Función binaria

En matemáticas, una función binaria (también llamada función bivariada, o función de dos variables) es una función que toma dos entradas.

Precisamente dicho, una función f{displaystyle f} es binario si existe X,Y,Z{displaystyle X,Y,Z} tales que

f:: X× × Y→ → Z{displaystyle ,fcolon Xtimes Yrightarrow Z}

Donde X× × Y{displaystyle Xtimes Y} es el producto cartesiano de X{displaystyle X} y Y.{displaystyle Sí.

Definiciones alternativas

Teóricamente, una función binaria puede ser representada como subconjunto del producto cartesiano X× × Y× × Z{displaystyle Xtimes Ytimes Z}, donde ()x,Sí.,z){displaystyle (x,y,z)} pertenece al subconjunto si y sólo si f()x,Sí.)=z{displaystyle f(x,y)=z}. Por el contrario, un subconjunto R{displaystyle R. define una función binaria si y sólo si para cualquier x▪ ▪ X{displaystyle xin X} y Sí.▪ ▪ Y{displaystyle yin Y}, existe un único z▪ ▪ Z{displaystyle zin Z} tales que ()x,Sí.,z){displaystyle (x,y,z)} pertenece R{displaystyle R.. f()x,Sí.){displaystyle f(x,y)} entonces se define como z{displaystyle z}.

Alternativamente, una función binaria puede ser interpretada como simplemente una función de X× × Y{displaystyle Xtimes Y} a Z{displaystyle Z}. Incluso cuando se piensa de esta manera, sin embargo, uno generalmente escribe f()x,Sí.){displaystyle f(x,y)} en lugar de f()()x,Sí.)){displaystyle f(x,y)}. (Es decir, el mismo par de paréntesis se utiliza para indicar tanto la aplicación de la función como la formación de un par ordenado.)

Ejemplos

La división de números enteros se puede considerar como una función. Si Z{displaystyle mathbb {Z} es el conjunto de enteros, N+{displaystyle mathbb {N} es el conjunto de números naturales (excepto para cero), y Q{displaystyle mathbb {Q} es el conjunto de números racionales, entonces la división es una función binaria f:Z× × N+→ → Q{displaystyle f:mathbb {Z} times mathbb {N} ^{+}to mathbb {Q}.

Otro ejemplo es el de los productos interiores, o más generalmente funciones de la forma ()x,Sí.)↦ ↦ xTMSí.{displaystyle (x,y)mapsto x^{mathrm {T}My}, donde x, Sí. son vectores de valor real de tamaño adecuado y M es una matriz. Si M es una matriz definida positiva, esto produce un producto interno.

Funciones de dos variables reales

Funciones cuyo dominio es un subconjunto de R2{displaystyle mathbb {R} {2}} a menudo también se llaman funciones de dos variables, incluso si su dominio no forma un rectángulo y por lo tanto el producto cartesiano de dos conjuntos.

Restricciones a funciones ordinarias

A su vez, también se pueden derivar funciones ordinarias de una variable de una función binaria. Dado cualquier elemento x▪ ▪ X{displaystyle xin X}, hay una función fx{displaystyle f^{x}, o f()x,⋅ ⋅ ){displaystyle f(x,cdot)}, de Y{displaystyle Sí. a Z{displaystyle Z}, dado por fx()Sí.)=f()x,Sí.){displaystyle f^{x}(y)=f(x,y)}. Análogamente, dado cualquier elemento Sí.▪ ▪ Y{displaystyle yin Y}, hay una función fSí.{displaystyle f_{y}, o f()⋅ ⋅ ,Sí.){displaystyle f(cdoty)}, de X{displaystyle X} a Z{displaystyle Z}, dado por fSí.()x)=f()x,Sí.){displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)}. En la informática, esta identificación entre una función X× × Y{displaystyle Xtimes Y} a Z{displaystyle Z} y una función desde X{displaystyle X} a ZY{displaystyle Z^{Y}, donde ZY{displaystyle Z^{Y} es el conjunto de todas las funciones de Y{displaystyle Sí. a Z{displaystyle Z}, se llama currying.

Generalizaciones

Los diversos conceptos relacionados con funciones también se pueden generalizar a funciones binarias. Por ejemplo, el ejemplo de división anterior es sobreyectivo (o sobre) porque todo número racional se puede expresar como cociente de un número entero y un número natural. Este ejemplo es inyectivo en cada entrada por separado, porque las funciones f ^x y f _y son siempre inyectivos. Sin embargo, no es inyectivo en ambas variables simultáneamente, porque (por ejemplo) f (2,4) = f (1,2).

También se pueden considerar funciones binarias parciales, que pueden definirse solo para ciertos valores de las entradas. Por ejemplo, el ejemplo de división anterior también puede interpretarse como una función binaria parcial de Z y N a Q, donde N es el conjunto de todos los números naturales, incluido el cero. Pero esta función no está definida cuando la segunda entrada es cero.

Una operación binaria es una función binaria donde los conjuntos X, Y y Z son todos iguales; Las operaciones binarias se utilizan a menudo para definir estructuras algebraicas.

En álgebra lineal, una transformación bilineal es una función binaria donde los conjuntos X, Y, y Z son todos los espacios vectoriales y las funciones derivadas f ^x y f_Sí. son todas transformaciones lineales. Una transformación bilineal, como cualquier función binaria, puede ser interpretada como una función de X × Y a Z, pero esta función en general no será lineal. Sin embargo, la transformación bilineal también se puede interpretar como una única transformación lineal del producto tensor X⊗ ⊗ Y{displaystyle Xotimes Y} a Z.

Generalizaciones a funciones ternarias y otras

El concepto de función binaria se generaliza a ternaria (o 3-aria) función, cuaternaria (o función 4-aria) , o más generalmente a función n-aria para cualquier número natural n. Una función 0-aria a Z está simplemente dada por un elemento de Z. También se puede definir una función A-aria donde A es cualquier conjunto; hay una entrada para cada elemento de A.

Teoría de categorías

En la teoría de categorías, las funciones n-arias se generalizan a morfismos n-arios en una multicategoría. La interpretación de un morfismo n-ario como morfismos ordinarios cuyo dominio es algún tipo de producto de los dominios del morfismo n-ario original funcionará en una categoría monoide. La construcción de los morfismos derivados de una variable funcionará en una categoría monoide cerrada. La categoría de conjuntos es monoidal cerrada, pero también lo es la categoría de espacios vectoriales, dando la noción de transformación bilineal anterior.