Función armónica

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Funciones en matemáticas

Una función armónica definida en un anulus.

En matemáticas, física matemática y la teoría de los procesos estocásticos, a función armónica es una función dos veces continuamente diferenciable ${displaystyle f:Uto mathbb {R}}$ Donde $U$ es un subconjunto abierto de $mathbb {R} ^{n},$ que satisface la ecuación de Laplace, es decir,

frac{partial^2f}{partial x_1^2} + frac{partial^2f}{partial x_2^2} + cdots + frac{partial^2f}{partial x_n^2} = 0

en todas partes en $U$ . Esto generalmente se escribe como

nabla^2 f = 0

{displaystyle Delta f=0}

Etimología del término "armónico"

El descriptor "armónico" en el nombre, la función armónica se origina en un punto de una cuerda tensa que experimenta un movimiento armónico. La solución a la ecuación diferencial para este tipo de movimiento se puede escribir en términos de senos y cosenos, funciones que se denominan armónicos. El análisis de Fourier implica expandir funciones en el círculo unitario en términos de una serie de estos armónicos. Considerando análogos dimensionales superiores de los armónicos en la unidad n-esfera, se llega a los armónicos esféricos. Estas funciones satisfacen la ecuación de Laplace y con el tiempo 'armónico' se utilizó para referirse a todas las funciones que satisfacen la ecuación de Laplace.

Ejemplos

Ejemplos de funciones armónicas de dos variables son:

Las partes reales e imaginarias de cualquier función holomorfa.
La función ${displaystyle ,!f(x,y)=e^{x}sin y;}$ este es un caso especial del ejemplo anterior, como ${displaystyle f(x,y)=operatorname {Im} left(e^{x+iy}right),}$ y $e^{x+iy}$ es una función holomorfa.
La función ${displaystyle ,!f(x,y)=ln left(x^{2}+y^{2}right)}$ definidas ${displaystyle mathbb {R} ^{2}setminus lbrace 0rbrace.}$ Esto puede describir el potencial eléctrico debido a una carga de línea o el potencial de gravedad debido a una larga masa cilíndrica.

Ejemplos de funciones armónicas de tres variables se dan en la tabla siguiente con ${displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}:}$

Función	Singularidad
${frac {1}{r}}$	Carga de punto por unidad en origen
$frac{x}{r^3}$	x- dipole dirigido al origen
${displaystyle -ln left(r^{2}-z^{2}right),}$	Línea de densidad de carga unitaria en eje z entero
${displaystyle -ln(r+z),}$	Línea de densidad de carga unitaria en eje z negativo
${displaystyle {frac {x}{r^{2}-z^{2}}},}$	Línea de x- Dipoles dirigidos en su totalidad z axis
${displaystyle {frac {x}{r(r+z)}},}$	Línea de x- Dipoles dirigidos en negativo z axis

Las funciones armónicas que surgen en la física están determinadas por sus singularidades y condiciones de contorno (como las condiciones de contorno de Dirichlet o las condiciones de contorno de Neumann). En regiones sin límites, la suma de la parte real o imaginaria de cualquier función completa producirá una función armónica con la misma singularidad, por lo que en este caso la función armónica no está determinada por sus singularidades; sin embargo, podemos hacer que la solución sea única en situaciones físicas al requerir que la solución se acerque a 0 cuando r se acerque a infinito. En este caso, la unicidad sigue el teorema de Liouville.

Los puntos singulares de las funciones armónicas anteriores se expresan como "cargas" y "densidades de carga" usando la terminología de la electrostática, por lo que la función armónica correspondiente será proporcional al potencial electrostático debido a estas distribuciones de carga. Cada función anterior producirá otra función armónica cuando se multiplique por una constante, se gire y/o se le agregue una constante. La inversión de cada función producirá otra función armónica que tiene singularidades que son las imágenes de las singularidades originales en un "espejo" esférico. Además, la suma de dos funciones armónicas cualquiera dará como resultado otra función armónica.

Finalmente, ejemplos de funciones armónicas de variables $n$ son:

Las funciones constantes, lineales y afines en todas las $mathbb {R} ^{n}$ (por ejemplo, el potencial eléctrico entre las placas de un condensador, y el potencial de gravedad de una placa)
La función ${displaystyle ,!f(x_{1},dotsx_{n})=left({x_{1}}^{2}+cdots +{x_{n}}^{2}right)^{1-n/2}}$ on ${mathbb {R}}^{n}setminus lbrace 0rbrace$ para $n ■ 2$ .

Propiedades

El conjunto de funciones armónicas en un conjunto abierto dado $U$ se puede ver como el núcleo del operador de Laplace $Δ$ y por lo tanto es un espacio vectorial ${displaystyle mathbb {R} !:}$ combinaciones lineales de funciones armónicas son de nuevo armónicas.

Si $f$ es una función armónica en $U$ , entonces todas las derivadas parciales de $f$ también son funciones armónicas en $U$ . El operador de Laplace $Δ$ y el operador de derivada parcial conmutarán en esta clase de funciones.

En varios sentidos, las funciones armónicas son análogos reales a las funciones holomorfas. Todas las funciones armónicas son analíticas, es decir, pueden expresarse localmente como series de potencias. Este es un hecho general sobre los operadores elípticos, de los cuales el laplaciano es un ejemplo importante.

El límite uniforme de una secuencia convergente de funciones armónicas sigue siendo armónico. Esto es cierto porque cada función continua que satisface la propiedad de valor medio es armónico. Considere la secuencia ${displaystyle (-infty0)times mathbb {R} }$ definidas por ${textstyle f_{n}(x,y)={frac {1}{n}}exp(nx)cos(ny);}$ esta secuencia es armónica y converge uniformemente a la función cero; sin embargo, note que los derivados parciales no son convergentes uniformemente a la función cero (el derivado de la función cero). Este ejemplo muestra la importancia de confiar en la propiedad de valor medio y la continuidad para argumentar que el límite es armónico.

Conexiones con la teoría de funciones complejas

La parte real e imaginaria de cualquier función holomorfa produce funciones armónicas en $mathbb {R} ^{2}$ (se dice que son un par de funciones conjugadas armónicas). Por el contrario, cualquier función armónica $u$ en un subconjunto abierto $Ω$ de $mathbb {R} ^{2}$ es localmente la parte real de una función holomorfa. Esto se ve inmediatamente observando que, escribiendo $z=x+iy,$ la función compleja ${displaystyle g(z):=u_{x}-iu_{y}}$ es holomorfa en $Ω$ porque satisface las ecuaciones Cauchy-Riemann. Por lo tanto, $g$ localmente tiene un primitivo $f$ , y $u$ es la parte real de $f$ hasta una constante, como $u x$ es la parte real de ${displaystyle f'=g.}$

Aunque la correspondencia anterior con funciones holomorfas solo es válida para funciones de dos variables reales, las funciones armónicas en variables $n$ aún disfrutan de una número de propiedades típicas de las funciones holomorfas. Son (reales) analíticos; tienen un principio máximo y un principio de valor medio; un teorema de eliminación de singularidades, así como un teorema de Liouville, se cumplen para ellos en analogía con los teoremas correspondientes en la teoría de funciones complejas.

Propiedades de las funciones armónicas

Algunas propiedades importantes de las funciones armónicas se pueden deducir de la ecuación de Laplace.

Teorema de regularidad para funciones armónicas

Las funciones armónicas son infinitamente diferenciables en conjuntos abiertos. De hecho, las funciones armónicas son analíticas reales.

Principio máximo

Las funciones armónicas satisfacen el siguiente principio máximo: si $K$ es un subconjunto compacto no vacío de $U$ , luego $f$ restringido a $K$ alcanza su máximo y mínimo en el límite de $K$ . Si $U$ está conectado, esto significa que $f$ no puede tener máximos o mínimos locales, excepto en el caso excepcional donde $f$ es constante. Se pueden mostrar propiedades similares para funciones subarmónicas.

La propiedad del valor medio

Si $B () x, r)$ es una bola con centro $x$ y radio $r$ que está completamente contenido en el conjunto abierto ${displaystyle Omega subset mathbb {R} ^{n},}$ entonces el valor $u () x)$ de una función armónica ${displaystyle u:Omega to mathbb {R} }$ en el centro de la bola se da por el valor promedio de $u$ en la superficie de la bola; este valor promedio también es igual al valor promedio $u$ en el interior de la bola. En otras palabras,

{displaystyle u(x)={frac {1}{nomega _{n}r^{n-1}}}int _{partial B(x,r)}u,dsigma ={frac {1}{omega _{n}r^{n}}}int _{B(x,r)}u,dV}

donde $ω n$ es el volumen de la bola unitaria en $n$ dimensiones y $σ$ es la $(n - 1)$ -medida de superficie dimensional.

Por el contrario, todas las funciones localmente integrables que satisfacen la propiedad del valor medio (volumen) son infinitamente diferenciables y armónicas.

En términos de circunvoluciones, si

{displaystyle chi _{r}:={frac {1}{|B(0,r)|}}chi _{B(0,r)}={frac {n}{omega _{n}r^{n}}}chi _{B(0,r)}}

denota la función característica de la bola con radio $r$ sobre el origen, normalizado para que ${textstyle int _{mathbb {R} ^{n}}chi _{r},dx=1,}$ la función $u$ es armónico en $Ω$ si

u(x) = u*chi_r(x);

tan pronto ${displaystyle B(x,r)subset Omega.}$

Bosquejo de la prueba. La prueba de la propiedad del valor medio de las funciones armónicas y su inversa sigue inmediatamente observando que la ecuación no homogénea, para cualquier $0 < s < r$

Delta w = chi_r - chi_s;

admite una fácil solución explícita $w r,s$ de clase $C 1,1$ con soporte compacto en $B (0, r)$ . Por lo tanto, si $u$ es armónico en $Ω$

0=Delta u * w_{r,s} = u*Delta w_{r,s}= u*chi_r - u*chi_s;

en el conjunto $Ω r$ de todos los puntos $x$ dentro $Ω$ con $r.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">No.⁡ ⁡ ()x,∂ ∂ Ω Ω )■r.{displaystyle operatorname {dist} (x,partial Omega) confianzar.}r.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0a0324f14f141b3afb449a7317c621897a4297" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.723ex; height:2.843ex;"/>$

Desde $u$ es continuo $Ω$ , ${displaystyle u*chi _{s}}$ convergencias a $u$ como $s \to 0$ mostrando la propiedad de valor medio para $u$ dentro $Ω$ . Por el contrario, si $u$ es cualquier $L^1_{mathrm{loc}};$ función satisfacer la propiedad valor medio en $Ω$ , es decir,

u*chi_r = u*chi_s;

se mantiene en $Ω r$ para todos los $0 < s < r$ entonces, iterando $m$ veces la convolución con $χ r$ uno tiene:

u = u*chi_r = u*chi_r*cdots*chi_r,,qquad xinOmega_{mr},

así $u$ es $C^{m-1}(Omega_{mr});$ porque $m$ - convolución iterada $χ r$ es de clase $C^{m-1};$ con apoyo $B (0, mr)$ . Desde $r$ y $m$ son arbitrarios, $u$ es $C^{infty}(Omega);$ también. Además,

{displaystyle Delta u*w_{r,s}=u*Delta w_{r,s}=u*chi _{r}-u*chi _{s}=0;}

para todos $0 < s < r$ de modo que $Δ u = 0$ en $Ω$ por el teorema fundamental del cálculo de variaciones, demostrando la equivalencia entre armonía y propiedad del valor medio.

Esta declaración de la propiedad de valor medio puede generalizarse de la siguiente manera: Si $h$ es cualquier función simétrica esférica soportada $B () x, r)$ tales que ${textstyle int h=1,}$ entonces ${displaystyle u(x)=h*u(x).}$ En otras palabras, podemos tomar el promedio ponderado de $u$ acerca de un punto y recuperar $u () x)$ . En particular, tomando $h$ ser un $C JUEGO$ función, podemos recuperar el valor de $u$ en cualquier punto incluso si sólo sabemos cómo $u$ actúa como una distribución. Vea la lema de Weyl.

Desigualdad de Harnack

Sea $u$ una función armónica no negativa en un dominio acotado $Ω. Entonces para todo conjunto conexo$

V subset overline{V} subset Omega,

Desigualdad de Harnack

sup_V u le C inf_V u

es válido para alguna constante $C$ que depende solo de $V$ y $Ω$ .

Eliminación de singularidades

El siguiente principio de eliminación de singularidades es válido para funciones armónicas. Si $f$ es una función armónica definida en un subconjunto abierto ${displaystyle Omega ,setminus ,{x_{0}}}$ de ${displaystyle mathbb {R} ^{n},}$ , que es menos singular en $x 0$ que la solución fundamental (para $n ■ 2$ ), eso es

f(x)=oleft(vert x-x_{0}vert ^{{2-n}}right),qquad {text{as }}xto x_{0},

entonces $f$ se extiende a una función armónica en $Ω$ (comparar Riemann& #39;s teorema para funciones de una variable compleja).

Teorema de Liouville

TheoremSi $f$ es una función armónica definida en todo $mathbb {R} ^{n}$ que está atado arriba o atado abajo, entonces $f$ es constante.

(Compara el teorema de Liouville para funciones de variable compleja).

Edward Nelson dio una prueba particularmente breve de este teorema para el caso de funciones acotadas, utilizando la propiedad del valor medio mencionada anteriormente:

Dados dos puntos, elija dos bolas con los puntos dados como centros y de igual radio. Si el radio es lo suficientemente grande, las dos bolas coincidirán excepto por una proporción arbitrariamente pequeña de su volumen. Desde $f$ está atado, los promedios de él sobre las dos bolas son arbitrariamente cercanos, y así $f$ asume el mismo valor en cualquier dos puntos.

La prueba se puede adaptar al caso en que la función armónica $f$ se limita arriba o abajo. Al agregar una constante y posiblemente multiplicada por –1, podemos asumir que $f$ No es negativo. Entonces por dos puntos $x$ y $Sí.$ , y cualquier número positivo $R$ , lo dejamos ${displaystyle r=R+d(x,y).}$ Entonces consideramos las bolas $B R () x)$ y $B r () Sí.)$ donde por la desigualdad del triángulo, la primera bola está contenida en la segunda.

Por la propiedad de promediar y la monotonicidad de la integral, tenemos

{displaystyle f(x)={frac {1}{operatorname {vol} (B_{R})}}int _{B_{R}(x)}f(z),dzleq {frac {1}{operatorname {vol} (B_{R})}}int _{B_{r}(y)}f(z),dz.}

(Tenga en cuenta que dado que $vol B R (x)$ es independiente de $x$ , lo denotamos simplemente como $vol B R$ .) En la última expresión, podemos multiplicar y dividir por $vol B r$ y usar la propiedad de promediar nuevamente, para obtener

{displaystyle f(x)leq {frac {operatorname {vol} (B_{r})}{operatorname {vol} (B_{R})}}f(y).}

Pero ${displaystyle Rrightarrow infty}$ la cantidad

{displaystyle {frac {operatorname {vol} (B_{r})}{operatorname {vol} (B_{R})}}={frac {(R+d(x,y))^{n}}{R^{n}}}}

tiende a 1. Así, ${displaystyle f(x)leq f(y).}$ El mismo argumento con las funciones de $x$ y $Sí.$ muestra que ${displaystyle f(y)leq f(x)}$ Así que ${displaystyle f(x)=f(y).}$

Otra prueba utiliza el hecho de que dado un movimiento marroniano $B t$ dentro ${displaystyle mathbb {R} ^{n},}$ tales que ${displaystyle B_{0}=x_{0},}$ tenemos ${displaystyle E[f(B_{t})]=f(x_{0})}$ para todos $t \geq 0$ . En palabras, dice que una función armónica define un martingale para el movimiento Browniano. Luego un argumento de acoplamiento probabilístico termina la prueba.

Generalizaciones

Función débilmente armónica

Una función (o, más generalmente, una distribución) es débilmente armónica si satisface la ecuación de Laplace

Delta f = 0,

en un sentido débil (o, de manera equivalente, en el sentido de distribuciones). Una función débilmente armónica coincide en casi todas partes con una función fuertemente armónica, y es particularmente suave. Una distribución débilmente armónica es precisamente la distribución asociada a una función fuertemente armónica, por lo que también es suave. Este es el lema de Weyl.

Hay otras formulaciones débiles de la ecuación de Laplace que suelen ser útiles. Uno de los cuales es el principio de Dirichlet, que representa funciones armónicas en el espacio de Sobolev $H 1 (Ω)$ como los minimizadores de la integral de energía de Dirichlet

J(u):=int_Omega |nabla u|^2, dx

con respecto a las variaciones locales, es decir, todas las funciones $uin H^1(Omega)$ tales que ${displaystyle J(u)leq J(u+v)}$ para todos $vin C^infty_c(Omega),$ o equivalente, para todos $vin H^1_0(Omega).$

Funciones armónicas en variedades

Las funciones armónicas se pueden definir en una variedad Riemanniana arbitraria, utilizando el operador de Laplace-Beltrami $Δ$ . En este contexto, una función se llama armónica si

Delta f = 0.

Muchas de las propiedades de las funciones armónicas en los dominios del espacio euclidiano se trasladan a esta configuración más general, incluido el teorema del valor medio (sobre bolas geodésicas), el principio del máximo y la desigualdad de Harnack. Con la excepción del teorema del valor medio, estas son consecuencias fáciles de los resultados correspondientes para ecuaciones diferenciales parciales elípticas lineales generales de segundo orden.

Funciones subarmónicas

Una función $C 2$ que satisface $Δ f \geq 0$ se llama subarmónico. Esta condición garantiza que se mantendrá el principio máximo, aunque otras propiedades de las funciones armónicas pueden fallar. De manera más general, una función es subarmónica si y solo si, en el interior de cualquier bola en su dominio, su gráfico se encuentra por debajo del de la función armónica que interpola sus valores límite en la bola.

Formas armónicas

Una generalización del estudio de las funciones armónicas es el estudio de las formas armónicas sobre los múltiples riemannianos, y está relacionada con el estudio de la cohomología. También es posible definir funciones de valor vectorial armónico, o mapas armónicos de dos manifolds Riemannianos, que son puntos críticos de un funcionamiento generalizado de energía Dirichlet (esto incluye funciones armónicas como caso especial, un resultado conocido como principio Dirichlet). Este tipo de mapa armónico aparece en la teoría de superficies mínimas. Por ejemplo, una curva, es decir, un mapa desde un intervalo en $mathbb {R}$ a un manifold Riemanniano, es un mapa armónico si y sólo si es un geodésico.

Mapas armónicos entre variedades

Si $M$ y $N$ son dos manifolds Riemannian, luego un mapa armónico ${displaystyle u:Mto N}$ se define como un punto crítico de la energía Dirichlet

D[u] = frac{1}{2}int_M |du|^2,doperatorname{Vol}

en que ${displaystyle du:TMto TN}$ es el diferencial de $u$ , y la norma es que inducido por la métrica en $M$ y eso $N$ en el paquete del producto tensor ${displaystyle T^{ast }Motimes u^{-1}TN.}$

Los casos especiales importantes de mapas armónicos entre variedades incluyen superficies mínimas, que son precisamente las inmersiones armónicas de una superficie en el espacio euclidiano tridimensional. De manera más general, las subvariedades mínimas son inmersiones armónicas de una variedad en otra. Las coordenadas armónicas son un difeomorfismo armónico de una variedad a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano de la misma dimensión.

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