Fuerza de Lorentz

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En física (específicamente en electromagnetismo) la fuerza de Lorentz (o fuerza electromagnética) es la combinación de fuerza eléctrica y magnética sobre una carga puntual debido a campos electromagnéticos. Una partícula de carga q que se mueve con una velocidad v en un campo eléctrico E y un campo magnético B experimenta una fuerza de

{displaystyle mathbf {F} =q,mathbf {E} +q,mathbf {v} times mathbf {B} }

(en unidades SI). Dice que la fuerza electromagnética sobre una carga q es una combinación de una fuerza en la dirección del campo eléctrico E proporcional a la magnitud del campo y la cantidad de carga, y una fuerza en ángulo recto con el campo magnético B y la velocidad v de la carga, proporcional a la magnitud del campo, la carga y la velocidad. Las variaciones de esta fórmula básica describen la fuerza magnética sobre un cable que lleva corriente (a veces llamada fuerza de Laplace), la fuerza electromotriz en un bucle de cable que se mueve a través de un campo magnético (un aspecto de la ley de inducción de Faraday) y la fuerza sobre un cable en movimiento. partícula cargada.

Los historiadores sugieren que la ley está implícita en un artículo de James Clerk Maxwell, publicado en 1865. Hendrik Lorentz llegó a una derivación completa en 1895, identificando la contribución de la fuerza eléctrica unos años después de que Oliver Heaviside identificara correctamente la contribución de la fuerza magnética..

Ley de fuerza de Lorentz como definición de E y B

En muchos tratamientos de libros de texto del electromagnetismo clásico, la ley de fuerza de Lorentz se usa como la definición de los campos eléctrico y magnético E y B. En concreto, se entiende que la fuerza de Lorentz es el siguiente enunciado empírico:

La fuerza electromagnética F sobre una carga de prueba en un punto y tiempo determinados es una función determinada de su carga q y su velocidad v, que puede parametrizarse mediante exactamente dos vectores E y B, en la forma funcional:

${displaystyle mathbf {F} =q(mathbf {E} +mathbf {v} times mathbf {B})}$

Esto es válido, incluso para partículas que se aproximan a la velocidad de la luz (es decir, la magnitud de v, | v | ≈ c). Por lo tanto, los dos campos vectoriales E y B se definen en todo el espacio y el tiempo, y se denominan "campo eléctrico" y "campo magnético". Los campos se definen en todas partes en el espacio y el tiempo con respecto a qué fuerza recibiría una carga de prueba, independientemente de si hay una carga presente para experimentar la fuerza.

Como definición de E y B, la fuerza de Lorentz es solo una definición en principio porque una partícula real (a diferencia de la hipotética "carga de prueba" de masa y carga infinitesimalmente pequeñas) generaría sus propios campos E y B finitos, que alteraría la fuerza electromagnética que experimenta. Además, si la carga experimenta una aceleración, como si la forzaran a seguir una trayectoria curva, emite radiación que hace que pierda energía cinética. Véase, por ejemplo, Bremsstrahlung y luz de sincrotrón. Estos efectos ocurren a través de un efecto directo (llamado fuerza de reacción de radiación) e indirectamente (al afectar el movimiento de cargas y corrientes cercanas).

Ecuación

Partícula cargada

La fuerza F que actúa sobre una partícula de carga eléctrica q con velocidad instantánea v, debida a un campo eléctrico externo E y un campo magnético B, viene dada por (en unidades SI):

{displaystyle mathbf {F} =qleft(mathbf {E} +mathbf {v} times mathbf {B} right)}

donde × es el producto vectorial vectorial (todas las cantidades en negrita son vectores). En términos de componentes cartesianos, tenemos:

{displaystyle F_{x}=qleft(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}right),}

{displaystyle F_{y}=qleft(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}right),}

{displaystyle F_{z}=qleft(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}right).}

En general, los campos eléctrico y magnético son funciones de la posición y el tiempo. Por lo tanto, explícitamente, la fuerza de Lorentz se puede escribir como:

{displaystyle mathbf {F} left(mathbf {r} (t),{dot {mathbf {r} }}(t),t,qright)=qleft[mathbf {E } (mathbf {r},t)+{dot {mathbf {r} }}(t)times mathbf {B} (mathbf {r},t)right]}

en el que r es el vector de posición de la partícula cargada, t es el tiempo y el overdot es una derivada del tiempo.

Una partícula con carga positiva será acelerada en la misma orientación lineal que el campo E, pero se curvará perpendicularmente al vector de velocidad instantánea v y al campo B de acuerdo con la regla de la mano derecha (en detalle, si los dedos de la mano derecha se extienden para apuntar en la dirección de v y luego se doblan para apuntar en la dirección de B, luego el pulgar extendido apuntará en la dirección de F).

El término q E se llama fuerza eléctrica, mientras que el término q (v × B) se llama fuerza magnética. Según algunas definiciones, el término "fuerza de Lorentz" se refiere específicamente a la fórmula de la fuerza magnética, con la fuerza electromagnética total (incluida la fuerza eléctrica) con algún otro nombre (no estándar). Este artículo no seguirá esta nomenclatura: En lo que sigue, el término "fuerza de Lorentz" se referirá a la expresión de la fuerza total.

El componente de fuerza magnética de la fuerza de Lorentz se manifiesta como la fuerza que actúa sobre un cable que transporta corriente en un campo magnético. En ese contexto, también se llama la fuerza de Laplace.

La fuerza de Lorentz es una fuerza ejercida por el campo electromagnético sobre la partícula cargada, es decir, es la velocidad a la que se transfiere el momento lineal del campo electromagnético a la partícula. Asociado con él está el poder, que es la velocidad a la que se transfiere la energía del campo electromagnético a la partícula. ese poder es

{displaystyle mathbf {v} cdot mathbf {F} =q,mathbf {v} cdot mathbf {E}.}

Observe que el campo magnético no contribuye a la potencia porque la fuerza magnética siempre es perpendicular a la velocidad de la partícula.

Distribución de carga continua

Para una distribución de carga continua en movimiento, la ecuación de fuerza de Lorentz se convierte en:

{displaystyle mathrm {d} mathbf {F} =mathrm {d} qleft(mathbf {E} +mathbf {v} times mathbf {B} right)}

donde ${displaystyle mathrm {d} mathbf {F} }$ es la fuerza sobre una pequeña parte de la distribución de carga con carga ${displaystyle mathrm {d} q}$ . Si ambos lados de esta ecuación se dividen por el volumen de esta pequeña parte de la distribución de carga ${ Displaystyle mathrm {d} V}$ , el resultado es:

{displaystyle mathbf {f} =rho left(mathbf {E} +mathbf {v} times mathbf {B} right)}

donde $mathbf {f}$ es la densidad de fuerza (fuerza por unidad de volumen) y $rho$ es la densidad de carga (carga por unidad de volumen). Luego, la densidad de corriente correspondiente al movimiento del continuo de carga es

{displaystyle mathbf {J} =rho mathbf {v} }

entonces el análogo continuo a la ecuación es

{displaystyle mathbf {f} =rho mathbf {E} +mathbf {J} times mathbf {B} }

La fuerza total es la integral de volumen sobre la distribución de carga:

{displaystyle mathbf {F} =iiint left(rho mathbf {E} +mathbf {J} times mathbf {B} right)mathrm {d} V.}

Al eliminar $rho$ y $mathbf{J}$ , usar las ecuaciones de Maxwell y manipular usando los teoremas del cálculo vectorial, esta forma de la ecuación se puede usar para derivar el tensor de tensión de Maxwell ${ símbolo de negrita { sigma}}$ , que a su vez se puede combinar con el vector de Poynting $mathbf {S}$ para obtener el tensor de tensión-energía electromagnética T utilizado en relatividad general.

En términos de ${ símbolo de negrita { sigma}}$ y $mathbf {S}$ , otra forma de escribir la fuerza de Lorentz (por unidad de volumen) es

{displaystyle mathbf {f} =nabla cdot {boldsymbol {sigma }}-{dfrac {1}{c^{2}}}{dfrac {parcial mathbf {S} }{ t parcial}}}

donde $C$ es la velocidad de la luz y ∇· denota la divergencia de un campo tensorial. En lugar de la cantidad de carga y su velocidad en campos eléctricos y magnéticos, esta ecuación relaciona el flujo de energía (flujo de energía por unidad de tiempo por unidad de distancia) en los campos con la fuerza ejercida sobre una distribución de carga. Consulte la formulación covariante del electromagnetismo clásico para obtener más detalles.

La densidad de potencia asociada con la fuerza de Lorentz en un medio material es

{displaystyle mathbf {J} cdot mathbf {E}.}

Si separamos la carga total y la corriente total en sus partes libre y ligada, obtenemos que la densidad de la fuerza de Lorentz es

{displaystyle mathbf {f} =left(rho _{f}-nabla cdot mathbf {P} right)mathbf {E} +left(mathbf {J} _{f}+ nabla times mathbf {M} +{frac {parcial mathbf {P} }{partial t}}right)times mathbf {B}.}

donde: $rho_f$ es la densidad de carga libre; $mathbf {P}$ es la densidad de polarización; ${ estilo de visualización mathbf {J} _ {f}}$ es la densidad de corriente libre; y $matemáticas {M}$ es la densidad de magnetización. De esta forma, la fuerza de Lorentz puede explicar el par aplicado a un imán permanente por el campo magnético. La densidad de la potencia asociada es

{displaystyle left(mathbf {J} _{f}+nabla times mathbf {M} +{frac {parcial mathbf {P} }{parcial t}}right)cdot matemáticasbf {E}.}

Ecuación en unidades cgs

Las fórmulas mencionadas anteriormente utilizan unidades SI que son las más comunes. En unidades cgs-gaussianas más antiguas, que son algo más comunes entre algunos físicos teóricos y experimentadores de materia condensada, uno tiene en cambio

{displaystyle mathbf {F} =q_{mathrm {cgs} }left(mathbf {E}_{mathrm {cgs} }+{frac {mathbf {v} }{c}}times mathbf {B} _{mathrm {cgs} }derecha).}

donde c es la velocidad de la luz. Aunque esta ecuación se ve ligeramente diferente, es completamente equivalente, ya que uno tiene las siguientes relaciones:

{displaystyle q_{mathrm {cgs} }={frac {q_{mathrm {SI} }}{sqrt {4pi varepsilon _{0}}}},quad mathbf {E} _ {mathrm {cgs} }={sqrt {4pi varepsilon _{0}}},mathbf {E}_{mathrm {SI}},quad mathbf {B}_{mathrm {cgs} }={sqrt {4pi /mu _{0}}},{mathbf {B}_{mathrm {SI} }},quad c={frac {1}{ sqrt {varepsilon _{0}mu _{0}}}}.}

donde ε ₀ es la permitividad del vacío y μ ₀ la permeabilidad al vacío. En la práctica, los subíndices "cgs" y "SI" siempre se omiten y el sistema de unidades debe evaluarse a partir del contexto.

Historia

Los primeros intentos de describir cuantitativamente la fuerza electromagnética se realizaron a mediados del siglo XVIII. Se propuso que la fuerza sobre los polos magnéticos, por Johann Tobias Mayer y otros en 1760, y los objetos cargados eléctricamente, por Henry Cavendish en 1762, obedecían una ley del inverso del cuadrado. Sin embargo, en ambos casos la prueba experimental no fue ni completa ni concluyente. No fue hasta 1784 cuando Charles-Augustin de Coulomb, utilizando una balanza de torsión, pudo demostrar definitivamente mediante experimentos que esto era cierto. Poco después del descubrimiento en 1820 por Hans Christian Ørsted de que una corriente voltaica actúa sobre una aguja magnética, André-Marie Ampère ese mismo año pudo idear mediante experimentación la fórmula para la dependencia angular de la fuerza entre dos elementos de corriente.En todas estas descripciones, la fuerza siempre se describió en términos de las propiedades de la materia involucrada y las distancias entre dos masas o cargas, más que en términos de campos eléctricos y magnéticos.

El concepto moderno de campos eléctricos y magnéticos surgió por primera vez en las teorías de Michael Faraday, particularmente en su idea de las líneas de fuerza, para luego recibir una descripción matemática completa de Lord Kelvin y James Clerk Maxwell. Desde una perspectiva moderna, es posible identificar en la formulación de Maxwell de 1865 de sus ecuaciones de campo una forma de la ecuación de fuerza de Lorentz en relación con las corrientes eléctricas,aunque en la época de Maxwell no era evidente cómo sus ecuaciones se relacionaban con las fuerzas sobre objetos cargados en movimiento. JJ Thomson fue el primero en intentar derivar de las ecuaciones de campo de Maxwell las fuerzas electromagnéticas sobre un objeto cargado en movimiento en términos de las propiedades del objeto y los campos externos. Interesado en determinar el comportamiento electromagnético de las partículas cargadas en los rayos catódicos, Thomson publicó un artículo en 1881 en el que dio la fuerza sobre las partículas debido a un campo magnético externo como

{displaystyle mathbf {F} ={frac {q}{2}}mathbf {v} times mathbf {B}.}

Thomson derivó la forma básica correcta de la fórmula, pero, debido a algunos errores de cálculo y una descripción incompleta de la corriente de desplazamiento, incluyó un factor de escala incorrecto de la mitad delante de la fórmula. Oliver Heaviside inventó la notación vectorial moderna y la aplicó a las ecuaciones de campo de Maxwell; también (en 1885 y 1889) corrigió los errores de la derivación de Thomson y llegó a la forma correcta de la fuerza magnética sobre un objeto cargado en movimiento. Finalmente, en 1895,Hendrik Lorentz derivó la forma moderna de la fórmula para la fuerza electromagnética que incluye las contribuciones a la fuerza total de los campos eléctrico y magnético. Lorentz comenzó abandonando las descripciones maxwellianas del éter y la conducción. En cambio, Lorentz hizo una distinción entre la materia y el éter luminífero y trató de aplicar las ecuaciones de Maxwell a escala microscópica. Usando la versión de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell para un éter estacionario y aplicando la mecánica de Lagrangian (ver más abajo), Lorentz llegó a la forma correcta y completa de la ley de fuerza que ahora lleva su nombre.

Trayectorias de partículas debido a la fuerza de Lorentz

En muchos casos de interés práctico, el movimiento en un campo magnético de una partícula cargada eléctricamente (como un electrón o un ion en un plasma) puede tratarse como la superposición de un movimiento circular relativamente rápido alrededor de un punto llamado centro guía y un deriva relativamente lenta de este punto. Las velocidades de deriva pueden diferir para varias especies dependiendo de sus estados de carga, masas o temperaturas, lo que posiblemente resulte en corrientes eléctricas o separación química.

Importancia de la fuerza de Lorentz

Mientras que las ecuaciones de Maxwell modernas describen cómo las partículas cargadas eléctricamente y las corrientes o las partículas cargadas en movimiento dan lugar a campos eléctricos y magnéticos, la ley de fuerza de Lorentz completa esa imagen al describir la fuerza que actúa sobre una carga puntual q en movimiento en presencia de campos electromagnéticos. La ley de fuerza de Lorentz describe el efecto de E y Bsobre una carga puntual, pero tales fuerzas electromagnéticas no son la imagen completa. Las partículas cargadas posiblemente estén acopladas a otras fuerzas, en particular las fuerzas de gravedad y nucleares. Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell no están separadas de otras leyes físicas, sino que están acopladas a ellas a través de las densidades de carga y corriente. La respuesta de una carga puntual a la ley de Lorentz es un aspecto; la generación de E y B por corrientes y cargas es otra.

En materiales reales, la fuerza de Lorentz es inadecuada para describir el comportamiento colectivo de partículas cargadas, tanto en principio como en términos de cálculo. Las partículas cargadas en un medio material no solo responden a los campos E y B sino que también generan estos campos. Deben resolverse ecuaciones de transporte complejas para determinar la respuesta temporal y espacial de las cargas, por ejemplo, la ecuación de Boltzmann o la ecuación de Fokker-Planck o las ecuaciones de Navier-Stokes. Por ejemplo, consulte magnetohidrodinámica, dinámica de fluidos, electrohidrodinámica, superconductividad, evolución estelar. Se ha desarrollado todo un aparato físico para tratar estos asuntos. Véase, por ejemplo, las relaciones de Green-Kubo y la función de Green (teoría de muchos cuerpos).

Fuerza en un alambre que lleva corriente

Cuando un cable que transporta una corriente eléctrica se coloca en un campo magnético, cada una de las cargas en movimiento, que componen la corriente, experimenta la fuerza de Lorentz y juntas pueden crear una fuerza macroscópica en el cable (a veces llamada fuerza de Laplace). Al combinar la ley de fuerza de Lorentz anterior con la definición de corriente eléctrica, resulta la siguiente ecuación, en el caso de un cable estacionario recto:

{displaystyle mathbf {F} =I{boldsymbol {ell }}times mathbf {B} }

donde ℓ es un vector cuya magnitud es la longitud del cable y cuya dirección es a lo largo del cable, alineado con la dirección del flujo de carga de corriente convencional I.

Si el alambre no es recto sino curvo, la fuerza sobre él se puede calcular aplicando esta fórmula a cada segmento infinitesimal del alambre ${displaystyle mathrm {d} {boldsymbol {ell }}}$ y luego sumando todas estas fuerzas por integración. Formalmente, la fuerza neta sobre un alambre rígido estacionario que transporta una corriente constante I es

{displaystyle mathbf {F} =Iint mathrm {d} {boldsymbol {ell }}times mathbf {B} }

Esta es la fuerza neta. Además, normalmente habrá torsión, además de otros efectos si el alambre no es perfectamente rígido.

Una aplicación de esto es la ley de fuerza de Ampère, que describe cómo dos cables que transportan corriente pueden atraerse o repelerse, ya que cada uno experimenta una fuerza de Lorentz del campo magnético del otro. Para obtener más información, consulte el artículo: Ley de la fuerza de Ampère.

Campos electromagnéticos

El componente de fuerza magnética (q v × B) de la fuerza de Lorentz es responsable de la fuerza electromotriz de movimiento (o EMF de movimiento), el fenómeno subyacente a muchos generadores eléctricos. Cuando un conductor se mueve a través de un campo magnético, el campo magnético ejerce fuerzas opuestas sobre los electrones y los núcleos del cable, y esto crea la EMF. El término "EMF de movimiento" se aplica a este fenómeno, ya que la EMF se debe al movimiento del cable.

En otros generadores eléctricos, los imanes se mueven, mientras que los conductores no. En este caso, la FEM se debe al término de la fuerza eléctrica (q E) en la ecuación de la fuerza de Lorentz. El campo eléctrico en cuestión es creado por el campo magnético cambiante, lo que resulta en un EMF inducido, como se describe en la ecuación de Maxwell-Faraday (una de las cuatro ecuaciones modernas de Maxwell).

Ambos campos electromagnéticos, a pesar de sus orígenes aparentemente distintos, se describen mediante la misma ecuación, es decir, el campo electromagnético es la tasa de cambio del flujo magnético a través del cable. (Esta es la ley de inducción de Faraday, ver más abajo). La teoría especial de la relatividad de Einstein fue motivada en parte por el deseo de comprender mejor este vínculo entre los dos efectos. De hecho, los campos eléctrico y magnético son facetas diferentes del mismo campo electromagnético, y al moverse de un marco de inercia a otro, la porción del campo vectorial solenoidal del campo E puede cambiar en su totalidad o en parte a un campo B o viceversa _

Fuerza de Lorentz y ley de inducción de Faraday

Dado un bucle de alambre en un campo magnético, la ley de inducción de Faraday establece que la fuerza electromotriz inducida (EMF) en el alambre es:

{displaystyle {mathcal {E}}=-{frac {mathrm {d} Phi_{B}}{mathrm {d} t}}}

dónde

{displaystyle Phi_{B}=iint_{Sigma (t)}mathrm {d} mathbf {A} cdot mathbf {B} (mathbf {r},t)}

es el flujo magnético a través del bucle, B es el campo magnético, Σ(t) es una superficie limitada por el contorno cerrado ∂Σ(t), en el tiempo t, d A es un elemento de área vectorial infinitesimal de Σ(t) (la magnitud es el área de un parche infinitesimal de superficie, la dirección es ortogonal a ese parche de superficie).

El signo de la EMF está determinado por la ley de Lenz. Tenga en cuenta que esto es válido no solo para un cable estacionario, sino también para un cable en movimiento.

A partir de la ley de inducción de Faraday (que es válida para un cable en movimiento, por ejemplo en un motor) y las Ecuaciones de Maxwell, se puede deducir la Fuerza de Lorentz. Lo contrario también es cierto, la fuerza de Lorentz y las ecuaciones de Maxwell se pueden usar para derivar la ley de Faraday.

Sea Σ(t) el alambre en movimiento, moviéndose juntos sin rotación y con velocidad constante v y Σ(t) la superficie interna del alambre. La FEM alrededor del camino cerrado ∂Σ(t) viene dada por:

{displaystyle {mathcal {E}}=oint _{parcial Sigma (t)}mathrm {d} {boldsymbol {ell }}cdot mathbf {F} /q}

dónde

{displaystyle mathbf {E} =mathbf {F} /q}

es el campo eléctrico y d ℓ es un elemento vectorial infinitesimal del contorno ∂Σ(t).

NB: tanto d ℓ como d A tienen una ambigüedad de signo; para obtener el signo correcto se utiliza la regla de la mano derecha, como se explica en el artículo Teorema de Kelvin-Stokes.

El resultado anterior se puede comparar con la versión de la ley de inducción de Faraday que aparece en las ecuaciones modernas de Maxwell, denominadas aquí ecuación de Maxwell-Faraday:

{displaystyle nabla times mathbf {E} =-{frac {parcial mathbf {B} }{parcial t}},.}

La ecuación de Maxwell-Faraday también se puede escribir en forma integral usando el teorema de Kelvin-Stokes.

Entonces tenemos, la ecuación de Maxwell Faraday:

{displaystyle oint _{parcial Sigma (t)}mathrm {d} {boldsymbol {ell }}cdot mathbf {E} (mathbf {r}, t)=- iint _{Sigma (t)}mathrm {d} mathbf {A} cdot {{mathrm {d} mathbf {B} (mathbf {r}, t)} over mathrm {d} t}}

y la Ley de Faraday,

{displaystyle oint _{parcial Sigma (t)}mathrm {d} {boldsymbol {ell }}cdot mathbf {F} /q(mathbf {r}, t)=-{ frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}iint _{Sigma (t)}mathrm {d} mathbf {A} cdot mathbf {B} (mathbf {r },t).}

Los dos son equivalentes si el cable no se mueve. Usando la regla integral de Leibniz y que div B = 0, da como resultado,

{displaystyle oint _{parcial Sigma (t)}mathrm {d} {boldsymbol {ell }}cdot mathbf {F} /q(mathbf {r},t)=-iint _ {Sigma (t)}mathrm {d} mathbf {A} cdot {frac {parcial }{parcial t}}mathbf {B} (mathbf {r},t)+oint _ {parcial Sigma (t)}!!!!mathbf {v} times mathbf {B} ,mathrm {d} {boldsymbol {ell }}}

y usando la ecuación de Maxwell Faraday,

{displaystyle oint _{parcial Sigma (t)}mathrm {d} {boldsymbol {ell }}cdot mathbf {F} /q(mathbf {r}, t)=oint _{parcial Sigma (t)}mathrm {d} {boldsymbol {ell }}cdot mathbf {E} (mathbf {r}, t)+oint_{parcial Sigma (t)}!!!!mathbf {v} times mathbf {B} (mathbf {r}, t),mathrm {d} {boldsymbol {ell }}}

dado que esto es válido para cualquier posición del cable, implica que,

{displaystyle mathbf {F} =q,mathbf {E} (mathbf {r}, t)+q,mathbf {v} times mathbf {B} (mathbf {r}, t).}

La ley de inducción de Faraday es válida tanto si la espira de alambre es rígida y estacionaria, como si está en movimiento o en proceso de deformación, y es válida tanto si el campo magnético es constante en el tiempo como si cambia. Sin embargo, hay casos en los que la ley de Faraday es inadecuada o difícil de usar, y es necesaria la aplicación de la ley de fuerza de Lorentz subyacente. Ver inaplicabilidad de la ley de Faraday.

Si el campo magnético está fijo en el tiempo y la espira conductora se mueve a través del campo, el flujo magnético Φ _B que une la espira puede cambiar de varias formas. Por ejemplo, si el campo B varía con la posición y el bucle se mueve a una ubicación con un campo B diferente, Φ _B cambiará. Alternativamente, si el bucle cambia de orientación con respecto al campo B, el elemento diferencial B ⋅ d A cambiará debido al diferente ángulo entre B y d A, cambiando también Φ _B. Como tercer ejemplo, si una parte del circuito se barre a través de un campo B uniforme e independiente del tiempo, y otra parte del circuito se mantiene estacionaria, el flujo que une todo el circuito cerrado puede cambiar debido al cambio en la posición relativa. de los componentes del circuito con el tiempo (superficie ∂Σ(t) dependiente del tiempo). En los tres casos, la ley de inducción de Faraday predice la FEM generada por el cambio en Φ _B.

Tenga en cuenta que la ecuación de Maxwell Faraday implica que el campo eléctrico E no es conservativo cuando el campo magnético B varía en el tiempo, y no se puede expresar como el gradiente de un campo escalar, y no está sujeto al teorema del gradiente ya que su rotación no es cero.

Fuerza de Lorentz en términos de potenciales

Los campos E y B pueden ser reemplazados por el vector potencial magnético A y el potencial electrostático (escalar) ϕ por

{displaystyle mathbf {E} =-nabla phi -{frac {parcial mathbf {A} }{parcial t}}}

{displaystyle mathbf {B} =nabla times mathbf {A} }

donde ∇ es el gradiente, ∇⋅ es la divergencia y ∇× es el rotacional.

La fuerza se convierte

{displaystyle mathbf {F} =qleft[-nabla phi -{frac {parcial mathbf {A} }{parcial t}}+mathbf {v} times (nabla times mathbf {A})derecha].}

Usando una identidad para el producto triple, esto se puede reescribir como,

{displaystyle mathbf {F} =qleft[-nabla phi -{frac {parcial mathbf {A} }{parcial t}}+nabla left(mathbf {v} cdot mathbf {A} right)-left(mathbf {v} cdot nabla right)mathbf {A} right],}

(Tenga en cuenta que las coordenadas y los componentes de velocidad deben tratarse como variables independientes, por lo que el operador del actúa solo en $matemáticas {A}$ , no en $matemáticas {v}$ ; por lo tanto, no hay necesidad de usar la notación de subíndice de Feynman en la ecuación anterior). Usando la regla de la cadena, la derivada total de $matemáticas {A}$ es:

{displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {A} }{mathrm {d} t}}={frac {parcial mathbf {A} }{parcial t}}+(mathbf {v} cdot nabla)mathbf {A} }

por lo que la expresión anterior se convierte en:

{displaystyle mathbf {F} =qleft[-nabla (phi -mathbf {v} cdot mathbf {A})-{frac {mathrm {d} mathbf {A} }{ mathrm {d} t}}derecho].}

Con v = ẋ, podemos poner la ecuación en la forma conveniente de Euler-Lagrange

{displaystyle mathbf {F} =qleft[-nabla _{mathbf {x} }(phi -{dot {mathbf {x} }}cdot mathbf {A})+{ frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}nabla _{dot {mathbf {x} }}(phi -{dot {mathbf {x} }}cdot mathbf {A})derecho]}

dónde

{displaystyle nabla _{mathbf {x} }={sombrero {x}}{dfrac {parcial }{parcial x}}+{sombrero {y}}{dfrac {parcial }{ parcial y}}+{sombrero {z}}{dfrac {parcial}{parcial z}}}

{displaystyle nabla_{dot {mathbf {x} }}={hat {x}}{dfrac {parcial }{parcial {dot {x}}}}+{hat {y }}{dfrac {parcial }{parcial {dot {y}}}}+{hat {z}}{dfrac {parcial }{parcial {dot {z}}}}.}

Fuerza de Lorentz y mecánica analítica.

El Lagrangiano para una partícula cargada de masa m y carga q en un campo electromagnético describe de manera equivalente la dinámica de la partícula en términos de su energía, en lugar de la fuerza ejercida sobre ella. La expresión clásica viene dada por:

{displaystyle L={frac {m}{2}}mathbf {dot {r}} cdot mathbf {dot {r}} +qmathbf {A} cdot mathbf {dot { r}} -qfi}

donde A y ϕ son los campos potenciales como arriba. La cantidad ${displaystyle V=q(phi -mathbf {A} cdot mathbf {dot {r}})}$ puede pensarse como una función potencial dependiente de la velocidad. Usando las ecuaciones de Lagrange, la ecuación para la fuerza de Lorentz dada arriba se puede obtener nuevamente.

Derivación de la fuerza de Lorentz a partir del Lagrangiano clásico (unidades SI)

Para un campo A, una partícula que se mueve con velocidad v = ṙ tiene un momento potencial ${displaystyle qmathbf {A} (mathbf {r},t)}$ , por lo que su energía potencial es $qmathbf {A} (mathbf {r},t)cdot mathbf {dot {r}}$ . Para un campo ϕ, la energía potencial de la partícula es $qphi (mathbf {r},t)$ .

Entonces la energía potencial total es:

{displaystyle V=qphi -qmathbf {A} cdot mathbf {dot {r}} }

y la energía cinética es:

{displaystyle T={frac {m}{2}}mathbf {dot {r}} cdot mathbf {dot {r}} }

de ahí el lagrangiano:

{displaystyle L=TV={frac {m}{2}}mathbf {dot {r}} cdot mathbf {dot {r}} +qmathbf {A} cdot mathbf { punto {r}} -qphi }

{displaystyle L={frac {m}{2}}({dot {x}}^{2}+{dot {y}}^{2}+{dot {z}}^{2 })+q({dot {x}}A_{x}+{dot {y}}A_{y}+{dot {z}}A_{z})-qphi }

Las ecuaciones de Lagrange son

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{frac {parcial L}{parcial {dot {x}}}}={frac {parcial L }{parcial x}}}

(Lo mismo para

y y

z). Entonces calculando las derivadas parciales:

{displaystyle {begin{alineado}{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{frac {parcial L}{parcial {dot {x}}}}&= m{ddot {x}}+q{frac {mathrm {d} A_{x}}{mathrm {d} t}}\&=m{ddot {x}}+{frac { q}{mathrm {d} t}}left({frac {parcial A_{x}}{parcial t}}dt+{frac {parcial A_{x}}{parcial x}}dx+ {frac {parcial A_{x}}{parcial y}}dy+{frac {parcial A_{x}}{parcial z}}dzright)\&=m{ddot {x} }+qleft({frac {parcial A_{x}}{parcial t}}+{frac {parcial A_{x}}{parcial x}}{dot {x}}+{ frac {parcial A_{x}}{parcial y}}{dot {y}}+{frac {parcial A_{x}}{parcial z}}{dot {z}}right)\end{alineado}}}

{displaystyle {frac {parcial L}{parcial x}}=-q{frac {parcial phi }{parcial x}}+qleft({frac {parcial A_{x} }{parcial x}}{dot {x}}+{frac {parcial A_{y}}{parcial x}}{dot {y}}+{frac {parcial A_{z} }{parcial x}}{dot {z}}right)}

igualando y simplificando:

{displaystyle m{ddot {x}}+qleft({frac {parcial A_{x}}{parcial t}}+{frac {parcial A_{x}}{parcial x} }{dot {x}}+{frac {parcial A_{x}}{parcial y}}{dot {y}}+{frac {parcial A_{x}}{parcial z} }{dot {z}}right)=-q{frac {parcial phi }{parcial x}}+qleft({frac {parcial A_{x}}{parcial x} }{dot {x}}+{frac {parcial A_{y}}{parcial x}}{dot {y}}+{frac {parcial A_{z}}{parcial x} }{punto {z}}derecho)}

{displaystyle {begin{alineado}F_{x}&=-qleft({frac {parcial phi }{parcial x}}+{frac {parcial A_{x}}{parcial t}}right)+qleft[{dot {y}}left({frac {parcial A_{y}}{parcial x}}-{frac {parcial A_{x}} {parcial y}}right)+{dot {z}}left({frac {parcial A_{z}}{parcial x}}-{frac {parcial A_{x}}{ parcial z}}right)right]\&=qE_{x}+q[{dot {y}}(nabla times mathbf {A})_{z}-{dot {z }}(nabla times mathbf {A})_{y}]\&=qE_{x}+q[mathbf {dot {r}} times (nabla times mathbf {A})]_{x}\&=qE_{x}+q(mathbf {dot {r}} times mathbf {B})_{x}end{alineado}}}

y de manera similar para las direcciones y y z. Por lo tanto, la ecuación de la fuerza es:

{displaystyle mathbf {F} =q(mathbf {E} +mathbf {dot {r}} times mathbf {B})}

La energía potencial depende de la velocidad de la partícula, por lo que la fuerza depende de la velocidad, por lo que no es conservativa.

El lagrangiano relativista es

{displaystyle L=-mc^{2}{sqrt {1-left({frac {dot {mathbf {r} }}{c}}right)^{2}}}+q mathbf {A} (mathbf {r})cdot {dot {mathbf {r} }}-qphi (mathbf {r})}

La acción es la longitud de arco relativista de la trayectoria de la partícula en el espacio-tiempo, menos la contribución de energía potencial, más una contribución adicional que, mecánicamente cuánticamente, es una fase adicional que obtiene una partícula cargada cuando se mueve a lo largo de un vector potencial.

Derivación de la fuerza de Lorentz a partir del Lagrangiano relativista (unidades SI)

Las ecuaciones de movimiento derivadas al extremar la acción (ver cálculo matricial para la notación):

{displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {P} }{mathrm {d} t}}={frac {parcial L}{parcial mathbf {r} }}=q{ parcial mathbf {A} over parcial mathbf {r} }cdot {dot {mathbf {r} }}-q{parcial phi over parcial mathbf {r} }}

{displaystyle mathbf {P} -qmathbf {A} ={frac {m{dot {mathbf {r} }}}{sqrt {1-left({frac {dot { matemáticasbf {r} }}{c}}right)^{2}}}}}

son las mismas que las ecuaciones de movimiento de Hamilton:

{displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {r} }{mathrm {d} t}}={frac {parcial }{parcial mathbf {p} }}left({ raíz cuadrada {(mathbf {P} -qmathbf {A})^{2}+(mc^{2})^{2}}}+qphi right)}

{displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {p} }{mathrm {d} t}}=-{parcial over parcial mathbf {r} }left({sqrt {(mathbf {P} -qmathbf {A})^{2}+(mc^{2})^{2}}}+qphi right)}

ambos son equivalentes a la forma no canónica:

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}left({m{dot {mathbf {r} }} over {sqrt {1-left({ frac {dot {mathbf {r} }}{c}}right)^{2}}}}right)=qleft(mathbf {E} +{dot {mathbf {r} }}veces mathbf {B} derecha).}

Esta fórmula es la fuerza de Lorentz, que representa la velocidad a la que el campo EM agrega impulso relativista a la partícula.

Forma relativista de la fuerza de Lorentz

Forma covariante de la fuerza de Lorentz

Tensor de campo

Usando la firma métrica (1, −1, −1, −1), la fuerza de Lorentz para una carga q se puede escribir en forma covariante:

{displaystyle {frac {mathrm {d} p^{alpha }}{mathrm {d} tau }}=qF^{alpha beta }U_{beta }}

donde p es el cuatro impulso, definido como

{displaystyle p^{alpha }=left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}right)=left(gamma mc,p_{x},p_{ y},p_{z}derecho),}

τ el tiempo propio de la partícula, F el tensor electromagnético contravariante

{displaystyle F^{alpha beta }={begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\E_{x}/c&0&-B_ {z}&B_{y}\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0end{pmatrix}}}

y U es la 4-velocidad covariante de la partícula, definida como:

{displaystyle U_{beta }=left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}right)=gamma left(c,-v_{x},-v_ {y},-v_{z}derecho),}

en el cual

{displaystyle gamma (v)={frac {1}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={frac {1}{ sqrt {1-{frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}}

es el factor de Lorentz.

Los campos se transforman en un marco que se mueve con velocidad relativa constante mediante:

{displaystyle F'^{mu nu }={Lambda ^{mu }}_{alpha }{Lambda ^{nu }}_{beta }F^{alpha beta },,}

donde Λ _α es el tensor de transformación de Lorentz.

Traducción a notación vectorial

La componente α = 1 (componente x) de la fuerza es

{displaystyle {frac {mathrm {d} p^{1}}{mathrm {d} tau }}=qU_{beta }F^{1beta }=qleft(U_{0} F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}derecha).}

Sustituyendo los componentes del tensor electromagnético covariante F se obtiene

{displaystyle {frac {mathrm {d} p^{1}}{mathrm {d} tau }}=qleft[U_{0}left({frac {E_{x}}{ c}}derecha)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})derecha].}

Usando los componentes de los rendimientos de cuatro velocidades covariantes

{displaystyle {frac {mathrm {d} p^{1}}{mathrm {d} tau }}=qgamma left[cleft({frac {E_{x}}{c }}derecha)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})derecha]=qgamma izquierda(E_{x}+v_ {y}B_{z}-v_{z}B_{y}right)=qgamma left[E_{x}+left(mathbf {v} times mathbf {B} right)_ {x}derecho],.}

El cálculo para α = 2, 3 (componentes de fuerza en las direcciones y y z) arroja resultados similares, por lo que se reúnen las 3 ecuaciones en una sola:

{displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {p} }{mathrm {d} tau }}=qgamma left(mathbf {E} +mathbf {v} times mathbf {Brillante),}

y dado que los diferenciales en el tiempo de coordenadas dt y el tiempo propio dτ están relacionados por el factor de Lorentz,

así llegamos a

{displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {p} }{mathrm {d} t}}=qleft(mathbf {E} +mathbf {v} times mathbf {B} Correcto).}

Esta es precisamente la ley de fuerza de Lorentz, sin embargo, es importante notar que p es la expresión relativista,

{displaystyle mathbf {p} =gamma (v)m_{0}mathbf {v} ,.}

Fuerza de Lorentz en el álgebra del espacio-tiempo (STA)

Los campos eléctricos y magnéticos dependen de la velocidad de un observador, por lo que la forma relativista de la ley de fuerza de Lorentz se puede exhibir mejor a partir de una expresión independiente de las coordenadas para los campos electromagnético y magnético ${ matemáticas {F}}$ , y una dirección temporal arbitraria, $gamma _ {0}$ . Esto se puede resolver a través del álgebra del espacio-tiempo (o el álgebra geométrica del espacio-tiempo), un tipo de álgebra de Clifford definida en un espacio pseudo-euclidiano, como

{displaystyle mathbf {E} =left({mathcal {F}}cdot gamma _{0}right)gamma _{0}}

{displaystyle imathbf {B} =left({mathcal {F}}cuña gamma _{0}derecha)gamma _{0}}

${ matemáticas {F}}$ es un bivector de espacio-tiempo (un segmento de plano orientado, al igual que un vector es un segmento de línea orientado), que tiene seis grados de libertad correspondientes a impulsos (rotaciones en planos de espacio-tiempo) y rotaciones (rotaciones en planos de espacio-espacio). El producto punto con el vector $gamma _ {0}$ extrae un vector (en el álgebra espacial) de la parte traslacional, mientras que el producto cuña crea un trivector (en el álgebra espacial) que es dual a un vector que es el vector de campo magnético habitual. La velocidad relativista está dada por los cambios (similares al tiempo) en un vector de posición de tiempo ${displaystyle v={punto {x}}}$ , donde

(que muestra nuestra elección para la métrica) y la velocidad es

{displaystyle mathbf {v} =cvcuña gamma _{0}/(vcdot gamma _{0}).}

La forma adecuada (invariante es un término inadecuado porque no se ha definido ninguna transformación) de la ley de fuerza de Lorentz es simplemente

Tenga en cuenta que el orden es importante porque entre un bivector y un vector el producto escalar es antisimétrico. En una división del espacio-tiempo como se puede obtener la velocidad, y los campos como arriba, dando la expresión habitual.

Fuerza de Lorentz en relatividad general

En la teoría general de la relatividad, la ecuación de movimiento de una partícula con masa $metro$ y carga $mi$ , moviéndose en un espacio con tensor métrico $charla}$ y campo electromagnético $F_{ab}$ , se da como

{displaystyle m{frac {du_{c}}{ds}}-m{frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb} tu^{b},}

donde ${displaystyle u^{a}=dx^{a}/ds}$ ( ${displaystyle dx^{a}}$ se toma a lo largo de la trayectoria), ${displaystyle g_{ab,c}=parcial g_{ab}/parcial x^{c}}$ , y ${displaystyle ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b}}$ .

La ecuación también se puede escribir como

{displaystyle m{frac {du_{c}}{ds}}-mGamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},}

donde ${ estilo de visualización Gamma _ {abc}}$ está el símbolo de Christoffel (de la conexión métrica libre de torsión en la relatividad general), o como

{displaystyle m{frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b},}

donde $D$ es la diferencial covariante en relatividad general (métrica, libre de torsión).

Aplicaciones

La fuerza de Lorentz ocurre en muchos dispositivos, que incluyen:

Ciclotrones y otros aceleradores de partículas de trayectoria circular
espectrómetros de masas
Filtros de velocidad
magnetrones
Velocimetría de fuerza de Lorentz

En su manifestación como la fuerza de Laplace sobre una corriente eléctrica en un conductor, esta fuerza se produce en muchos dispositivos, entre ellos:

Motor electrico
cañones de riel
motores lineales
Altavoces
Propulsores magnetoplasmadinámicos
Generadores eléctricos
Generadores homopolares
Alternadores lineales

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