⁡ ⁡ ()x)=O()xIn⁡ ⁡ x).{displaystyle operatorname {li} (x)=Oleft({frac {x}{ln x}right). }

Donde O{displaystyle O. es la gran notación O. La expansión asintotica completa es

li⁡ ⁡ ()x)♪ ♪ xIn⁡ ⁡ x.. k=0JUEGO JUEGO k!()In⁡ ⁡ x)k{displaystyle operatorname {li} (x)sim {frac {x}{ln x}sum _{k=0}{infty }{frac {k}{ln x}}}{k}}}}} {f}}} {f}}} {fnK}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}} {f}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

o

li⁡ ⁡ ()x)x/In⁡ ⁡ x♪ ♪ 1+1In⁡ ⁡ x+2()In⁡ ⁡ x)2+6()In⁡ ⁡ x)3+⋯ ⋯ .{displaystyle {frac {fnMicrosoft Sans Serif}{x/ln x}sim 1+{frac {1}{ln ¿Qué?

Esto proporciona el siguiente comportamiento asintótico más preciso:

li⁡ ⁡ ()x)− − xIn⁡ ⁡ x=O()x()In⁡ ⁡ x)2).{displaystyle operatorname {li} (x)-{frac {x}{ln x}=Oleft({frac {x}{(ln x)}}right). }

Como expansión asintótica, esta serie no es convergente: es una aproximación razonable solo si la serie se trunca en un número finito de términos y solo se emplean valores grandes de x. Esta expansión se sigue directamente de la expansión asintótica de la integral exponencial.

Esto implica, p. que podemos poner entre corchetes li como:

<math alttext="{displaystyle 1+{frac {1}{ln x}}<operatorname {li} (x){frac {ln x}{x}}1+1In⁡ ⁡ x.li⁡ ⁡ ()x)In⁡ ⁡ xx.1+1In⁡ ⁡ x+3()In⁡ ⁡ x)2{displaystyle 1+{frac}{ln} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn x} {fn x}{x} {1+{frac {1}{ln x}}+{frac {3}{ln x)}}}}}}}}}}}}<img alt="{displaystyle 1+{frac {1}{ln x}}<operatorname {li} (x){frac {ln x}{x}}

para todos In⁡ ⁡ x≥ ≥ 11{displaystyle ln xgeq 11}.

Significado teórico de los números

La integral logarítmica es importante en la teoría de números y aparece en las estimaciones del número de números primos menores que un valor dado. Por ejemplo, el teorema de los números primos establece que:

π π ()x)♪ ♪ li⁡ ⁡ ()x){displaystyle pi (x)sim operatorname {li} (x)}

Donde π π ()x){displaystyle pi (x)} denota el número de primos más pequeños o iguales x{displaystyle x}.

Asumiendo la hipótesis de Riemann, obtenemos la aún más fuerte:

Silencioli⁡ ⁡ ()x)− − π π ()x)Silencio=O()xlog⁡ ⁡ x){displaystyle TENIDOoperadorname {li} (x)-pi (x)

De hecho, la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que:

Silencioli⁡ ⁡ ()x)− − π π ()x)Silencio=O()x1/2+a){displaystyle Silenciooperatorname {li} (x)-pi (x) privacy=O(x^{1/2+a}} para cualquier 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{displaystyle a confía0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;"/>.


Para pequeño x{displaystyle x}, pi (x)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">li⁡ ⁡ ()x)■π π ()x){displaystyle operatorname {li} (x) {pi (x)}pi (x)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5fe8ab9e0035037819552569a1876ca8abb353" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.002ex; height:2.843ex;"/> pero la diferencia cambia significa un número infinito de veces x{displaystyle x} aumenta, y la primera vez que esto sucede es en algún lugar entre 1019 y 1.4×10316.

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