Fuerza Abraham-Lorentz

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Recoil force on accelerating charged partarticle

En la física del electromagnetismo, la fuerza de Abraham-Lorentz (también conocida como fuerza de Lorentz-Abraham) es la fuerza de reacción sobre una partícula cargada en aceleración causada por la Partícula que emite radiación electromagnética por autointeracción. También se le llama fuerza de reacción a la radiación, fuerza de amortiguación de la radiación o fuerza propia. Lleva el nombre de los físicos Max Abraham y Hendrik Lorentz.

La fórmula, aunque anterior a la teoría de la relatividad especial, se calculó inicialmente para aproximaciones de velocidad no relativistas, Max Abraham la amplió a velocidades arbitrarias y George Adolphus Schott demostró que era físicamente consistente. La forma no relativista se llama fuerza propia de Lorentz, mientras que la versión relativista se llama fuerza de Lorentz-Dirac o conocida colectivamente como fuerza de Abraham-Lorentz-Dirac. Las ecuaciones pertenecen al dominio de la física clásica, no de la física cuántica, y por lo tanto pueden no ser válidas a distancias de aproximadamente la longitud de onda de Compton o inferiores. Sin embargo, existen dos análogos de la fórmula que son completamente cuánticos y relativistas: uno se llama "ecuación de Abraham-Lorentz-Dirac-Langevin" y el otro es la fuerza propia sobre un espejo en movimiento.

La fuerza es proporcional al cuadrado de la carga del objeto, multiplicado por la sacudida que está experimentando. (La sacudida es la tasa de cambio de la aceleración). La fuerza apunta en la dirección de la sacudida. Por ejemplo, en un ciclotrón, donde la sacudida apunta en sentido opuesto a la velocidad, la reacción de radiación se dirige en sentido opuesto a la velocidad de la partícula, proporcionando una acción de frenado. La fuerza de Abraham-Lorentz es la fuente de la resistencia a la radiación de una antena de radio que irradia ondas de radio.

Existen soluciones patológicas de la ecuación de Abraham-Lorentz-Dirac en las que una partícula acelera antes de la aplicación de una fuerza, las llamadas soluciones de preaceleración . Dado que esto representaría un efecto que ocurre antes de su causa (retrocausalidad), algunas teorías han especulado que la ecuación permite que las señales viajen hacia atrás en el tiempo, desafiando así el principio físico de causalidad. Arthur D. Yaghjian discutió una solución a este problema y Fritz Rohrlich y Rodrigo Medina la discutieron más a fondo.

Definición y descripción

Matemáticamente, Fuerza Lorentz-self derivado para aproximación de velocidad no relativista ${displaystyle vll c}$ , se da en unidades SI por:

{displaystyle mathbf {F} _{mathrm {rad} }={frac {mu _{0}q^{2}}{6pi c}}mathbf {dot {a}} ={frac {q^{2}}{6pi varepsilon _{0}c^{3}}}mathbf {dot {a}} ={frac {2}{3}}{frac {q^{2}}{4pi varepsilon _{0}c^{3}}}mathbf {dot {a}} }

o en unidades gaussianas por

{displaystyle mathbf {F} _{mathrm {rad} }={2 over 3}{frac {q^{2}}{c^{3}}}mathbf {dot {a}}.}

Donde ${displaystyle mathbf {F} _{mathrm {rad} }}$ es la fuerza, ${displaystyle mathbf {dot {a}} }$ es el derivado de la aceleración, o el tercer derivado del desplazamiento, también llamado imbécil, μ₀ es la constante magnética, ε₀ es la constante eléctrica, c es la velocidad de la luz en espacio libre, y q es la carga eléctrica de la partícula.

Físicamente, una carga acelerada emite radiación (según la fórmula de Larmor), que aleja el impulso de la carga. Como el impulso se conserva, la carga es empujada en dirección opuesta a la dirección de la radiación emitida. De hecho, la fórmula anterior para la fuerza de radiación se puede derivar de la fórmula de Larmor, como se muestra a continuación.

La fuerza de Abraham-Lorentz, una generalización de la autofuerza de Lorentz para velocidades arbitrarias, viene dada por:

{displaystyle mathbf {F} _{mathrm {rad} }={frac {2kq^{2}}{3c^{3}}}left(gamma ^{2}{dot {a}}+{frac {gamma ^{4}v(vcdot {dot {a}})}{c^{2}}}+{frac {3gamma ^{4}a(vcdot a)}{c^{2}}}+{frac {3gamma ^{6}v(vcdot a)^{2}}{c^{4}}}right)}

Donde ${displaystyle gamma }$ es el factor Lorentz asociado con ${displaystyle v}$ , velocidad de partículas y ${displaystyle k}$ es la constante de Coulomb. La fórmula es consistente con la relatividad especial y reduce a la expresión de la autofuerza de Lorentz para el límite de baja velocidad.

La forma covariante de la reacción de radiación deducida por Dirac para formas arbitrarias de cargas elementales es:

{displaystyle F_{mu }^{mathrm {rad} }={frac {mu _{0}q^{2}}{6pi mc}}left[{frac {d^{2}p_{mu }}{dtau ^{2}}}-{frac {p_{mu }}{m^{2}c^{2}}}left({frac {dp_{nu }}{dtau }}{frac {dp^{nu }}{dtau }}right)right]}

Historia

El primer cálculo de la energía de radiación electromagnética debida a la corriente fue realizado por George Francis FitzGerald en 1883, en el que aparece la resistencia a la radiación. Sin embargo, los experimentos con antenas dipolo de Heinrich Hertz tuvieron un impacto mayor y recogieron comentarios de Poincaré sobre el amortissement o amortiguamiento del oscilador debido a la emisión de radiación. Henry Poincaré inició en 1891 debates cualitativos sobre los efectos amortiguadores de la radiación emitida por cargas aceleradas. En 1892, Hendrik Lorentz derivó la fuerza de autointeracción de las cargas para bajas velocidades, pero no la relacionó con las pérdidas por radiación. Max Planck fue el primero en sugerir una relación entre la pérdida de energía por radiación y la fuerza propia. El concepto de fuerza amortiguadora de Planck, que no asumía ninguna forma particular para las partículas elementales cargadas, fue aplicado por Max Abraham para encontrar la resistencia a la radiación de una antena en 1898, lo que sigue siendo la aplicación más práctica del fenómeno.

A principios del siglo XX, Abraham formuló una generalización de la autofuerza de Lorentz a velocidades arbitrarias, cuya consistencia física fue demostrada más tarde por George Adolphus Schott. Schott pudo derivar la ecuación de Abraham y le atribuyó "energía de aceleración" ser la fuente de energía de la radiación electromagnética. Presentado originalmente como un ensayo para el Premio Adams de 1908, ganó el concurso y publicó el ensayo como libro en 1912. La relación entre la fuerza propia y la reacción a la radiación quedó bien establecida en este punto. Wolfgang Pauli obtuvo por primera vez la forma covariante de la reacción de radiación y en 1938, Paul Dirac descubrió que la ecuación del movimiento de partículas cargadas, sin asumir la forma de la partícula, contenía la fórmula de Abraham dentro de aproximaciones razonables. Las ecuaciones derivadas de Dirac se consideran exactas dentro de los límites de la teoría clásica.

Fondo

En electrodinámica clásica, los problemas normalmente se dividen en dos clases:

Problemas en los que la carga y la corriente fuentes de campos se especifican y campos se calculan, y
La situación inversa, los problemas en los que se especifican los campos y la moción de partículas se calculan.

En algunos campos de la física, como la física del plasma y el cálculo de los coeficientes de transporte (conductividad, difusividad, etc.), los campos generados por las fuentes y el movimiento de las fuentes se resuelven por sí solos. -consecuentemente. Sin embargo, en tales casos, el movimiento de una fuente seleccionada se calcula en respuesta a los campos generados por todas las demás fuentes. Rara vez se calcula el movimiento de una partícula (fuente) debido a los campos generados por esa misma partícula. La razón de esto es doble:

El abandono de los "campos propios" generalmente conduce a respuestas que son lo suficientemente precisas para muchas aplicaciones, y
La inclusión de los autocampos conduce a problemas en la física como la renormalización, algunos de los cuales todavía no están resueltos, que se relacionan con la misma naturaleza de la materia y la energía.

Estos problemas conceptuales creados por los campos propios se destacan en un texto estándar de posgrado. [Jackson]

Las dificultades presentadas por este problema tocan uno de los aspectos más fundamentales de la física, la naturaleza de la partícula elemental. Aunque se pueden dar soluciones parciales, viables en zonas limitadas, el problema básico sigue sin resolver. Uno podría esperar que la transición de los tratamientos clásicos a cuánticos-mecánicos eliminaría las dificultades. Si bien todavía hay esperanza de que esto pueda ocurrir eventualmente, las actuales discusiones cuánticas-mecánicas están plagadas de problemas aún más elaborados que los clásicos. Es uno de los triunfos de años comparativamente recientes (~ 1948-1950) que los conceptos de covariancia de Lorentz e invariancia de calibre fueron explotados lo suficientemente inteligentemente para eludir estas dificultades en electrodinámica cuántica y así permitir el cálculo de efectos radiativos muy pequeños a una precisión extremadamente alta, en pleno acuerdo con el experimento. Sin embargo, desde un punto de vista fundamental siguen existiendo dificultades.

La fuerza de Abraham-Lorentz es el resultado del cálculo más fundamental del efecto de los campos autogenerados. Surge de la observación de que las cargas aceleradas emiten radiación. La fuerza de Abraham-Lorentz es la fuerza promedio que siente una partícula cargada en aceleración en el retroceso de la emisión de radiación. La introducción de los efectos cuánticos conduce a la electrodinámica cuántica. Los autocampos en la electrodinámica cuántica generan un número finito de infinitos en los cálculos que pueden eliminarse mediante el proceso de renormalización. Esto ha dado lugar a una teoría que es capaz de realizar las predicciones más precisas que los humanos han hecho hasta la fecha. (Ver pruebas de precisión de QED). Sin embargo, el proceso de renormalización falla cuando se aplica a la fuerza gravitacional. Los infinitos en ese caso son infinitos en número, lo que provoca el fracaso de la renormalización. Por tanto, la relatividad general tiene un problema de campo propio sin resolver. La teoría de cuerdas y la gravedad cuántica de bucles son intentos actuales de resolver este problema, formalmente llamado problema de la reacción a la radiación o problema de la autofuerza.

Derivación

La derivación más simple para la fuerza propia se encuentra para el movimiento periódico a partir de la fórmula de Larmor para la potencia irradiada por una carga puntual que se mueve con una velocidad mucho menor que la de la luz:

{displaystyle P={frac {mu _{0}q^{2}}{6pi c}}mathbf {a} ^{2}.}

Si asumimos que el movimiento de una partícula cargada es periódico, entonces el trabajo promedio realizado en la partícula por la fuerza Abraham-Lorentz es el negativo de la potencia de Larmor integrada durante un período desde ${displaystyle tau _{1}}$ a ${displaystyle tau _{2}}$ :

{displaystyle int _{tau _{1}}^{tau _{2}}mathbf {F} _{mathrm {rad} }cdot mathbf {v} dt=int _{tau _{1}}^{tau _{2}}-Pdt=-int _{tau _{1}}^{tau _{2}}{frac {mu _{0}q^{2}}{6pi c}}mathbf {a} ^{2}dt=-int _{tau _{1}}^{tau _{2}}{frac {mu _{0}q^{2}}{6pi c}}{frac {dmathbf {v} }{dt}}cdot {frac {dmathbf {v} }{dt}}dt.}

La expresión anterior se puede integrar por partes. Si suponemos que hay movimiento periódico, el término límite en la integral por partes desaparece:

{displaystyle int _{tau _{1}}^{tau _{2}}mathbf {F} _{mathrm {rad} }cdot mathbf {v} dt=-{frac {mu _{0}q^{2}}{6pi c}}{frac {dmathbf {v} }{dt}}cdot mathbf {v} {bigg |}_{tau _{1}}^{tau _{2}}+int _{tau _{1}}^{tau _{2}}{frac {mu _{0}q^{2}}{6pi c}}{frac {d^{2}mathbf {v} }{dt^{2}}}cdot mathbf {v} dt=-0+int _{tau _{1}}^{tau _{2}}{frac {mu _{0}q^{2}}{6pi c}}mathbf {dot {a}} cdot mathbf {v} dt.}

Claramente, podemos identificar la ecuación de autofuerza de Lorentz que es aplicable a partículas que se mueven lentamente como:

{displaystyle mathbf {F} _{mathrm {rad} }={frac {mu _{0}q^{2}}{6pi c}}mathbf {{dot {a}}.} }

Nota: Hay dos problemas con esta derivación:

1. La igualdad de dos integrales rara vez significa que los dos integrandos sean iguales.

2. Debido al poder de Larmor irradiado, el término límite no desaparecerá.

Se encontró una derivación más rigurosa, que no requiere movimiento periódico, utilizando una formulación eficaz de la teoría de campos.

Max Abraham formuló una ecuación generalizada para velocidades arbitrarias, que resulta consistente con la relatividad especial. Dirac encontró una derivación alternativa, haciendo uso de la teoría de la relatividad que estaba bien establecida en ese momento, sin ninguna suposición sobre la forma de la partícula cargada.

Señales del futuro

A continuación se muestra una ilustración de cómo un análisis clásico puede conducir a resultados sorprendentes. Se puede considerar que la teoría clásica desafía las imágenes estándar de causalidad, señalando así un colapso o la necesidad de ampliar la teoría. En este caso, la extensión es a la mecánica cuántica y su contraparte relativista, la teoría cuántica de campos. Véase la cita de Rohrlich en la introducción sobre "la importancia de obedecer los límites de validez de una teoría física".

Para una partícula en una fuerza externa ${displaystyle mathbf {F} _{mathrm {ext} }}$ , tenemos

{displaystyle m{dot {mathbf {v} }}=mathbf {F} _{mathrm {rad} }+mathbf {F} _{mathrm {ext} }=mt_{0}{ddot {mathbf {v} }}+mathbf {F} _{mathrm {ext} }.}

{displaystyle t_{0}={frac {mu _{0}q^{2}}{6pi mc}}.}

Esta ecuación se puede integrar una vez para obtener

{displaystyle m{dot {mathbf {v} }}={1 over t_{0}}int _{t}^{infty }exp left(-{t'-t over t_{0}}right),mathbf {F} _{mathrm {ext} }(t'),dt'.}

La integral se extiende desde el presente hasta un futuro infinitamente lejano. Por tanto, los valores futuros de la fuerza afectan la aceleración de la partícula en el presente. Los valores futuros están ponderados por el factor

{displaystyle exp left(-{t'-t over t_{0}}right)}

{displaystyle t_{0}}

{displaystyle t_{0}}

{displaystyle 10^{-24}}

{displaystyle r}

{displaystyle r}

{displaystyle hbar to 0}

Fuerza Abraham-Lorentz-Dirac

Para encontrar la generalización relativista, Dirac renormalizó la masa en la ecuación de movimiento con la fuerza de Abraham-Lorentz en 1938. Esta ecuación de movimiento renormalizada se llama ecuación de movimiento de Abraham-Lorentz-Dirac.

Definición

La expresión derivada de Dirac está dada en la firma (−, +, +, +) por

{displaystyle F_{mu }^{mathrm {rad} }={frac {mu _{0}q^{2}}{6pi mc}}left[{frac {d^{2}p_{mu }}{dtau ^{2}}}-{frac {p_{mu }}{m^{2}c^{2}}}left({frac {dp_{nu }}{dtau }}{frac {dp^{nu }}{dtau }}right)right].}

Con la generalización relativista de Liénard de la fórmula de Larmor en el marco co-móvil,

{displaystyle P={frac {mu _{0}q^{2}a^{2}gamma ^{6}}{6pi c}},}

{displaystyle {frac {1}{Delta t}}int _{0}^{t}Pdt={frac {1}{Delta t}}int _{0}^{t}{textbf {F}}cdot {textbf {v}},dt.}

Paradojas

Preaceleración

Al igual que en el caso no relativista, existen soluciones patológicas que utilizan la ecuación de Abraham-Lorentz-Dirac que anticipan un cambio en la fuerza externa y según las cuales la partícula acelera antes de la aplicación. de una fuerza, las llamadas soluciones de preaceleración. Yaghjian discutió una solución a este problema, y Rohrlich y Medina la analizan con más detalle.

Soluciones desbocadas

Las soluciones descontroladas son soluciones a las ecuaciones ALD que sugieren que la fuerza sobre los objetos aumentará exponencialmente con el tiempo. Se considera una solución no física.

Movimiento hiperbólico

Se sabe que las ecuaciones ALD son cero para aceleración constante o movimiento hiperbólico en el diagrama espacio-temporal de Minkowski. La cuestión de si en tales condiciones existe radiación electromagnética fue tema de debate hasta que Fritz Rohrlich resolvió el problema demostrando que las cargas en movimiento hiperbólico sí emiten radiación. Posteriormente, la cuestión se analiza en el contexto del principio de conservación y equivalencia de energía, que clásicamente se resuelve considerando la "energía de aceleración" o energía Schott.

Autointeracciones

Sin embargo, el mecanismo antiamortiguamiento resultante de la fuerza de Abraham-Lorentz puede compensarse mediante otros términos no lineales, que frecuentemente se ignoran en las expansiones del potencial retardado de Liénard-Wiechert.

Fuerza de amortiguación de la radiación de Landau-Lifshitz

La fuerza de Abraham-Lorentz-Dirac conduce a algunas soluciones patológicas. Para evitar esto, Lev Landau y Evgeny Lifshitz idearon la siguiente fórmula para la fuerza de amortiguación de la radiación, que es válida cuando la fuerza de amortiguación de la radiación es pequeña en comparación con la fuerza de Lorentz en algún marco de referencia (suponiendo que exista):

{displaystyle g^{i}={frac {2e^{3}}{3mc^{3}}}left{{frac {partial F^{ik}}{partial x^{l}}}-{frac {e}{mc^{2}}}left[F^{il}F_{kl}u^{k}-(F_{kl}u^{l})(F^{km}u_{m})u^{i}right]right}}

para que la ecuación del movimiento de la carga ${displaystyle e}$ en un campo externo ${displaystyle F^{ik}}$ puede ser escrito como

{displaystyle mc{frac {du^{i}}{ds}}={frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}+g^{i}.}

Aquí. ${displaystyle u^{i}=(gammagamma mathbf {v} /c)}$ es la cuatro-velocidad de la partícula, ${displaystyle gamma =1/{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ es el factor Lorentz y ${displaystyle mathbf {v} }$ es el vector de velocidad tridimensional. La fuerza tridimensional de amortiguación de radiación Landau-Lifshitz se puede escribir como

{displaystyle mathbf {F} _{mathrm {rad} }={frac {2e^{3}gamma }{3mc^{3}}}left{{frac {Dmathbf {E} }{Dt}}+{frac {1}{c}}mathbf {v} times {frac {Dmathbf {H} }{Dt}}right}+{frac {2e^{4}}{3m^{2}c^{4}}}left[mathbf {E} times mathbf {H} +{frac {1}{c}}mathbf {H} times (mathbf {H} times mathbf {v})+{frac {1}{c}}mathbf {E} (mathbf {v} cdot mathbf {E})right]-{frac {2e^{4}gamma ^{2}mathbf {v} }{3m^{2}c^{5}}}left[left(mathbf {E} +{frac {1}{c}}mathbf {v} times mathbf {H} right)^{2}-{frac {1}{c^{2}}}(mathbf {E} cdot mathbf {v})^{2}right]}

Donde ${displaystyle D/Dt=partial /partial t+mathbf {v} cdot nabla }$ es el derivado total.

Observaciones experimentales

Si bien la fuerza de Abraham-Lorentz se ignora en gran medida por muchas consideraciones experimentales, gana importancia para las excitaciones plasmónicas en nanopartículas más grandes debido a las grandes mejoras del campo local. La amortiguación de la radiación actúa como un factor limitante para las excitaciones plasmónicas en la dispersión Raman mejorada en la superficie. Se demostró que la fuerza amortiguadora amplía las resonancias de plasmones superficiales en nanopartículas, nanobarras y grupos de oro.

Nicolaas Bloembergen y Robert Pound también observaron los efectos de la amortiguación de la radiación en la resonancia magnética nuclear, quienes informaron de su dominio sobre los mecanismos de relajación espín-espín y espín-red en ciertos casos.

La fuerza de Abraham-Lorentz se ha observado en el régimen semiclásico en experimentos que implican la dispersión de un haz relativista de electrones con un láser de alta intensidad. En los experimentos, un chorro supersónico de gas helio es interceptado por un láser de alta intensidad (10¹⁸–10²⁰ W/cm²) . El láser ioniza el gas helio y acelera los electrones mediante lo que se conoce como efecto "láser-wakefield". A continuación, se propaga un segundo rayo láser de alta intensidad en contra de este rayo de electrones acelerado. En un pequeño número de casos, se produce dispersión Compton inversa entre los fotones y el haz de electrones, y se miden los espectros de los electrones y fotones dispersos. Luego, los espectros de fotones se comparan con espectros calculados a partir de simulaciones de Monte Carlo que utilizan las ecuaciones de movimiento QED o LL clásicas.

Efectos colectivos

Los efectos de la reacción a la radiación a menudo se consideran dentro del marco de la dinámica de una sola partícula. Sin embargo, surgen fenómenos interesantes cuando un conjunto de partículas cargadas se somete a fuertes campos electromagnéticos, como en un plasma. En tales escenarios, el comportamiento colectivo del plasma puede modificar significativamente sus propiedades debido a los efectos de la reacción de la radiación. Los estudios teóricos han demostrado que en entornos con fuertes campos magnéticos, como los que se encuentran alrededor de púlsares y magnetares, el enfriamiento por reacción de radiación puede alterar la dinámica colectiva del plasma. Esta modificación puede provocar inestabilidades dentro del plasma. Específicamente, en los campos magnéticos elevados típicos de estos objetos astrofísicos, la distribución del momento de las partículas se agrupa y se vuelve anisotrópica debido a las fuerzas de reacción de la radiación, lo que potencialmente genera inestabilidades en el plasma y afecta el comportamiento general del plasma. Entre estas inestabilidades, la inestabilidad de la manguera contra incendios puede surgir debido a la presión anisotrópica.

Contenido relacionado

Más resultados...