Función aditiva

En teoría de números, una función aditiva es una función aritmética f (n) de la variable entera positiva n tal que siempre que a y b sean coprimos, la función aplicada a el producto ab es la suma de los valores de la función aplicada a a y b:

f()ab)=f()a)+f()b).{displaystyle f(ab)=f(a)+f(b). }

Completamente aditiva

Una función aditiva f()n) se dice que completamente aditivo si f()ab)=f()a)+f()b){displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)} ostenciones para todos enteros positivos a y b, incluso cuando no son coprime. Totalmente aditivo también se utiliza en este sentido por analogía con funciones totalmente multiplicativas. Si f es una función completamente aditiva entonces f(1) = 0.

Toda función completamente aditiva es aditiva, pero no al revés.

Ejemplos

Ejemplos de funciones aritméticas que son completamente aditivas son:

• La restricción de la función logarítmica a N.{displaystyle mathbb {N}
• El multiplicidad de un factor primario p dentro n, que es el exponente más grande m para la cual p^m divideciones n.
• a₀()n) – la suma de primos dividiendo n contando multiplicidad, a veces llamada sopfr(n), la potencia de n o el logaritmo entero de n (secuencia) A001414 en el OEIS). Por ejemplo:

a₀(4) = 2 + 2 = 4

a₀(20) = a₀(22)² 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a₀(27) = 3 + 3 = 3 = 9

a₀(144) = a₀(22)⁴ · 3²) a₀(22)⁴) + a₀(3)²) = 8 + 6 = 14

a₀(2000) a₀(22)⁴ · 5³) a₀(22)⁴) + a₀(5³) = 8 + 15 = 23

a₀(2003) = 2003

a₀(54,032,858,972,279) = 1240658

a₀(54,032,858,972,302) = 1780417

a₀(20,802,650,704,327,415) = 1240681

• La función Ω(n), definido como el número total de factores principales n, contando múltiples factores varias veces, a veces llamada la "función Gran Omega" (secuencia A001222 en el OEIS). Por ejemplo;

Ω(1) = 0, ya que 1 no tiene factores principales

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

Ω(144) = Ω(2⁴ · 3²) = Ω(2)⁴) + Ω(3)²) = 4 + 2 = 6

Ω(2000) = Ω(2)⁴ · 5³) = Ω(2)⁴) + Ω(5)³) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ω(54,032,858,972,279) = 3

Ω(54,032,858,972,302) = 6

Ω(20,802,650,704,327,415) = 7

Ejemplos de funciones aritméticas que son aditivas pero no completamente aditivas son:

• ω(n), definido como el número total de factores principales distintos n (secuencia) A001221 en el OEIS). Por ejemplo:

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2⁴) = 1

ω(20) = ω(2² 5) = 2

ω(27) = ω(3³) = 1

ω(144) = ω(2⁴ · 3²) = ω(2)⁴) + ω(3)²) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2⁴ · 5³) = ω(2)⁴) + ω(5)³) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54,032,858,972,279) = 3

ω(54,032,858,972,302) = 5

ω(20,802,650,704,327,415) = 5

• a₁()n) – la suma de las primas diferenciadas dividiendo n, a veces llamado sopf(n(sequence) A008472 en el OEIS). Por ejemplo:

a₁(1) = 0

a₁(4) = 2

a₁(20) = 2 + 5 = 7

a₁(27) = 3

a₁(144) = a₁(22)⁴ · 3²) a₁(22)⁴) + a₁(3)²) = 2 + 3 = 5

a₁(2000) a₁(22)⁴ · 5³) a₁(22)⁴) + a₁(5³) = 2 + 5 = 7

a₁(2001) = 55

a₁(2002) = 33

a₁(2003) = 2003

a₁(54,032,858,972,279) = 1238665

a₁(54,032,858,972,302) = 1780410

a₁(20,802,650,704,327,415) = 1238677

Funciones multiplicativas

De cualquier función aditiva f()n){displaystyle f(n)} es posible crear un relacionado función multiplicadora g()n),{displaystyle g(n),} que es una función con la propiedad que siempre a{displaystyle a} y b{displaystyle b} son coprime entonces:

g()ab)=g()a)× × g()b).{displaystyle g(ab)=g(a)times g(b). }

g()n)=2f()n).{displaystyle g(n)=2^{f(n)}

Funciones sumatorias

Dada una función aditiva f{displaystyle f}, deje que su función sumaria sea definida por Mf()x):=.. n≤ ≤ xf()n){fnMicrosoft Sans Serif}. El promedio de f{displaystyle f} se da exactamente como

Mf()x)=.. pα α ≤ ≤ xf()pα α )()⌊xpα α ⌋− − ⌊xpα α +1⌋).{displaystyle {mathcal {}_{f}(x)=sum _{p^{alpha }leq x}f(p^{alpha })left(leftlfloor {frac] {x} {p}{alpha }rightrfloor - 'leftlfloor {frac {x}{palpha - Sí.

Funciones summatorias sobre f{displaystyle f} puede ampliarse Mf()x)=xE()x)+O()x⋅ ⋅ D()x)){displaystyle {mathcal {}_{f}(x)=xE(x)+O({sqrt {x}cdot D(x)}} Donde

E()x)=.. pα α ≤ ≤ xf()pα α )p− − α α ()1− − p− − 1)D2()x)=.. pα α ≤ ≤ xSilenciof()pα α )Silencio2p− − α α .{displaystyle {begin{aligned}E(x) ventaja=sum _{p^{alpha }leq x}f(p^{alpha })p^{-alpha }(1-p^{-1})D^{2}(x) sensible=sum _{p^{alpha }leq x}Principalmente.

El promedio de la función f2{displaystyle f^{2} se expresa también por esas funciones

Mf2()x)=xE2()x)+O()xD2()x)).{displaystyle {mathcal {}_{f^{2}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)). }

Siempre hay una constante absoluta 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Cf■0{displaystyle C_{f}0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7326d35743452c13e39883cfdcf8ddb710336350" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.059ex; height:2.843ex;"/> tal que para todos los números naturales x≥ ≥ 1{displaystyle xgeq 1},

.. n≤ ≤ xSilenciof()n)− − E()x)Silencio2≤ ≤ Cf⋅ ⋅ xD2()x).{displaystyle sum _{nleq x} eternaf(n)-E(x) WordPress^{2}leq C_{f}cdot xD^{2}(x). }

Dejar

.. ()x;z):=1x# # {}n≤ ≤ x:f()n)− − A()x)B()x)≤ ≤ z}.{displaystyle nu (x;z):={frac {1}{x}\\!left{nleq x:{frac {f(n)-A(x)}leq zright}i}i}

Supongamos que f{displaystyle f} es una función aditiva con − − 1≤ ≤ f()pα α )=f()p)≤ ≤ 1{displaystyle -1leq f(p^{alpha })=f(p)leq 1} tales como x→ → JUEGO JUEGO {displaystyle xrightarrow infty},

B()x)=.. p≤ ≤ xf2()p)/p→ → JUEGO JUEGO .{displaystyle B(x)=sum _{pleq x}f^{2}(p)/prightarrow infty.}

Entonces... .. ()x;z)♪ ♪ G()z){displaystyle nu (x;z)sim G(z)} Donde G()z){displaystyle G(z)} es la función de distribución Gauss

G()z)=12π π ∫ ∫ − − JUEGO JUEGO ze− − t2/2dt.{displaystyle G(z)={frac {1} {sqrt {2pi}}int}infty } {z}e^{-t^{2}/2}dt.}

Ejemplos de este resultado relacionados con la función omega principal y el número de divisores principales de primos cambiados incluyen los siguientes para fijos z▪ ▪ R{displaystyle zin mathbb {R} donde se mantienen las relaciones x≫ ≫ 1{displaystyle xgg 1}:

# # {}n≤ ≤ x:⋅ ⋅ ()n)− − log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ x≤ ≤ z()log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ x)1/2}♪ ♪ xG()z),{displaystyle #{nleq x:omega (n)-log log xleq z(log log x)^{1/2}sim xG(z),}

# # {}p≤ ≤ x:⋅ ⋅ ()p+1)− − log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ x≤ ≤ z()log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ x)1/2}♪ ♪ π π ()x)G()z).{displaystyle #{pleq x:omega (p+1)-log log xleq z(log log x)^{1/2}sim pi (x)G(z). }