Función armónica
En matemáticas, física matemática y la teoría de los procesos estocásticos, a función armónica es una función dos veces continuamente diferenciable f:U→ → R,{displaystyle f:Uto mathbb {R} Donde U es un subconjunto abierto de Rn,{displaystyle mathbb {R} ^{n} que satisface la ecuación de Laplace, es decir,
- ∂ ∂ 2f∂ ∂ x12+∂ ∂ 2f∂ ∂ x22+⋯ ⋯ +∂ ∂ 2f∂ ∂ xn2=0{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} ^{2}f}{partial ##{2}} {frac {partial ^{2}f}{partial x_{2} {2}}+cdots +{frac {partial ^{2}f}{partial ¿Qué?
en todas partes en U. Esto generalmente se escribe como
- Silencio Silencio 2f=0{displaystyle nabla ^{2}f=0}
o
- Δ Δ f=0{displaystyle Delta f=0}
Etimología del término "armónico"
El descriptor "armónico" en el nombre, la función armónica se origina en un punto de una cuerda tensa que experimenta un movimiento armónico. La solución a la ecuación diferencial para este tipo de movimiento se puede escribir en términos de senos y cosenos, funciones que se denominan armónicos. El análisis de Fourier implica expandir funciones en el círculo unitario en términos de una serie de estos armónicos. Considerando análogos dimensionales superiores de los armónicos en la unidad n-esfera, se llega a los armónicos esféricos. Estas funciones satisfacen la ecuación de Laplace y con el tiempo 'armónico' se utilizó para referirse a todas las funciones que satisfacen la ecuación de Laplace.
Ejemplos
Ejemplos de funciones armónicas de dos variables son:
- Las partes reales e imaginarias de cualquier función holomorfa.
- La función f()x,Sí.)=expecado Sí.;{displaystyle ,!f(x,y)=e^{x}sin y;} este es un caso especial del ejemplo anterior, como f()x,Sí.)=Im ()ex+iSí.),{displaystyle f(x,y)=operatorname {Im} left(e^{x+iy}right),} y ex+iSí.{displaystyle e^{x+iy} es una función holomorfa.
- La función f()x,Sí.)=In ()x2+Sí.2){displaystyle ,!f(x,y)=ln left(x^{2}+y^{2}right)} definidas R2∖ ∖ {}0}.{displaystyle mathbb {R}setminus lbrace 0rbrace.} Esto puede describir el potencial eléctrico debido a una carga de línea o el potencial de gravedad debido a una larga masa cilíndrica.
Ejemplos de funciones armónicas de tres variables se dan en la tabla siguiente con r2=x2+Sí.2+z2:{displaystyle.
Función Singularidad 1r{fnMicroc} {1}{r}}} Carga de punto por unidad en origen xr3{displaystyle {frac {x}{3}}} {fn}}} {fnK}}} {fnK}}}} {fn}}}}}} {fn}} {fn}}}}}}}} x- dipole dirigido al origen − − In ()r2− − z2){displaystyle -ln left(r^{2}-z^{2}right),} Línea de densidad de carga unitaria en eje z entero − − In ()r+z){displaystyle -ln(r+z),} Línea de densidad de carga unitaria en eje z negativo xr2− − z2{displaystyle {frac {x}{2}-z^{2}},} Línea de x- Dipoles dirigidos en su totalidad z axis xr()r+z){displaystyle {frac {x}{r(r+z)},} Línea de x- Dipoles dirigidos en negativo z axis
Las funciones armónicas que surgen en la física están determinadas por sus singularidades y condiciones de contorno (como las condiciones de contorno de Dirichlet o las condiciones de contorno de Neumann). En regiones sin límites, la suma de la parte real o imaginaria de cualquier función completa producirá una función armónica con la misma singularidad, por lo que en este caso la función armónica no está determinada por sus singularidades; sin embargo, podemos hacer que la solución sea única en situaciones físicas al requerir que la solución se acerque a 0 cuando r se acerque a infinito. En este caso, la unicidad sigue el teorema de Liouville.
Los puntos singulares de las funciones armónicas anteriores se expresan como "cargas" y "densidades de carga" usando la terminología de la electrostática, por lo que la función armónica correspondiente será proporcional al potencial electrostático debido a estas distribuciones de carga. Cada función anterior producirá otra función armónica cuando se multiplique por una constante, se gire y/o se le agregue una constante. La inversión de cada función producirá otra función armónica que tiene singularidades que son las imágenes de las singularidades originales en un "espejo" esférico. Además, la suma de dos funciones armónicas cualquiera dará como resultado otra función armónica.
Finalmente, ejemplos de funciones armónicas de variables n son:
- Las funciones constantes, lineales y afines en todas las Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} (por ejemplo, el potencial eléctrico entre las placas de un condensador, y el potencial de gravedad de una placa)
- La función f()x1,...... ,xn)=()x12+⋯ ⋯ +xn2)1− − n/2{displaystyle ,!f(x_{1},dotsx_{n}=left ({x_{1} {2}+cdots ###{1-n/2} {2}derecha)# on Rn∖ ∖ {}0}{displaystyle mathbb {R}setminus lbrace 0rbrace } para n ■ 2.
Propiedades
El conjunto de funciones armónicas en un conjunto abierto dado U se puede ver como el núcleo del operador de Laplace Δ y por lo tanto es un espacio vectorial R:{displaystyle mathbb {R} ! combinaciones lineales de funciones armónicas son de nuevo armónicas.
Si f es una función armónica en U, entonces todas las derivadas parciales de f también son funciones armónicas en U. El operador de Laplace Δ y el operador de derivada parcial conmutarán en esta clase de funciones.
En varios sentidos, las funciones armónicas son análogos reales a las funciones holomorfas. Todas las funciones armónicas son analíticas, es decir, pueden expresarse localmente como series de potencias. Este es un hecho general sobre los operadores elípticos, de los cuales el laplaciano es un ejemplo importante.
El límite uniforme de una secuencia convergente de funciones armónicas sigue siendo armónico. Esto es cierto porque cada función continua que satisface la propiedad de valor medio es armónico. Considere la secuencia ()− − JUEGO JUEGO ,0)× × R{displaystyle (-infty0)times mathbb {R} definidas por fn()x,Sí.)=1nexp ()nx)# ()nSí.);{textstyle f_{n}(x,y)={frac {1}exp(nx)cos(ny);} esta secuencia es armónica y converge uniformemente a la función cero; sin embargo, note que los derivados parciales no son convergentes uniformemente a la función cero (el derivado de la función cero). Este ejemplo muestra la importancia de confiar en la propiedad de valor medio y la continuidad para argumentar que el límite es armónico.
Conexiones con la teoría de funciones complejas
La parte real e imaginaria de cualquier función holomorfa produce funciones armónicas en R2{displaystyle mathbb {R} {2}} (se dice que son un par de funciones conjugadas armónicas). Por el contrario, cualquier función armónica u en un subconjunto abierto Ω de R2{displaystyle mathbb {R} {2}} es localmente la parte real de una función holomorfa. Esto se ve inmediatamente observando que, escribiendo z=x+iSí.,{displaystyle z=x+iy,} la función compleja g()z):=ux− − iuSí.{displaystyle g(z):=u_{x}-iu_{y} es holomorfa en Ω porque satisface las ecuaciones Cauchy-Riemann. Por lo tanto, g localmente tiene un primitivo f, y u es la parte real de f hasta una constante, como ux es la parte real de f.=g.{displaystyle f'=g.}
Aunque la correspondencia anterior con funciones holomorfas solo es válida para funciones de dos variables reales, las funciones armónicas en variables n aún disfrutan de una número de propiedades típicas de las funciones holomorfas. Son (reales) analíticos; tienen un principio máximo y un principio de valor medio; un teorema de eliminación de singularidades, así como un teorema de Liouville, se cumplen para ellos en analogía con los teoremas correspondientes en la teoría de funciones complejas.
Propiedades de las funciones armónicas
Algunas propiedades importantes de las funciones armónicas se pueden deducir de la ecuación de Laplace.
Teorema de regularidad para funciones armónicas
Las funciones armónicas son infinitamente diferenciables en conjuntos abiertos. De hecho, las funciones armónicas son analíticas reales.
Principio máximo
Las funciones armónicas satisfacen el siguiente principio máximo: si K es un subconjunto compacto no vacío de U, luego f restringido a K alcanza su máximo y mínimo en el límite de K. Si U está conectado, esto significa que f no puede tener máximos o mínimos locales, excepto en el caso excepcional donde f es constante. Se pueden mostrar propiedades similares para funciones subarmónicas.
La propiedad del valor medio
Si B()x, r) es una bola con centro x y radio r que está completamente contenido en el conjunto abierto Ω Ω ⊂ ⊂ Rn,{displaystyle Omega subset mathbb {R} ^{n} entonces el valor u()x) de una función armónica u:Ω Ω → → R{displaystyle u:Omega to mathbb {R} en el centro de la bola se da por el valor promedio de u en la superficie de la bola; este valor promedio también es igual al valor promedio u en el interior de la bola. En otras palabras,
- u()x)=1n⋅ ⋅ nrn− − 1∫ ∫ ∂ ∂ B()x,r)udσ σ =1⋅ ⋅ nrn∫ ∫ B()x,r)udV{displaystyle u(x)={frac {1}{nomega ¿Por qué?
donde ωn es el volumen de la bola unitaria en n dimensiones y σ es la (n − 1)-medida de superficie dimensional.
Por el contrario, todas las funciones localmente integrables que satisfacen la propiedad del valor medio (volumen) son infinitamente diferenciables y armónicas.
En términos de circunvoluciones, si
- χ χ r:=1SilencioB()0,r)Silencioχ χ B()0,r)=n⋅ ⋅ nrnχ χ B()0,r){displaystyle chi _{}={frac {1}{ privacyB(0,r) habit}chi _{B(0,r)}={frac {n}{n}r^{n}}chi _{B(0,r)}}}}}}} {fn} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
denota la función característica de la bola con radio r sobre el origen, normalizado para que ∫ ∫ Rnχ χ rdx=1,{textstyle int _{mathbb {R} {fn}chi} ¿Qué? la función u es armónico en Ω si
- u()x)=uAlternativa Alternativa χ χ r()x){displaystyle u(x)=u*chi _{r}(x);}
tan pronto B()x,r)⊂ ⊂ Ω Ω .{displaystyle B(x,r)subset Omega.}
Bosquejo de la prueba. La prueba de la propiedad del valor medio de las funciones armónicas y su inversa sigue inmediatamente observando que la ecuación no homogénea, para cualquier 0 < s < r
- Δ Δ w=χ χ r− − χ χ s{displaystyle Delta w=chi _{r}-chi ¿Qué?
admite una fácil solución explícita wr,s de clase C1,1 con soporte compacto en B(0, r). Por lo tanto, si u es armónico en Ω
- 0=Δ Δ uAlternativa Alternativa wr,s=uAlternativa Alternativa Δ Δ wr,s=uAlternativa Alternativa χ χ r− − uAlternativa Alternativa χ χ s{displaystyle 0=Delta U*w_{r,s}=u* Delta w_{r,s}=u*chi ¿Qué? ¿Qué?
en el conjunto Ωr de todos los puntos x dentro Ω con r.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">No. ()x,∂ ∂ Ω Ω )■r.{displaystyle operatorname {dist} (x,partial Omega) confianzar.}r.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0a0324f14f141b3afb449a7317c621897a4297" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.723ex; height:2.843ex;"/>
Desde u es continuo Ω, uAlternativa Alternativa χ χ s{displaystyle u*chi _{s} convergencias a u como s → 0 mostrando la propiedad de valor medio para u dentro Ω. Por el contrario, si u es cualquier Lloc1{displaystyle ¿Qué? función satisfacer la propiedad valor medio en Ω, es decir,
- uAlternativa Alternativa χ χ r=uAlternativa Alternativa χ χ s{displaystyle u*chi _{r}=u*chi ¿Qué?
se mantiene en Ωr para todos los 0 < s < r entonces, iterando m veces la convolución con χr uno tiene:
- u=uAlternativa Alternativa χ χ r=uAlternativa Alternativa χ χ rAlternativa Alternativa ⋯ ⋯ Alternativa Alternativa χ χ r,x▪ ▪ Ω Ω mr,{displaystyle u=u*chi ¿Qué? ¿Qué? *chi _{r},qquad xin Omega _{mr},}
así u es Cm− − 1()Ω Ω mr){displaystyle C^{m-1}(Omega _{mr});} porque m- convolución iterada χr es de clase Cm− − 1{displaystyle C^{m-1};} con apoyo B(0, mr). Desde r y m son arbitrarios, u es CJUEGO JUEGO ()Ω Ω ){displaystyle C^{infty}(Omega);} también. Además,
- Δ Δ uAlternativa Alternativa wr,s=uAlternativa Alternativa Δ Δ wr,s=uAlternativa Alternativa χ χ r− − uAlternativa Alternativa χ χ s=0{displaystyle Delta u*w_{r,s}=u* Delta w_{r,s}=u*chi ¿Qué? ¿Qué?
para todos 0 < s < r de modo que Δu = 0 en Ω por el teorema fundamental del cálculo de variaciones, demostrando la equivalencia entre armonía y propiedad del valor medio.
Esta declaración de la propiedad de valor medio puede generalizarse de la siguiente manera: Si h es cualquier función simétrica esférica soportada B()x, r) tales que ∫ ∫ h=1,{textstyle int h=1,} entonces u()x)=hAlternativa Alternativa u()x).{displaystyle u(x)=h*u(x). } En otras palabras, podemos tomar el promedio ponderado de u acerca de un punto y recuperar u()x). En particular, tomando h ser un CJUEGO función, podemos recuperar el valor de u en cualquier punto incluso si sólo sabemos cómo u actúa como una distribución. Vea la lema de Weyl.
Desigualdad de Harnack
Sea u una función armónica no negativa en un dominio acotado Ω. Entonces para todo conjunto conexo
- V⊂ ⊂ V̄ ̄ ⊂ ⊂ Ω Ω ,{displaystyle Vsubset {overline {V}subset Omega}
Desigualdad de Harnack
- SupVu≤ ≤ CinfVu{displaystyle sup _{V}uleq Cinf _{V}u}
es válido para alguna constante C que depende solo de V y Ω.
Eliminación de singularidades
El siguiente principio de eliminación de singularidades es válido para funciones armónicas. Si f es una función armónica definida en un subconjunto abierto Ω Ω ∖ ∖ {}x0}{displaystyle Omega ,setminus {fnMicrosoft Sans Serif} de Rn,{displaystyle mathbb {R} ^{n}, que es menos singular en x0 que la solución fundamental (para n ■ 2), eso es
- f()x)=o()Silenciox− − x0Silencio2− − n),comox→ → x0,{displaystyle f(x)=oleft(vert x-x_{0}vert ^{2-n}right),qquad {text{as }xto x_{0}}
entonces f se extiende a una función armónica en Ω (comparar Riemann& #39;s teorema para funciones de una variable compleja).
Teorema de Liouville
TheoremSi f es una función armónica definida en todo Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} que está atado arriba o atado abajo, entonces f es constante.
(Compara el teorema de Liouville para funciones de variable compleja).
Edward Nelson dio una prueba particularmente breve de este teorema para el caso de funciones acotadas, utilizando la propiedad del valor medio mencionada anteriormente:
Dados dos puntos, elija dos bolas con los puntos dados como centros y de igual radio. Si el radio es lo suficientemente grande, las dos bolas coincidirán excepto por una proporción arbitrariamente pequeña de su volumen. Desde f está atado, los promedios de él sobre las dos bolas son arbitrariamente cercanos, y así f asume el mismo valor en cualquier dos puntos.
La prueba se puede adaptar al caso en que la función armónica f se limita arriba o abajo. Al agregar una constante y posiblemente multiplicada por –1, podemos asumir que f No es negativo. Entonces por dos puntos x y Sí., y cualquier número positivo R, lo dejamos r=R+d()x,Sí.).{displaystyle r=R+d(x,y).} Entonces consideramos las bolas BR()x) y Br()Sí.) donde por la desigualdad del triángulo, la primera bola está contenida en la segunda.
Por la propiedad de promediar y la monotonicidad de la integral, tenemos
- f()x)=1vol ()BR)∫ ∫ BR()x)f()z)dz≤ ≤ 1vol ()BR)∫ ∫ Br()Sí.)f()z)dz.{displaystyle f(x)={frac {1}{operatorname {vol}}int ¿Por qué?
(Tenga en cuenta que dado que vol BR(x) es independiente de x, lo denotamos simplemente como vol BR .) En la última expresión, podemos multiplicar y dividir por vol Br y usar la propiedad de promediar nuevamente, para obtener
- f()x)≤ ≤ vol ()Br)vol ()BR)f()Sí.).{displaystyle f(x)leq {frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} }
Pero R→ → JUEGO JUEGO ,{displaystyle Rrightarrow infty la cantidad
- vol ()Br)vol ()BR)=()R+d()x,Sí.))nRn{displaystyle {frac {fnK}} {fnK}}{fn} {fn}}}={frac {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}} {f}}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}}}}}}} {f}}} {f} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
tiende a 1. Así, f()x)≤ ≤ f()Sí.).{displaystyle f(x)leq f(y).} El mismo argumento con las funciones de x y Sí. muestra que f()Sí.)≤ ≤ f()x){displaystyle f(y)leq f(x)}Así que f()x)=f()Sí.).{displaystyle f(x)=f(y). }
Otra prueba utiliza el hecho de que dado un movimiento marroniano Bt dentro Rn,{displaystyle mathbb {R} ^{n} tales que B0=x0,{displaystyle B_{0}=x_{0} tenemos E[f()Bt)]=f()x0){displaystyle E[f(B_{t}]=f(x_{0} para todos t ≥ 0. En palabras, dice que una función armónica define un martingale para el movimiento Browniano. Luego un argumento de acoplamiento probabilístico termina la prueba.
Generalizaciones
Función débilmente armónica
Una función (o, más generalmente, una distribución) es débilmente armónica si satisface la ecuación de Laplace
- Δ Δ f=0{displaystyle Delta f=0,}
en un sentido débil (o, de manera equivalente, en el sentido de distribuciones). Una función débilmente armónica coincide en casi todas partes con una función fuertemente armónica, y es particularmente suave. Una distribución débilmente armónica es precisamente la distribución asociada a una función fuertemente armónica, por lo que también es suave. Este es el lema de Weyl.
Hay otras formulaciones débiles de la ecuación de Laplace que suelen ser útiles. Uno de los cuales es el principio de Dirichlet, que representa funciones armónicas en el espacio de Sobolev H1(Ω) como los minimizadores de la integral de energía de Dirichlet
- J()u):=∫ ∫ Ω Ω SilencioSilencio Silencio uSilencio2dx{displaystyle J(u):=int _{Omega }Sobrevivirnabla u sobrevivir^{2},dx}
con respecto a las variaciones locales, es decir, todas las funciones u▪ ▪ H1()Ω Ω ){displaystyle uin H^{1}(Omega)} tales que J()u)≤ ≤ J()u+v){displaystyle J(u)leq J(u+v)} para todos v▪ ▪ CcJUEGO JUEGO ()Ω Ω ),{displaystyle vin C_{c} {infty}(Omega),} o equivalente, para todos v▪ ▪ H01()Ω Ω ).{displaystyle vin H_{0}(Omega).}
Funciones armónicas en variedades
Las funciones armónicas se pueden definir en una variedad Riemanniana arbitraria, utilizando el operador de Laplace-Beltrami Δ. En este contexto, una función se llama armónica si
- Δ Δ f=0.{displaystyle \Delta f=0.}
Muchas de las propiedades de las funciones armónicas en los dominios del espacio euclidiano se trasladan a esta configuración más general, incluido el teorema del valor medio (sobre bolas geodésicas), el principio del máximo y la desigualdad de Harnack. Con la excepción del teorema del valor medio, estas son consecuencias fáciles de los resultados correspondientes para ecuaciones diferenciales parciales elípticas lineales generales de segundo orden.
Funciones subarmónicas
Una función C2 que satisface Δf ≥ 0 se llama subarmónico. Esta condición garantiza que se mantendrá el principio máximo, aunque otras propiedades de las funciones armónicas pueden fallar. De manera más general, una función es subarmónica si y solo si, en el interior de cualquier bola en su dominio, su gráfico se encuentra por debajo del de la función armónica que interpola sus valores límite en la bola.
Formas armónicas
Una generalización del estudio de las funciones armónicas es el estudio de las formas armónicas sobre los múltiples riemannianos, y está relacionada con el estudio de la cohomología. También es posible definir funciones de valor vectorial armónico, o mapas armónicos de dos manifolds Riemannianos, que son puntos críticos de un funcionamiento generalizado de energía Dirichlet (esto incluye funciones armónicas como caso especial, un resultado conocido como principio Dirichlet). Este tipo de mapa armónico aparece en la teoría de superficies mínimas. Por ejemplo, una curva, es decir, un mapa desde un intervalo en R{displaystyle mathbb {R} a un manifold Riemanniano, es un mapa armónico si y sólo si es un geodésico.
Mapas armónicos entre variedades
Si M y N son dos manifolds Riemannian, luego un mapa armónico u:M→ → N{displaystyle u:Mto N} se define como un punto crítico de la energía Dirichlet
- D[u]=12∫ ∫ M.. du.. 2dVol{displaystyle D[u]={frac {1}{2}int - ¿Por qué? {Vol}
en que du:TM→ → TN{displaystyle du:TMto TN} es el diferencial de u, y la norma es que inducido por la métrica en M y eso N en el paquete del producto tensor TAlternativa Alternativa M⊗ ⊗ u− − 1TN.{displaystyle T^{ast }Motimes u^{-1}TN.}
Los casos especiales importantes de mapas armónicos entre variedades incluyen superficies mínimas, que son precisamente las inmersiones armónicas de una superficie en el espacio euclidiano tridimensional. De manera más general, las subvariedades mínimas son inmersiones armónicas de una variedad en otra. Las coordenadas armónicas son un difeomorfismo armónico de una variedad a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano de la misma dimensión.